如果两个人之间进行交换，结果两个人的福利水平都有所提高，社会的总产量也提高，这是一种帕累托改进。下面我们以两个消费者的交换为例，来看交换的帕累托最优问题。
为了研究问题方便，假定一个经济社会只有两个消费者A和B，消费者A拥有较多的产品Y和较少的产品X，消费者B拥有较多的产品X和较少的产品Y，两个消费者的无差异曲线分别见图11-1（a）和 (b)。在图中消费者A拥有的产品X的量是X1，拥有的Y的量是Y1，因而其X和Y组合点位于F点；消费者B拥有的产品X的量是X2，拥有的Y的量是Y2，因而其X与Y的组合点位于H点。
现在两个消费者开始交换其产品。消费者A以一定量的Y去交换消费者B一定量的X，交换的结果：消费者A所拥有的Y将下降，X将上升，其产品组合点将从F点运动到G点；消费者B所拥有的X将下降，X将上升，其产品组合点将从H点运动到J点。可以看出，在交换之前，消费者A的效用水平以无差异曲线IA为代表，交换以后他的效用水平以无差异曲线IIA为代表，效用水平提高；在交换之前，消费者B的效用水平以无差异曲线IIB为代表，交换以后他的效用水平以无差异曲线IIIB为代表，效用水平也提高。可以看出，两个人的效用都提高，这是一种帕累托改进。
只要通过交换能够使两个消费者的效用都提高，或者一个消费者的效用提高而另一个消费者的效用不变，消费者就有动力将交换不断进行下去。下面的问题是：什么时候两个消费者的交换达到均衡，就是说，什么情况下不能再实现帕累托改进了，也就是实现帕累托最优了？
为了研究上述问题，我们把图11-1(b)逆时针旋转1800，再与图11-1(a)组合而成一个矩形盒子。该矩形的长为 =X1+X2，宽为 =Y1+Y2，这样矩形的长宽实际就是产品X和Y的总量。因而在图中的每一点的座标均满足：
XA+XB=
YA+YB= （11.1）
这个矩形盒子，我们称之为埃奇渥斯盒。我们在埃奇渥斯盒中标绘出消费者A和B的无差异曲线，由于两个消费者的无差异曲线都是无数条，所以对任意一条消费者A的无差异曲线，我们都可以找出一条消费者B的无差异曲线与之相切。将所有这些切点连接起来，就得到一条曲线，如图11-2中OAedcOB曲线，该曲线称为交换的契约线。
现在来研究两个消费者交换产品的过程。在交换之前，两个消费者拥有X和Y的量位于图11-2中的a 点，如果他们的产品组合点由a沿着无差异曲线IIB运动到c，可以看出消费者A的X在增加Y在减少，而消费者B的Y增加而X减少，可以知道消费者A是以Y来换取消费者B的X。由于产品的组合点沿着消费者B的无差异曲线IIB运动，所以消费者B的效用是不变的，但消费者A却由无差异曲线IA运动到IIA，所以消费者A的效用是提高的。因此从a到c的交换过程是一个帕累托改进的过程。
再来研究消费者A与B由产品组合点沿着无差异曲线IA运动到e点的交换过程。这一过程仍然是消费者A以产品Y交换消费者B的产品X，同样道理可以知道，消费者A的效用不变，但消费者B的效用提高了，这也是一种帕累托改进。再来研究两个消费者的产品组合点由a运动到d的过程，仍然是消费者A以产品Y交换消费者B的产品X，这一过程中两个消费者的效用水平都提高了，毫无疑问这一过程也是帕累托改进的过程。可以看出，两个消费者通过交换实现帕累托改进的路径并不是唯一的，交换的结果两个消费者效用的提高程度也不一样，但站在全社会的角度看，社会的总福利是增加了。可以证明当两个消费者的产品组合点不在交换的契约线上的时候，我们总能够找到数条路径，通过两个消费者之间的交换来实现帕累托改进。
现在再来研究当消费者沿交换的契约线来进行交易时候的情况。假设两个消费者通过交换由组合点e运动到d，即消费者B拿出一定的X和Y给A，那么消费者A的效用提高的同时消费者B的效用却在下降，因而不符合帕累托改进的定义。同样，我们研究消费者的组合点由c运动到d的过程，这也不是帕累托改进。
综上所述，可以知道，凡是产品组合点不位于交换的契约线的情况，总是可以通过交换实现帕累托改进的，当产品的组合点运动到交换的契约线上的时候，则不存在帕累托改进的余地。因此可以得出结论，交换的契约线就是所有帕累托最优的产品组合点的集合。由于交换的契约线是由两个消费者的无差异曲线的切点连接而成，在切点处，两个消费者的边际替代率必然是相等的，因而交换的帕累托最优的条件就可以写成：
（11.2）
我们从一个例子来看。假设有A、B两地。A地棉花丰富而小麦稀缺，1斤小麦可换5斤棉花（MRS=5）；B地小麦丰富而棉花稀缺，1斤小麦可换2斤棉花(MRS=2)。A地的人会将棉花贩到B地，以2斤棉花换1斤小麦；B地的人会将小麦贩到A地，以1斤小麦换5斤棉花。随着两地之间的贸易，A地的小麦越来越多，B地的棉花也越来越多，再继续交换的话，交换比例就会发生变化，A地的MRS不断降低，B地的MRS不断提高。只要交换能使两地的满足程度不断提高，交换就会进行下去，当两地的MRS变得相等的时候，进一步的交易就会停止。
由此可见，当两个消费者的边际替代率不相等时，总能够通过交换提高双方的满足程度，而一旦双方的边际替代率相等，则进一步的交换就会使至少一方的满足程度下降。所以可以说，交换的帕累托最优的条件就是交换双方的边际替代率相等。
