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ANG (a b) 2 c2 a 2 b 2 c2 2 ab 当a＞c时，ANC＞AMG，说明蜘蛛应当沿折线AMG爬行，才能最快抓到苍 蝇；反之，则必须沿折线ANG爬行！ 很明显，对于可以展成平面的曲面，曲面上的捷径问题，都可以用类似 上面展开的方法加以解决。图C的圆锥曲面就是一个例子。 然而，并非所有的曲面都能展开成平面。我们最常见的球面，其任何一 小部分，都不可能毫无重叠或破裂而展成平面。这就是无论哪一种地图，总 不可避免地要产生变形的原因，没有一点畸变的地图根本不存在！这样，当 你翻开一张地图细心观察时，你便会发现一个有趣的现象，图上画的航线几 乎都是一条条弧线。这才是真正的球面短程线——大圆弧线。而图面上看起 来是直的线，实际上只是保持与经线等角的斜航线。 从狄多问题谈起 传说泰雅王 （Tyrian king）的女儿狄多从他身边逃走之后，历尽艰险终 于抵达非洲海岸。在那里她成了迦太基人的奠基者和传说中的第一位女王。 狄多到非洲后的第一个计策是：向当地土著购买依傍海岸的一块 “不大

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于一张犍牛皮所能围起来的”土地。她把犍牛皮割成又细又长的条子，又把 这些长条连接成一根细长的绳子。她想利用这条绳子及海岸线，怎样才能围 出最大的土地？ 事实上，假定海岸线 1为直线，而长度为α的弧线 AXB已经围出最大 的一块面积。那么，利用镜像的方法，由弧AXB和它关于海岸1的轴对称图 形——弧线AX’B，所组成的封闭图形，也一定是用2a长的周界所能围出的 最大面积。那么，在周长一定的图形中，究竟怎样的图形才能包围最大的面 积呢？下页表列出了周长为4厘米的各种图形的面积。 看了下页表，可能读者已经猜到，周长一定面积最大的图形是圆！事实 果真如此！自然界和人工制品中，圆的形状更是比比皆是。这大概都是因为 圆是 “最经济”的图形：周长一定，面积最大；或面积一定，周长最短！ 不过猜想毕竟不等于真理，从猜想到真理还需要严格的证明。 事实上，无论是狄多问题或是等周问题，解答的图形不可能是凹的。因 为倘若图形中有一处是凹的，那么便可以把凹的部分，如同右图那样翻转出 去，得到一个周长不变但面积增大了的新图形。 下面我们只讨论狄多问题，因为倘若能证明狄多问题的解答是半圆，那 么等周问题的解答就是一个整圆！ 等圆图形 相应面积(平方厘米) 等腰直角三角形 0.6863 矩形(3:1) 0.7500 等边三角形 0.7698 矩形(2:1) 0.8889 60°的圆扇形 0.9022 半圆 0.9022 矩形(3:2) 0.9600 四分之一圆 0.9856 正方形 1.0000 圆 1.2732

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现在假定曲线弧AXB是狄多问题的解答。令P为弧线AXB上任意一点， 我们说∠APB一定是直角。因为如若∠APB＝ ≠a90°，则我们可以把 AP、 BP连同它上面的一块阴影图形，如同上图从Ⅰ到Ⅱ那样，张开成90°角。前 后两个图形的曲线弧长显然没有改变，但两者的面积 1 S (S S ) AP BP sin I 1 2 2 1 S (S S ) AP BP II 1 2 2 ∵≠90 ° ∴S S I II 这与图形Ⅰ面积最大的假定矛盾，从而证明了曲线弧AXB上的点，立于 线段AB上的角均为直角。即证明弧AXB为半圆弧。这也就解决了狄多问题和 等周问题。 中世纪意大利诗人但丁说过：“圆是最完整的图形”。圆对于人类最深 刻的印象，莫过于圆周上的点到圆心的距离相等。车轮正是由于它的等长的 车辐，而使车轴处于一定的高度，从而才能平稳地水平运动。 圆的任意两条平行切线之间距离都是相等的，都等于直径。四千年前的 古埃及人，大概就是把一块又一块的巨石放在圆木棍上滚动着推到金字塔顶 的！假如没有圆的这种 “等宽度”的特性，我们这个星球的文明，不知要往 后推迟多少年！ 然而令人惊异的是，对于完成滚动来说，棍的横断面未必要是圆的！这 一点大多数读者可能难以置信，但却是千真万确的事实。下图所示的曲边三 角形就是最简单的具有 “等宽度”性质的图形：三条曲边是相等的圆弧，而 每个圆弧的中心，恰是它所对角的顶点。显然，这种曲边三角形的三段弧， 具有共同的半径 r，而且整个曲边三角形可以在边长为r的正方形内，紧密 自由地转动，用这种图形做断面的滚子，也能使载重物水平地移动，而不致 于上下颠簸。这种具有奇特功能的曲边三角形，是由工艺学家鲁列斯首先发 现的，所以叫做鲁列斯曲边三角形。 利用鲁列斯曲边三角形的原理，我们还可以构造出其他“等宽度”曲线。 关键在于：让圆弧的中心是它所对角的角顶，从而画出一组具有等半径的圆 弧。左下图就是这类型 “等宽度”曲线。 等宽度曲线还有其他种类。下图是一种由六段圆弧连接而成的曲边多边 形。它最明显不同于鲁列斯三角形的地方，是周边没有尖点！

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等宽度曲线最惊人的性质是巴比尔 （Barbier）发现的：有相同宽度 d 的等宽度曲线，具有相同的周长πd。希望读者自己用已见过的等宽度曲线去 验证！ 揭开 “最速降落”问题的谜 把不在同一铅垂线上的两点A、B，用怎样的一条曲线连接起来，才能使 得在重力作用下，当质点沿着它由A滑至B时，所用的时间最少？ 人们为了揭开它的谜底，曾经经历了相当漫长的时间。 16世纪以前，几乎所有的人都认为：沿连接AB的线段滑落用时最少。 理由是：在连接A、B的所有曲线中，线段AB最短。少走路， “自然”少花 时间。 到了 17世纪初，意大利比萨城的那位智者，大名鼎鼎的伽利略 （Galilei，1564～1642），也对最速降落问题进行了思考。伽利略觉得此事 没有那么简单！他认为最速降落曲线似乎应当是过A、B而切于过A点铅垂线 的一段圆弧。理由是：质点开初是以接近自由落体的速度下滑的，虽然圆弧 AB比弦AB要长一些，但在下滑路程中有很长一段路，质点是以很高的速度 通过的。从总体上讲，用的时间比沿直线AB要更短些！ 公元1696年，瑞士数学家约翰 ·贝努利（Bemoulli Johann，1667～1748） 呼吁数学家们重新研究这个问题。他认为伽利略虽然提出了正确的思路，但 伽利略没有讲清下滑曲线是圆弧的道理。为此，约翰·贝努利和他的哥哥雅 各·贝努利，以及牛顿、罗必达等数学家，对此作了深刻的研究，终于发现 连接A、B两点的最速降落曲线，即非直线也非圆弧，而是一条圆摆线！ 比如：当一枚钱币在直线上滚动的时候，钱币上的一个固定点 P，在空 间划出一条轨线，这条轨线便是圆摆线或称旋轮线。 设圆币的半径为 r，取圆币滚动所沿的直线为X轴，如图建立直角坐标 系XOY。假定初始状态时，圆币上的固定点P与原点O重合。则当圆币滚动 ф角后，圆必滚动到B点，且圆与X轴相切于A。作PQ⊥AB，Q为垂足。 很明显，弧PA 长等于OA，从而P点的坐标（X，y ）满足： x OA PQ r r sin y AB QB r r cos 即 x r( sin) y r(l cos) 这就是圆摆线的方程，它是以参数形式出现的。摆线上点的坐标都随着 旋角ф的变化而改变！ 现在，让我们回到3世纪前约翰·贝努利的、富有创造和想象的解答上

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来。 如图，把质点下降的平面分成许多间隔很小的等距离层。质点下降时， 从A开始逐一地穿过这些层到达于B。由于质点滑落到P（X，y）处的动能， 等于下落过程中势能的减少，即 1 2 mv mgy 2 从而 v 2gy 上式表明：此时此刻质点运动的速度只与它所在的层次有关。换句话说， 下图中的质点，在各个分层中有着各自不同的运动速度。 就这样，约翰·贝努利靠着超人的天赋，立即联想起光的折射：从A点 发出的光线，经一层又一层的折射，到达于B这条光线所走的路，肯定就是 0 最速降落曲线！ 妙极了！如此一个高深的问题，在一种巧妙的解析下，终于迎刃而解！ 接下去的工作对于数学家来说是轻车熟路的了！假定光线在各层内的前 进速度，恰等于质点在该层内的滑落速度，分别为 V，V，V…；进入各层 1 2 3 时的入射角分别为a，a，a…。由光的折射定律知： 1 2 3 sina sina sin a 1 2 3 v v v 1 2 3 当层数分得无限多时，以上式子演化为 sina 常量 v 注意到曲线的切线的倾斜角β与入射角α之间存在着互余关系，从而 1 sin cos 2 1 tg dy ∵v 2gy ; tg dx dy 2 ∴y[1 ( ) ] 正常量 dx

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后一式子在数学上称为微分方程。这个微分方程的解，正是前面介绍的 圆摆线。 摆线的种类极多，当P点在动圆外或动圆内时，可分别得到如同上图的 长幅摆线 （Ⅱ）和短幅摆线（Ⅰ）。 如果动圆不是沿直线。而是沿定圆滚动时，也能得到形形色色的摆线， 所有这些摆线家族的成员，全都非常美观。 从走迷宫到解题 “走迷宫”是智力游戏中一类颇具吸引力的题目，只要你有耐心，再凭 着好一点的记忆，总是可以走得通的，可是要问你这里面有没有决窍，你就 不一定知道了。这里是要向大家介绍的倒推法。 人们习惯于 “顺推”，即从“入口”开始依次在各个叉口上来回探试， 碰壁后再调整路线，这样反复试探，最终总可以找到 “出口”；可是倒过来 走，即从 “出口”倒推到“入口”，则效果更佳。道理何在？ 试想：迷宫的通路只有一条，但支叉很多，其中大多数是死胡同，这可 以用图1来刻划，比如A是入口，E是出口，你从A出发，中间经过许多叉 口，如B、C、D……这些叉口上分别又有新的支路通往下个叉口，此时你 k k k 需要逐个去试探，不通再选择其它途径。可是反过来从E逆推到 A，问题就 容易多了。下面我们来看个例子。 一个人质的双手被反绑着，把它关在一座楼房里。楼房的平面图图 2。 楼房里的门都只能向一个方向开 （有的可以拉开，有的可以推开），试问人 质走怎样的路可以逃出？ 从A到B顺着找出路固然可以 （注意他双手被反绑着，只能推门不能拉 门），但返过来从B找去A的路 （当然这时的“推门”应变为“拉门”）， 似乎容易些，不信你试试看。 不知你想过没有：走迷宫是这样，解数学题有时也是如此，有些题目若 用 “倒推”法去解，将变得十分容易。 比如：有37个球队要进行单循环淘汰赛决定冠军，问一共要赛多少场？ 我们可以用顺推办法算出来，但若用倒推法来解，便简单多了。因每一 场可淘汰一个队，要决出冠军，当然要淘汰掉36个队显然共要赛36场。 下面来看几个题目： 一农妇提着一篮子鸡蛋去卖，第一次卖掉了全部鸡蛋的一半又多半个； 第二次又卖掉剩下的一半又多半个；第三次又卖掉剩下的一半又多半个，最 后农妇篮子里还剩一个鸡蛋。问农妇篮子里原来有多少鸡蛋：

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第三次取后剩下一个鸡蛋；第二次取后剩下 （1＋0. 5）×2＝3个鸡蛋； 第一次取后剩下（3＋0.5）×2＝7个鸡蛋，最初篮子里的鸡蛋数为（7＋ 0.5） × 2＝ 15个。 一辆卡车以每小时65公里的速度在公路上行驶，距离它后面5公里处有 一辆小轿车以每小时80公里速度同向行驶。不一会小轿车追上了卡车。请问 在追上之前一分钟时，两车相距多远？ 也许你要先求出小轿车多少时间可以追上卡车，然后再算算追上前一分 钟时两车的距离，其实不必如此。我们仍用倒推法分析：在小轿车追上卡车 前一分钟两车距离恰为小轿车与卡车一分钟内所走路程之差 250米——显 然，这个问题与两车开始的距离无关。 最后我们看一个抓牌游戏： 有54张牌，两个人轮流抓，每次每人可抓1—4张 （但不能不抓），规 定抓最后一张者为输。试问，怎样可以使你立于不败之地？ 顺着推算，较难掌握规律与窍门，但若逆推，你会很快发现其中的奥妙。 你若想获胜，那么你最后一次抓牌后，应只剩下1张牌。 在这之前一轮，你应留给对手6张牌，无论对方抓几张，你总可以在你 抓完牌后留给对手1张： 对手抓1张，你抓4张，最后剩1张； 对手抓2张，你抓3张，最后剩1张； 对手抓3张，你抓2张，最后剩1张； 对手抓4张，你抓1张，最后剩1张。 再往前一轮，你应留给对手11张牌……仿上倒推每次留给对手的牌数应 是： 1→6→11→16→21……41→46→51。这样你可以立于不败之地。 好了，例子就举到这里。它给你留下什么印象？你不觉得 “倒推”是一 种十分有效的方法吗？ 直觉不能解题 数学是严谨的，因而来不得半点马虎——大意了，就要出差错——即使 是对大数学家而言也是如此 （数学史上是不乏其例的）。 “四色定理”（球面或平面上的图形仅用四种颜色即可使得任何相邻的 区域分辨开）是一个貌似简单的定理，直到1978年才有人借助于大型电子计 算机的帮助将它证出 （花了1200小时机上时间）。上个世纪末，德国的数学 家闵可夫斯基在苏黎士大学给研究生们上课时，草率地谈起这个定理说：“它 之所以没有证出来，是因为世界上第一流的数学家没有去考虑它。”说完他 大笔一挥在黑板上演证起来。他本想一挥而就，轻松地拿下这个问题，但事 与愿违，他写了满满几黑板，发现头绪越来越多——最后 “挂”了黑板。 下面的几个小问题看上去十分容易，但请你仔细考虑后再回答，不然也 会出错的。 还剩几个角 这个问题也许是 “老生常谈”了：一个正方形的木板，锯下一个角，还

剩几个角？ 当然答还剩三个角不对；还剩五个角对吗？其实也不对，不信请您看看 下图，然后自己给出答案来。 请你再考虑：一个长方体木块锯去一个 “角”后还剩几个“角”？（答 案有四种） 平均速度 小华骑车进城买东西，他家离城 10里。去时正赶顶风，每小时只能骑 10里；回来时他想正好顺风快点骑。那么他每小时行多少里才能使他往返的 平均速度达到每小时20里？ 乍一看，似乎返程时他的速度达到每小时30里就行！又错了。那到底要 骑多快才行？我们还是算算看。 设返程速度为每小时V里，依题意有： 10 10 20 ( ) 10 2 , 10 v 10 10 即1 1或 0, v v 那么V应该等于多少？等于多少都不行，这是没法达到的平均！ 还剩几个面 一个正四棱锥和一个正三棱锥的侧面形状全等，当把这两个几何体以侧 面为基准粘合在一起后，还露出几个面？ 七个，你当然会脱口说道，其实是五个。说起来这还有一段小故事呢！ 这道题目是 1982年美国 “初等学术能力测验”的一个题目，全美有83 万中学生参加。题目的标准答案是七个，然而17岁的丹尼尔·路文的答案是 五个。过后路文自己动手做了模型，证实了自己的结论——主考机关最后只 得宣布路文的答案是对的。道理在哪儿呢？请见下图。 如图，对正三棱锥而言，凡与任意两条不相邻的棱平行的截面均为矩形； 对正四棱锥而言，凡与其底面平行的截面均为正方形。现通过棱的中点分别 取两个这样的截面。则当两个棱锥重合一个侧面后，这两个截面在重叠面上 的两条边也恰好重合，而另两条边 （如图中a、b）都在原正四棱锥的底的平 行平面内，且夹角为180°，故a、b边所在同侧的两侧面是共面的。 同理可知与其相对的另两个同侧侧面也共面。 这样两棱锥重叠一个侧面后共消失了2＋（4－2）＝4个暴露面，只剩下 9－4＝5个暴露面。

错了五十年的会徽

最后我们想讲一个小故事。美国数学会是一个在国际上甚有影响的数学 组织，它有19500名会员。1942年美国数学会所办杂志 《美国数学月刊》上 刊载了美国数学会会徽 （见下图），圆圈里面是一个正20面体，对于它的权 威性似乎无人怀疑。 五十多年以后，美国华盛顿大学的55岁的布兰高·格林鲍华（南斯拉夫 出生的美国人）从民主德国的邮票上发现其正20面体图案有误，在他进而想 到美国数学会会徽图案时，他自己惊呆了——那也是一个错误的图案。 注意上图中的正三角形有箭头的那条边，应与图中虚线平行才正确，而 会徽上的这两条线却不平行 （如今此图案已改正）。