在第11章，我们将发现e与阶乘之间有着极为重要的联系，我们也将证明ex是无穷级数：
ex = 1 +++++ …
具体来说，当 x = 1时，从上述公式可以得到：
e = 1 +1 +++ …
据此我们可以迅速算出e的数值。
顺便告诉大家，e的小数点后的几位数出现了循环现象：
e = 2.718 281 828…
我的中学老师说：“2.7安德鲁·杰克逊，安德鲁·杰克逊。”这是因为安德鲁·杰克逊于1828年当选美国第7任总统。（我的记忆方法则正好相反，我是利用e的数值来记忆安德鲁·杰克逊当选美国总统的年份的。）你也许认为e是一个有理数，如果1828这几个数字一直循环，那么e确实是有理数，但真实情况并非如此。之后的6个数字是 …459 045…。对于这几个数字，我是借助等腰直角三角形的内角度数来记忆的。
你也许根本想不到，e还会出现在很多概率问题中。例如，假设你每周都会买彩票，中奖概率是1%。如果你连续100周买彩票，那么至少有一次中奖的概率是多少？每周中奖的概率是1/100 = 0.01，没中奖的概率是99/100 = 0.99。由于每周的中奖概率与之前的情况无关，因此，连续100周都没有中奖的概率是：
(0.99)100 ≈ 0.366 0
这个数字非常接近1 / e ≈ 0.367 879 4…，这个结果并不是巧合。大家不妨回想一下我们第一次接触ex 时谈及的指数公式：
如果令 x = –1，那么对于任意大数n，都有：
当n = 100时，(0.99)100 ≈ 1 / e，与前面的结果一致。因此，中奖概率约为1 – (1 / e) ≈ 64%。
我最喜欢的一个概率问题叫作“匹配问题”（亦称“帽子保管问题”或“错排问题”）。假设有n份作业要发给n个同学，但是老师比较懒惰，给每名学生随机发了一份作业（这份作业可能是这名学生的，也可能是班上其他同学的）。所有学生都没有拿到自己作业的概率是多少？或者说，如果数字1~n被随机打乱，所有数字都不在它原来位置上的概率是多少？例如，如果 n = 3，那么数字1、2、3有3! = 6种排列方式，所有数字都不在原来位置上的情况有两种，即231和312。也就是说，当 n = 3时，错排的概率是2 / 6 = 1 / 3。
发n份作业共有n! 种发作业方式。令 Dn 表示错排的种数，那么所有人都没有拿到自己作业的概率是 pn = Dn / n!。例如，如果 n = 4，就会有9种错排方式：
2143 2341 2413 3142 3412 3421 4123 4312 4321
如下表所示，p4 = D4 / 4! = 9 / 24 = 0.375。
随着n不断增大，pn 逐渐向1 / e靠拢。这个现象有一个令人吃惊的意义，即无论这个班上有10名、100名还是100万名学生，所有人都没有拿到自己作业的概率也不会发生太大变化，都与1 / e非常接近。
为什么呢？因为在有n名学生时，每名学生拿回自己作业的概率是1 / n，拿到其他人作业的概率是1 – (1 / n)。也就是说，n名学生都拿不到自己作业的概率为：
这个概率是一个近似值，原因在于它不是独立事件，与彩票的中奖概率问题不同。如果第一个学生拿到的是自己的作业，那么第二个学生拿回自己作业的概率就会略有增加。[概率不再是1 / n，而是1 / (n –1)。]同样，如果第一个学生拿到的不是自己的作业，那么第二个学生拿回自己作业的概率就会略微减小。不过，由于概率变化的幅度不大，因此逼近效果很明显。
计算概率 pn 的精确值需要使用ex 的无穷级数展开式：
把 x = –1代入方程式，就会得到：
可以证明，如果有n名学生，所有人都没有拿到自己作业的确切概率是：
例如，如果有 n = 4名学生，那么pn = 1 –1 + 1/2 – 1/6 + 1/24 = 9/24，这同前面的证明结果一致。pn 向1 / e逼近的速度非常快，两者之间的距离小于1 / (n + 1)!。也就是说，p4 与1 / e的距离小于1 / 5! = 0.008 3；p10 与1 / e的前7位数字都相同；p100 与1 / e相同的数字超过150个！
延伸阅读
定理：数字e是无理数。
证明：假设e不是无理数，而是有理数，就存在正整数m、n，满足e = m / n。接下来，用整数 n 将e的无穷级数展开式分成两个部分L和R，即e = L + R，其中：
注意，n! e = en (n – 1)! = m (n – 1)! 肯定是一个整数[因为 m 和 (n– 1)! 都是整数]，n! L 也是一个整数（因为只要 k G n，n! / k! 就一定是一个整数）。也就是说，n! R = n! e – n! L 是两个整数的差，因此，它肯定是整数。但这个结果是不可能的，因为当n H1时：
由于不存在小于1的正整数，所以 n! R 不可能是整数。也就是说，假设e = m / n会导致自相矛盾的结果，从而证明e是无理数。 □
完美至极的欧拉公式
数字e的研究与推广得益于伟大的数学家莱昂哈德·欧拉，也是由欧拉来命名的。有人认为，欧拉之所以选择用字母e来表示这个数字，是因为这是他姓氏的首字母。尽管大多数数学史研究者都不同意这个说法，但还是有很多人把e称为欧拉数字。
我们已经介绍了函数ex、cos x和sin x 的无穷级数展开式，并将在下一章解释这些无穷级数的由来。在这里，我先对这些无穷级数做一个归总：
这些公式在x为任意实数时均成立，但是欧拉勇于打破常规：如果令x为虚数，结果会怎么样？一个数的虚数次幂意味着什么？他的脑洞大开为我们带来了完美的“欧拉定理”。
定理（欧拉定理）：对于任意角θ（单位为弧度），都有：
eiθ = cosθ + isinθ
证明：为了证明上式成立，我们将 x = iθ代入ex 的无穷级数展开式中：
请大家观察i的不同次幂的特点：i0 = 1，i1 = i，i2 = –1，i3 = –i（因为i3 = i2 i = –i）。随后出现了重复现象：i4 = 1，i5 = i，i6 = –1，i7 = –i，i8 = 1，以此类推。具体来说，我们可以看出在 i 的不同次幂中，实数与虚数交替出现。因此，我们可以通过下面的代数运算，消去偶数项中的i。
至此，我们就可以证明本章开头介绍的“上帝的公式”了。令θ= π弧度（或180°），就有：
eiπ = cosπ + i sinπ = –1 + i (0) = –1
但是，欧拉定理并没有就此止步。我们在前面已经见过cosθ+ i sinθ这个表达式，它是复平面单位圆上的一个点，与x轴正方向的夹角为θ。如下图所示，欧拉定理指出，我们可以用一个非常简单的方式来表示这个点。
欧拉定理指出，单位圆上的所有点都可以表示成eiθ的形式
惊喜还没有结束！欧拉定理指出，复平面上的所有点都与单位圆上的点成比例关系。具体来说，如果复数 z 的模为R，角为θ，那么这个点就是单位圆上对应点的R倍，即：
z = R eiθ
因此，如果复平面上有两个点z1 = R1eiθ1和z2 = R2eiθ2，那么根据指数法则（含有复数），我们可以得到：
z1z2 = R1eiθ1 R2eiθ2 = R1R2ei (θ1+θ2)
上述结果表示的是一个模为R1R2、角为θ1+θ2 的复数，我们再一次证明了复数的乘法运算法则：模相乘，角相加。我们在前文中证明这个定理的时候，用的是代数运算和三角恒等式，证明过程大约有一页纸的篇幅。现在，我们在用欧拉定理证明这个法则时，证明过程只有短短的一行字，因为我们有了e这个数字！
最后，我要仿照乔伊斯·基尔默（Joyce Kilmer）的诗作《树》，为我们拥有这个极其重要的数字赋诗一首。同时，我希望乔伊斯·基尔默不要介意我这样做。
我想我永远不会看到
比e更受人喜爱的数字。
这个数字永远写不完，
它是2.718 28…
它有如此神奇的特性，
深受人们喜爱（老师们更是额手称庆）。
e为我们创造了诸多便利条件
整数处理起来变得非常容易，
定理可以由像我这样的傻瓜来证明，
但e只能由欧拉来命名。
