比宇宙还大的无穷大
神秘莫测的无穷大
我把无穷大这个概念放到最后讲，并不是说这个概念不重要。在第1章开始数学世界的探索之旅时，我们研究了1~100的求和问题：
1 + 2 + 3 + 4 + … + 100 = 5 050
最后，我们得出了1~ n的求和公式：
1 + 2 + 3 + … + n =
还得出了有限个数字的其他求和公式。本章将探究无穷级数求和问题，例如：
1 + + + + + …
我来告诉大家，上面这道题的答案是2。而且，2不是近似答案，而是确切得数。有的无穷级数求和非常有意思，例如：
1 – + – + – + … =
有的无穷级数求和则无法给出确切答案，例如：
1 + + + + + + …
我们把所有正数的和定义为“无穷大”，记作:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = ∞
它的意思是，这个和将不断增加，没有上限。换句话说，这个和最终将超过你能想到的所有数字： 100、100万、1015，或者其他大数。不过，在本章结尾部分，我们将看到有人可以证明：
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … =
你是不是觉得很奇怪？我希望如此！一旦走进无穷大这个光怪陆离的领域，你就会发现各种各样稀奇古怪的现象。数学之所以引人入胜、充满乐趣，这也是其中一个原因。
无穷大是不是一个数字呢？尽管我们有时候把它当作一个数字，但实际上它并不是数字。粗略地说，数学界可能会这样理解无穷大的概念：
∞+ 1 =∞ ∞+∞ =∞ 5×∞= ∞ = 0
从技术上讲，最大的数字是不存在的，因为我们总是可以加上1，得到一个更大的数字。从本质上讲，∞这个符号的意思是“任意大”，或者说大于所有正数。同理，–∞的意思是这个数字比所有负数都小。顺便告诉大家，∞–∞（无穷大减去无穷大）和1/0都无解。大家可能会认为1/0 =∞，因为1被越来越小的数除，商应该越来越大。但是，如果我们用越来越接近0的负数去除1，商就会朝着负数的方向渐行渐远。
等比数列和喝啤酒的数学家
先来思考一个数学界普遍认可，但大多数人第一眼见到时都觉得不正确的命题：
0.999 99… = 1
所有人都承认这两个数字非常接近，也可以说是无比接近，但很多人仍然认为不应该把它们视为同一个数。下面，我将提供不同的证据，证明这两个数字其实相等。我希望其中至少有一个解释可以让你感到满意。
如果大家认为下面这个等式成立
= 0.333 33…
那么，最简便的证明方法可能就是在上式两边同时乘以3，然后得到：
1 = = 0.999 99…
第二种证明方法是本书第6章用过的循环小数计算方法。我们用变量w来表示无穷小数展开式：
w = 0.999 99…
在等式两边同时乘以10，就会得到：
10w = 9.999 99…
再用第二个等式减去第一个等式：
9w = 9.000 00…
由此得到：w = 1。
下面这种证明方法无须使用任何代数运算。如果两个数字不相等，那么它们中间必然存在一个不等于它们的数字（例如平均数）。大家对于这句话应该没有异议吧？我们采用反证法，假设0.999 99…与1是两个不相等的数字。在这种情况下，它们中间是否存在其他数字呢？如果无法找到这样的数字，就说明0.999 99…与1不可能是两个不相等的数字。
如果两个数字或者两个无穷和彼此之间无限接近，我们就说这两个数字或无穷和相等。换句话说，你随便选一个正数，比如0.01、0.000 000 1或者十亿分之一，这两个数字之间的差都比你选的这个数字小。由于1和0.999 99…的差小于任意正数，因此数学界一致认为这两个数字是相等的。
同理，我们可以算出下面这个无穷级数的和：
1 + + + + + …= 2
我们用一个具体的方式来解释这个和。假设你朝着2米外的一堵墙壁走过去，第一步正好是1米，第二步是0.5米，然后是1/4米、1/8米，以此类推。每走一步，你与墙壁之间的距离就缩短1/2。不考虑在实际情况下步幅下限的问题，最后你如愿以偿地无限接近那堵墙。也就是说，所有步幅的总和正好等于2米。
如下图所示，我们还可以用几何方法来表示这个和。假设我们有一个1×2的矩形，面积为2。然后，我们将它切去1/2，再切去1/2，就这样不停地切下去。第一次切完后矩形的面积是1，接下来依次是1/2、1/4……随着n趋于无穷大，这些切掉的部分就会组成整个矩形，因此它们的总面积为2。
1 + + + + + …= 2的几何证明法
下面再介绍一种基于代数运算的解释方法。观察下表给出的“部分和”（partial sums）公式。
表中给出的部分和似乎表明，对于n H 0，有：
1 + + + … + = 2 –
我们可以通过归纳性证明法（参见本书第6章）验证上述结论，也可以把它视为下面给出的有穷等比数列求和公式的一个特例。
定理（有穷等比数列）：对于x ≠ 1且n H 0，有：
1 + x + x2 + x3 + … + xn =
证明方法1：这条定理可以按照以下方式，利用归纳性证明法来验证。当n = 0时，该公式可以简化为1 =，这个等式毫无疑问是成立的。现在，我们假设当n = k时公式成立，就有：
1 + x + x2 + x3 + … + xk =
当 n = k + 1时，即在上式左右两边同时加上 xk+1，就会得到：
1 + x + x2 + x3 + … + xk + xk+1 = + xk+1
= +
=
=
也就是说，当 n = k + 1时，公式仍然成立。证明完毕。 □
或者，我们也可以采用下面这种代数证明法。
证明方法2：令
S = 1 + x + x2 + x3 + … + xn
两边同时乘以x，就会得到：
xS = x + x2 + x3 + … + xn + xn+1
用第一个等式减去第二个等式，可以消去很多项，得到：
S – xS = 1 – xn+1
也就是说，S (1– x) = 1 – xn+1，即S =。
请大家注意，当 x = 1/2时，有穷等比数列的和与我们前文中发现的规律一致：
当n不断增大时，(1/2)n将会趋近于0。因此，当n → ∞时，就有：
延伸阅读
跟大家讲一个只有数学界人士才会觉得有趣的笑话。一大群数学家走进一间酒吧。第一个人说：“我要一杯啤酒。”第二个人说：“我要半杯啤酒。”第三个人说：“我要1/4杯啤酒。”第四个人说：“我要1/8杯啤酒。”酒吧招待一边给他们递来两杯啤酒，一边大声说道：“我知道你们的极限！”
一般地，对于任意一个–1~1之间的数字而言，如果不断增加它的幂，它就会越来越趋近0。由此，我们便有了非常重要的（无穷）等比数列。
定理（等比数列）：对于 –1 < x < 1，有：
1 + x + x2 + x3 + x4 + … =
令 x = 1/2，就可以用等比数列解决上面的最后一个问题：
1 + + + + + … = = 2
等比数列看上去是不是有些眼熟？这是因为在上一章的结尾部分，我们曾用微积分证明函数 y = 1/(1– x)等于泰勒级数1 + x + x2 + x3 +x4 + …
利用等比数列，还可以得出什么结果？请大家思考下面这个求和问题：
+ + + + …
从各项中分别提取1/4，上式就会变成：
(1 + + + + …)
根据等比数列公式（令x = 1/4），上式可以简化为：
() =× =
这个级数有一个无须只言片语并且充满美感的证明方法（如下图所示）。注意，图中黑色方块正好占大方块面积的1/3。
无须任何语言即可证明1/4 + 1/16 +1/64 + 1/256 + …= 1/3
我们甚至还可以用等比数列来解决0.999 99…问题，这是因为无穷小数展开式其实就是伪装后的无穷级数。具体来说，我们可以用x = 1/10的等比数列加以证明：
即使x为复数，只要它的模小于1，等比数列公式同样成立。例如，虚数i/2的模为1/2，根据等比级数公式，我们可以得到：
展现在复平面上的情况如下图所示。
有穷等比数列公式成立的条件是x ≠ 1，而（无穷）等比数列则要求 |x| < 1。例如，当 x = 2时，有穷等比数列的和为：
但是，将 x = 2代入等比数列公式，却会得到：
这个结果荒谬可笑。（不过，我们的眼睛有时也会欺骗我们。在本章的最后一节，我们就会发现这个结果其实有一个可以让我们接受的理由。）
延伸阅读
正整数有无穷多个：
1，2，3，4，5…
正偶数也有无穷多个：
2，4，6，8，10…
数学家说，正整数集与正偶数集的大小（或者叫作基数、无穷大阶数）是相同的，因为这两个集合可以形成一一对应的关系：
可以与正整数集形成一一对应关系的集合叫作“可列集”，可列集的无穷大阶数最低。元素可以一一排序的集合都是可列集，因为在排列时，第一个元素对应1，第二个元素对应2，以此类推。
包含所有整数的集无法按照由小到大的顺序一一排列（哪个数字应该排在第一位？）：
…–3，–2，–1，0，1，2，3…
但是，这些数字可以下面这种方式排列：
0，1，–1，2，–2，3，–3…
也就是说，整数集是可列集，它的大小与正整数集相同。
正有理数集呢？该集合的所有元素都是 m/n形式的数字，其中m 和n是正整数。也许你不相信，但正有理数集确实是可列集，因为它的元素可以按照下面这种方式排列：
，，，，，，，，，…
在排列时，我们按照分子、分母的和来确定各个元素的先后次序。由于这个排列方式可将所有有理数都涵盖在内，因此正有理数集也是可列集。
延伸阅读
是否存在不是可列集的无穷数字集呢？德国数学家格奥尔格·康托尔（Georg Cantor，1845~1918）证明，0~1之间的所有实数构成的集合是不可列集。你也许想按照下列方式或者其他类似方式来列举这些实数：
0.1，0.2，…，0.9，0.01，0.02，…，0.99，0.001，0.002，… 0.999，…
但是，只有那些位数有限的数字才会被列举出来，而像1/3 =0.333…这样的数字永远也不会出现。是不是可以想出更有创意的办法，列举出所有实数呢？康托尔通过以下方法证明这是不可能做到的。他先假设实数可以一一排列，然后他给出了一个具体的例子，比如这个排列的前几个元素是：
0.314 159 265…
0.271 828 459…
0.618 033 988…
0.123 581 321…
…
我们可以找出一个不属于这个排列的实数，从而证明这个排列是不完整的。具体来说，这个实数就是0.r1r2r3r4…，其中r1是0~9的整数且不同于该排列的第一个数字的第一位数（在本例中，r1 ≠ 3），r2则不同于该排列的第二个数字的第二位数（在本例中，r2 ≠ 7），以此类推。比如，这个数字可以是0.267 4…。这样的数字是不可能出现在上述排列中的，这个数字与排列中的第100万个数字有什么不同？答案是它们的第100万位数字不相同。因此，无论你想出什么样的排列方法，都必然会遗漏某些数字，从而证明实数是不可列集。这个证明方法被称为“康托尔对角线证明法”，不过我宁愿称之为“康托尔举例证明法”。（抱歉。）
从本质上讲，我们已经证明无理数远比有理数多，尽管有理数也有无穷多个。你在实数线上随机选择一个实数，几乎可以肯定这个数字是无理数。
概率问题中经常出现无穷级数。假设你投掷两枚6面色子。如果投掷的结果不是6点，也不是7点，就需要继续投掷。如果先掷出6点，你就赢了，否则你就输了。你在游戏中获胜的概率是多少？每次投掷都有6×6个概率相同的可能结果。当然，其中有5个可能的结果是6[即(1, 5)、(2, 4)、(3, 3)、(4, 2)和(5, 1)]，有6个可能的结果是7[即(1, 6)、(2, 5)、(3, 4)、(4, 3)、(5, 2)和(6, 1)]。如此看来，你获胜的概率不到50%。直觉告诉我们，在36个可能的结果中，只有5 + 6 = 11个有效结果，如果出现其他结果，就都需要重新投掷。而在这11个结果中，有5个意味着你赢了，有6个意味着你输了。因此，你获胜的概率似乎是5/11。
利用等比数列，我们可以证明你获胜的概率的确是5/11。第一次投掷时，你获胜的概率是5/36。第二次投掷呢？要在第二次投掷时获胜，第一次投掷时就不能出现6或7，而且第二次必须掷出6点。第一次投掷时出现6或7的概率是5/36 + 6/36 = 11/36，也就是说，既不是6又不是7的概率是25/36。第二次投掷获胜的概率是25/36与5/36（独立投掷情况下出现6的概率）的乘积，也就是 (25/36)×(5/36)。要在第三次投掷时获胜，前两次投掷就不能掷出6或7，而且第三次必须掷出6。因此，第三次投掷获胜的概率为 (25/36) ×(25/36) ×(5/36)。第四次投掷获胜的概率是 (25/36)3×(5/36)，以此类推。把所有这些概率加到一起，就是你获胜的概率：
证明完毕。 □
调和级数奏出的优美乐曲
如果无穷级数的和是一个（有限）数，我们就说它收敛（converge）于该数。如果某个无穷级数不收敛，我们就说它是一个发散（diverge）级数。在一个收敛的无穷级数中，所有数字必须趋近0。例如，无穷级数1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … 收敛于2。请大家注意观察，该级数的各个项，即1、1/2、1/4、1/8等越来越接近0。
但是，这句话反过来说却不成立。即使各项都趋近0，级数本身仍然有可能是发散的。这方面的一个重要实例就是“调和级数”（harmonic series）。调和级数之所以得此名称，是因为古希腊人发现，如果琴弦长度与1、1/2、1/3、1/4、1/5…成比例关系，就可以弹奏出悦耳动听的音乐。
定理：对于调和级数，有：
1 + + + + + … = ∞
证明：要证明调和级数的和为无穷大，就需要证明它的和可以是任意大的数字。我们先根据分母，将各项分到不同的组中。可以看出，调和级数的前9项都大于1/10，因此：
1 + + + +++++ >
接下来的90项都大于1/100，因此：
+ + + … + > 90× =
同理，再接下来的900项都大于1/1 000，因此：
+ + + … + > =
之后还有：
+ + + … + > =
以此类推，所有数字的和至少为：
+ + + + …
而且，这个和可以无限增加。证明完毕。
延伸阅读
跟大家分享一个有趣的现象：
1 + + + … ≈ γ + ln n
其中γ（即欧拉–马歇罗尼常数，读作“gama”）为0.577 215 564 9…，lnn 是 n 的自然对数（参见本书第10章）。（至于γ是不是有理数，目前还不知道。）随着n不断增大，上式左右两边的值的近似程度越来越高。下面是和的确切值与近似值的对比表。
下面这个现象同样有趣。如果我们仅考虑分母为质数的项，那么对于较大的质数p，有：
+ + + + + + … ≈ M + ln ln p
其中M = 0.261 497 2…，被称为“梅尔滕斯常数”。随着p不断增大，等式两边值的近似程度也会越来越高。
根据上式，我们可以得出：
+ + + + + + … = ∞
但是，这个级数趋于无穷大的速度非常慢，这是因为p的对数的对数值比较小，尽管p本身非常大。比如，以小于古戈尔（googol，即10100）的质数为分母的所有数字的和小于6。
接下来，我们对调和级数稍加改动，看看会有什么现象发生。我们从调和级数中删掉一些项，只要这些项的个数是一个有限数，该级数就仍然是发散级数。例如，我们删掉前100万项（即1 + + … +，这些项的和略大于14），那么剩余各项之和仍然无穷大。
增大调和级数的各个项，它们的和也是发散的。例如，对于n > 1，有 >，因此：
1 + + + + … = ∞
但是，即使让各项变小，和也不一定会收敛。例如，让调和级数的所有项都除以100，它仍然是一个发散级数，因为：
+ + + … =(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … ) = ∞
不过，把各项变小，也有可能得到一个收敛级数。例如，让所有项进行平方运算，它们的和就会收敛。根据欧拉的证明：
1 + + + + … =
事实上，我们利用积分就可以证明对于任意的p > 1，1 + + + + …都会收敛于某个小于的数。例如，如果 p = 1.01，那么下式的各项都会略微小于调和级数的各项。但是，即便如此，它也是一个收敛级数。
1 + + + + … ＜101
假设我们从调和级数中删掉所有包含9的项，会有什么结果呢？可以证明，在这种情况下，这个级数的和不是无穷大（它肯定收敛于某个数字）。在证明时，我们根据分母的长度把不含有9的项分别相加。例如，我们先计算分母只有一位数的8个分数（,,,…,）之和。分母是两位数且不包含9的项一共有8×9 = 72个，这是因为第一位数有8种选择（不能是0或9），第二位数有9种选择。同理，分母是三位数且不包含9的项有8×9×9个。一般地，分母是n位数且不包含9的项有8×9n–1个。注意，分母是一位数的最大分数是1，分母是两位数的最大分数是 ，分母是三位数的最大分数是。因此，我们可以将这个无穷级数按照以下方式分成几组：
1 + + + ++++ ＜ 8
+ + + … + ＜ ( 8×9) × = 8 ()
+ + + … + ＜ ( 8×92) × = 8 ()2
以此类推，根据等比数列公式，所有数字的和最多为：
8[ 1+ + ()2 + ()3 + …] = =80
也就是说，各项中不包含9的无穷级数收敛于某个小于80的数字。 □
在理解这个无穷级数的收敛性时，我们可以考虑一个事实：几乎所有大数都包含9。的确，如果大家随意写下一个数字，它的每个数位上的数字都可以从0到9中随机选择，那么这个数字的前n位数中不包含9的概率是(9/10)n。随着n不断增大，这个概率将趋近0。
延伸阅读
如果我们把π和e的值视为随机排列的数字串，那么你最喜欢的整数几乎肯定会出现在其中。例如，我最喜欢的四位数2 520就出现在π的第1845~1848位上。斐波那契数列的前6个数字（1，1，2，3，5，8）与从π的第820390位开始的6个数字一致。这6个数字出现在π的前100万位中并不令人吃惊，一方面，因为在随机生成的数字中，有6个连续数位上的数字与你给出的六位数相同的概率是百万分之一。因此，在π的前100万位数中找到与斐波那契数列的前6项相同的数字的可能性本来就存在。另一方面，999 999在π中出现得非常早（开始于第763位），真的十分令人吃惊。物理学家理查德·费曼说过，在背诵圆周率的过程中，如果你只背到第767位，人们说不定会以为π是有理数呢，因为他们最后听到的是“999999…”。
借助网站或者某些应用程序，就可以在π和e中找出我们喜欢的数字串。我就用过某个类似程序，结果发现在π的前3 000位数中，最后5位数是31961。这个数字对于我来说十分特别，因为1961年3月19日是我的出生日期！
不可思议的无穷和
回顾一下到目前为止我们接触到的无穷和。
在本章开头，我们讨论了：
1 + + + + + … = 2
我们发现，这是等比数列的一个特例。等比数列公式指出，对于任意x，只要 –1 < x < 1，就有
1 + x + x2 + x3 + x4 + … =
注意，当x为0到–1之间的负数时，等比数列公式同样有效。例如，如果x = –1/2，则：
各项交替为正负数且趋于0的级数叫作“交错级数”，交错级数一定会收敛于某个数。在理解上面这个交错级数时，我们可以画一条实数线，并把手指放在数字0的位置上。然后，把手指向右移动1个单位，再向左移动1/2个单位，再向右移动1/4个单位（这时候，你的手指应该在3/4的位置上），再向左移动1/8个单位（此时，你的手指应该在5/8的位置上）。以此类推，你的手指将在某个数字附近来回移动（在本例中，这个数字是2/3）。
现在，请大家观察下面这个交错级数：
1 – + – +– + …
看完前4项之后，我们知道这个无穷级数的和至少是1–1/2 + 1/3 – 1/4 = 7/12 = 0.583…；看完前5项之后，我们知道这个无穷级数的和至多是1–1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 = 47/60 = 0.783…。这个级数的和是0.693 147…，在上述两个数字中间偏右的位置。利用微积分，我们可以算出这个和的确切值。
我们先上一道“开胃小菜”。请大家写出等比数列：
想一想，如果两边同时求导，会出现什么情况？本书第11章告诉我们：1，x，x2，x3，x4…的导数分别是0，1，2x，3x2，4x3…。因此，如果我们假设无穷级数和的导数就是导数的和，那么利用链式法则对(1 – x)–1求导，我们可以得出：对于 –1 < x < 1，有：
我们把等比数列中的x替换成–x，就会发现：对于 –1 < x < 1，有：
现在，求等式两边的反导数（微积分学称之为“不定积分”）。不定积分是求导的逆运算，例如，x2的导数是2x，反过来，2x的不定积分是x2。[x2 + 5，x2 + π或x2 + c（c为任意数）的导数同样是2x，所以2x的不定积分其实是x2 + c。]1，x，x2，x3，x4…的不定积分分别是x，x2/2，x3/3，x4/4，x5/5…；1/(1 + x)的不定积分是1 + x的自然对数。也就是说，对于 –1 < x < 1，有：
x – + – + – … = ln(1 + x)
等式左边的常数项为0，这是因为当x = 0时，我们希望右边的值为ln 1 = 0。当x逐渐接近1时，我们就会发现0.693 147…的自然含义，即：
1 – + – +– + … = ln 2
延伸阅读
如果我们将等比数列中的x替换成 –x2，当x在 –1~ 1之间时，就有：
1 – x2 + x4 – x6 + x8 – … =
大多数微积分教科书都会证明 y = arc tanx 的导数为 y' = 。对等式两边同时求不定积分（注意，arc tan 0 = 0），就会得到：
x – + – + – … = arc tan x
令x趋近0，就会得到：
1 – + – +– + … = arc tan 1 =
在研究了等比数列的应用之后，我们接下来讨论等比数列在应用过程中容易出现的错误。等比数列的定义指出，对于任意x，只要 –1 < x < 1，就有：
1 + x + x2 + x3 + x4 + … =
我们来看当x = –1时会出现什么结果。根据等比数列公式，有：
这个答案不可能是正确的。因为我们加、减的都是整数，所以最后结果不可能是像1/2这样的分数。即使这个级数收敛于某个数字，也不会是1/2。不过，这个答案并不是完全没有道理。观察该级数的部分和，就会发现：
以此类推，由于部分和中有一半是1，还有一半是0，因此1/2这个答案似乎不无道理。
如果x取不符合条件要求的值，比如x = 2，根据等比数列，就会得出：
这个答案似乎比1/2更荒谬。多个正数的和怎么可能是负数呢？不过，这个答案也许同样可以找到一个合理的解释。比如，我们在本书第3章见过，在类似于10 ≡ –1(mod 11)的关系中，10k ≡ (–1)k (mod 11)这个等式是成立的。也就是说，正数也可以表现出负数的特性。
让我们打破常规，以一种创造性思维去理解1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …的意义。我们在本书第4章讨论过，每一个正整数都可以表示成2的幂次方之和的唯一形式，这是计算机采用的二进制的基础。每个整数都是有限个2的幂次方之和。比如，106 = 2 + 8 + 32 + 64中包含4个2的幂次方。现在，我们假设无穷大的整数也可以表示成这种形式，其中2的幂次方的个数可以根据需要，想用多少个就用多少个。那么，无穷大的整数就会具有以下这种典型的表现形式：
1 + 2 + 8 + 16 + 64 + 256 + 2 048 + …
其中，2的幂次方连续不断地出现。我们不清楚这些数字有什么含义，但我们可以建立高度一致的运算规则。比如，只要我们确定一种自然的进位方式，就可以对这些数字进行加法运算。比如，在上面这个无穷级数的基础上加上106的2的幂次方表达式，就会得到：
其中，2 + 2得4；接下来，8 + 8得16，它与后面的16相加得32，32又与后面一个32相加得64；两个64相加得128，而从256往后的所有项都保持不变。现在，我们给“最大”的无穷大整数加上1：
在这种情况下会发生一连串的如上所述的加法运算，而横线下面看不到一个2的幂次方。也就是说，和可以视为0。既然(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) + 1 = 0，那么在等式两边同时减去1，就会发现这个无穷级数的和似乎真的等于 –1。
下面这个匪夷所思的无穷级数求和是我的最爱：
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … =
在证明有穷等比数列和的时候，我们在第二种证法里使用了代数的移项法。现在，我们用同样的方法来“证明”上式。这种方法适用于有穷级数求和，如果应用于无穷级数求和，就可能导致荒谬的结果。我们先用代数的移项法来解释前文中的一个恒等式。我们按下列方式把这个等式写两遍，但在写第二遍时每项向后移动一个位置：
S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …
S = – 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …
将两个等式相加，可以得到：
2S = 1
因此，S = 1/2。这跟我们在前文中令x = –1时根据等比数列公式得到的结果一致。
延伸阅读
利用代数移项法，我们可以轻而易举地证明等比数列公式，不过证明过程不太严谨。
S = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + …
xS = x + x2 + x3 + x4 + x5 + …
两式相减，就会得到：
S(1 – x) = 1
S =
如果把我们最渴望知道答案的无穷级数求和问题变成一个正负项交错排列的形式，就会得出一个非常有趣的答案：
1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + … =
下面，我们用移项法来证明这个结论。先把等式写两遍：
T = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + …
T = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – …
两式相加，就会得到：
2T = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …
也就是说，2T = S = 1/2。所以，T = 1/4。证明完毕。
最后，我们再做一个实验。把所有正整数的和记作U，然后在它的下面列出T的算式（不用移位）。
U = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + …
T = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + …
用第一个等式减去第二个等式，就会得到：
U – T = 4 + 8 + 12 + 16 + … = 4 (1 + 2 + 3 + 4 + …)
也就是说：
U – T = 4U
求U的值，因为3U = –T = –1/4所以：
U = –1/12
证明完毕。
必须指出，无穷多个正整数的和必然趋向无穷大。但是，不要简单地把上面这些有穷数答案全部视为噱头，因为在某些情况下，它们其实是有道理的。在理解数字时，如果我们拓展思路，就会发现1 + 2 +4 + 8 + 16 + … = –1并非毫无道理。回想一下，如果我们对数的理解仅限于实数线，就不可能找到二次幂等于 –1的数字。但是，如果我们把复数看作复平面上的“居民”，而且为它们建立一套严格统一的运算法则，就可以找到二次幂等于–1的数字了。事实上，研究弦理论的理论物理学家在计算时就会用到1 + 2 + 3 + 4 + … = –1/12这个结果。如果遇到某些看似荒谬的计算结果，例如上面给出的这些无穷级数的和，大家尽可以一笑置之，但是，如果我们充分发挥自己的想象力，思考各种可能性，说不定这个世界就会多出一个严谨统一、充满美感的数字系统。
在结束本书的写作之前，我再向大家介绍一个看上去荒诞不经的计算结果。在本节开头，我告诉大家下面这个交错级数收敛于ln 2 = 0.693 147…。
1 – + – +– + …
改变这些数字的先后次序，它的和应该不会发生变化，因为根据加法交换律，对于任意数字A和数字B，都有：
A + B = B + A
但是，如果把这些数字按照下面这种次序重新排列，会出现什么结果呢？
1 – – +– – + – – + …
注意，加在一起的还是那些数字，因为所有分母为奇数的数字都带有正号，所有分母为偶数的数字都带有负号。尽管算式中偶数的出现频率是奇数的两倍，但无论奇数还是偶数都用之不竭，而且原算式中的所有项在新算式中都只出现一次。大家对此没有异议吧？那么，请大家算出这个和：
结果我们发现它竟然是原无穷和的一半！怎么会出现这种情况呢？把各项数字重新排列，计算结果竟然变得不一样了。之所以出现这个令人惊讶的结果，是因为在无穷多个数字相加时不可以使用加法交换律。
如果收敛级数中的正数项和负数项分别构成发散级数（也就是说，正数项的和为∞，负数项的和为–∞），就会出现这样的问题。我们给出的最后一个例子就是这种情况。这样的级数被称为“条件收敛级数”。令人吃惊的是，对条件收敛级数重新排序，可以得出我们想要得到的任意结果。比如，如何排列上面这个级数，让它最后的得数为42呢？首先，让正数项相加，使它们的和刚好超过42，然后减去第一个负数项。再加上一个正数项，使和再次超过42，然后减去第二个负数项。重复上述步骤，最终的和就会越来越接近42。（比如，减去第5个负数项 –1/10之后的计算结果，与42的差会始终保持在0.1以下。减去第50个负数项 –1/100后的计算结果与42的差会始终保持在0.01以下，以此类推。）
我们在实践中遇到的无穷级数大多不会表现出这种奇怪的特性。如果某个无穷级数的所有项在取绝对值（将负数项全部变成正数项）之后具有收敛性，我们就称这是一个“绝对收敛级数”。例如，我们在前文中见过的交错级数：
1 – + – + – … =
它就是一个绝对收敛级数，因为各项的绝对值相加可以得到一个我们非常熟悉的收敛级数：
1 + + + + + … = 2
绝对收敛级数虽然有无穷多项，但它们可以应用加法交换律。因此，在上面那个交错级数中，无论我们如何打乱1、–1/2、1/4、–1/8等项的先后次序，它们的和一定收敛于2/3。
无穷级数可以无休止地写下去，但是写作总有结束的一天，我也必须遵从这个规律。现在，我似乎应该跟大家说再见了，但是，我仍然希望把握最后的机会，继续带领大家遨游数学的魔法王国。
一玩就停不下来的幻方游戏！
为了感谢大家的一路相伴，在本书即将结束之际，我请大家再感受一次数学的神奇。这次体验与无穷大无关，但同样神奇，它就是“幻方”（magic square）。幻方是由数字组成的方形表格，每行、每列和对角线上的数字之和都相等。下图是众所周知的3×3幻方，其中每行、每列和每条对角线上的数字之和都等于15。
幻和值为15的3×3幻方
幻方还有一个不为人所知的特性，我称为“平方回文特性”。首先，把各行与各列的三个数字分别看成三位数，然后求它们的平方和，就会发现：
4922 + 3572 + 8162 = 2942 + 7532 + 6182
4382 + 9512 + 2762 = 8342 + 1592 + 6722
某些“泛”对角线也有类似现象，例如：
4562 + 3122 + 8972 = 6542 + 2132 + 7982
这真是太神奇了！
最简单的4×4幻方（如下图所示）使用的是1~16的数字，所有行、列及对角线的幻和值都是34。数学家和魔术师都喜欢4×4幻方，因为他们可以通过几十种方法算出幻和值。比如，在下图这个幻方中，所有行、列和对角线的和都是34。同时，幻方中所有的2×2正方形[包括左上角的1/4区域（8，11，13，2）、中间四格、幻方的四个角，等等]中的4个数字的和也是34。此外，就连泛对角线以及幻方内所有3×3正方形的顶点之和也是34。
幻和值为34的幻方。不仅各行、各列、各条对角线的数字之和为34，几乎所有的2×2正方形中的数字之和也都等于34
你是不是对某个大于20的两位数情有独钟？你可以用这个数字T作为幻和值，轻而易举地设计一个幻方。选择1~12的数字，再加上T – 18、T – 19、T – 20和T – 21这4个数字，按下图所示方式填入各个方格，就搞定了。
幻和值为T的幻方速成法
以幻和值 T = 55的幻方为例（如下图所示）。上例中和为34的所有四数集合，只要这4个数字中正好包含一个（而不能是两个或0个）含有变量T的方格，它们的和就一定是55。因此，右上角的正方形符合条件（35 + 1 + 7 + 12 = 55），而中间偏左的正方形则不符合条件（34 + 2 + 3 + 37 ≠ 55）。
幻和值为55的幻方
并不是所有人都喜欢某个两位数，但是所有人都会记住自己的生日，而且我发现很多人喜欢用生日数字作为幻和值，设计出个性化的幻方。下面，我向大家介绍一种“双生日”幻方设计法，让自己的生日出现两次，分别位于第一行和4个角。假设你的生日是由A、B、C、D这4个数字构成的，我们可以按照下述方式设计这个幻方。请大家注意观察，幻方的各行、各列、各条对角线和几乎所有的2×2正方形中的数字之和，都是幻和值 A + B + C + D。
