1660 年的科学状况——科学院——牛顿与引力——质量与重量——数
学方面的改进——物理光学与光的理论——化学——生物学——牛顿与哲
学——牛顿在伦敦
1660 年的科学状况
我们现在来到现代科学早期发展的最重要时期。因为靠了牛顿的卓越成
就，伽利略和刻卜勒的研究成果，已经和牛顿自己的研究成果融合在一起，
成为物理学上首次的大综合。前几章所叙述的改变给欧洲带来的科学与哲学
的状况，可以大概描述如下。
经院哲学的无所不包的知识大厦，虽然在唯理论的训练方面仍然有用，
但早已不够用了。由于邓斯?司各脱与奥卡姆把唯名论复活过来，由于新柏
位图运动兴起，构成哥白尼和刻卜勒的工作的哲学基础，最后由于伽利略、
吉尔伯特与其门徒用数学方法及实验方法取得很多成果，这座大厦已经动摇
了。吉尔伯特与哈维表明怎样用经验的方法来进行实验，伽利略证明哥白尼
与刻卜勒认为在天体现象中有根本意义的数学简单性也可以在地面上的运动
中发现。经院哲学用“本质”、“原因”来不精确地描述运动，以说明物体
为什么运动，现在这些已经为时间、空间、物质及力等概念所代替。这些概
念第一次有了明晰的定义，而且人们还利用这些概念、运用数学的方法，发
现了物体怎样运动，并测定了运动物体的实际速度与加速度。
伽利略更用实验证明要使物体继续运动，并不需要继续施力。一经开动
之后，物体靠了与重量有关的某种内在性质会继续前进。在这里，伽利略已
经接触到质量和惯性的概念了；虽然他还没有明白地给这个概念下一个定
义，他对落体的观察，如果了解得正确的话，已经足以表明这个概念与重量
的确切关系。经院哲学家赋予亚里斯多德的本质与性质的无上地位，肯定地
让给物质与运动了。147 哥白尼与刻卜勒赋予数学和谐的神秘意义，正在转
变成另一种观念：在一个变化可以以数学公式用物质和运动来表达的时候，
这个变化也就可以从机械上来解释，要么用伽利略的力来解释，要么用笛卡
尔所想象的旋涡那样的接触来解释。在1661 年，波义耳仍然可以反驳经院哲
学的观念在化学中的重要性；在物理学中，它们已经死了，但还没有埋葬，
从牛顿与其同代人的著作中，还可以听到旧日争论的回声。新的数学方法在
动力学中的威力，到1673 年惠更斯（Huygens）发表了他对重力、摆、离心
力和振动中心的研究结果时，就更加明显了。
原子说的一股观念被伽利略采纳了。而伊壁鸠鲁的旧说则由伽桑狄更充
分地加以修正与发挥。人们最初是从动力学和天文学的大规模现象中形成这
样的概念的：自然界从根本上来说是由运动中的物质组成的。现在，这种概
念也参加到人们对于物体内部结构的看法中来。原子论并不是伽利略的动力
学所必需的，但和根据伽利略的研究成果形成的一般科学观点却也能融合无
间。
行星间的以太观念是在十七世纪的思想中开始起作用的另外一个希腊观
念。刻卜勒用这个观念来说明太阳怎样使行星运行不息；笛卡尔给它披上了
不可捉摸的流质或本原物质的伪装形成他的天体机器的旋涡，并且提供了从
纯粹广延性中推导不出来的重量与其他性质；吉尔伯特用它去解释磁力的吸
引，而哈维则认为以太是把太阳热力传给生物的心脏与血液的媒介。
以太观念那时还和神秘学派用来解释存在的本性的盖伦的灵气或灵性混
淆不分①。我们要记住现代人对物质与情神所作的区别那时还不明确。“灵
魂”、“动物元气”一类观念，在当时仍然看做是“发射气”、“蒸发气”，
可是在我们看来，“发射气”和“蒸发气”却是物质的。物质与精神的一致，
就这样维持着。只有笛卡尔是例外。他首先明白地看出在空间中延展的物质
和思想着的心灵有根本差别。在当时大部分人看来，这个分界线似乎存在于
一边是固体与液体，另一边是气、火、以太与精神之间。所以用“以太”来
解释现148 象，就是为直接的神灵干预留下余地。
吉尔伯特对当时流行的观念表达得很清楚。他以为磁力是把物体吸引到
磁石这边来的所谓“磁素”造成的。重力与磁力有同样的性质，每个物体都
有一个“灵魂”，它能放射到空间中去并吸引一切物体。
最后我们不要忘记，十七世纪中叶所有的合格的科学家与差不多所有的
哲学家，都从基督教的观点去观察世界。宗教与科学互相敌对的观念是后来
才有的。伽桑狄在重新提出原子论的时候，小心避免同古人给与原子论的无
神论沾了边。虽然笛卡尔的反对者指摘他设计了一个十分有效的宇宙机器，
没有给上帝的控制留下余地，可是笛卡尔仍然认为自然界的数学定律是上帝
所建立的，通过思想世界也可以接近上帝。霍布斯的确把哲学局限于自然科
学所取得的实证知识，对神学加以抨击，并且把宗教叫做公认的迷信。可是
他却同意国家应该建立和实行以圣经为根据的宗教。不过，他的态度是一个
例外。一般说来，一切学者都接受了有神论的根本假定，这并不是为了护教
的缘故，而是由于他们认为这个假定是普遍接受的资料，任何宇宙学说都必
须同它相符合。
中世纪的许多思想方法当时还残存着；波义耳需要反驳经院哲学家的化
学观念，不亚于需要反驳炼全家的化学观念。哥白尼的理论虽为数学家和天
文学家所承认，但是一般教科书所讲授的仍然是托勒密的体系。占星术仍为
人所重视。由于内战的缘故，世事变化不定，机遇无常，因此占星家的每一
个预言差不多都肯定有机会应验①。就是牛顿，在少年时代也觉得占星术是值
得研究的。1660 年，他初入剑桥大学，在别人问他要学什么的时候，据说他
回答道：“数学，因为我打算去检验人事占星术”②。这个事例，说明牛顿一
生中心理观点的转变，这转变主要是由他自己的工作造成149 的。占星术的
著作，特别是历书之类，虽在牛顿之后很长时期里仍继续出版，但到十七世
纪末年，就只有无知识的人才对它们感兴趣了。
科学院
① A.J.Snow, Natter and Gravity in Newton's Physical Philosoplhy, Oxford, 1926， p．
①
Dict.Nat.Biography,"William Lilly","Hlenry Colley","John Case".
②
Reverend H.T.Inman, Sir Isaac Newton and one of his Prisms,Ox-ford (privately printed）. 1927.
③ T.Sprat, Bishop of Rochester, Hirtory of the Royal Society,1667;Re- cord of the Royal
Society,London,1912… ；Martha Ornstein,Scientific Soci-eties in the Seventeenth Century, Chicago and
Cambridge,1928;R.W.T.Gunther,Early science in Oxford,1921 Et seq.;H.Brown, Scientific Organisation in
France,Baltimore,1934.
帮助造成牛顿的学术环境的还有一些别的因素。多年来受到亚里斯多德
派的阻挠的新学术，这时已经渗透进有些大学。热心自然哲学的人数迅速地
增加，增加的一个表现，便是学会或学院的纷纷成立。会员常常聚会，以讨
论新问题并推进新学术。这类学会中的最早一个，在1560 年出现在那不勒
斯，名叫“自然秘奥学院”。1603 至1630 年，伽利略所属的第一个“林
学院”成立于罗马，1651 年，梅迪奇（Medici）贵族们在佛罗伦萨创立了“西
芒托学院”。在英国，学者们从1645 年起，以哲学院或“无形学院”的名义，
在格雷汉大学或伦敦其他地方集会。1648 年，大部分会员因内战迁到牛津，
但1660 年，伦敦的集会又恢复举行。1662 年，在国王查理第二的特许下，
这个学会正式定名为“皇家学会”。在法国，同类的科学院于1666 年由路易
十四创立，类似的组织不久也出现于其他国家，这些学会进行了充分的讨论，
集中了科学界的意见，公布了会员们的研究成果，因而这些组织成立后，科
学的发展愈加迅速，特别是大半的学会不久都开始发行定期刊物。独立的科
学杂志最老的一个似乎是《学人杂志》，1665 年在巴黎首次发行。三个月后，
又有《皇家学会哲学杂志》问世，这最初是皇家学会秘书私人的事业。别的
科学杂志不久也相继出现，不过，直到十七世纪末叶或更后，数学家们还主
要是靠私人通信来宣布他们的研究成果。这是一个效率低微的办法，有些发
明先后的争执即由此而起，如牛顿和莱布尼茨之间的争执。
刻卜勒的研究成果提供了太阳系的模型，但是，这个模型的大小——太
阳系的实际大小——在用天文单位测定一个距离以前，是无法确定的。
在1672—1673 年，路易十四的大臣科尔伯（Colbert）派遣里希150 尔
（Jean Richer）到法属圭亚那的卡宴（Cayenne）去进行航海上有用的天文
学观测。他就测量过行星火星的视差。他的研究成果的最显著的结果，就是
认识到太阳和较大行星的巨大体积，以及太阳系的惊人的规模。地球和地球
上的人相形之下，就显得很小了。
牛顿与引力
我们已经简要地叙述过牛顿开始工作时科学知识和哲学见解的概况。爱
萨克?牛顿（IsaacNew-ton，1642—1727 年）是一个有120 英亩土地的小地
主所有者的遗腹独生子。牛顿出生于林肯郡伍耳索普
（WoolsthorpeinLincolnshire），自幼身体纤弱，在格兰瑟姆文法学校
（Grantham Grammar School）受过教育。1661 年，他进了剑桥大学的三
一学院，在那里他听过巴罗的数学讲演。1664 年，他被选为三一学院的研究
生（Scholar），次年被选为校委（Fel- low）。1665 至1666 年，剑桥瘟疫
流行，他返回伍耳索普，开始考虑行星的问题。伽利略的研究表明，要使行
星和卫星在轨道上运行，而不循直线向空间飞去，必定有一个原因。伽刊略
把这原因看做是力，但这个力是否存在仍有待于证明。
据伏尔泰（Voltaire）说：牛顿在他的果园中看见苹果坠地时找到解决
这个问题的线索。这个现象引起他猜度物体坠落的原因，并且使他很想知道
地球的吸力能够达到多远；既然在最深的矿井中和最高的山上一样地感觉得
到这种吸引力，它是否可以达到月球，成为物体不循直线飞去，而不断地向
地球坠落的原因。看来，牛顿的头脑中已经有了力随着距离平方的增加而减
少的想法，事实上，别人当时似乎也有这样的想法。在牛顿的异父妹汉娜，
巴顿（Han- mah Barton）的后裔朴次茅斯（Portsmouth）勋爵1872 年赠给
剑桥大学的牛顿手稿中，有一份备忘录，对于这些早期的研究有如下的叙述：
就在这一年，我开始想到把重力引伸到月球的轨道上，并且在弄清怎样
估计圆形物在球体中旋转时压于球面的力量之后，我就从刻卜勒关于行星公
转的周期与其轨道半径的二分之三方成比例的定律中，推得推动行星在轨道
上运行的力量必定与它们到旋转中心的距离的平方成反比例：于是我把推动
月球在轨道上运行的力与地面上的重力加以比较，发现它们差不多密合。这
一切都是1665 与1666 两个瘟疫年份的事，因为在那些日子里，我正在发现
旺！盛的年代对于数学和哲学，比以后任何年代都更加关心。惠更斯先生后
来发表了关于离心力的研究成果，我想这些研究成果的取得应当在我以前。
读者当会看出，这里牛顿没有谈到他的朋友彭伯顿（Pember-ton）所说
的故事：牛顿所使用的地球大小的数值不精确，所得出的推动月球在轨道上
运行的力与重力不合，因此，他就把他的计算搁置起来。相反地，牛顿却说
他发现“它们差不多密合”。卡焦里（Cauori）教授也指出这一点①，并且提
出证据，说明那时已经有几个关于地球大小的相当精确的估计值，牛顿在
1666 年很可能是知道的。其中之一是冈特（Gunter）
的估计值：纬度度等于66
23
法定英里，而据彭伯顿说，牛顿所用的数值是
1
60 英里。卡焦里说：
既然牛顿买过“冈恃尔的书”，那么，很可能地，也可以说是无疑地，他知道冈
特尔的估计值：°＝66
3
法定英里，这与斯内耳（Snell
12
）的数值是近似的。
如果牛顿用了66
23
，他所算出的物体由静止坠落第一秒钟所走的距离就是15.53
呎，正确的距离是16.1呎。误差只有3
21
％。也许正是由于取得这样的结果，牛顿才
说“它们差不多密合”。
亚当斯（J．C.Adams）与格累夏（J．W.L. Glaisher）在1887 年指出的
牛顿所以迟迟不发表他的计算的原因，比较近乎情理。引力理论里有一大困
难，无论如何牛顿是了解的。太阳和行星的大小与它们之间的距离比较是
那样的小，在考虑它们之间的关系时，每一星体的全部质量可以看做集中在
一点，至少是近似地这样的。
可是月球与地球之间的距离相对地来说并没有那样大，要把月球或地球
当作一个质点看，便有问题了。还有，在计算地球与苹果之间的相互引力的
时候，我们须记住和苹果的大小或它对地球的距离相比地球是很庞大的。第
一次计算地球各部分对于它的表面附近的一个小物体的引力总和显然有很大
的困难。这大概就是1666 年牛顿把他的工作搁置起来的主要原因。卡焦里说
牛顿也明白重力随纬度而有变化，同时，地球自转所造成的离心力也有影响；
他觉得重力的说明“比他原来所想的更困难”。1671 年，牛顿又好象回52
到这个问题，但他仍没有打算发表。也许是同样的考虑阻止了他。还有，当
时他的光学实验引起的争论也使他感觉十分不快。他说：“我在过去几年中
一直在努力离开哲学而从事其他研究”。事实上，他对化学好象比对天文学
①
Sir Isaac Newton, History of Science Society, Baltimore,1928,p.127.
更感觉兴趣，对神学好象比对自然科学更感觉兴趣。他在晚年就很不愿把他
在造币厂的公务时间使用到“哲学”上去。
惠更斯（Christian Huyryens， 1629—1695 年）是荷兰外交家和诗
人的儿子，1673 年发表了他的动力学著作：《摆钟论》。惠更斯以动力系统
中活力（现时叫做“动能”）守恒的原则为前提，创立了振动中心的理论，
并发明了一个可以应用于许多力学与物理学问题的新方法。他测定了摆长与
摆动时间的关系，发明了表内的弹簧摆，而且创立了渐屈线的理论，包括摆
线的性质在内。
但就我们的直接研究目的而论，他的最重要的研究成果是这部著作最后
所谈到的关于圆运动的研究成果，虽然如上所说，牛顿在1666 年一定也得到
了同样的结论。我们可以用比较简单比较现代的方式把这一成果叙述如下。
设有一质量为m 的物体，以速度U 在半径为R 的圆上运动，象拴在一条线上
的石头旋转时那样。则照伽利略的原则，必有一个力向中心施作用。惠更斯
证明这个力所主的加速度A 必等于v2/r。
到1684 年，总的引力问题就已经在大家的纷纷议论之中。胡克，哈雷
（Halley），惠更斯、雷恩（Wren）似乎都独立地指出过：如果把本来是椭
圆的行星轨道当作是圆形的，则平方反比必为力的定律③。这一点可以立即
从两个前提中推出。一个前提是惠更斯的证明：半径为r 的向心加速度a 是
v2/r；另一个前提是刻卜勒的第三定律：周期的平方，即r2/v2随r3而变化。
这后一结果说明v2随1/r 变化。因而，加速度v2/r，也就是力随1/r2而变
化。
几位对这个问题进行进一步研究的皇家学会会员，特别讨论到如果一个
行星像刻卜勒第三定律所指出的那样按平方反比的关系在吸引力下运行的
话，它是否又能按照他的第一定律在椭圆轨道上运行。哈雷由于觉得没有希
望从别的来源求得数学解决，就到剑桥三一学院去访问半顿。他发现牛顿在
两年前已经解决了这个问题，虽然他的手稿已经遗失，但牛顿重新写出一遍，
并和“许多旁的材料”送给住在伦敦的哈雷。在哈雷的推动之下，牛顿又回
到这个问题。1685 年，他克服了计算上的困难，证明一个由具有引力的物质
组成的球吸引它外边的物体时就好象所有的质量都集中在它的中心一样。有
了这个有成效的证明，把太阳、行星、地球、月球都当作一个质点看待的简
化方法就显得很合理了，从而就把从前粗略近似的计算提高到极其精密的证
明。格累夏博士在阐释这个证明的重要性时说：
从牛顿自己的话中，我们知道他在没有用数学证明这个定理以前，从来没有料到
有这样美妙的结果，但一经证明这个精妙的定理以后，宇宙的全部机制便立刻展开在他
眼前。..把数学分析绝对准确地应用于实际的天文问题，现在已经完全在他能力之内
了。①..
这一成就为牛顿的独创的研究，扫除了障碍，于是他努力把天体的力和
地球吸引物体坠落的力联系起来。他利用皮卡尔（Picart）测量地球所得的
新值，再回到重力与月球的老问题去。地球的引力现在可以看做有一个中心
了，而且就在地球的中心，验证他的假设也是很简单的事。月球的距离约为
①
J.W.L.Glaisher, Address on the bi-centenary of the publication of Newton's Principia, 1887.
地球半径的60 倍，而地球的半径是4000 英里。由此算出月球离开直线路径，
而向地球坠落的速度，约为每秒0.0044 英尺。如果平方反比律是正确的，这
个力量在地球表面应该比在月球强（60）2 倍，或3600 倍，所以在地面物体
坠落的速度为3600x0.0044，或每秒约16 英尺。这与当代观测的事实相合，
于是这个证明完全成立了。于是牛顿就证明了平常向地面坠落的苹果或石
头，与在天空中循轨道庄严运行的月球，同为一个未知的原因所支配。
他证明了重力必然要使行星轨道成为椭圆，也就意味着对刻卜勒定律给
予合理的解释，并且把他在月球方面所得的结果推广到行星的运动上去。于
是整个太阳系的错综复杂的运动，就可以从一个假设中推出来。这个假定就
是：每一质点对于另一质点的引力，与两点的质量的乘积成正比并与其间的
距离的平方成反比。这样推导出来的运动和观测结果精密符合，达两个世纪
之久。彗星的运动一向认为是无规则而不能计算的，现在也就范了； 1695
年，哈雷说，他在1682 年所看见的彗星，从它的轨道来看，实在为重力所控
制；它周期地回来，事实上与贝叶（Bayeux）毛毡上所绣的、在1066 年被人
当做是萨克逊人的灾祸预兆的那颗彗星，实在是同一颗彗星。
亚里斯多德以为天体是神圣而不腐坏的，和我们有缺陷的世界是不同类
的，而今人们却这样把天体纳入研究范围之内，并且证明天体也按照伽利略
和牛顿根据地面上的实验和归纳所得到的力学原理，处在这个巨大的数学和
谐之内。1687 年牛顿的《自然哲学的数学原理》的出版，可以说是科学史上
的最大事件，至少在近些年以前是这样的。
引力的次要效应之一是潮汐。在牛顿考虑这问题以前，人们有许多混淆
不清的看法。刻卜勒以为潮汐的成因在月球，但他是占星家，因而他同时相
信恒星与行星也有影响。也许正是由于这个缘故伽利略才嘲笑他悦：“对于
且球支配水以及神秘的特性等一类琐事，他都洗耳倾听，表示同意”①。
《原理》一书第一次为潮汐理论奠定了健全的基础。牛顿用数学的方法，
研究了月球与太阳的引力合在一起对于地上的水的影155 响，同时还把流动
的水的惯性及狭窄的海峡与运河的骚扰效果估计在内。潮汐情况是很复杂
的，自牛顿以来，有许多数学家提出过详细的理论，其中可以提到的有拉普
拉斯与乔治?达尔文爵士。但《原理》书中的一般论述仍然是有效的。
质量与重量
给予物质以惯性并且和重量迥然不同的质量的概念，起初暗含在伽利略
的研究成果中，后来又明显地见于巴利安尼的著作中。巴利安尼是热那亚的
弓箭队长。他把质与重加以区别①。在《原理》中，这个分别更加明确。牛顿
根据波义耳关于空气容积与压力的实验，从密度方面达到质量的概念。既然
在一定量的空气中，压力P 与容积U 成反比例，因此，它们的乘积PV 是一
个常数，可以用来量度一定容积中空气的质量，或者用原子论来说，代表压
缩在那个容积里的质点的总数，牛顿给予质量的定义是：“用物体的密度和
① system of the World, Galileo Galilei, Fourth Dialogue, quoted by J.Proudman， Isaac Newton, ed.
W.J.Greenstreet, London, 1927,p.87.
看“Newton and the Art of Discovery",by J.m.Child, in Isaac Newoln,p.127. Child 以为牛顿可能受了巴利安
①
尼的影响。
体积的乘积来量度的、该物体中所合的物质的量”，而力的定义是“一个物
体所受到的、足以改变或倾向千改变该物体的静止状态或等速直线运动状态
的作用”。
牛顿把观察的结果与定义归纳为运动三定律：
定律一：每一物体都始终维持其静止或等速直线运动的状态，只有受了外加的力，
才被迫改变这种状态。
定律二：运动的改变（即运动量的改变率ma），与外加的致动的力成比例，而发
生于这种外力所作用的直线方向上。
定律三：反作用与作用总是相等而相反；换言之，两物体间的相互作用，总是大
小相等，方向相反。
牛顿所表述的动力学基本原理，支持了这一学科的发展达二百隼之久。
在1883 年马赫发表他的《力学》第一版①以前，没有人对这一表述所依据的
假定提出过严格的批评。马赫指出牛顿的质量定义与力的定义使我们陷入逻
辑上的循环论证中，因为我们只有通过物质对我们的感官所产生的作用才能
知道物质，而且我们也只能用单位容积中的质量来作密度的定义。
在总结动力学起源的历史时，马赫指出，伽利略、惠更斯与牛156 顿在
动力学上的研究成果，实际上只意味着发现了同一条基本原理，可是由于历
史上的偶然情况（这在一个全新的学科中是不能避免的），这一条基本原理
却用许多貌似独立的定律或词句表达出来。
当两个物体互相作用，例如靠了其间的引力，或靠了一条把它们连接起
来的螺旋弹簧相互作用时，它们相互产生的反向加速度的比例是一定的，而
只决定于这两个物体中的某种东西，这种东西，如果我们愿意的话，可以叫
做质量。这个原理是靠实验建立起来的，我们可以下一个定义说：两个物体
的相对质量，是用它们的相反的加速度的反比例来量度的，而它们中间的力
就是其中任何一个物体的质量与其加速度的乘积。
这样我们可以摆脱牛顿的质量定义与力的定义中包含的逻辑上的循环论
证，而得到一个以实验为根据的简单陈述，由此可以推导出伽利略、惠更斯
和半顿的许多原理——如落体定律、惯性定律、质量的概念、力的平行四边
形，以及功与能量的等效。
通过落体的实验，伽利略发现速度与时间成正比例而增加。这样一来，
本原的关系就是：动量的憎加，可以用力与时间的乘积来量度，或mV＝ft，
即牛顿定律。假使伽利略首先发现的事实是：由加速度a 而来的速度，随经
过的距离S，按平方的关系而增加，则这种关系v2＝..
2as（实即等于惠更斯的功与能量的方程式：fs＝
12
mv2 ，看起来就是本原的
关系了。由此才见，力和动量所以看起来似乎比较简单和比较重要，功和能
量的概念所以稽迟很久才被人接受，主要是由于历史偶然性的缘故。事实上
它们是互相关联的，任何一方都可以从他方推导出来。
再回到牛顿的定义时，我们还可以用另一个方法逃避逻辑上的循环论
证。这个方法虽然不如马赫的方法完备，对有关的问题却有所阐发。牛顿已
经认识到，人们从肌肉用劲的感觉得到力的机械概念，他本来很可以从这条
道路找到一条逃避循环论证的途径。动力学可以看做是把我们对于运动中的
①
Dr E. Mach, Die Mechanik in ihrer Enwickelung,1883.
物质的感觉提高到理性水平的科学，正如热学同温暖的感觉有关一样。我们
从空间或长度与时间的经验，得到本原的观念；我们肌肉的感觉同样地给我
们力的观念。这一感官所粗略地量度出来的等量的力，作用于不同的物体时，
将产生不同的加速度，因此我们可以把每一物体的惯性，即对于f 力的抵抗，
称为它的质量，并可以说，它是用一定的力所产生的加速度a 的反比来度量
的。因此m＝f/a。这样，质量的观念就是从一个心理状态，即我们的肌肉对
于力的感觉而来的。也许有人会批评这个方法把心理学引到物理学中来，但
是，指出这样做，就可以免除物理学中逻辑上的循环论证，却还是有一定意
义的。
在这样得到了质量的明确观念之后，我们就从实验中发现物体的相对质
量大致是一个常数。于是我们可以提出一个假设说：这个近似的常数是严格
真实的，或至少有高度准确的真实性，这样，我们就可以把质量M 当作长度
L、时间T 以外的第三个基本单位。从这个假设得来的无数推论在J．J．汤
姆生与爱因斯坦的时代以前，同观测与实验是高隆精确符合的。所以这个假
设是经过充分的验证的，除了非常特殊的情况外，它还是有效的。
质量既然可以用惯性来量度，剩下来的问题就是找出质量与重量的关系
了。所谓重量也就是把物体拉向地球的吸引力。这问题也为牛顿所澄清了。
史特维纳斯和伽利略的实验，表明两个重量不同的物体，W1 与W，以同
样的速度落地。物体的重量就是地球引力所产生的力，实验的结果证明重力
所生的加速度a1与a2，是相同的。根据上面所说的质量的定义，两物体的相
对质量m1与m2可用以下的关系来确定：
m1=W1/a1及m2=W2/a2,
a1=W1/m1及a2=W2/m2.
现在我们了解，任何公式的玩弄①或任何形而上学的考虑（如经院哲学由
亚里斯多德那里得来的）都不能导出两个自由落体的加速度的关系。等到史
特维纳斯和伽刊略用落体进行实验，才证明a1＝a2，是一个事实。但是，这
一点既经证明之后，从方程式所规定的质量、重量与力的定义便得：
W1W2 W1 m1
m1
=
m2
或
W2
=
m2
即两物体的重量与它们的质量成正比例。这是一个真正惊人的结果。牛
顿指出，这个结果要求重力必须“是从一个原因而来的，这个原因并不是按
照其所作用的质点表面的数量而起作用（机械的原因常是这样的），而是按
照物体所含的实际质量的数量起作用的”①。事实上，牛顿的天文学研究的结
果，证明重力的作用必定“贯彻到太阳的中心和行星的中心，而不丝毫减少
它的力量”。
伽利略的实验没有达到，也不能达到很大的精确度。巴利安尼更仔细地
重新进行了这个实验。他从一点让一个铁球和一个同样大小的蜡球同时坠
落。他发现当铁球已落了50 呎而到地时，蜡球还差1 呎。他正确地解释这个
差异是由于空气的阻力，这种阻力虽然对两个球体是一样的，但对于抵抗重
① 除非这玩弄者是爱因斯坦，而已公式中含有相对性原理。而相对性原理也是根据实验建立的。马赫在此
似乎错了；他说从他的质量的定义可以得到质量与重量的比例关系，但他暗暗地引入了a1＝a2 的结果。
①
Prlnslpia， 1713 ed.pp.483—484。
量较小的蜡球更为有效②。牛顿对于这个结果更加以精密的考察。他从数学上
证明一个摆锤摆动的时间必定与其质量的平方根成正比，与其重量的平方根
成反比。他又用了不同的摆锤来做仔细而精确的实验，摆锤的大小相同，以
便它们所受的空气的阻力相同。有的摆锤是各种物质的实体，有的是空球装
上各种液体或谷类的颗粒。在所有的情况下，他都发现在同一地点，同长的
摆在度量误差的极小范围之内，摆动时间是相等的。这样，牛顿就以更大的
精确度证实了重量与质量成正比的结果，而这个结果本来是可由伽利略的实
验推出来的。
数学方面的改进
把数理力学应用于天文问题的一个直接结果，便是需要改进研究中所用
的工具——数学。因为这个缘故，刻卜勒、伽利略、惠更斯、牛顿诸人工作
的时代，也就是数学知识与技术进步很大的时代。
牛顿与莱布尼茨以不同的形式发明了微分学。发明的先后，后159 来虽
有争执，但看来都是独立发明出来的①。变速观念的出现，要求有一种方法来
处置变量的变化率。一个不变的速度可以用在时间t 所经过的空间s 来量度；
不论s 与t 的大小如何s/t，一量是一定的。但是如果速度是变化的，那么
要找某一瞬间的速度值，只能就一个差不多觉察不出速度变化的极短的时间
来量度在这个时间内经过的空间。当s 与t 无限地缩小，而成为无限小时，
它们的商数即是那一瞬间的速度，莱布尼茨把这一速度写成ds／dt，而叫做
s 对于t 的微分系数。牛顿在他的流数法里，把这个数量写作s，这个写法用
来不大方便，现在已被莱布尼茨的写法代替了。我们在这里不过是拿空间与
时间来做例子罢了。其实任何两个量，只要是彼此依赖，都可用同样的方法
来处理。x 对于y 的变化率都可写作莱布尼茨的记法dx/dy 或牛顿的记法上
②。
逆转的计算，即微分的总和，或从变率去计算变量本身的方法，叫做积
分，常常是比较困难的工作。在研究某些问题时，如牛顿要从球体中亿万个
质点的引力去计算整个球体的引力，就得用积分法③。阿基米得用了类似的方
法去计算面积与容积，但他的方法由于远远超过了他那时代，所以后来就失
传了。
含有微分系数的方程式叫做微分方程式。很多物理的问题都可表达为微
分方程式：困难通常在于求它们的积分，从而求出它们的解答①。有一个事实
说明牛顿了解这个原理：他算出了一张数字表，来表达光线在大气中的折射，
而所用的方法则无异于列出光线路径的微分方程式②。
在《原理》中，牛顿把他的结果改成欧几里得几何学的形式，其中许多
② J.M，Child，上引书.
①
L.T.More，Lsaac Newton，New york，1934，p， 565 等页。
②
每个函数的微分系数之值都可计算出来，例如设y＝x 则可得dy／dx＝nxn-1.
③ 每个微分，都有一个对应的积分；因此上面所举的微分例中xn 即是对应的积分。可以证明：. 除非n 是
-1，那时积分是logx＋c。在每一例里，c 都是一个未知的常数。它在许多实际问题中，都是可以消去的。
①
举一个简单的例，方程式ydx＋xdy＝o 可以改写为于是可以分项积分，便得
②
Letter tO Flamsteed． Calalogue of the Newton MSS， Cambrige， 1888。P?xlll．
结果可能是通过笛卡尔坐标与流数法求得的。微分学迟迟才为人知道；但在
莱布尼茨和别尔努利（BernouiIli）所赋予的形式中，微分学却是现代纯数
学和应用数学的基础。
牛顿在数学的许多别的分支中也有不少贡献。他确立了二项式定理，提
出了很多方程式理论，而且开始使用字母符号。在数理物理学中，除了已经
叙述过的动力学和天文学外，他还创立了月球运行的理论，算出了月球位置
表，由这个表可以预测月球在恒星间的位置。这一工作成果对于航海有无上
价值。他创立了流体动力学，包括波的传播理论，且对流体静力学作了很多
的改进。
物理光学与光的理论
