有魔法的代数学
一个与代数有关的魔术
小时候，我第一次接触代数是通过我父亲。他说：“孩子，代数与算术没有多大区别，不过是用字母来代替数字。例如，2x + 3x = 5x，3y + 6y = 9y。明白了吗？”我回答说：“好像明白了。”他接着说：“好的，那么5Q + 5Q是多少？”我信心满满地答道：“10Q。”他说：“声音太小了，大点儿声！”于是，我高声答道：“10Q！”结果，父亲回说：“不用谢！”[1]（父亲对双关语、开玩笑和讲故事的兴趣一直都比对数学教学的兴趣大，因此我从一开始就不应该完全相信他说的话！）
我第二次接触代数，是因为我想弄明白下面这个魔术的原理：
第一步：在1到10中选择一个数字（你也可以选择一个大于10的数字）。
第二步：把这个数字加倍。
第三步：加上10。
第四步：除以2。
第五步：减去你一开始选择的那个数字。
我猜你得到的数字一定是5，对吗？
这个魔术背后的奥秘是什么？是代数。我们从第一步开始，把这个魔术再回想一遍。我不知道你一开始时选择的是哪个数字，因此我们用N来表示它。当我们用一个字母来表示未知数时，这个字母就被称为“变量”（variable）。
第二步，你把这个数字加倍，它就变成了2N。（由于字母x经常被用作变量，因此我们通常会省略乘号，以免混淆。）第三步，这个数字变成了2N + 10。第四步，在除以2之后，这个数字变成了N + 5。第五步，减去你一开始选择的那个数字，也就是N。从N + 5中减去N，得数是5。我们可以如下简要地表示这个魔术：
代数的黄金法则
我们先思考一个问题：某个数字加上5之后，和是这个数字的3倍，请找出这个数字。
为了解答这道题，我们把这个未知数设为x。它加上5之后，就是x + 5；最初的3倍，就是3x。这两个量相等，因此我们需要解下面这个方程式：
3x = x + 5
从左右两边各减去x，方程式就变成：
2x = 5
左右两边同时除以2：
x = 5 / 2 = 2.5
由于2.5 + 5 = 7.5，与2.5的3倍正好相等，因此可以证明这个答案是正确的。
延伸阅读
再为大家介绍一个可以利用代数知识来解释个中道理的魔术。写下一个三位数，要求三个数位上的数字逐步减小，例如842或951。然后，彻底颠倒这个三位数的数位次序，并用最初的三位数减去颠倒顺序后得到的三位数。之后，彻底颠倒得数的数位顺序，并与得数相加。我们以853这个数字为例，通过下列算式描述上述步骤：
现在，大家重新选择一个三位数。想好了吗？神奇的事情就要发生了。只要你严格按照上述步骤做，最后的得数一定是1 089！为什么？
代数可以揭开其中的秘密！假设我们选择的三位数是abc，其中a > b > c。我们知道，853 = (8×100) + (5×10) + 3。同理，数字abc=100a + 10b + c。数位完全颠倒之后，数字变成cba，可表示为100c + 10b + a。两个三位数相减之后，就会得到：
(100a + 10b + c) – (100c + 10b + a)
= (100a – a) + (10b – 10b) + (c – 100c)
= 99a – 99c = 99 (a – c)
换句话说，两个三位数的差必然是99的倍数。由于三个数位上的数字最初是逐步减小的，因此a – c至少等于2，或者说可能是2、3、4、5、6、7、8或9。那么，两个三位数之差只能是下面这些数字中的一个：
198、297、396、495、594、693、792或891
无论这个差到底是哪个数字，与数位颠倒之后的数字之和都是：
198 + 891 = 297 + 792 = 396 + 693 = 495 + 594 = 1 089
由此可以看出，最后的结果必然是1 089。
通过这个例子，我们可以看出代数的一个特点：进行代数运算时，必须对等式左右两边一视同仁。我把这条规则称为代数黄金法则。
例如，假设我们想求解下列方程式：
3 (2x + 10) = 90
我们的目标是解出x。先将方程式两边同时除以3，把方程式简化成：
2x + 10 = 30
再在两边同时减去10，把左边的10消掉。这样，方程式就会变成：
2x = 20
接下来两边同时除以2，结果就一目了然了：
x = 10
每次解完方程式，都要验证答案的准确性。在这个例子中，我们发现当x = 10时，3 (2x + 10) = 3×30=90，方程式成立。这个方程式还有其他解吗？没有了。如果还有其他解，这个x也需要满足方程式，因此我们可以确定x = 10是唯一解。
下面是一个与现实生活密切相关的代数问题，来自2014年某一期的《纽约时报》。该报称，索尼影视娱乐有限公司出品的一部电影投入市场之后，前4天的在线销售与出租的总金额是1 500万美元。索尼没有说明在线销售（单价15美元）与出租（单价6美元）分别贡献了多少销售额，但该公司宣布他们一共完成了200万单交易。为了帮助记者解决这个难题，我们用S代表在线销售交易量，用R代表在线出租交易量。由于总交易量是200万单，因此：
S + R = 2 000 000
我们还知道在线销售的单价是15美元，在线出租的单价是6美元，因此总销售额满足下列方程式：
15S + 6R = 15 000 000
根据第一个方程式，我们知道R = 2 000 000 – S。因此，第二个方程式可以改写成：
15S + 6 (2 000 000 – S) = 15 000 000
现在，方程式中只包含一个变量S，整理后就会得到：
9S + 12 000 000 = 15 000 000
两边同时减去12 000 000：
9S = 3 000 000
因此，S大约是100万的1/3，即S ≈333 333；R = 2 000 000 – S ≈1 666 667。（验证答案：总销售额为15×333 333+ 6×1 666 667≈15 000 000美元。）
本书一直在利用某个规则，它被称为“分配律”（the distributive law）。现在，我们需要对这个规则加以讨论。因为有了分配律之后，乘法和加法就可以密切合作了。分配律指出，对于任意数字a、b、c，都有：
a (b + c) = ab + ac
我们在计算一个两位数与一个一位数的乘积时，就会用到分配律。例如：
7×28 = 7×(20 + 8) =7×20 + 7×8 = 140 + 56 = 196
用统计学方法来思考，我们就会明白其中的道理。假设我有7袋硬币，每袋分别装有20枚金币和8枚银币，那么硬币的总数量是多少呢？从一个方面看，每袋装有28枚硬币，因此硬币总是7×28。从另一个方面看，我们有7×20枚金币和7×8枚银币，因此共有7×20 + 7×8枚硬币。也就是说，7×28 =7×20 +7×8。
我们也可以利用几何图形来理解分配律。如下图所示，请从两个不同的角度观察长方形的面积。
用长方形面积证明分配律：a (b + c) = ab + ac
从一个角度看，长方形的面积是a (b + c)。从另一个角度看，长方形左边部分的面积是ab，右边部分的面积是ac，总面积是ab + ac。这可以证明，只要a、b、c是正数，分配律就是成立的。
顺便告诉大家，我们有时候会在数字与字母并存的情况下应用分配律。例如：
3 (2x + 7) = 6x + 21
从左至右看，这个方程式可以看作2x + 7的3倍。从右至左看，它又可以看作通过从6x和21中提取3的方式对6x + 21进行因式分解。
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负数与负数的乘积是正数，这是为什么？例如，为什么 (–5)×(–7)= 35？针对这个问题，老师们给出了各种各样的解释。有的以抵销债务打比方，有的干脆说“就是这样的，没有什么道理可讲”。但是，真正的原因在于，我们希望分配律不仅适用于正数，而且适用于所有的数字。如果分配律对负数（和零）同样有效，就必须符合上述规则。下面，我来解释其中的道理。
假设我们承认 –5×0 = 0，–5×7 = –35。（我们也可以证明这两个等式是成立的，但是大多数人宁愿把它们作为一种事实来接受。）现在，观察下面这个算式：
–5×(–7 + 7)
它的得数是多少呢？从一个方面看，它等于 –5×0，而且我们已经知道 –5×0=0。从另一个方面看，我们可以利用分配律将它变形为［(–5)×(–7)］+ (–5×7)。因此：
［(–5)×(–7)］+(–5×7) =［(–5)×(–7)］–35 = 0
而且，由于［(–5)×(–7)］–35 = 0，由此可推导出(–5)× (–7)= 35。总之，无论a、b的值是多少，分配律都可以确保 (–a)×(–b) = ab成立。
奇妙的FOIL法则
代数中的FOIL法则是分配律产生的一个重要结果。对于任意变量a、b、c、d，都有：
(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd
FOIL是“First–Outer–Inner–Last”（首—外—内—末）的英文首字母缩写。在上式中，ac是 (a + b) (c + d)的两个首项的乘积，ad是外侧的两项乘积，bc是内部的两项乘积，bd是两个末项的乘积。
下面，我们利用FOIL法则来求两个数字的乘积：
23×45 = (20 + 3)×(40 + 5)
=20×40 + 20×5 + 3×40 + 3×5
= 800 + 100 + 120 + 15
= 1 035
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FOIL法则为什么成立呢？根据分配律（我们把求和的部分写到前面），可以得到：
(a + b) e = ae + be
如果用c + d 代替e，上式就会变成：
(a + b) (c + d) = a (c + d) + b (c + d) = ac + ad + bc + bd
而且，在最后一步运算中再次应用了分配律。如果大家愿意，也可以利用几何证明法（在a、b、c都是整数时）。请利用两种不同的方法计算如下长方形的面积。
一方面，长方形的面积是 (a + b) (c + d)。另一方面，我们可以将大长方形分成4个小长方形，它们的面积分别是ac、ad、bc和bd。因此，大长方形的面积又等于ac + ad + bc + bd。把这两个面积的表达式放在一起，就得到了FOIL法则。
下面，我向大家介绍FOIL法则的一个奇妙应用。按照下列指示，抛掷两个色子。假设你抛出这两个色子之后，一个色子朝上的一面是6个点，另一个是3个点。它们朝下的一面分别是1个点和4个点。
在这个例子中，最终得数是49。大家随便找两个普通的六面体色子，重复上述步骤，最后的得数都是一样的。这是因为，每个普通色子相对两面的点数之和都等于7。因此，当色子朝上一面的点数是x和y时，那么朝下一面的点数就必然是7 – x和7 – y。利用代数知识，上述步骤就会变成：
请注意，在第三步我们应用了FOIL法则（还请注意，–x乘以–y得到正的xy）。换一个代数运算较少的方法，最终也能得出49。观察每一步，就会发现上述各个等式的左边正好是利用FOIL法则展开［x + (7 – x)］［y + (7 – y)］后得到的4项。
在课堂上学习代数时，FOIL法则在大多数情况下都被用来计算下面这种乘法算式：
(x + 3) (x + 4) = x2 + 4x + 3x + 12 = x2 + 7x + 12
我们注意到，在最终的算式中，7［被称作x项的“系数”（coefficient）］正好是数字3和4的和，12［被称作“常数项”（constant term）］则是3和4的乘积。例如，由于5 + 7 = 12，5×7 = 35，因此我们立刻就可以得出：
(x + 5) (x + 7) = x2 + 12x + 35
这个规律对于负数同样有效，下面我列举几例。在第一个例子中，我们使用的是6 + (–2) = 4和6×(–2) = –12这个事实。
(x + 6) (x – 2) = x2 + 4x – 12
(x + 1) (x – 8) = x2 – 7x – 8
(x – 5) (x – 7) = x2 – 12x + 35
以下是数字相同时的乘法算式实例。
(x + 5)2 = (x + 5) (x + 5) = x2 + 10x + 25
(x – 5)2 = (x – 5) (x – 5) = x2 – 10x + 25
请注意，(x + 5)2 ≠ x2 + 25！代数初学者经常误认为两者是一回事。与此同时，当这些相同数字前面的正负号正好相反时，就会出现一个有趣的现象。例如，由于5 + (– 5) = 0，因此：
(x + 5)(x– 5) = x2 + 5x – 5x – 25 = x2 – 25
总的来说，平方差（difference of squares）公式值得我们背下来：
(x + y)(x – y) = x2 – y2
