③旧传亚氏设教分两类课程，“密授”与“院外”（αJρHαμαGιJHIJαιEξωGEρJHI）。其一较深密者，听众皆诸弟子；另一较浅易通俗者，容受一般听众。此节所称学院以外的讨论似即指此类通俗课程。
④参看本卷第六至九章。
假如数理诸对象存在，它们必须象有些人所说存在于可感觉对象之中，或是存在于可感觉事物以外（这个也有些人说过）；若说这两处都不存在，那么它们或是实不存在，或是它们另有特殊意义的存在。所以我们的论题不是它们的存在问题，而是它们怎样存在？
章二
说“数理对象独立存在于可感觉事物之中”是一个矫揉造作的教义，这我们已在讨论疑难问题时说过，实际上是不可能的。我们已指出两个实体不可能同占一个空间，并依照同样的论点，指出了其它的潜能与特质也只能涵存于可感觉事物之中，而不能公开来独在。这个我们已说过。按照这理论，这也是明显的，任何实体均不可能分开；因为实体之分必在面，面必在线，线必在点，若是者，如点为不可分割，则线、面、体亦逐依次为不能分开。这类实是为可感觉对象，或者本身不是可感觉对象，却参加于可感觉对象之中，这又有何分别？结果是一样的；如可感觉对象被区分，参加于其中的对象亦必被区分，如其不然，则可感觉实是便不能区分之使另成独立的数理实是。
但，又，这样的实是不可能独立存在。如在可感觉立体以外另有与之分离而且先于它们的一些立体，则在面以外也得有其它分离的面，点线亦复如此；这样才能讲得通。但，这些倘获得存在，则在数理立体的面线点以外又必更有分离的面线点。（因为单体必先于组合体，如在可感觉立体之先有无感觉立体，按照同样论点，自由存在的面必然先于那固定了的诸立体。所以这些面线将是那些思想家们所拟数理立体身上的数理面线之外的另一套面线；数理立体身上的面线与此立体同在，而那另一套则将先于数理立体面存在。）于是，按照同样论点，在这些先天面线之外，又得有先于它们的线点；在这些先天线点之外，又有先于它们的点，到这先于而又先于之点以外，才更无别点。现在（一）这里积已颇为荒谬；因为我们在可感觉立体之外招致了另一套立体；三套面，——脱离可感觉立体的一套，在数理立体身上的一套，还有脱离数理立体而自由存在的一套；四套线，与五套的点。于是数学应研究那一套呢？当然不是那存在于固定立体身上的面线点；因为学术常研究先于诸事物。（二）同样的道理也将应用于数；在每一套的点以外可以有另一套单位，在每套现存事物之外可有另一套可感觉数，在可感觉数之外，另一套理想数；依此不断的增益，这就将有无尽的不同级别之数系。
再者，这又怎样来解答我们前已列举的疑难问题？①因为天文对象也将象几何对象一样，独立存在于可感觉事物之外；但是一个宇宙与其各部分——或任何其它具有运动的事物——怎能脱离原在的一切而独立自存？相似地，光学〈景象〉与声学〈音乐〉对象也得各有其独立存在；这就得在可视听的个别声音与光影以外别有声光。于是，显然，其它感觉上亦应如此，而其它感觉对象也各得别有其独立的一套；何能在这一感觉是如此，而在另一感觉却不如此呢？然而若真如此，则更将有能够另自存在的诸动物，因为那里也有诸感觉。
①卷B，997b12—34.
又，某数学普遍定理的发展已逾越这些本体。这里我们又将在意式与间体之外，另有一套中间本体——这一本体既非数，亦非点，亦非空间度量，亦非时间。若说这是不可能的，则前所建立的那些脱离可感觉事物的实是，便显然皆不可能存在。
如人们可将数理对象当作这样的独立实是，而承认其存在，一般地说，这就引致相反于真理与常习的结论。这些若然存在，它们必须先于可感觉的空间量度，但事实上它们却必须后于；因为未完成的空间量度在创生过程上是先于，但在本体次序上则应是后于，有如无生命事物之应后于有生命事物。
又，数理量度将何时而成一，由何而得统于一？在我们可感觉世界中，诸事物每由灵魂而成一，或由灵魂的一部分，或其它具有理性的事物①而成一；当这些未在之时，事物为一个各各析离而又互相混杂的众多。但数理事物本为可区分的度量，又该由何原因为之持合而得以成一？
①1077a22，EFMφ难以考证其确指何物，兹解为灵魂中的理性。
又，数理对象的创造方式证明我们的论点是真确的。量度先创长再创阔，最后为深，于是完成了这创造过程。假如后于创造过程②的应该先于本体次序，则立本将先于面和线。这样，体也是较完整的，因为体能够成为活物。反之，一条线或一个面怎能发活？这样的假想超出于我们的官感能力。
②这里所用“创造过程”一字其实意为线面体的自然发展之程序。若以创造而论，长阔深三量度并无先后之别。（鲍尼兹诠释）
又，立体是一类本体；因为这已可称为“完全”。然而线怎能称为本体？线既不能象灵魂那样被看作是形式或状貌，也不能象立体那样被当作物质；因为我们没有将线或面或点凑起来造成任何事物的经验；假使这些都是一类物质本体，那我们就会看到事物由它们凑合起来。
于是，试让它们在定义上作为先于。这仍然不能说一切先于定义的均应先于本体。凡事物之在本体上为先于者，应该在它们从别事物分离后，其独立存在的能力超过别事物；至于事物之在定义上为先于别事物者，其故却在别事物的定义〈公式〉由它们的定义〈公式〉所组合；这两性质并不是必须一致的。属性如一个“动的”或一个“白的”，若不脱离本体，“白的”，将在定义上为先于“白人”，而在本体上则为后于。因为“白的”这属性只能与我所指“白人”这综合实体同在，不能与之脱离而独立存在。所以这是明白了，抽象所得事物并不能先于，而增加着一个决定性名词所得的事物也未必后于；我们所说“白人”就是以一决定性名词〈人〉加之于“白的”。
于是，这已充分指明了数理对象比之实体并非更高级的本体，它们作为实是而论只在定义上为先，而并不先于可感觉事物，它们也不能在任何处所独立存在。①但这些既于可感觉事物之内外两不存在，②这就明白了，它们该是全无存在，或只是在某一特殊涵义上存在；“存在”原有多种命意。所以它们并非全称存在。
①第杜巴黎校印本于此分章，以上一句为第二章之总结；以下为第三章，贝刻尔本至第十七行分章。自1077b11至1078a5语意连绵而下，故一般编排，便于此段注明分章而仍连接排印。
②参看1076a38—b11.
章三
恰如数理的普遍命题不研究那些脱离实际延伸着的量度与数，以为独立存在的对象，两所研究的却正还是量度与数，只是这量度与数已不复是作为那具有量性与可区分性的原事物，③明显地，这也可能有某些可感觉量度的命题和实证，这些并不在原事物的感觉性上着意，而是在某些其它特质上着意。①有好多命题，是专研运动的，不管那事物本身是什么，其偶然诸属性又如何，这些命题就专研这些事物的运动，这里没有必要先将前运动从可感觉事物中分离，或在可感觉事物中另建立一个运动实是，就这样，在运动方面将事物当作实体，或竟当作面，或为线，或为可区分，或为不可区分而具有位置，或仅作为不可区分物，可是并不另创为一级可运动对象，这也建立了若干命题，获得许多知识。于是，既然可以说这些全然是真实的，不仅可分离的事物存在，不可分离的（例如运动）也存在，那么这就可以说，数学家所赋予某些特质的数理对象也全然应该存在。而这也可以无条件地说，其它学术无不如是，各研究其如此如彼的主题——而不问其偶然属性，（例如以健康为主题的医学，若其有关健康的事物病人〉是“白的”，它就不问其白不白，只管其健康为如何，）各门学术就只管各自的主题——研究健康的就将事物可作为健康论的那部分为之研究，研究人的，就将事物之可作为人论的那部分为之研究——几何亦然；如其主题恰遇到了可感觉事物，虽则几何不是为它们的可感觉性进行研究，数理也不至于因此之故而被误为可感觉事物之学术。另一方面，在那些分离于感觉事物的诸事物上作研究也不至于被误会。
③参看卷B，1026a25，卷M，1077a9.
①有如普遍数学〈数理〉研究各级数学实是中的诸抽象，这样几何也可从各事物量度的可感觉性上进行抽象，因而专门研究事物间纯粹的空间关系。
许多特质之见于事物，往往出于事物之由己属性；例如动物有雌雄之辨这样一个特殊秉赋；（世上并无一个可脱离动物而存在的“雌”与“雄”）长度或面等之见于事物者其为属性毋乃类是。与此相仿，我们研究事物之较简纯而先于定义者，我们的知识就较为精确，亦即较为单纯。所以，抽象学术之脱离于空间量度者当较混含于空间量度者为精确，脱离于运动者当较混含于运动者为精确；但这学术若所研究者为运动，则当以研究基本运动方式者为较精确；因为这是最单纯的运动；而于基本运动方式中，又以均匀、同式、等速运动为最单纯。
同样的道理，也可应用于光学〈绘画〉与声学〈音乐〉；这两门学术都不是以其对象当作视象与声响来研究而是当作数与线来研究的；①然而数与线恰正是光与声的特殊秉赋。力学的研究也如此进行。
①希腊当时学术分类以光学隶于几何，以线为光学研究之本；声学隶于算术，以比例为音乐之本（参看“解析后编”75b15）。
所以，我们若将事物的诸属性互相分开，而对它们作各别的研究，另有些人则在地上划一条并非一脚长的线，而把它作一脚〈尺〉标准，我们这样做比之于那些人并不更为错误；因为其间的错误不包括在假设前提之内。②
②HKρEFGαιIπρHGασEθGHΨEKδHI为亚氏常用名学成语，其意谓那假定之一尺与真正的标准一尺间所有差数，在那假定尺（假设前提）中是不算数的。参看卷N，章二，1089a23.
每一问题最好是由这个方式来考察——象算术家与几何学家所为，将不分离的事物姑为分离。人作为一个人是一件不可区分的事物；算术就考虑这人作为不可区分而可以计数的事物时，它具有那些属性。几何学家看待这人则既不当作一个人，也不当作不可区分物，却当它作一个立体。因为明显地，即便他有时亦复成为并非不可区分，在这些属性〈不可区分性与人性〉之外，凡是该属于他的特质〈立体性〉总得系属于他。这么，几何学家说他是一个立体就该是正确的了；他们所谈论也确乎是现存事物，他们所说的主题实际存在；因为实是有两式——这个人不仅有完全实现的存在，还有物质的存在。
又，因为善与美是不同的（善常以行为为主，而美则在不活动的事物身上也可见到），那些人①认为数理诸学全不涉及美或善是错误的。因为数理于美与善说得好多，也为之做过不少实证；它们倘未直接提到这些，可是它们若曾为美善有关的定义或其影响所及的事情作过实证，这就不能说数理全没涉及美与善了。美的主要形式“秩序，匀称与明确”，这些惟有数理诸学优于为之作证。又因为这些（例如秩序与明确）显然是许多事物的原因，数理诸学自然也必须研究到以美为因的这一类因果原理。关于这些问题我们将另作较详明讨论。②
①显然是指亚里斯底浦（Aristippus）；参看卷B，996a32.亚里斯底浦约公元前435—356（？），北非洲息勒尼人，苏格拉底诸弟子之一，为伊壁鸠鲁前驱。
②这一预定课程，以后未见实授，或后世失其遗文。
章四
关于数理对象已讲得不少；③我们已说明数理对象是存在的，以及它们凭何命意而存在，④又凭何命意而为先于，凭何命意而不为先于。①现在，论及意式，我们应先考察意式论本身，绝不去牵连数的性质，而专主于意式论的创始者们所设想的原义。意式论的拥护者是因追求事物的真实而引到意式上的，他们接受了赫拉克利特的教义，将一切可感觉事物描写为“永在消逝之中”，于是认识或思想若须要有一对象，这惟有求之于可感觉事物以外的其它永恒实是。万物既如流水般没有一瞬的止息，欲求于此有所认识是不可能的。当时苏格拉底专心于伦理道德的析辩，他最先提出了有关伦理诸品德的普遍定义问题。早先的自然学家德谟克利特只在物理学上为热与冷作了些浮浅的界说，于定义问题仅偶有所接触；②至于毕达哥拉斯学派在以前研究过少数事物——例如机会，道德或婚姻——的定义，他们尽将这些事物连结于数。这是自然的，苏格拉底竭诚于综合辩证，他以“这是什么”为一切论理〈综合论法〉的起点，进而探求事物之怎是；因为直到这时期，人们还没有具备这样的对勘能力，可不必凭依本体知识而揣测诸对反，并研询诸对反之是否属于同一学术；两件大事尽可归之于苏格拉底——归纳思辨与普遍定义，两者均有关一切学术的基础。但苏格拉底并没有使普遍性或定义与事物相分离，可是他们〈意式论者〉却予以分离而使之独立，这个就是他们所称为意式的一类事物。凭大略相同的论点，这当然会引致这样的结论，一切普遍地讲述的事物都得有意式，这几乎好象一个人要点数事物，觉得事物还少，不好点数，他就故使事物增加，然后再来点数。通式实际已多于个别可感觉事物，但在寻取事物的原因时，他们却越出事物而进向通式上追求。对于某一事物必须另有一个脱离本体的同名实是①，（其它各组列也如此，必须各有一个“以一统多”〈通式〉，）不管这些“多”是现世的或超现世事物。②
③1078b6—8这一句贝刻尔本编在章三末，为第二第三两章之总结。第杜校本分为第四章之起句。
④章二与章三。
①1077a17—20，24—b11.
②参看“物学”194a20；又“动物之构造”642a24.
①HμωFKμHFGι（同名实是）有的抄本作σKFωFKμHFGι（同义实是）。
②1078b34—1079a3与卷A，990b2—8，几乎完全相同。以下1079a4—b3.亦几乎是990b9—991a7的重复；其中1079a14—19一节修改旧文较多，而立论仍同。
又，所用以证明通式存在的各个方法，没有一个足以令人信服；因为有些论据并不必引出这样的结论，有些则于我们常认为无通式的事物上也引出了通式。依照这个原则，一切事物归于多少门学术，这就将有多少类通式；依照这个“以一统多”的论点，虽是否定〈“无物”或“非是”〉亦将有其通式；依照事物灭坏后对于此事物的思念并不随之灭坏这原则，我们又将有已灭坏事物的通式；因为我们留有已灭坏事物的遗象。在某些颇为高明的辩论中，有些人又把那些不成为独立级类的事物引到了“关系”的意式，另有些论辩则引致了“第三人”。③
③参看卷A，990b18注，又卷Z，1039a2.
一般而论，通式的诸论点消灭了事物，这些事物的存在，较之意式的存在却应为相信通式的人所更予关心；因为相应而来的将是数〈二〉为第一，而不是两〈未定之二〉为第一，将是相关数先于数，而更先于绝对数。①——此外，还有其它的结论，人们紧跟着意式思想的展开，总不免要与先所执持的诸原理发生冲突。
①一般相关数即未定之“二”，如“两倍”较数二为普遍，故应先于数“二”（柏拉图学派之原则）。一般的数“二”相似地应先于“绝对数二”，所以相关数“两倍”应先于“绝对数二”。但倍即绝对二，亦即二之通式，这就或先于数二或后于二，而成为自相矛盾。
又，依据我们所由建立意式的诸假定，不但该有本体的通式，其它许多事物都该有；（这些观念不独应用于诸本体，亦得应用于非本体，这也就得有非本体事物的学术；数以千计的相似诸疑难将跟着发生。）但依据通式的主张与事例的要求，假如它们能被参与，这就只该有本体的意式，因为它们的被参与并不是在属性上被参与，而正是参与了不可云谓的本体。（举例来说明我的意思，譬如一事物参加于“绝对之倍”，也就参加于“永恒之倍”，但这是附带的；因为这倍只在属性上可成为“永恒”。）所以通式将是本体。但这相同的名词指个别本体，也指意式世界中的本体。（如其不然，则那个在个别事物以外的，所谓“一以统多”的意式世界中的本体，其真义究又何如？）意式与参与意式的个别事物若形式相同，它们将必有某些共通特质。（“2”在可灭坏的诸“2”中，或在永恒的“2”中均为相同，何以在“绝对2”〈本2〉与“个别2”中却就不是一样相同？）然而它们若没有相同的形式，那它们就只是名称相同而已，这好象人们称加里亚为“人”，也称呼一块木片为“人”，而并未注意两者之间的共通性一样。
但，我们倘在别方而假设普通定义应用于通式，例如“平面圆形”与其它部分的定义应用之于“本圆”〈意式圆〉再等待着加上“这实际上是什么”①〈这通式之所以为通式者是什么〉，我们必须询问这个是否全无意义。这一补充将增加到原定义的那一要素上面？补充到“中心”或“平面”或定义的其它各部分？因为所有〈在意式人中〉怎是之各要素均为意式，例如“动物”与“两脚”。又，这里举出了“平面”的意式，“作为意式”就必须符合于作为科属的涵义，作为科属便当是一切品种所共通的某些性质。
①1079b6，GHδHKEσGι，旭雷（P．Shorey）校为GHδδEσGι（“古典语文学报”第二十卷271—3），兹照他的校正文译。参看1086b27，这句和这一节辞旨简略，其大意在说明理想圆的定义与个别圆的普通定义相同，所应增补的只是意式如何为意式而已。
章五②
②此章全部除末一句外，1079b12—1080a8与卷A，991a8—b9几乎完全相同。
最后大家可以讨论这问题，通式对于世上可感觉事物（无论是永恒的或随时生灭的），发生了什么作用。因为它们既不能使事物动，也不使事物变。它们对于认识也不曾有所帮助（因为它们并不是这些事物的本体，若为本体，它们就得存在于事物之中），它们如不存在于所参与的个别事物之中，它们可以被认为是原因，如“白”进入于事物的组成，使一白物得以成其为白〈白性〉。但这论点先是阿那克萨哥拉用过，以后是欧多克索在他答辩疑难时，以及其他某些人也用过，这论点是很容易攻破的；对于这观念不难提出好多无可辩解的反对论点。
又，说一切事物“由”通式演化，这“由”就不能是平常的字意。说通式是模型，其它事物参与其中，这不过是诗喻与虚文而已。试看意式，它究属在制造什么？没有意式作蓝本让事物照抄，事物也会有，也会生成，不管有无苏格拉底其人，象苏格拉底那样的一个人总会出现。即使苏格拉底是超世永恒的，世上也会有那样的人。同一事物又可以有几个模型，所以也得有几个通式；例如“动物”与“两脚”与“人”都是人的通式。又通式不仅是可感觉事物的模型，而且也是通式本身的模型，好象科属本是各品种所系的科属，却又成为科属所系的科属，这样同一事物将又是蓝本又是抄本了。
又，本体与本体的所在两离，似乎是不可能的；那么意式既是事物的本体怎能离事物而独立？
在“斐多”中，①问题这样陈述——通式是“现是”〈现成事物〉与“将是”〈生成事物〉的原因；可是通式虽存在，除了另有一些事物为之动变，参与通式的事物就不会生成；然而许多其它事物（如一幢房屋或一个指环）他们说它并无通式的却也生成了。那么，明显地，产生上述事物那样的原因，正也可能是他们所说具有意式诸事物之存在〈“现是”〉与其生成〈“将是”〉的原因，而事物也就可以不靠通式而靠这些原因以获得其存在。关于意式，这可能照这样，或用更抽象而精确的观点，汇集许多类此的反驳。
①参看“斐多”100D.
章六
我们既已讨论过有关意式诸问题，这该可以再度考虑到那些人主张以数为可分离本体，并为事物之第一原因所发生的后果。假如数为一个实是，按照有些人的主张其本体就只是数而没有别的，跟着就应得有〈这样的各数系〉，（甲）数可以或是（子）第一，第二，一个挨次于一个的实是，每一数各异其品种——这样的数全无例外地，每一数各不能相通①，或是（丑）它们一个一个是无例外地挨次的数，而任何的数象他们所说的数学〈算术〉之数一样，都可与任何它数相通；在数学之数中，各数的单位互不相异。或是（寅）其中有些单位可相通，有些不能相通；例如2，假设为第一个挨次于1，于是挨次为3，以及其余，每一数中的单位均可互通，例如第一个2中的各单位可互通，第一个3中的以及其余各数中的各单位也如此；但那“绝对2”〈本二〉中的单位就不能与绝对3〈本三〉中的单位互通，其余的顺序各数也相似。数学之数是这么计点的——1，2（这由另一个1接上前一个1组成），与3（这由再一个1，接上前两个1组成），余数相似；而意式之数则是这么计点的——在1以后跟着一个分明的2，这不包括前一个数在内，再跟着的3也不包括上一个2，余数相似。或是这样，（乙）数的一类象我们最先说明的那一类，①另一是象数学家所说的那一类，我们最后所说的当是第三类。
①σKFβMηGαι字义为“比量”，或译“可相比”，或译“可相加”，或译“可相通”。
①见于1080a15—20，其下一类见于20—23，第三类见于23—25行。
又，各类数系，必须或是可分离于事物，或不可分离而存在于视觉对象之中，（可是这不象我们先曾考虑过的方式，②而只是这样的意义，视觉对象由存在其中的数所组成③）——或是其一类如是，另一类不如是，或是各类都如是或都不如是。
②参看1076a—b11.
③毕达哥拉斯数论派的观念。
这些必然是列数所仅可有的方式。数论派以一为万物之原始，万物之本体，万物之要素，而列数皆由一与另一些事物所合成，他们所述数系悉不出于上述各类别；只是其中一切数全都不能互通的那一类数系还没有人主张过。这样宜属合理；除了上述可能诸方式外，不得再有旁的数系。有些人④说两类数系都有，其中先后各数为品种有别者同于意式，数学之数则异于意式亦异于可感觉事物，而两类数系均可由可感觉事物分离；另一些人⑤说只有数学之数存在，而这数离于可感觉事物，为诸实是之原始。毕达哥拉斯学派也相信数系只数学之数这一类；但他们认为数不脱离可感觉事物，而可感觉事物则为数所组成。他们用数构成了全宇宙，他们所应用的数并非抽象单位；他们假定数有空间量度。但是第一个1如何能构成量度，这个他们似乎没法说明。
④指柏拉图。
⑤指斯泮雪浦。
另一个思想家①说，只有通式之数即第一类数系存在，另一些②又说通式之数便是数学之数，两者相同。
线，面，体的例相似。有些人意谓事物作为数理对象与其作为意式相异；③在意见与此相反的各家中，有些人只以数学方式谈数理对象——这些人不以意式为数，也未言及意式存在；④另有些人不照数学方式说数学对象，他们说并不是每一空间量度均可区分为计度，也不能任意取两个单位来造成2，⑤所有主张万物原理与元素皆出于“1”的人，除了毕达哥拉斯学派以外，都认为数是抽象的单位所组成；但如上曾述及，他们认为数是量度。⑥数有多少类方式这该已叙述清楚，别无遗漏了；所有这些主张均非切实，而其中有些想法比别一些更为虚幻。
①某个未指名的柏拉图学派。
②指齐诺克拉底。
③这主张盖出于柏拉图；参看卷A，992B13—18.
④指斯泮雪浦。
⑤指齐诺克拉底信于不可分线。（可参看里特尔与柏来勒“希腊哲学史”第八版362页）。亚氏在卷A章九99a20—23，以“不可分线”之说属之于柏拉图。
⑥1080b19.
章七
于是让我们先研究诸单位可否相通，倘可相通，则在我们前曾辩析的两方式中应取那一方式。⑦这可能任何单位均不与任何单位相通，这也可能“本2”与“本3”中的各单位不相通，一般地在每一意式数中各单位是不相通于其它意式数中各单位的。现在（一）假如所有单位均无异而可相通，我们所得为数学之数——数就只一个系列，意式不能是这样的数。“人意式”与“动物意式”或其它任何意式怎能成为这样的数？每一事物各有一个意式，例如人有“人本”，动物有“动物本”；但相似而未分化的数无限的众多，任何个别的3都得象其它诸3一样作为“人本”。然而意式若不能是数，它就全不能存在。意式将由何原理衍生？由1与未定之2衍生数，这些就只是数的原理与要素，意式之于数不能列为先于或后于。①但，（二）假如诸单位为不相通，任何数均不相通于任何数，这样的数不能成为数学之数；因为数学之数由未分化的诸单位组成，这性质也证明为切于实际。这也不能成为意式数。这样的数系，2不会是“一与未定之两”所生成的第一个数，其它各数也不能有“2，3，4……”的串联顺序，因为不管是否象意式论的初创者所说，意式2中的诸单位从“不等”中同时衍生（“不等”在被平衡时列数就因而生成）或从别的方式衍生，——若其中之一为先于另一，这便将先于由所组合的2；倘有某一物先于另一物，则两者之综和将是先于另一而后于某一。
⑦参看1080a18—20、23—35.
①柏拉图所承认的制数原理为1与未定之2（或译单双）。亚氏将此两原理当作“本1”与“本2”，因而论证（甲）它们不能制数，（乙）也不能先于或后于数，即不能为数之因也不能是数之果；因为它们是由不同品种单位所组成的。他进而又论证意式并非由任何原理所演生，所以并不存在。
又，因为“本1”为第一，于是在“本1”之后有一个个别之1先于其它诸1，再一个个别之1，紧接于那前一个1之后实为第三个1，而后于原1者两个顺次，——这样诸单位必是先于照它们所点到的数序；例如在2中，已有第三单位先3而存在，第四第五单位已在3中，先于4与5两数而存在。现在这些思想家固然都没有说过诸单位是这样的完全不相通，但照他们的原理推演起来，情况便是这样，虽则实际上这是不可能的。因为这是合理的，假如有第一单位或第一个1，诸单位应有先于与后于之分，假如有一个第一个2，则诸2也应有先于与后于之分；在第一之后这必须会有第二也是合理的，如有第二，也就得有第三，其余顺序相接，（同时作两样叙述，以意式之1为第一，将另一单位次之其后为第一个1，又说2是次于意式之1以后为第一个2，这是不可能的），但他们制造了第一单位或第一个1，却不再有第二个1与第三个1，他们制造了第一个2，却不再制造第二个2与第三个2.
假如所有单位均不相通，这也清楚地不可能有“本2”与“本3”；它数亦然。因为无论单位是未分化的或是每个都各不相同，数必须以加法来点计，例如2是在1上加1，3由2上加1，4亦相似。这样，数不能依照他们制数的方式由“两”与“一”来创造；〈依照加法〉2成为3的部分，3成为4的部分，挨次各数亦然，然而他们却说4由第一个2与那未定之2生成，——这样两个2的产物①有别于本2；如其不然，本2将为4的一个部分，而加上另一个2.相似地2将由“本1”加上另一个1组成；若然如此，则其另一要素就不能是“未定之2”；因为这另一要素应创造另一个单位，而不该象未定之二那样创造一个已定之2.
①未定之2为“倍”，作用于意式之2而产生两个2，这两个2之成4，异于两个意式之2.
又，在本3与本2之外怎能有别的诸3与诸2？它们又怎样由先于与后于的诸单位来组成？所有这些都是荒唐的寓言，“原2”〈第一个2〉与“本3”〈绝对3〉均不能成立。可是，若以“一与未定之两”为之要素，则这些就都该存在。这样的结果倘是不可能的，那么要将这些作为创造原理就也不可能。
于是，假如诸单位品种各各不同，这些和类乎这些的结果必然跟着发生。但（三）假如只是每一数中的各单位为未分化而互通，各数中的各单位则是互已分化而品种各不相同，这样疑难照样存在。例如在本10〈意式之10〉之中有十个单位，10可以由十个1组成，也可以由两个5组成。但“本10”既非任何偶然的单位所组成，①——在10中的各单位必须相异。因为，它们若不相异，那么组成10的两5也不会相异；但因为两5应为相异，各单位也将相异。然而，假如它们相异，是否10之中除了两5以外没有其它别异的5呢？假如那里没有别的5，这就成为悖解；②若然是另有其它种类的5，这样的5所组成的10，又将是那一类的10？因为在10中就只有自己这本10，另无它10.
①罗斯诠释此语：意式之10是一个整数，其中作为单位的各数亦应为意式数，而名为一个整数；因此那两个5应是不同品种，方能以两个不同事物为要素而合成一个整体，于十个1而论亦然。但是这与我们现在的持论就相矛盾了。
②此语颇难索解，特来屯尼克诠释品种相异的5盖为各单位以不同方式组合起来的5.
照他们的主张，4确乎必不是任何偶然的诸2所可组成；他们说那未定之2接受了那已定之2，造成两个2；因为未定之2的性质15就在使其所受之数成倍。
又，把2脱离其两个单位而当作一实是，把3脱离其三个单位而当作一实是，这怎么才可能？或是由于一个参与在别个之中，象“白人”一样遂成为不同于“白”与“人”（因为白人参与于两者），或是由于一个为别个的差异，象“人”之不同于“动物”和“两脚”一样。
又，有些事物因接触而成一，有些因混和而成一，有些因位置而成一；这些命意均不能应用那组成这2或这3的诸单位，恰象两个人在一起不是使之各解脱其个人而别成为整一事物，各单位之组成列数者意必同然。它们之原为不可区分，于它们作为数而论无关重要；诸点也不可区分，可是一对的点不殊于那两个单点。但，我们也不能忽忘这个后果，跟着还有“先于之2”与“后于之2”，它数亦然。就算4中的两个2是同时的；这些在8之中就得是“先于之2”了，象2创生它们一样，它们创生“本8”中的两4.因此，第一个2若为一意式，这些2也得是某类的意式。同样的道理适用于诸1；因为“第一个2”中的诸1，跟着第一个2创生4而入于本4之中，所以一切1都成意式，而一个意式将是若干意式所组成。所以清楚地，照这样的意式之出于组合，若说有动物的诸意式时，人们将可说动物是诸动物所组成。
总之，分化单位使成不同品种之任何方式均为一荒唐之寓言；我所说寓言的意义，就是为配合一个假设而杜撰的说明。我们所见的一〈单位〉无论在量上和在质上不异于别个一〈单位〉，而数必须是或等或不等——一切数均应如此，而抽象〈单位〉所组成的数更应如此——所以，凡一数若既不大于亦不小于另一数，便应与之相等；但在数上所说的相等，于两事物而言，若品种不异而相等者则谓之相同。倘品种有异，虽“本10”中之诸2，即便它们相等，也不能不被分化，谁要说它们并不分化，又能提出怎样的理由？
又，假如每个1加另1为2，从“本2”中来的1和从“本3”中来的1亦将成2.现在（甲）这个2将是相异的1所组成；（乙）这10个2对于3应属先于抑为后于？似乎这必是先于；因为其中的一个单位与3为同时，另一个则与2为同时。于我们讲来，一般1与1若合在一起就是2，无论事物是否相等或不等，例如这个善一和这个恶一，或是一个人和一匹马，总都是“2”。
假如“本3”为数不大于2，这是可诧异的；假如这是较大，那么清楚地其中必有一个与2相等的数，而这数便应与“本2”不相异。但是，若说有品种相异的第一类数与第二类数这就不可能了。
意式也不能是数。因为在这特点上论，倘真以数为意式，那么主张单位应各不同的人就该是正确的了；这在先曾已讲过。①通式是整一的；但“诸1”若不异，“诸2”与“诸3”亦应不异。所以当我们这样计点——“1，2”……他们就必得说这个并不是1个加于前一个数；因为照我们的做法，数就不是从未定之2制成，而一个数也不能成为一个意式；因为这样一个意式将先另一个意式存在着而所有诸通式将成为一个通式的诸部分。①这样，由他们的假设来看，他们的推论都是对的，但从全局来看，他们是错的；他们的观念为害匪浅，他们也得承认这种主张本身引致某些疑难，——当我们计点时说“1，2，3”究属是在一个加一个点各数呢，还是在点各个部分呢。②但是我们两项都做了；所以从这问题肇致这样重大的纷歧，殊为荒唐。
①见1081a5—17.
①意即所有列数，均为一个最大数的许多部分。
②亚贝尔脱（O．Apelt）解释亚氏语意：点数如当作加法，则各数均为数学之数；如把每一数当作一个个别生成之事物，就得成为各别的数。亚氏认为用两种看法来看这点计动作均无不可。
章八
最好首先决定什么是数的差异，假如一也有差异，则一的差异又是什么。单位的差异必须求之于量或质上；单位在这些上面似乎均有差异。但数作为数论，则在量上各有差异。假如单位真有量差，则虽是有一样多单位的两数也将有量差。又在这些具有量差的单位中是那第一单位为较大或较小，抑是第二单位在或增或减？所有这些都是不合理的拟议。它们也不能在质上相异。因为对于诸单位不能系以属性；即便对于列数，质也只能是跟从量而为之系属。③又，1与未定之2均不能使数发生质别，因为1本无质而未定之2只有量性；这一实是只具有使事物成为多的性能。假如事实诚不若是，他们该早在论题开始时就有说明，并决定何以单位的差异必须存在，他们既未能先为说明，则他们所谓差异究将何所指呢？
③数之质别有素数或组合数，平面（二次）或立体数（三次），这些质别皆为量变所成的属性。参看卷Q，章十四1020b3—8.
于是明显地，假如意式是数，诸单位就并非全可相通，在〈前述〉两个方式中也不能说它们全不相通。①但其他某些人关于数的议论方式也未为正确。那些不主于意式，也不以意式为某些数列的人，他们认为世上存在有数理对象而列数为现存万物中的基本实是，“本1”又为列数之起点。这是悖解的：照他们的说法，在诸1中有一“原1”〈第一个1〉，却在诸2中并不建立“原2”〈第一个2〉，诸3中也没有“原3”〈第一个3〉。②同样的理由应该适用于所有各数。关于数，假使事实正是这样，人们就会得想到惟有数学之数实际存在，而1并非起点（因这样一类的1将异于其它诸1；而2，也将援例存在有第一个2与诸2另作一类，以下顺序各数也相似）。但，假令1正为万物起点，则关于数理之实义，毋宁以柏拉图之说为近真，“原2”与“原3”便或当为理所必有，而各数亦必互不相通。反之，人苟欲依从此说，则又不能免于吾人上所述③若干不符事实之结论。但，两说必据其一，若两不可据，则数便不能脱离于事物而存在。
①参看1080a18—20，23—35.
②20行某人指斯泮雪浦；他不主于意式数而以“本1”为通式要理（本因），亚氏于此诋其瑕疵。
③参看1080b37—1083a17.
这也是明显的，这观念的第三翻版④最为拙劣——这就是意式之数与数学之数为相同之说。这一说合有两个错误。（一）数学之数不能是这一类的数，只有持此主张的人杜撰了某些特殊的线索才能纺织起来。（二）主张意式数的人们所面对着的一切后果他也得接受。
④指齐诺克拉底之说，参看1080b22.
毕达哥拉斯学派的数论，较之上述各家较少迷惑，但他们也颇自立异。他们不把数当作独立自在的事物，自然解除了许多疑难的后果；但他们又以实体为列数所成而且实体便是列数，这却是不可能的。这样来说明不可区分的空间量度是不真确的；这类量度无论怎么多怎么少，诸1是没有量度的；一个量度怎能由不可区分物来组成？算术之数终当由抽象诸1来组成。但，这些思想家把数合同于实物；至少他们是把实物当作列数所组成，于是就把数学命题按上去。
于是，数若为一自存的实物，这就必需在前述诸方式中的一式上存在，如果不能在前述的①任何一式上存在，数就显然不会具有那样的性质，那些性质是主张数为独立事物的人替它按上去的。
①见于1080a15—b36.
又，是否每个单位都得之于“平衡了的大与小”抑或一个由“小”来另一个由“大”来？（甲）若为后一式，每一事物既不尽备所有的要素，其中各单位也不会没有差异；因为其中有一为大，另一为与大相对反的小。在“本3”中的诸单位又如何安排？其中有一畸另单位。但也许正是这缘由，他们以“本一”为诸奇数中的中间单位。②（乙）但两单位若都是平衡了的大与小，那作为整个一件事物的2又怎样由大与小组成？或是如何与其单位相异？又，单位是先于2；因为这消失，2也随之消失。于是1将是一个意式的意式，这在2以前先生成。那么，这从何生成？不是从“未定之2”，因为“未定之2”的作用是在使“倍”。
②参看第尔士辑“先苏格拉底”（第三版）卷一，346，17—22，又270，18.
再者，数必须是无限或是有限（因为这些思想家认为数能独立存在，并就应该在两老中确定其一①）。清楚地，这不能是无限；因为无限数是既非奇数又非偶数，而列数生成非奇必偶，非偶必奇。其一法，当1加之于一个偶数时，则生成一个奇数；另一法，当1被2连乘时，就生成2的倍增数；又一法当2的倍增数，被奇数所乘时就产生其它的偶数。②又，假如每一意式是某些事物的意式，而数为意式，无限数本身将是某事物（或是可感觉事物或是其它事物）的一个意式。可是这个本身就不合理，而照他们的理论也未必可能，至少是照他们的意式安排应为不可能。
