(3 + 4i) (2 + 5i) = 6 + 15i + 8i + 20i2
= (6 – 20) + (15 + 8)i
= –14 + 23i
有了复数之后，所有的二次多项式 ax2 + bx + c 都有两个根（或者一个重根）。根据二次方程求根公式，在
时，二次多项式等于0。我们在第2章说过，如果二次根号下的数字为负数，那么二次多项式没有实根。但是现在，负数的平方根已经不再是一个问题了。例如，方程式 x2 + 2x + 5的根为：
顺便说一句，当a、b或c为复数时，二次方程求根公式仍然成立。
二次多项式至少有一个根，尽管有时候它的根是复根。下面这条定理指出，几乎所有多项式都具有这个特点。
定理（代数基本定理）：任何一次或多次多项式 p (x) 在 p (z) = 0时都有根z。
注意，一次多项式3x – 6可以分解成3 (x – 2）的形式，其中2是3x – 6的唯一根。一般地，如果 a ≠ 0，多项式 ax – b 就可以分解成 a [ x – ( b / a)] 的形式，其中 b / a 是ax – b 的根。
同样，所有的二次多项式ax2 + bx + c 都可以分解成 a (x – z1 ) (x – z2) 的形式，其中 z1和z2是二次多项式的根（可能是复根，也可能是重根）。代数基本定理描述的这个规律适用于任意次的多项式。
推论：所有n H 1的多项式都可以分解成 n 个部分。具体来说，如果 p(x) 是 n 次多项式，且a ≠ 0，那么必然存在 n 个数 z1，z2，… ，zn，满足 p(x) = a (x – z1) (x – z2) …(x – zn)。数字zi是 p(zi) = 0时多项式的根。
这条推论的意思是，所有n H 1的多项式都至少有一个、至多有n个不同的根。例如，多项式 x4 – 16是四次多项式，可以分解成：
x4 – 16 = (x2 –4) (x2 + 4) = (x – 2) (x + 2) (x – 2i) (x + 2i)
它有4个不同的根，即2、–2、2i和–2i。多项式3x3 + 9x2 –12的次数是3，但它的因式分解的结果为：
3x3 + 9x2 – 12 = 3 (x2 + 4x + 4) (x – 1) = 3 (x + 2)2 (x – 1)
因此，它只有两个不同的根，即 –2和1。
复数的加减乘除运算
利用“复平面”（complex plane），可以将复数表示成图像的形式。复平面与代数中的 (x, y) 平面非常相似，不过y轴被虚轴代替，上面有0、±i、±2i等数字，如下图所示。
复平面上的点
我在前文中说过，复数的加法、减法和乘法运算都非常简单。我们还可以把复数看作复平面上的点，然后进行几何运算。
例如，我们以下面这道加法题为例：
( 3 + 2i ) + (–1 + i ) = 2 + 3i
从下图可以看出，以点0、3 + 2i、2 + 3i和–1 + i为顶点的四边形是一个平行四边形。
通常，我们在用几何方法进行复数z、w的加法运算时，可以如上图所示，通过画平行四边形的方式达到我们的目的。在进行 z – w 的减法运算时，可以如下图所示先画出点 – w，再进行点z与点–w 的加法运算。
用画平行四边形的方式完成复数的加法与减法运算
在用几何方法进行复数的乘法和除法运算时，首先需要确定它们的大小。我们把原点与点z之间线段的长度定义为复数 z 的“模”，记作| z |。具体来说，如果 z = a + bi，那么根据勾股定理：
| z | =
如下图所示，点3 + 2i的模为。注意，3 + 2i对应的角θ满足tanθ = 2/3。也就是说，θ = tan–1 2/3 ≈ 33.7°，约为0.588弧度。
复数 z = 3 + 2i 的模为 |z| = ，角θ的正切函数tanθ = 2/3
如果在复平面上画出模为1的所有点，如下图所示，就会得到一个单位圆。圆上的复数与角θ之间有什么关系呢？我们在第9章讨论过，笛卡儿平面上的这个点被记作 (cosθ, sinθ)。在复平面上，这个点变成cosθ + isinθ。同理，所有模为R的复数都可以写成：
z = R (cosθ + i sinθ)
我们把它称作复数的“极坐标形式”。也许现在告诉你为时尚早，但是到了本章结尾，你就会知道它还等于 Reiθ。（这算不算欧拉公式的“剧透”呢？）
复平面上的单位圆
令人意想不到的是，复数可以进行乘法运算，模也可以进行乘法运算。
定理：如果z1、z2是复数，那么| z1z2 | = | z1 | | z2 |。换言之，乘积的模就是模的乘积。
延伸阅读
证明：令z1 = a + bi，z2 = c + di，则| z1 | = ，| z2 | = 。因此：
例如：
积对应的角是多少呢？复数 z 与x轴正方向构成的角常被记作arg z。例如，我们在前面计算过arg (3 + 2i) = 0.588弧度。同理，由于1 – 3i 位于第四象限，其对应的角θ满足tanθ = –3，因此arg (1– 3i) = arc tan (–3) = –71.56°= –1.249弧度。
请注意，(3 + 2i ) (1 – 3i ) = 9 – 7i 对应的角为arc tan (–7/9) = –37.87°= –0.661弧度，恰好等于0.588 + (–1.249)。但是，下面这条定理告诉我们，这其实并不是巧合！
定理：如果z1、z2是复数，那么arg (z1 z2 ) = arg ( z1 ) + arg ( z2 )。换言之，积的角就是角的和。延伸阅读中给出的证明需要用到上一章的三角恒等式。
延伸阅读
证明：令复数z1、z2的模分别是R1和R2，对应的角分别是θ1和θ2，则z1、z2的极坐标形式分别是：
z1 = R1(cosθ1 + i sinθ1) z2 = R2 (cosθ2 + i sinθ2 )
因此：
z1z2 = R1(cosθ1 + i sinθ1 ) R2(cosθ2 + i sinθ2)
= R1R2[ cosθ1 cosθ2 – sinθ1sinθ2 + i(sinθ1cosθ2 + sinθ2 cosθ1)]
= R1R2 [cos (θ1 + θ2) + isin(θ1 + θ2)]
在运算过程中，我们利用了上一章的cos (A + B) 和sin (A + B) 这两个三角恒等式。从上面的证明可以看出，z1z2的模是R1R2（前面已经证明过），角是θ1 + θ2。证明完毕。 □
总之，复数相乘时，两数的模相乘，两数对应的角相加。例如，如果乘数是i，则模保持不变，角增加90°。注意，如果相乘的两个数字是实数，则正数的角为0°（或者说360°），负数的角为180°。两个180°的角相加，和为360°，这表明两个负数的乘积是正数。虚数的角为90°和–90°（或者270°）。因此，虚数自乘时，角必然是180°[因为90°+ 90°= 180°，或–90°+ （–90°） = –180°，–180°与180°没有任何不同]，乘积是负数。最后，请大家注意，如果z 的角为θ，那么1 / z的角就必然是 –θ。（为什么呢？因为 z×1/z = 1，所以z 与 1 / z 对应的角相加必然等于0°。）因此，复数进行除法运算时，只需对模进行除法运算，对角进行减法运算。也就是说，z1/z2的模是R1 / R2，角是θ1 – θ2。
e、复利与里氏震级
如果你有科学计算器，请做一做下面这个实验。
1．在计算器里输入一个你熟悉的七位数（可以是电话号码、证件号码，也可以将你喜欢的某个一位数字连续输入7次）。
2．取这个数字的倒数（按下计算器的“1 / x”键）。
3．将得到的结果加上1。
4．对得数进行幂运算，指数为最初的那个七位数（按下“xy”键，然后输入最初的那个七位数，再按下等号键）。
最终得数的前几位是不是2.718？如果得数的前几位与无理数e = 2.718 281 828 459 045…一致，我不会感到奇怪。
这个神秘数字e到底有什么特殊之处？它为什么非常重要？在上面的小实验里，你实际上是在计算(1 + 1 / n ) n的值，且n是一个比较大的数字。如果n不断增大，得数又会发生什么变化呢？一方面，随着n不断增大，数字 (1 + 1 / n) 将会越来越接近1。当1为底数时，无论指数是多少，幂运算的结果都是1。因此，有理由相信，对于大数n，(1 + 1 /n)n的值约等于1。例如，(1.001)100 ≈ 1.105。
另一方面，即使n非常大，(1 + 1 / n ) 仍然略大于1。如果底数是一个大于1的值，随着指数不断增大，得数将变成一个任意大的值。例如，(1.001)10 000 的结果就大于20 000。
问题是，在指数n增大的同时，底数 (1 + 1 / n) 正在减小。在1与无穷大的相持过程中，答案会逐渐接近于e = 2.718 28…。例如，(1.001)1 000 ≈ 2.717。下表列出了函数 (1 + 1 / n )n在n取较大值时的结果。
我们把e定义为(1 + 1 / n)n在n不断增大时逐渐接近的数字。数学界把它称作当n趋于无穷大时(1 + 1 / n)n的极限值，记作：
e = (1 + 1/ n)n
如果用x / n 替代1 / n，其中x为任意实数，那么随着 n / x不断增大，(1 + x / n)n/x这个数字将会不断接近e。两边同时求x次幂[你还记得这个公式吧：(ab )c = abc ]，就会得到所谓的“指数公式”（exponential formula）：
(1 + x / n)n = ex
指数公式有很多非常“有利可图”的应用。假设你的储蓄账户里有10 000美元，年利率为0.06。如果每年结算一次利息，那么截至第一年年底，你的账户里将会有10 000 ×1.06 = 10 600美元。截至第二年年底，你账户里的钱又会变成10 000 ×(1.06)2 = 11 236美元。截至第三年年底，你的账户里有10 000 ×(1.06)3 = 11 910.16美元。以此类推，到第t年年底，你的存款将会变成10 000 ×(1.06)t美元。一般来说，如果我们用利率r来替代6%，一开始时的本金是P美元，那么截至第t年年底，你的存款将会变成P(1 + r ) t美元。
现在，我们假设6%的利率是按半年复利的形式计算的，也就是说每6个月可得到3%的利息。那么，到第一年年底，你的存款为10 000× (1.03)2 = 10 609美元，比年复利时的10 600美元多一点儿。如果是季度复利，那么每年可以结算4次利息，利率为1.5%，一年后的账户金额为10 000 ×(1.015)4 = 10 613.63美元。一般而言，如果每年结算利息n次，那么一年后的金额是：
10 000美元×（1+）n美元
当n取非常大的值时，就叫作连续复利。如下表所示，根据指数公式，一年后的金额就会变成：
10 000 （1+）n =10 000e0.06 = 10 618.36美元
一般而言，如果你最初的本金是P美元，利率为r，以连续复利的方式结算利息，那么t年后，你的存款金额A就可以用下面这个美丽的公式计算出来：
A = Pert
从下图可以看出，函数 y = ex 增长得非常快。同时，我还给出了e2x 和e0.06x 的图像。我们说，这些函数呈“指数增长”。函数 y = e–x 的图像趋近0的速度非常快，呈“指数衰减”。
一些指数函数
5x的图像有什么特点呢？由于e < 5 < e2，因此5x 的图像肯定位于ex 和e2x 的图像之间。事实的确如此，因为e1.609…= 5，因此5x ≈ e1.609x。一般情况下，只要我们找到指数k，使 a = ek，函数 ax 就可以表示成指数函数ekx 的形式。我们如何才能找到k呢？答案是利用“对数”（logarithms）。
就像平方根是平方的反函数（这两个函数相互抵消），对数是指数函数的反函数。最常见的对数是以10为底的对数，记作log x。我们说,如果10y = x，那么 y = log x，或者10log x = x。
例如，由于102 = 100，因此log 100 = 2。下面是常用对数表。
对数的用途很多，其中之一是可以将大数转化成我们容易理解的小数。例如，里氏震级利用对数将地震的大小分为1~10级。对数还可以用来测量声音的强度（分贝）、化学溶液的酸碱度（pH值），以及通过谷歌的PageRank算法来评估网页的受欢迎程度。
Log 512是多少呢？利用科学计算器就可以算出log 512 = 2.709…（大多数的搜索引擎也可以胜任这项工作）。这个得数很容易理解，因为512位于102 和103之间，它的对数肯定在2和3之间。对数的目的就是将乘法问题转化为简单的加法问题，它依据的是下面这条定理。
定理：对于任意正数x和y，都有：
log xy = log x + log y
换句话说，积的对数就是对数的和。
证明：利用指数法则，很容易就能证明这条定理。因为：
10log x + log y = 10log x 10log y = xy = 10log xy
所以，10的log x + log y 次幂等于xy。证明完毕。 □
“指数规则”是另一个有用的特性。
定理：对于任意正数x和y，都有：
log xn = n log x
证明：根据指数法则，abc = ( a b )c。因此：
10n logx = (10log x)n = xn
也就是说，xn的对数等于n log x。 □
尽管以10为底的对数在化学和物理科学（如地质学）中的应用非常广泛，但是它本身并没有什么特别之处。在计算机科学与离散数学中，以2为底的对数受欢迎的程度更高。对于任意 b > 0，以b为底的对数logb 都要遵循下面这条规则：
如果 by = x，那么y = logb x
例如，log2 32 = 5，因为25 = 32。底为任意数字b时，前面讨论的对数属性都成立。例如：
blogbx = x logbxy = logb x + logb y logbxn = n logb x
不过，在数学、物理学和工程学的大多数领域里，应用最广泛的还是以e为底的对数。这种对数叫作“自然对数”（natural logarithm），记作ln x。也就是说：
如果ey = x，那么 y = ln x
或者说，对于任意实数x：
ln ex = x
例如，利用计算器就可以算出ln 5 = 1.609…，我们在前文中也算出e1.609 ≈ 5。在本书第11章，我们将更深入地讨论自然对数。
延伸阅读
所有科学计算器都可以计算自然对数和以10为底的对数值，但是大多数计算器对其他对数却无能为力。不过，大家不用着急，因为我们可以很轻松地改变对数的底。如果知道某个对数的值，基本上也就知道了所有不同底的对数的值。具体来说，我们可以利用下面这个规则，依据以10为底的对数值得出以b为底的对数值。
定理：对于任意正数x和y，都有：
logbx =
证明：令 y = logb x，则 by = x。两边取对数，即log by = log x。根据指数规则，我们可以得出 y log b = log x。也就是说，y =(log x) / (log b)。证明完毕。 □
例如，对于任意x > 0，都有：
ln x = (log x) / (log e) = (log x) / (0.434…) ≈ 2.30 log x
log2 x = (log x) / (log 2) = (log x) / (0.301…) ≈ 3.32 log x
e与彩票的中奖概率
同数字π一样，数字e在数学领域的应用也极其广泛，经常会出现在我们意料不到的地方。例如，我们在第8章见过的钟形曲线，它的公式为：
y =
它的图像（如下图所示）可能是统计学中最重要的图像。
钟形曲线的公式为
