关于这个话题，诺贝尔奖得主尤金·维格纳曾写过一篇很有名的文章，他提出了这样一个问题，为何数学这门语言竟能够如此精确地描述这个物理世界（只不过他没能够给出答案）。
对于那些微积分成绩低于B的人来说，二阶微分方程式就仅仅是一个数学结构，没有任何明显的直觉感知内容；而数学家们研究这些方程式的时候却把它们当作一种智力游戏，乐在其中。不过，二阶微分方程式是一门用来描述运动的语言；它们能够描述一切移动的物体，不管是疾驰的飞箭、坠落的苹果或者是沿轨道运行的行星，其简洁度和精准度都令人惊奇。其他的例子不胜枚举。数学家们发明一个概念，是因为他们觉得这个概念既美丽又优雅，一代人之后，物理学家发现他们需要的正是这个概念，可以用来描述一些最基本的规则，即宇宙运行的规则。泛函分析是一门描述量子力学的语言；微分几何用来描述相关性；我自己以前的专业代数K理论也发展成一个研究工具，用来探索在高度抽象的设置下一些纯粹的几何问题，最后发现它在物理学的弦理论中也有应用。
数学能够用来描述整个大宇宙，正如维格纳所强调的那样，这是一个多么非凡的奥秘——同时也是赐予我们的一点多么非同寻常的好运呀。当人类想要去揭开这个奥秘，认识到宇宙是由数学构成的，大概就存在着那么一个线索吧。
人们常常认为只有从简单中才能衍生出复杂来。这一点不可能正确，因为数学就是复杂的，而它并不是由什么衍生而来。这一看法我将在第三章中有更多的阐述。从一开始数学本身就有其内在的复杂性，它本身就包含了人类所能观察到的最为复杂的模式，大到星系演化，小到人脑结构或国家橄榄球联盟的薪金制度。为何要到别处去寻找其根源呢？
[1] 真理和人类的证明之间的区别就在于著名的哥德尔不完备性定理的核心，在之后的章节中我会做多一点的阐释。如果想更多地了解这个区别，请自行转至第九章和第十章。第十章中提供了一个程式的显式示例，这个例子就是一个不可以被证明的真理。
[2] 这个论断代表了一种主流观点，可以说是在数学工作者中唯一的一个主流观点。关于这一点的更多信息请参考附录部分。
[3] 欧几里德几何提供了一个很好的例子表明数学可以独立存在，不依附于任何物理表现。我们所生活的宇宙并不能通过欧几里德几何得到精确的描述。欧几里德三角形的三个角加起来正好等于180度。但是如果用三段钢梁铸成一个三角形，那么它的三个角加起来永远不会恰好等于180度。部分原因是空间本身是有一点点弧度的，因此用欧几里德几何定理来描述物理世界就会有一点点偏差。还有部分原因是，没有哪一根钢梁会像欧几里德三角形的边那么细，那么直。欧几里德三角形存在，但是它的存在超越了单一的物理现象。
[4] 我已经向大家讲述了霍夫斯塔特书中的这个故事，但是我深信真实情境中所发生的事情要远比这复杂多了。真实的爱因斯坦教授本人在做出回答时，除了参照我们的问题之外，还会受到一系列因素的影响，比如当时房间的温度、眼角瞥到的一位美女，还有身体各个部位的状况，比如鼻窦和膀胱。虽然，从原则上来讲，我们也可以模拟所有这些因素。
[5] 以防此处表述略显模糊，我会在下一章给出一个此种模式的例子。
[6] 我可以肯定地说，一定会有人工智能研究者站出来反对这个结论，觉得它荒诞滑稽，但是我也非常肯定的是，对于他们中的多数人深信不疑的东西，这个结论也捕捉到了其精神内涵。
[7] 一方面，模拟中的居民彼此间存在重要的差别，另一方面，他们还是和你我不同：一个经济模式可以在电脑上模拟，还可以随着时间不断延伸。相比之下，宇宙却不会随着时间延展，因为时间是宇宙的一部分。就如同宇宙不可能只凝固在阿拉斯加一样，它也不会随着时间延展。
在电脑上运行的程序可以说是两样东西：它既是一套指挥电脑运行的指令，同时它本身又是一个抽象的模式。如果我没弄错的话——宇宙——可以类比为这个抽象的模式，而不是那一套指令。时间和空间，连同我们对它们的认知都是这个模式中的板块。这个模式本身不会延展，它一直如此。
