? 如果存在数字可以用不同的方法写成两个立方数之和，那么必定存在一个可以用不同的方法写成两个立方数之和的最小数。
? 如果存在数字不等于它本身的话，那么一定存在一个最小的不等于它本身的数字。
我们还可以依次类推下去。你能想起来的关于数字的任何一种属性（例如“偶数”或者“质数”，或者“能够用不同的方法写成两个立方数之和”或者“不等于它本身”），都有一个对应的公理。顺便提一下，最小的偶数是0，最小的质数是2，最小的可用不同的方法写成两个立方数之和的数字是1729（1729等于1的立方加上12的立方，同时还等于9的立方加上10的立方），没有哪个数字不等于它自身。
这个无限系列就是算术公理的完整列表。当我提到这个公理列表的时候，我的意思是那个通用的列表。我当然也欢迎你加入比赛，继续往下写。早在一个世纪前意大利逻辑学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）第一个写下了这一特别的列表，人们通常称作皮亚诺公理。
以皮亚诺公理作为起点，然后再借用逻辑规则，我们就能证明一些定理。例如，我们可以证明两个偶数的和还是偶数，每个数都可以被分解成几个质数，以及没有最大的质数。我们知道这些定理都是真的是因为它们是从公理按照逻辑得出的，并且那些公理是真的。但这可不是定理为真的原因；两个偶数之和还会是偶数，不管这个事实是不是恰好由我们（或者皮亚诺教授）选择写下来的那些公理得出。
关于数学事实的问题都是真的。而其是否可被证明则取决于我们（有时候是任意的）所选的公理。
实际上，库尔特·哥德尔（Kurt G?del）在他那著名的不完全性定理中针对算术中的一句话，举了一个明显的例子，这句话是真的，但无法证明。他的这个例子太复杂，不适宜收录在此，但是我将在下一章中提供一个同样好的例子。
如果哥德尔的那句话无法证实，他是如何知道其为真呢？答案：他知道是真，是因为他有过证明。不过他“作弊了”，因为他用了另外一个公理，并不在皮亚诺公理列表上。
来说说那个额外的公理，我们将它称为超级公理：皮亚诺公理都是一致的。也就是说你不能用他的公理去证明自相矛盾的内容，例如“不是所有的偶数都是偶数”。
写一串前后矛盾的公理很简单，比如说你可以拿“零不等于一”作为第一公理，然后“零等于一”作为第二个。这两个公理相互矛盾，你能够使它们相互矛盾的原因是，其中有一个为假。
然而，皮亚诺公理不可能互相矛盾，这是因为他所有的公理都是真的。因此，那个超级公理为真，所有由此得出的内容也为真。哥德尔发现的那个句子一方面由皮亚诺公理加超级公理得出（因此我们知道它是真的），但是另一方面，它又不是只由皮亚诺公理得出（因此按照通常标准，它又是不可证明的）。
你感觉被骗了吗？哥德尔那个著名的“无法证明的”句子实际上是可以证明的——只要你让自己去用下那个完全没有争议的超级公理就行了。
因此，让我们把这个超级公理添加到我们的公理列表上来。现在的话，哥德尔的那个句子既是真的，又是可以正式证明的——就跟这个句子一样，“一加一等于二”，它既是真的，又是可以证明的。这里并没有什么不同寻常的东西。那么哥德尔的伟大成就在哪儿呢？
哥德尔回复到“只管说下去”，“把超级公理添加到皮亚诺公理列表。现在你能够证明我那个句子。但是我将给出一个新句子的例子——即使你用上这个新的、更长的公理列表也无法去证明它。而且我的这个新的句子也是真的”。
哥德尔是怎么知道他的新句子是真的呢？因为他去证明了！这次他又用了一个别的新的公理来“作弊”——我们称它为超超级公理：扩展了的公理列表——也就是说皮亚诺公理列表加超级公理——仍然具有一致性。
这个超超级公理为真，是因为包括超级公理在内的所有公理都是真的。哥德尔的新句子为真，因为他可以用这个超超级公理来证明。但是你却不能，因为这个超超级公理不在你的公理列表上。
我们来回顾一下：你从皮亚诺公理开始。然后哥德尔给了你一个句子，它是真的但你却不能证明。但是他用超级公理做出了证明。之后你说：“好吧，我将把这个超级公理添加到我的公理列表上；现在我也可以证明你的句子了。”哥德尔回复：“好吧。我将给你一个新的、证明不了的句子——即便用上你那个新的、自由化的证据规则也不行。”然后他用超超级公理来证明了这个新句子。
自然，你的下一个开场白就是把这个超超级公理添加到你的公理列表上。哥德尔的下一步棋必然是再找出一个新的、你无法证明的句子，即便是用上超超级公理也不行。他知道这个句子是真的，因为他已经用一个超超超级公理证明了。我们就这样一直下去。（实际上哥德尔的确也证明了他可以永远继续下去。）
没有哪一个公理列表可以来证明算数中所有为真的句子，这是哥德尔定理内容的一半。 [4] 仅这一点就能告诉你为真的东西和可证明的东西之间是有差别的。
我们来概括下：算术上存在陈述内容为真的东西。“真的”并不意味着“可证明”。相反，这里指的是普通意义上的“真的”。但是要想为真，这些陈述就必须是关于某些事物的，这里的某些事物就是自然数字这一体系。此外，这些陈述在任何人能够想到之前就是真的，而且不管曾经有没有人能够想到都将是真的。因此，自然数字在有人能够想到之前很久就已经存在了，而且不管曾经有没有人能够想得到，它都存在。在本书的第一章，上述观察便是其中心论点。
[1] 稍后我会在本章中把这些“运算法则”列出来。
[2] 经过再三思考，没有逻辑和证据的帮助我们也能了解事物，这点似乎也不足为奇。毕竟，蜘蛛知道如何织网，并不需要去寻找“第一定理”来推断出织网技术或者认真观察其他蜘蛛的工作过程以便推断出来。你可能会争论说蜘蛛的本能是无意识的，因此不能算作知识，但是如果蜘蛛天生就能织网，从原则上来讲，我找不到反对人们硬生生地理解数学的理由。
