同第1章讨论的数字一样，阶乘也会表现出很多美妙的规律。下面是我最喜爱的一个：
1×1! = 1 = 2!–1
1×1! + 2×2! = 5 = 3!–1
1×1! + 2×2! + 3×3! = 23 = 4!–1
1×1! + 2×2! + 3×3! + 4×4! = 119 = 5!–1
1×1! + 2×2! + 3×3! + 4×4! + 5×5! = 719 = 6!–1
…
阶乘的一个美妙规律
加法法则和乘法法则
从本质上看，计数问题大多涉及两个法则，即加法法则和乘法法则。在存在多种不同类型选择的情况下，计算可选方案的总数，需要使用加法法则。例如，如果你有3件短袖衬衫和5件长袖衬衫，那么在考虑穿哪件衬衫时，你一共有8种不同的选择。一般而言，如果你的可选对象分为两种，第一种对象包含a个选择方案，第二种对象包含b个选择方案，那么你在这两种对象中做出选择时一共有a + b个方案（假设a、b两种选择方案各不相同）。
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如前所述，加法法则假设这两种对象彼此不同。但是，如果有c个对象同时属于这两个类型，这些对象就会被统计两次。因此，不同对象的个数应该是 a + b – c。例如，在一个班级中，有12名学生养狗，19名学生养猫，还有7名学生既养狗又养猫，那么养宠物的学生总数应该是12 + 19 – 7 = 24。再举一个数学味儿更浓的例子。在从1到100的数字中，2的倍数有50个，3的倍数有33个，既是2又是3的倍数（即6的倍数）的数字有16个。那么，在从1到100的数字中，是2或者3的倍数的数字一共有50 + 33 – 16 = 67个。
乘法法则的意思是：如果某项活动由两个部分构成，完成第一部分的方法有a个，完成第二部分的方法有b个，那么完成整个活动共有a×b个方法。例如，我有5条裤子和8件衬衫，而且我不关心颜色搭配（我想，学数学的人大多如此），那么我一共有5×8 = 40个不同的搭配方案。如果我有10条领带，那么衬衫、裤子加领带的搭配方案共有40×10 = 400个。
一副普通的扑克牌（不含大小王）有4个花色（黑桃、红心、方块和梅花）、13种牌值（A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q和K），每张牌只能有一个花色和一种牌值。因此，一副牌（不含大小王）共有4×13 = 52张。我们也可以把全部的52张牌排列成一个4×13的长方形，如下图所示，从中也可以看出一副牌共有52张。
接下来，我们用乘法法则计算邮政编码的个数。从理论上讲，一共可以有多少个五位数的邮政编码呢？邮政编码的每个数位上的数字可以从0至9中任选，因此最小的邮政编码可能是00000，最大的可能是99999，共有100 000个。根据乘法法则，我们也可以得出这个结果。第一数位上的数字有10种选择（0~9），第二、第三、第四和第五数位上的数字也各有10种选择。因此，邮政编码的个数是105 = 100 000。
在统计邮政编码的个数时，数字是可以重复出现的。现在，我们来研究对象不能重复出现的情况，比如将对象排成一行。很容易看出，两个对象有两种排列方式。例如，字母A和B可以排列成AB和BA这两种形式。3个对象有6种排列方式：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA。假设有4个对象，在不把它们写出来的情况下，你知道它们共有24种排列方式吗？在安排第一个字母时，有4种选择（A、B、C或者D）。第一个字母确定之后，安排第二个字母时有3种选择，安排第三个字母时有2种选择，安排最后一个字母时只有一种选择。因此，一共有4×3×2×1 = 4! = 24种排列方式。一般而言，n个不同对象有 n!种排列方式。
在接下来的例子里，我们结合使用加法法则和乘法法则。假设美国某个州发放两种车牌。第一种车牌的前三位是字母，后三位是数字。第二种车牌的前两位是字母，后4位是数字。最多可以发放多少个不同的车牌呢？（尽管某些字母与数字外形相似，例如O与0，但我们不考虑这种情况，允许使用所有26个英文字母和10个数字。）根据乘法法则，第一种车牌的可能数量为：
26×26×26×10×10×10 = 17 576 000
第二种车牌的可能数量为：
26×26×10×10×10×10 = 6 760 000
由于每个车牌要么属于第一种，要么属于第二种（不可能既属于第一种又属于第二种），根据加法法则，车牌的总数是：17 576 000 + 6 760 000=24 336 000。
计数问题（数学界把这个分支称作组合数学）可以给我们带来诸多乐趣，其中之一就是我们经常发现同一个问题有多种解法。（心算问题也可以让我们体验到这种乐趣。）前面那个例子其实只需一个步骤即可完成。可发放的车牌数是：
26×26×36×10×10×10 = 24 336 000
这是因为车牌的前两位分别有26个选择，后三位各有10个选择，而第三位既可以选择字母，又可以选择数字，因此有26 + 10 = 36个选择。
冰激凌、彩票与扑克牌游戏
接下来，我们将利用刚刚学到的计数知识，计算我们中彩票大奖和玩扑克牌游戏时拿到各种牌面的概率。但是，我先制作一些冰激凌，让大家放松放松。
假设某家商店出售10种口味的冰激凌，可以搭配出多少种三球冰激凌呢？在做圆筒冰激凌时，各种口味的先后次序是需要考虑的（当然如此!）。如果各种口味都允许重复，那么每个冰激凌都有10个选择，共可以做出103 = 1 000种圆筒冰激凌。如果我们要求每个冰激凌有3种不同口味，那么圆筒冰激凌的种类为10×9×8 = 720种，如下图所示。
把3种不同口味的冰激凌球放到一个圆筒里，共有3! = 6种排列方式
但是，我们真正需要考虑的问题是：在先后次序无关紧要的情况下，每个杯装冰激凌包含3种不同口味，共有多少种排列方式？既然先后次序不重要，种类肯定会减少。事实上，数量会减少为圆筒冰激凌的1/6。为什么会这样呢？因为每个杯装的3种不同口味的冰激凌（比如，巧克力、香草和薄荷口味），在装到圆筒里时都有3! = 6种排列方式。也就是说，圆筒冰激凌的种类是杯装冰激凌的6倍。所以，杯装冰激凌的数量是：
10×9×8的另一种写法是10! / 7!（尽管第一种写法更便于计算）。因此，杯装冰激凌的种类数可以写成。我们把这个表达式称为“10选3”，记作，它的值是120。一般而言，从n个不同对象中选择k个，并且不考虑先后次序的活动被称为“n选k”，公式为：
数学界把这类计数问题称作“组合”（combinations），把 这种形式的数字称作“二项式系数”（binomial coefficients），把需要考虑先后次序的计数问题称作“排列”（permutations）。这些术语在使用时很容易发生混淆，例如，我们经常把“密码锁”说成“combination lock”（数字组合锁），实际上应该是“permutation lock”（数字排列锁），因为数字的先后次序非常重要。
如果冰激凌店出售20种口味的冰激凌，你希望在一个圆筒中装5种不同口味的冰激凌（次序不重要），那么各种组合的数量为：
顺便告诉大家，如果你们的计算器没有专门计算的按钮，也可以使用互联网，在搜索引擎中输入“20选5”，就可能会找到答案。
二项式系数有时会出现在似乎需要考虑先后次序的问题之中。如果我们抛10次硬币，硬币正反面的排列方式（例如，正反正反反正正反反反，正正正正正正正正正正）有多少种呢？由于每次抛掷都有两个可能的结果，因此根据乘法法则，一共有210 = 1 024个可能的排列，而且每种结果的发生概率都是相同的。（第一次听到这个结论时，有些人会感到吃惊，因为他们认为得到例子中给出的第二种结果的概率小于第一个。但实际上，得到这两个结果的概率都是。）不过，抛10次硬币，得到4个正面的概率大于10个正面，这是因为只有一种情况可以得到10个正面，这种情况发生的概率是。那么，抛10次得到4个正面的情况有多少种呢？这样的排列要求10次中有4次是正面朝上，其他6次都是反面朝上。从10次中选取4次，共有 = 210种排列方式。（与从10种口味中选择4种不同口味冰激凌的情况相似。）因此，抛掷10次硬币，在公平公正的情况下，正好得到4个正面的概率是：
≈20%
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我们自然而然地就会想到一个问题：从10种口味的冰激凌中挖3个球，可以重复选择同一口味，一共可以制成多少种圆筒冰激凌？（103 / 6显然不是正确答案，因为它连整数都不是！）直接的解法是：根据每个圆筒中有几种口味的冰激凌，分三种情况考虑。如果只有1种口味，自然只有10种可能。如果有3种口味，根据前面的讨论，我们知道共有 = 120种可能。如果有2种口味，我们知道有种选取办法，然后还要考虑哪种口味挖2个球，因此共有2× = 90种可能。把这三种情况汇总起来，共可以制作出10 + 120 + 90 = 220种圆筒冰激凌。
还有一种解法，无须分成三种情况，也可以得到正确答案。所有的圆筒冰激凌都可以表示成3个星号和9条竖线的形式。例如，选择第1、2、2种口味的冰激凌可以表示成下面这种星号—竖线排列：
选择第2、2、7种口味时，上述排列就会变成：
下面这种排列
则表示圆筒中有第3、5、10种口味的冰激凌。3个星号与9条竖线的所有排列均对应不同的圆筒冰激凌。这些符号一共占据12个位置，其中3个位置上是星号。因此，星号与竖线的排列一共有 = 220种。推而广之，从n个对象中选取k个对象，不考虑先后次序，而且可以重复选取，可选方案的数量就是k个星号与n – 1条竖线构成的排列，也就是说，有种选择方案。
很多涉及概率问题的游戏都与组合有关。例如，在购买如上图所示的加州彩票时，你需要从1~47中选择5个不同的号码，此外，还需要在1~27中选择一个MEGA号码（该号码也可以是你选择的另外5个号码中的一个）。因此，MEGA号码共有27种选择，另外5个号码共有种选择。那么，加州彩票的号码组合共有：
因此，你赢得大奖的概率小于4 000万分之一。
接下来，我们来研究扑克牌游戏的奥秘。通常，具有代表性的“一手牌”是从一副52张扑克牌（不含大小王）中选取5张构成的。因此，一手牌的组合方案数量是：
在扑克牌游戏中，像上图这种花色相同的5张牌被称为“同花”。同花一共有多少种组合呢？要构成一手同花牌，首先要选择一个花色，有4种可能。（我心中的第一选择是黑桃。）从这套花色的牌中选择5张牌，共有多少种组合呢？一副牌中共有13张黑桃，从中选择5张，就有种方案。因此，同花的数量是：
4× = 5 148
也就是说，拿到一手同花牌的概率是5 148/2 598 960，大约为1 / 500。如果你是一名严谨的扑克牌游戏玩家，你还需要从5 148中减去4×10 = 40，因为5张牌顺连时就会变成“同花顺”。
扑克牌游戏中的“顺子”是指5张顺连的牌，例如，A2345、23456…10JQKA。如下图所示：
顺子一共有10个不同类型（从最小的牌开始），在选择了某个类型（例如，34567）后，这5张牌还需要分别从4种花色中做出选择。因此，顺子的数量一共是：
10×45 = 10 240
这个数字大约是同花组合数量的两倍，拿到一手顺子牌的概率大约是1 / 250。正因为拿到一手同花牌的难度高于一手顺子牌，所以同花牌在扑克牌游戏中的价值高于顺子牌。
价值更高的一手牌是“满堂红”，它指的是5张牌中有3张牌的点数相同，另外2张牌的点数相同。例如：
要构成满堂红的牌型，先要为3张牌选择点数（13种方案），然后为另外2张牌选择其他点数（12种方案）。（假设我们选择了3个Q，2个7。）接下来，我们还需要为它们分配花色。选择3个Q有 = 4种组合，选择2个7有 = 6种组合。因此，满堂红的数量是：
13×12×4×6 = 3 744
拿到一手满堂红牌的概率是3 744/2 598 960，约为1/700。
下面，我们比较一下拿到满堂红与“两对”这两种牌型的概率。两对是指有2张牌为同一点数，还有2张牌同为另一点数，剩下的那张牌的点数与其余4张都不同。例如：
很多人以为两对的数量是13×12，但这种算法其实犯了重复统计的错误，因为先选一对Q、后选一对7，与先选一对7、后选一对Q是一样的结果。正确的算法是先算（同时选择一对Q和一对7），然后为第5张牌选择一个点数（比如5），最后为它们分配花色。因此，两对的数量是：
也就是说，出现这种牌型的概率约为5%。
剩下的牌型就不再一一讲解了，我只给出答案，由大家自行验证。“四条”这种牌型（例如A♠A♡A♢A♣8♢）的数量为：
像A♠A♡A♢9♣8♢这样的牌型名叫“三条”，数量是：
“一对”的牌型，例如A♠A♡J♢9♣8♢，数量为：
它在所有牌型中的比例约为42%。
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那么，不是对子、顺子和同花的“垃圾牌”有多少种呢？你可以从 中减去上述各种情况的总和，也可以通过下述方式直接计算：
上式第一项计算的是选择任意5种不同点数（所有点数均不相同）的一手牌数量，其中不包括像34567这样的10类“顺子”牌。第二项计算的是为所选的5张牌分别赋予一种花色，每张牌有4种可选花色，但我们必须去掉5张同花的4种情况。结果表明，差于一对的牌型占50.1%，有49.9%的牌型至少不比一对差。
接下来的问题非常有意思，它有三种解法，而且其中有两种解法是正确的！这个问题是：5张牌中至少有一个A的牌型有多少种？有人可能张口就答：4×。他们认为，先选1个A，共有4种可能；然后从剩余的51张牌（包括其余的A）中随意选择4张。遗憾的是，这个答案是错误的，因为某些牌型（不只包含1个A）被统计了不止一次。例如，A♠A♡J♢9♣8♢，在先选择A♠（再选择其他4张牌）时会统计这个牌型，在先选择A♡（再选择其他4张牌）时会再次统计这个牌型。正确的解法是：根据牌型中A的个数，把这个问题分成4种情况考虑。例如，有且只有1个A的牌型有 种（先选1个A，其余4张牌都不是A）。继续考虑它含2、3和4个A的情况，就可以得出至少有1个A的牌型总数：
但是，如果从相反的角度来考虑，计算就会简单得多。不含有A的牌型很容易算出来，数量是。因此，至少含有1个A的牌型数量是：
我们发现扑克牌游戏中各种牌型的价值大小取决于其概率大小。例如，由于一对比两对的出现概率高，因此一对的价值低于两对。各种牌型的价值由低至高的次序是：
一对，两对，三条，顺子，同花，满堂红，四条，同花顺
只要记住“1、2、3、顺同花，2–3、4、同花顺”（“2–3”指满堂红），就不会搞错它们的次序。
现在，假设我们的扑克牌游戏里可以这样使用那两张王牌：共有54张牌，两张王牌是百搭牌，你可以赋予它们任意点数，以便凑成价值最大的牌型。例如，如果你拿到了A♡A♢K♠8♢和王牌，可以选择把王牌当作A，这样就凑成了三条。如果你把王牌当作K，牌型就是两对，价值低于三条。
为王牌赋予什么点数才能形成价值最大的牌型？
于是，有意思的问题随之而来。如果按照传统方法判断牌型的价值高低，那么在你拿到像上图这种既可被视为三条又可被视为两对的牌型时，你肯定选择三条，而不愿意选择两对。但是，这样做的结果是：被视为三条的牌型数量超过被视为两对的牌型，两对反而变成一种更少见的牌型。如果我们试图通过提高两对的牌值来解决这个问题，就会导致两对的数量超过三条，同样的问题再次出现。1996年，数学家史蒂夫·加德布斯（Steve Gadbois）发现了这个现象，并得出了一个令人吃惊的结论：如果扑克牌游戏中可以使用王牌，就不可能始终根据牌型概率来决定牌型的价值。
帕斯卡三角形和圣诞节礼物
请仔细观察下图中的帕斯卡三角形（Pascal’s triangle）：
用符号表示的帕斯卡三角形
我们在本书第1章学过，把数字排列成三角形就会表现出一些有趣的规律。本章讨论的数字排列成三角形时，也会形成非常美丽的规律。这个三角形被称为帕斯卡三角形，如上图所示。利用公式，我们可以把上图中的符号变成数字，如下图所示，然后寻找其中的规律。本章将对大多数规律做出解释，但你在第一遍阅读时尽可以略过不读，只要了解它有哪些规律即可。
用数字表示的帕斯卡三角形
在用符号表示的帕斯卡三角形中，第0行只有一项，即 = 1。（记住，0! = 1。）在用数字表示的帕斯卡三角形中，由于所有行的第一项和最后一项都是1，因此：
请认真观察第5行：
第5行：1 5 10 10 5 1
注意，第二项是5。一般而言，第n行的第2项是n。这是有道理的，因为这个数字表示从n个对象中选取1个的方案数量，它的值等于n。还请注意，这个三角形的每一行都对称：从左至右看与从右至左看是一样的。例如，第5行中有：
这个规律的一般表达式为：
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有两个方法可以证明这种对称关系。根据公式，我们可以进行代数证明：
但是，无须借助公式，我们也能理解其中的道理。例如，为什么= 呢？数字表示（从10种口味的冰激凌中）选择3种口味的冰激凌放到一个杯子里，这同时意味着有7种口味的冰激凌不会被放到杯子里，两者是一回事。
你也许还看出了另外一个规律：各行中的所有数字，除去开头和结尾的那些1以外，都是其正上方的两个数字之和。我们把这个令人惊讶不已的关系称作“帕斯卡恒等式”（Pascal’s identity）。例如，观察帕斯卡三角形的第9行和第10行：
每个数字都是其正上方的两数之和
这是为什么呢？既然120 = 36 + 84，那么换成计数问题，这个等式就变成以下形式：
为了理解其中的道理，我们先来思考这个问题：如果一家商店出售10种口味的冰激凌，你要买一个包含3种不同口味的圆筒冰激凌（口味的次序不重要），会有多少种选择呢？第一种答案是我们已经知道的：。但是，我们还可以换一个方法解决这个问题。假设其中一种口味是香草味，那么不含香草味的圆筒冰激凌有多少种呢？答案是，因为我们可以在剩下的9种口味中任意选择3种。含有香草味的圆筒冰激凌有多少种呢？如果香草味是必选口味，那么其余两种口味有种可选方案。因此，一共有+种选择。哪个答案是正确的呢？两个方法的逻辑都正确，因此两个答案都正确，也就是说它们的值是相同的。同理（如果你愿意，也可采用代数方法），对于0~n中的任意数k，下列公式都是成立的：
接下来，我们把帕斯卡三角形中各行的数字分别相加（如下图所示），观察其中的规律。
帕斯卡三角形中的各行数字之和都是2的幂次方
可以看出，各行数字之和全部是2的幂次方。具体地说，第n行的数字和是2n。为什么会这样呢？我们可以对这个规律换一种表述方式：第0行的和是1，之后每增加一行，和就会随之增加一倍。借助帕斯卡恒等式（我们刚才已经完成了它的证明），就能明白其中的道理。例如，在求第5行的和时，我们用第4行的数字来改写求和算式，就会得到：
1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1
= 1 + (1 + 4) + (4 + 6) + (6 + 4) + (4 + 1) + 1
= (1 + 1) + (4 + 4) + (6 + 6) + (4 + 4) + (1 + 1)
由此可见，第5行的数字之和正好是第4行数字之和的两倍。同理可证，和加倍的这条规律永远成立。
将其转换成二项式系数的形式，第n行的所有数字之和为：
从各项本身来看，它们都可以表示成阶乘的形式，通常可以被多个不同的数整除，但是各项之和竟然只有一个底数2，这个结果真的令人意想不到。
这条规律还可以通过组合予以解释，我们把这个方法称为组合证明法。我们通过一家出售5种口味冰激凌的商店，来解释第5行的所有数字之和。（第n行的证明过程与之类似。）
口味各不相同的圆筒冰激凌一共有多少种？
如果要求所选冰激凌口味各不相同，一共可以制成多少种圆筒呢？圆筒里可以放入1、2、3、4或5种口味的冰激凌，而且先后次序不重要。有2种口味的冰激凌有多少种？前文中说过，有 = 10种。根据所选口味的数量，圆筒冰激凌的总数为：
化简后是1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1。此外，我们也可以用乘法法则来回答这个问题。我们先不考虑圆筒中有几种口味的冰激凌，而是针对每种口味考虑是否把它放进圆筒里。例如，巧克力味的冰激凌有2种选择（放或不放），香草味有2种选择（放或不放），以这种方式考虑全部5种口味的情况。（注意，如果我们针对每种口味所做的选择都是“不放”，最终得到的将是一个空圆筒，但这个结果是允许出现的。）因此，我们一共可以做出的圆筒冰激凌数量是：
2×2×2×2×2 = 25
由于两种方法都是合乎逻辑的，因此：
证明完毕。
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通过类似的组合证明法可以发现，如果以间隔一个数的方式对第n行求和，得数是2n – 1。对于奇数行而言，这个规律很好理解。以第5行为例，1 + 10 + 5与被排除在外的5 + 10 + 1的得数一样，都等于所有数字之和2n 的1/2。对于偶数行而言，这个规律同样有效。以第4行为例，1 + 6 + 1 = 4 + 4 = 23。一般而言，对于任意的n≥1，都有：
这是为什么呢？等式左边表示圆筒中的冰激凌口味数量是偶数（冰激凌共有n种且口味各不相同）。我们也可以通过在第1至第（n – 1）种口味的冰激凌中做选择的方式配制出这些冰激凌。第1种口味的冰激凌有2个选择（放或不放），第2种口味有2个选择……第（n – 1）种口味有2个选择。但是，要让圆筒中冰激凌的口味数量是偶数，最后一种口味只能有1个选择。因此，冰激凌口味为偶数的圆筒数量是2n – 1。
把帕斯卡三角形转化成直角三角形的形式，就可以发现更多的规律。最前面的一列（第0列）的各项都是1，紧随其后的一列（第1列）都是1、2、3、4等正整数。第2列的前几项是1、3、6、10、15…大家应该比较熟悉，这些都是我们在第1章里讨论过的三角形数。第2列的各个数字也可以写成:
第k列的各项是，， ，…
现在，我们把任意列的前几个数字（可多可少）相加，看看它们的和有什么特点。例如，如果我们把第2列的前5个数字相加，如下图所示：
帕斯卡直角三角形表现出形似“曲棍球球棒”的规律
即1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35，得数正好是15的右下方的那个数字。换句话说：
这是“曲棍球球棒恒等式”的一个实例。这个规律之所以被称作曲棍球球棒恒等式，是因为在帕斯卡直角三角形中，它表现为一个数字从一长列数字的末端伸出的形状，与曲棍球球棒十分相似。为了理解这个规律的成因，我们假设有一支由7人组成的曲棍球球队，每名球员的球衣上都有一个不同的号码，分别是1、2、3、4、5、6、7。我需要挑选其中3名球员去上一堂训练课，一共有多少种选择方案呢？由于次序不重要，因此共有个方案。接下来，我们分几种情况来讨论这个问题。7号球员被选中的方案有多少种？在等效的前提下，这个问题可以变成：7是被选中的3个号码中最大的选择方案有多少种？由于7已经包含在内，另两名球员的选择方案有种。接下来，6是最大号码的选择方案有多少种？在这种情况下，6号是必选的，7号则不能选，因此剩下的2名球员有种选择方案。同理，5号、4号和3号为最大号码的选择方案分别有、、种。由于最大号码只能是3、4、5、6或7，因此我们已经考虑了所有可能的情况，也就是说，选择3名球员的方案共有 + + … +种，与上述等式的左边正好一样。因此，这个证明结果的一般表达式为：
我们利用这个公式，来解决每个圣诞节都可能需要考虑的一个重要问题。歌曲《圣诞12天》中唱道，深深爱着你的人在第1天会送给你1份礼物（1只鹧鸪鸟），在第2天送给你3份礼物（1只鹧鸪鸟和2只斑鸠），在第3天送给你6份礼物（1只鹧鸪鸟、2只斑鸠和3只法国母鸡）……现在的问题是：12天后，你一共收到了多少份礼物？
12天后，爱你的人一共送给你多少份圣诞礼物？
在圣诞假期的第n天，你收到的礼物总数是：
（利用三角形数的公式和k = 1时的曲棍球球棒恒等式可以得出上述结果。）因此，第1天你会收到 = 1份礼物，第2天你会收到 = 3份礼物，到了第12天，你会收到份礼物。利用曲棍球球棒恒等式，你收到的礼物总数是：
因此，如果你准备在明年把这些礼物分批送给自己，就意味着你每天都可以收到一件礼物（别忘了，生日那天你不需要给自己送礼物）！
给大家送上一首喜庆的歌——《圣诞假期的第n天》，庆祝这道题得出了美妙的答案。
圣诞假期的第n天，我的真爱送给我
n个新奇的小玩意儿
n – 1个好玩的东西
n – 2个有意思的礼物
……
数一数
n天以来
我一共收到多少份礼物？
正好是份。
接下来，我们讨论帕斯卡三角形的一个最奇怪的规律。我们把帕斯卡三角形里的奇数圈起来，仔细观察就会发现大三角形里还有小三角形。
圈出帕斯卡三角形里的奇数
接下来，我们画一个更大的16行帕斯卡三角形，并把其中的奇数换成1，偶数换成0。仔细观察，就会发现每一对0和每一对1下面都是0。由此可见，两个偶数相加或者两个奇数相加，它们的和都是偶数。
更大的帕斯卡三角形里的奇数
再接下来是一个更大的帕斯卡三角形。在这个256行的帕斯卡三角形里，所有奇数都构成了黑色三角形，所有偶数都构成了白色三角形。
帕斯卡三角形与谢尔宾斯基三角形的“邂逅”
上幅图是谢尔宾斯基三角形（分形的一种）的近似图形。谢尔宾斯基三角形是隐藏在帕斯卡三角形中的众多宝藏之一。再给大家一个惊喜。帕斯卡三角形中，每行有多少个奇数？观察第1行至第8行（不含第0行），我们发现奇数的个数分别是2、2、4、2、4、4、8、2。尽管这些数都是2的幂次方，但似乎没有明显的规律。事实上，2的幂次方是一个重要的特点。例如，正好有2个奇数的行是第1、2、4、8行，这些数都是2的幂次方。为了找到一般性规律，我们需要利用一个事实：每个大于或等于0的整数都可以表示成2的幂次方之和的形式。例如：
1 = 1
2 = 2
3 = 2 + 1
4 = 4
5 = 4 + 1
6 = 4 + 2
7 = 4 + 2 + 1
8 = 8
第1、2、4、8（这些数字都是一个2的幂次方）行有2个奇数，第3、5、6（这些数字都是两个2的幂次方之和）行有4个奇数，第7（3个2的幂次方之和）行有8个奇数。下面，给大家介绍一个令人吃惊但是非常美丽的法则。如果n是p个2的幂次方之和，那么第n行中奇数的个数就是2p。例如，第83行有多少个奇数呢？由于83 = 64 + 16 + 2 + 1，即4个2的幂次方之和，因此第83行有24 = 16个奇数！
延伸阅读
为了满足大家的好奇心，我告诉大家一个事实（但在这里就不提供证明过程了）：
k = 64a + 16b + 2c + d
只要a、b、c、d等于0或1，就是奇数。具体来说，k的值肯定是下面这些数字中的一个：
0，1，2，3，16，17，18，19，64，65，66，69，80，81，82，83
在本章结束之前，我再给大家介绍最后一个规律。我们已经知道帕斯卡三角形各行之和的规律（2的幂次方）和各列之和的规律（曲棍球球棒），如果沿对角线方向求和呢？
帕斯卡三角形与斐波那契数列的“邂逅”
如上图所示，沿对角线方向求和时，我们得到的和是：
1，1，2，3，5，8，13，21，34
这些数字就是我们下一章将要讨论的内容：奇妙的斐波那契数列。
