盒子外面的i和e
最美数学公式
数学和科学杂志经常通过读者调查的方式，评选出最美的数学公式。结果，名列榜首的无一例外是莱昂哈德·欧拉提出的“欧拉公式”：
eiπ + 1 = 0
有人把它称作“上帝的公式”，因为组成这个公式的可能是数学领域最重要的5个数字：0和1是算术的基础，π是三角学中最重要的数字，e是微积分中最重要的数字，i可能是代数中最重要的数字。而且，这个概念运用了加法、乘法和幂次方等基本运算。我们对0、1和π已经不陌生了，但还需要通过本章的学习，掌握无理数e和虚数i的概念。希望大家读完本章的内容之后，可以熟练地掌握这个公式的含义，认为它跟1 + 1 = 2一样简单（至少不会觉得它比cos 180°= –1更难理解）。
延伸阅读
在这里，我把有资格竞选“最美公式”的其他数学公式介绍给大家。这些公式大多会出现在本书中，有的我们在前文中已经讨论过了，有的则会出现在本书的后续章节中。下面的第一和第二个公式的提出者也是欧拉。
1．在任意多面体（由平面、直线和顶点组成的立体图形）中，其顶点数V、棱数E和面数F满足：
V – E + F = 2
例如，立方体有8个顶点、12条棱和6个面，满足V – E + F = 8 –12 + 6 = 2。
2．1 + 1 / 4 + 1 / 9 + 1 / 16 + 1 / 25 + … = π2 / 6
3．1 + 1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 4 + 1 / 5 + …= ∞
4．0.999 99…= 1
5．计算n!近似值的斯特林公式：
6．确定斐波那契数列的第n个数字的比内公式：
虚数i是-1的平方根
虚数i非常神秘，原因在于：
i2 = – 1
第一次听说这个数字的神奇属性时，人们往往认为这是不可能的。一个数字自乘之后，积竟然为负数，这怎么可能呢？所有人都知道，02 = 0，负数与自身的乘积必然是正数。但是，不要急于否定，想一想，你是不是也曾认为负数是不可能存在的（在几百年的时间里，数学界几乎都是这样认为的）？比0还小是什么意思？比没有还少，这怎么可能呢？最后，你把数字看成实数线（real line）上的“住户”，如下图所示，正数居住在0的右边，负数居住在0的左边。在理解i的含义时，我们也要跳出思维的“盒子”（或者说摆脱实数线的束缚）。只有这样，我们才会发现i具有实实在在的意义。
实数线上没有虚数，虚数到底躲在哪里呢？
我们把i称为虚数。如果一个数字的平方是负数，我们就说这个数字是虚数。例如，虚数2i 满足 (2i) (2i) = 4i2 = – 4。对于虚数而言，代数运算的规则不变。例如：
3i + 2i = 5i，3i – 2i = 1i = i，2i – 3i = –1i = –i，
再例如：
3i×2i = 6i2 = – 6，= 3/2
顺便告诉大家，我们要注意一个问题：–i的平方也是–1，因为 (–i) (–i) = i2 = –1。实数与虚数相乘，会得到我们预期的结果，例如，3×2i = 6i。
实数与虚数相加时，会有什么结果呢？例如，3加4i的和是多少？答案就是：3 + 4i。这个答案没有办法进一步化简（就像1 +没有办法化简一样）。a + bi这种形式的数字（其中a、b是实数）叫作“复数”（complex numbers）。注意，实数与虚数可被视为复数的特例（分别是b = 0和a = 0时的情况）。也就是说，实数π和虚数7i都是复数。
接下来，我们举几个运算过程比较复杂（但不是特别复杂）的例子。先来看加减运算：
(3 + 4i) + (2 + 5i) = 5 + 9i
(3 + 4i) – (2 + 5i) = 1 – i
