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3 3 令y f (x) 2 3 3 则y 3x 1 4x2 2 两边平方并加以整理得； 2 y 3 y2 x ( ) x ( ) 0 3 8 18 由于X必须为实数，从而上述二次方程的判别成 y 2 3 y 2 △ 4 ×( ) 0 9 8 18 2 y 3 0 3 2 y 0 3 2 y min 2 将上述y的最小值代入求X得 2 x 4 3 2 所以菱形的边长为 ，利用三角函数定义可以算出菱形的钝角α和锐角 4 β： 3 2 6 Sin 0.8165 查反正弦函数表可得： 2 3 3 3 4 5444' 2 10928' 7032' 最小二乘法 下面是一道有趣的智力思考题。 给你一本书，你能否仅用普通的刻度尺，测出一张纸的厚度吗？答案是 肯定的！我想聪明的读者都已猜到了：只需量出全书的厚度 （如果书很薄， 可以把相同的书叠它几本！），然后除以全书纸的张数，即得每张纸的厚度。 上述方法可以用于类似的场合。例如，为了测出细漆包线的直径大小， 可以采用绕线的办法，在一根铅笔上，紧密地绕上n圈，如图测量出这n圈 漆包线在铅笔上所占位置的长L，则该漆包线的直径d，显然应该满足

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dn ＝L L d n 然而，尽管很多人都懂得应该这样去做，但并非所有的人都知道其中的 科学原理。假设某本书共 1128页 （除封页），测得厚60mm，各页的厚度 （单位mm）为： a，a，a，……，a 1 2 3 1128 1128 可得到： a a a ……a 60 i 1 2 1128 i 1 而一张纸的厚度 0. 0532（mm），则是这 1128个数的平均值。 现在需要证明的是：对于量x的n个观测值a，a，……，a，它们的 1 2 n 平均值 a a ，a ， …… a i 1 2 n n n 是所要测定的量X的最理想取值。式中求和符号表示从1累加到n。 事实上，最理想的取值X，应当使它与n个观察值的差的总和为最小。 但考虑到差 （x-a）（i＝ 1，2，…，n）可能有正有负，如果直接地把它们 1 相加，势必使某些差的值相抵消，影响了偏离的真实性，这显然是不合理的。 2 于是，人们想到了用 （x-a） 来替代相应的差。这样一来，最理想的取值X i 应当使函数 2 2 2 y=(x-a)+(x-a)+……+(x-a) i 2 n 2 2 =nx-x(Σa)x+Σa i i 取极小值。这是关于X的二次函数，易知当 Σa a a …… a i 1 2 n x n n 时 y取极小。这就是为什么平均值可以看成是观测量最理想取值的道 理。 同样的原理可以用于二维的情形，只是计算要稍为复杂一些，我们将要 得到的结果，在数学上非常有名，叫做最小二乘法。它是德国数学家高斯， 于公元1795年创立的，那时他年仅18岁！ 现在假定我们观察到n个经验点： (x，y)，(x，y)，…，(x，y) 1 1 2 2 n n 如果我们认定这n个经验点M （i＝1，2，…， n）是对直线 y＝ A＋B i x 上的点在观测时的误差。那么，这些经验点M(x，y)与直线上相应点N（x， i i i i A+B）之间的以下量 i 2 2 y Σ[yi (Ax i B)] ΣM N i i 应当取极小值。 “最小二乘法”的名称，大约就是由此而来！ 函数y显然可以写成A的二次函数

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y ( Σx 2 )A 2 2[ Σx (y B)]A Σ(y B) 2 i i i i ( Σx y ) B( Σx ) 从而当 A i i 2 i ( Σxi ) 时取极小值。整理得： 2 (Σx)A+(Σx)B=Σxy i i ii 同理，函数y又可以写成B的二次函数，而当这一函数取极小值时，又 得： (Σx)A+(Σx)B=Σxy i i ii 这样，由方程组 ( Σx )A nB Σy i 2 1 ( Σx )A ( Σx )B Σx y i i i i 便可以确定参数A、B的值。从而得到一条最逼近n个经验点M(I=1，2，… i n)的直线最小二乘法在科学上有许多妙用，这里暂不介绍。 奇妙的钟型曲线 一位教师在统计自己所教的两个班级学生的成绩时，得到了以下数据 表： 分数段 频数计算 频数 相对频数 95 ～100 一 1 0.01 90 ～95 4 0.04 85 ～90 正 7 0.07 80 ～85 正正正正 22 0.22 75 ～80 正正正正 24 0.24 70 ～75 正正正正 24 0.24 65 ～70 正正 10 0.10 60 ～65 正一 6 0.06 55 ～60 一 1 0.01 50 ～55 一 1 0.01 合计 100 1.00 这位教师根据这张表画出了以下学生成绩分布直方图，这时他惊奇地发 现：所得直方图很接近于一种两头低中间高的钟型曲线。钟型曲线，在许多 地方都出现过！ 公元1261年，我国宋朝数学家杨辉，在 《详解九章算法》一书中，记载 了一幅图形（下页右图），这个图形被后人称为杨辉三角形或帕斯卡三角形。

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杨辉三角形的构造法则如下：三角形的两条斜边都由数字1组成，其余 的数都等于它肩上的两数相加。下表是根据上述法则得到的，容易看出，每 排数目的总和恰好都是一个2的方幂。 如果我们把这些数按列的分布画出坐标，我们可以连成一条相当规范的 钟型曲线！ 读者一定还记得1984年美国洛杉矶奥运会的那个振奋人心的时刻，中国 选手许海峰，在射击比赛中为我国取得了历史上第一面奥运金牌。 可是读者不知是否想过，神枪手也不可能百发百中，只是他们命中红心 机会较多，而偏离红心的机会较少罢了！左图画出了神枪手 （A）、普通射手 （B）和一般人 （C）射击命中率的钟型曲→X线，它们之间的区别几乎一目 了然！ 要揭示神秘钟型曲线的奥秘，我们还得借助于射击的例子。 当我们瞄准靶心（O）开枪射击时，离靶心越远的地方自然着弹可能性越 少。今以靶心为原点，如下图建立直角坐标系 XOY，并令 y=ф （X）为沿 X 轴方向命中率的钟型曲线。由对称关系，显然可设 2 ф （x）=f（x） 如图，易知：在n次射击中，区间△x内的着弹点应 正比于射击次数及命中区间的长度，即着弹数

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2 △n=nf（x）△x 从而，在区间△X内命中的频率 △n △px f (x2 ) △x n 2 同理 △p=f(y)△y y 对于整个靶面来说，小阴影区△A的着弹频率△p，显然可以写成 △p=△p·△p x y 2 2 =f(x)f(y)△A 今在平面上，以O为原点另立UOV坐标系，使U轴恰过A点。由于着弹 点的频率是与坐标轴选择没有关系的，从而又有： △P=△P·△P u v 2 2 =f(u)f(v)△A 注意到在XOY中的A。 波浪曲线 有一个故事说：从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚和一个小和 尚。有一天，老和尚对小和尚说：“从前有座山，山上有座庙，庙里有一个 老和尚和一个上和尚，有一天……”无须再写下去，我想读者都知道如何继 续这个故事。 在文学家的笔下，对于循环模式的描述，往往是很精采的，但在数学家 中，所有出现的事件y，都是时间X的函数 y＝f（x） 而循环模式则表示对于变量X的任何值，存在一个常量T，使得： f(x+T)=f(x) 这里的T称为周期。上式表明，同样的事件，在经历了一个周期之后又 回到了原先的状态，周而复始，如此而已！ 拿一张纸，把它卷到一根蜡烛上，然后用刀斜着把它切断，再把卷起的 纸展开，那么你将会看到一个波浪型曲线的截口。让我们看一看这是怎样的 一条曲线？ 如下图，设圆柱体为蜡烛的一段，底半径为R，截口中心为S。过S作垂 直于圆柱轴线的截面，与原截口曲线交于两点。取其中一点0为原点，在过 O且与圆柱相切的平面内建立直角坐标系XOY，使OY为圆柱的一条母线。显 然OX切于圆S。

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设想卷在圆柱上且已被切断的纸是慢慢展开的。令 P为截口曲线上一 点，Q是它在圆S上的射影，又展开角∠OSQ=α。则 x OQ R y PQ ( R sin)tg 式中θ为斜截面与圆S平面的夹角，为一常量。 把上述变量y表示为变量X的函数，即得 1 y (Rtg) sin( )x R 1 令A Rtg, , 立得 R y A sin x 原来得到的是振幅为 A，频率为ω的正弦曲线！容易明白，当纸张从 O 开始，展开一圈又回到O时，完成了一个循环，这一循环的周期T，恰等于 圆S的周长，即 2 T 2R 后一个式子对于求一般正弦函数的周期是很有用的。 自然界里正弦曲线是很多的。往水池里扔一块石头，便会看到圆形的水 波逐渐向四周扩展；拿一根长绳，抓住其中一头上下振动，你会看到一个个 波浪传向前方，即使振动的那一头已经停止动作，已经形成的波形仍会继续 传向远处！ 在数学家眼里，上面的一系列现象称为波的传送。数学家们运用自己的 智慧，巧妙地把这种运动用函数表示了出来！ 下图是一个弦振动的例。弦起初静止，t=0时，给它一个初位移。令初 始位移函数为 f（x），图中 1|x| |x| 1 f (x) 0 |x|1 而表示图中波传播的函数式可以写为 1 u(x, t ) [f (x vt ) f (x vt)] 2 式中V是波的传播速度。 值得注意的是，大多数的波未必就是正弦波。例如声波

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就常常具有令人难以置信的复杂波形。 公元 1822年，法国数学家傅立叶 （Fourier，1763～1830）证明了任何 曲线都可以由正弦曲线叠加而成，他甚至找到了构成叠加的方法。傅立叶的 出色工作，使一门近代的数学分支，以他的光辉名字命名！ 对称的启迪 二百多年前德国九岁的小高斯，以出乎老师意料的速度口算出 1＋ 2＋ 3＋ 4＋…＋ 97＋ 98＋ 99＋ 100＝ 5050。他采用的实际上是对称的方法。 这种方法渊源古老，少说也有几千年！当人们第一次进行梯形面积计算时， 所用的就是这种方法。 公元1796年，当高斯19岁时，他以其特有的关于对称的思考，一举推 翻了两千年来人们关于“边数为大于5质数的正多边形，不可能用尺规作出” 的猜想。确确实实地找到了正十七边形的作法。 下表列出了边数n不超过 100，而能用尺规作图的正多边形种类，总共 24个： 边数n的形状 能用尺规作的正n边形 m 2 4,8,16,32,64 m 2+1 3,5,17 6,12,24,48,96 10,20,40,80 m 2PP…P 34,68 12 k 2tk 15,30,60 (P=2+1) k 51 85 图形的对称，表现为数学的以下式子： + + I:f(-x)=f(x) - - II:f(-x)=-f(x) + 满足Ⅰ式的函数y=f(x)，称为偶函数，它的图象对于OY轴为对称；满 - 足Ⅱ式的函数y=f(x)称为奇函数，它的图象对于原点为对称。

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事实上，任何一个图形都可以看成是一个轴对称图形和一个心对称图形 的叠合！代数语言表述是：任何一个X的函数f（x），都可以表示为一个偶 + - 函数f(x)和一个奇函数f(x)的和。即 f (x) f (x) f (x) f (x) f (x) ∵ f (x) f (x) + - + - ∴f(-x)=f(-x)+f(-x)=f(x)-f(x) 从而 1 f (x) [f (x) f (x)] 2 1 f (x) [f (x) f (x)] 2 下图粗实线所代表的函数 f(x)是由虚线所代表的奇函数和细实线所代 表的偶函数相加而得。 关于对称图形，对称中心或对称轴处于一种十分特殊的地位。这种位置 在解题中往往起着关键的作用。 下面是一道精采的智力思考题： A、B是两根形状和重量都一样的条铁，其中有一根带有磁性。如果不用 这两根条铁以外的东西，问怎样才能辨出哪根是磁铁？ 两根条铁放成“T”字型。这种对称的放置，实际上已经给出了问题的解 答。接下去的判定就留给读者了！ 对称的启示，常常产生意想不到的效果。请看下面一例： 某食糖商店天平坏了，商店负责人决定不再零售食糖，不巧此时来了一 位顾客，急需一公斤食糖，售货员急人所难，采用了通融的办法，把一公斤 糖分成两份来称。第一次天平的右盘放500克砝码，左盘放食糖，取平衡； 第二次右盘放食糖，左盘放500克砝码，也取平衡。售货员想，天平已经不 准确了，它的左右臂长不相等，这样两次称出的糖一定有一次比500克多些， 而另一次则少些，两次加在一起，取多补少，大约该是1000克，即 1公斤吧！ 于是，他向顾客收了一公斤食糖的钱。 话说那位顾客可是个喜欢动脑筋的人，当他看到售货员的动作，心里便 明白了三分，思考片刻后他发话了，说是售货员少收了钱，所称食糖不止一 公斤！亲爱的读者，你知道这位忠诚的顾客是怎样作出判断的吗？

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原来他是根据杠杆原理，由两次称量得出两个对称的关系式： W a 500b 1 W b 500a 2 b a ∴W W 500 1 2 a b b a ≥500 2 1000 a b ∵a≠b ∴W+W>1000 1 2 不过，读者如果动脑筋，还能找到更聪明的称糖办法。 漫谈选优 选优，在数学中颇具时代气息。选优学的历史，与数学发展史之间有着 千丝万缕的关系。 早在二千多年前几何学发达的古希腊，人们就知道用图形的对称性质， 去解决诸如 “在河岸上取一点C，使它到A、B两村路程之和最短”等一类最 简单的选优问题。 极值是最重要的一种变量中的常量。 随着代数学的发展，不等式求极值的方法使用得更加普遍。 一个精彩的例子是： “体积为V的圆柱体，它的高h和底半径r应当采 用怎样的比，才能使表面积S最小？” 2 S 2r 2rh 易知 2 V r h 2v 从而S 2r 2 r V V 2r 2 r r V V ≥3 3 2r 2 33 2V 2 r r V 上式表明，当2r 2 时S取极小值，由此可知 r V 2r 3 V 2r 3 h 2 3 2r r r 这就是说，体积一定的圆柱体，当高与底直径相等时，有最小的表面积。 这也是为什么今天市场上的有盖牙罐总是设计得高与口径相等的道理。读者 还可以用相同的方法证明：无盖的罐子，最节省材料的形状应当是，罐子的 高等于口径大小的二分之一。 笛卡儿坐标的建立，使形数结合更加紧密。由牛顿和莱布尼兹创立的微 积分学，为求函数的极值提供了一整套完整的算法。17世纪，选优学在应用

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方面呈现出一派勃勃生机！ 客观现实在变化的量中，常常存在某种联系。这些联系在数学上表现为 等式约束 F=0(I=1，2，……，k) i 对于附加了若干约束条件的选优问题，拉格朗日 （Lagrange，1736～ 1813）提出了著名的“不定乘数法”：即引进k个参量λ ，把在F＝0约束 i i 下对F的条件选优问题，化为求 F F F F 1 1 2 2 k k 的无条件选优问题。 随着生产和科学的发展，以函数为变数的选优问题突出了出来。这些问 题中最古老和最有代表性的有三个：短程线问题最速降落问题和等周问题。 这些古老而富有趣味的问题，经天才数学家欧拉和泊松等人富有创造性的工 作，升华为一门瑰丽的数学分支——变分法。 近代电子计算机的出现和使用，使原来并不引人注目的一次函数选优问 题，又重新得以重视和发展。 一次函数选优问题的提法是：未知数x满足不等式组 1 a 11x 1 a 12 x2 a 1k xk b 1 ≥0 a x a x a x b ≥0 21 1 22 2 2k k 2 a x a x a x b ≥0 n 1 1 n 2 2 nk k n k 试求一次函数y c x d 的最大值和最小值。 j j j 1 解决这类问题的一般方法是单纯形法。其基本思路可以通过下图加以介 绍。不等式组相当于把未知量的取值限制在区域Ω内，而一次函数 k y c x d对于不同的Y值是一组相互平行的“直线”，从而优值将在 j j j 1 区域Ω的角点 （顶点）上取得。 由于实践中提出的类似上述的线性规划问题都带特殊性。因此人们已经 总结出许多诸如物资调动、合理装车等切实可行的好方法，使古老的一次函 数选优问题，得以重新发放光辉！ 自然科学其他分支的研究常常经选优学以提示。例如前面我们讲到的： 蜂窝的底是由三个具有70°32′角的菱形拼接而成，它启示我们这样的结构 是最经济的。在深水中横放一根半径为a的圆柱，探索水的绕流导致了对儒 可夫斯基函数 1 a2 f (z) (z ) ( z为复数) 2 z

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（Z为复数）的研究，这个函数为各种优良机翼提供原型。 有时用力学上的模拟方法可以比数学方法更容易得到结果。例如应用橡 皮筋拉力，可以轻而易举地找出主要矛盾线，从而解决了统筹方法中的重要 课题。著名的三村建立小学问题，可以如图在平面上用三点模拟三村，用重 物P模拟各村的学生数，并用细线通过滑轮连接于Q点，则平衡后Q点的位 1 置就是建立小学的最好地点。可以证明，这时各村学生到校的总里程数最短。 迄今为止我们讲述的都是必然性问题，实际上更多的是我们甚至连变量 间的依赖关系都不知道。为了探求它们之间的相互关系，我们常用一n次曲 线。 y a a x a x2 a xn 0 1 2 n 去拟合m组试验数据 （x,y） （i＝1，2，…，m），而反过来把这m组 i i 数据看成是对曲线的随机误差。自然，这种拟合要求 m f (y y ) 2 xi i i 1 取最小值。根据上述要求，求出 n＋1个待定系数a，从而得出最优的n 1 次拟合曲线。 因为统计方法是基于大数定律，从而得到的结果只能认为具有很大的， 但不是绝对的把握。以下蒙特卡罗 （MonteCarlo）方法便是一个极典型的例 子。这个方法的要点是把试验区域分成m个等积的小方块，如果我们希望找 到一个小方块其中心试验值优于全部m块中的n块，那么只要随机抽取m块 中的r块，并在每个方块的中心做试验，而后取其中最好的一个结果就是。 事实上，从m个中随机抽r个，其中有一个优于n个的可能性为 n P 1 ( ) r m 当r增大时，P很接近于1，从而是十拿九稳的事。 最后还要提到另一类有趣的选优问题。这类问题区别于前述种种问题的 特点，在于它不单是选取或比较某些量，而是在某些量的极小中去选取极大， 或从极大中去选取极小。这是博奕论的课题。其基本思想用形象的语言来表 达可以说成是： “往最好可能努力，作最坏估计打算。”我们这里不再进一 步讲述它。 捷径的迷惑 有位地理老师提问一位学生： “请指出从上海到广州距离最短的路。” 学生看了看摆在讲台上的地球仪，从容答道： “是一条挖通广州与上海的直线隧道。” 老师哭笑不得。的其实，从理论上讲这位学生说得并没有错。那是根据

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平面几何里的一条公理： “两点间线段最短。”不过，生活是在地球上的人 类，习惯于把自身的活动，限制在这个星球的表面考虑。这样，上海与广州 之间的最短路程，很自然地被理解为过上海和广州之间的一段大圆的弧。这 段大圆的弧约长1200公里。 球面上过两点的大圆的弧，可以用以下的办法直观地显示出来：在地球 仪上拉紧过两点的一条细线，这条细线即可看为大圆的弧。 光沿直线前进的性质，这是物理学家早就注意到的。如图，由A点射出 的光线，通过1上的点C反射到B点，则由入射角等于反射角推知， C点即 线段 ′A B与 的交点1 。这里 ′是A A关于直线1的对称点。容易证明， 对于1上的另一点C′，必有 AC’+C’B>AC+CB 事实上，AC＋ CB＝ A′C＋ CB＝ A′B＜ A′C’′ C′B ＝AC′+ C′B 结论是很明显的！这表明光所走的折线ACB，是比A经 1到B最短的路 线。 不过，严格地讲，光所走的是一条捷径。即走完全程所用的时间最短。 右图的情景，想必许多读者都见过：本来看不见的东西，在水中变得看见了！ 光线产生这种折转的原因，是因为光在空气中和水中速度不相同。造成光沿 一条折线走比光沿一条直线走所花的时间更少。 你不妨亲手做一做下面的试验： 在光滑桌面的另一半，铺上一层薄薄的绒布。让一颗铁球由光滑面斜着 滚向绒布。这时你会看到一种奇特的现象：铁球在绒布的交界处突然折转了 方向，如同光线的折射一般！ 出现上述现象的原因：是铁球在光滑桌面和绒布上行进的速度不相同。 铁球也像光线一样，走的是一条捷径！ 下面是一个有趣的问题： 一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的 对角顶点G处，问蜘蛛要沿怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？ 我们可以把长方体（图a）的上底面及右侧面展开成如同图a′的平面图 时，蜘蛛爬行的路必须是线段AMG或ANG中较短的一条。假令AB=a，BC＝b， AE＝c，则由图知 AMG (b c) 2 a 2 a2 b2 c2 2bc