[4] 如果你很聪明，你可能会忍不住把算术中所有真的句子拿出来作为公理。于是每一个为真的句子都有一个单行证据。你怎么来证明两个偶数的和还是偶数？答案：这是个公理！你怎么能证明不存在最大的质数？答案：还是公理！但是这种托词行不通。问题就在于按照这一方法，我们没有办法来辨别什么是公理，什么不是。每一个偶数是两个质数之和这句话是不是公理呢？答案：当且仅当它是真的，它就是一个公理——但是我们没有办法来辨别它是否为真，因此也就没有办法断定它是不是一个公理。游戏规则是这样的：你能够用任何你想用的公理，前提是有一个清晰的规则来判定什么是公理，什么不是。有了这个标准，我们可以说一列为真的句子并不等于是一列公理。
十
赫拉克勒斯和九头蛇怪
即便赫拉克勒斯用铁棍敲碎水蛇的头也毫无益处，因为每砍掉一个头，断处就会长出两个新头。
——（希腊）阿波罗多罗斯（Apollodorus）
在上一章中，我答应过给你描述一个数学领域中正确但无法被证明的命题。你大概会认为这个任务很难，甚至要难于赫拉克勒斯的任务。因此我先从赫拉克勒斯说起。
或许你听说过这个古希腊神话，赫拉克勒斯在盛怒之下杀死了自己的妻子和孩子。为了赎罪，他答应完成他的死对头欧律斯透斯（Eurystheus，希腊神话中迈锡尼国王，斯忒涅罗斯和尼喀珀之子，赫拉克勒斯曾为他服役）指定的一系列任务。
第一项任务是去扼死涅墨亚森林里铜筋铁骨的猛狮，赫拉克勒斯徒手就完成了任务。第二项任务是去杀死勒尔涅沼泽中为害人畜的九头水蛇。古希腊神话还告诉我们每次水蛇被切掉一个脑袋，断处就会有两个新头长出来。
事实上，古人的讲述有误。实际情况要糟糕得多。
首先，九头水蛇有很多。每种九头蛇的头的连接、排列方式都不同，但下图是比较具有代表性的一种：
正如你所看到的，这条水蛇比较特别，有些脑袋长在另一些上面（每个写有字母的圆圈就代表一个脑袋）。赫拉克勒斯可以砍掉位于顶端的任何一个脑袋：C，D，F，或H。
在被砍掉一个头之后，九头蛇的反应就是将这个掉下来的头的“父结点”带上其衍生结点（不包括敲掉的这个头）复制一遍。如果赫拉克勒斯打掉了C，九头蛇会复制一遍B（C的父节点）和B衍生出的所有节点（也就是D、E、F）。就像这样：
在接下来的一轮，赫拉克勒斯还是可以继续打掉处于最顶端的一个头——可以是原始状态下生长出来的，也可以是新复制出来的。这下，九头蛇又从这个掉下来的头的“父结点”开始复制——两遍！（也就是说，九头蛇会创建出两份新的“备份”，然后加入到自己的头当中。）如果在第一次打掉头C之后，赫拉克勒斯决定打掉第一个头D，那么九头蛇便会增添两个新版本的B-E-F的分支。
砍掉C之后：
在此基础上，砍掉第一个D之后：
如此循环往复。赫拉克勒斯第三次砍掉一个脑袋，水蛇就会创建出三个新的相应的分支。赫拉克勒斯再砍掉一个脑袋，水蛇创建出四个新的相应的分支……
如果赫拉克勒斯能够砍掉全部的脑袋，杀死九头蛇，他就赢了。
九头蛇有很多种，形状和大小各有不同，某些比其他的更容易被杀死。问题是：赫拉克勒斯可以杀死遇到的所有九头蛇吗？事实上，我们可以把它拆成两个问题：
?如果赫拉克勒斯聪明，他总能取得胜利吗？
?如果赫拉克勒斯愚蠢，他总能取得胜利吗？
第一个问题的答案是“可以”：如果赫拉克勒斯足够聪明（这或许正意味着他首先就打掉了最根部的头而使九头蛇遭一击便绝命），他总会取得胜利。
令人惊讶的是，第二个问题的答案也是“可以”。无论赫拉克勒斯表现得多么愚蠢，他都可以获得最后的胜利。这似乎一点也不明显，但确实如此。
当一个人比较愚蠢的时候，获胜确实需要相当长的时间。假设他仅仅需要面对简单的五头蛇，赫拉克勒斯只需几下子就会将这场竞赛拖入到处理成百上千的蛇头的状态中去，步数比这个序列中的第一百个数还要大：
我们怎么也没有办法去理解这个数字到底有多大，因此我们反过来先看下这个序列中比较靠前的几个数字。前五个依次等于2、4、16、256和65536。第六个数几乎达到了20000位（把它和以大著称的“天文数字”10的100次方相比较，这个天文数字也不过才101位）。第六个数字无法命名，因此我们给它起个名字以便讨论，接下来我会叫它“schnoogol”。
数学家约翰·恩瑟·李特尔伍德（J. E. Littlewood）曾经计算过老鼠在太阳表面存活一个星期的概率。显然，这个概率实际上几乎为零，李特尔伍德算出的结果是0.00000……1（1之前有多达137个0）——换句话说，几乎为零。根据李特尔伍德的计算推断，如果你把144只老鼠扔到太阳表面，它们当中任何一只在那里侥幸存活一个星期的概率就是schnoogol分之一。这会你该明白schnoogol有多大了吧？
这才仅仅是数列里的第六个数字呢。至于第七个数字，我称它为“kanoogol”，如果你同时扔schnoogol个硬币，所有硬币正面均朝上的概率便是kanoogol分之一。至于第八个数字——我只能放弃了。谈论它到底多大，这几乎没有任何实际意义。
数列中的第一百个数字可以告诉你这个五头水蛇可以和极其愚蠢的赫拉克勒斯僵持多久，直至被杀死。不过，赫拉克勒斯最后的确可以获得胜利，只是这确实需要相当长的时间。
这是一个数学事实；实际上，它只是一个与简单的运算法则有关的事实，因为九头蛇游戏确实也只是一个算术练习而已。我们使用示意图来演示发生的情况，但这都不是必需的；整个游戏完全可以利用含有许多数字的数学方式表达出来。
以下是一件更为不寻常的事实：赫拉克勒斯总会取得胜利，尽管这句话为真，但我们无法证明他总会取得胜利。“无法证明”意味着“无法用标准的算术公理来证明”，而标准的算术公理就是我们在前面提到的皮亚诺公理。
如果赫拉克勒斯的无敌性无法被证明，我们又如何知道这是正确的呢？当然，这是因为这已经被证明——只不过这种证明使用了皮亚诺公理列表之外的公理。这个公理便是我之前所说的超级公理：数学法则是具有一致性的。（也就是说，皮亚诺公理不可能推导出矛盾的结果。 [1] ）
有个更简单的办法来证明赫拉克勒斯总是会胜利：我们只需要引入一条专门的赫拉克勒斯公理，内容是“赫拉克勒斯总会胜利”。于是，整个证明只需要一行字：赫拉克勒斯总会胜利，因为这是一个公理。从逻辑上看，这似乎无懈可击，但它永远无法说服任何人去相信任何事情。这种无中生有臆造出来的公理并不会使它本身为真。
但是这样来说却是真的：赫拉克勒斯要么总不能取得胜利，要么总能取得胜利。同时，差不多每个人——也就是每个关注这些事情的人——无可否认的是，他们只是“每个人”当中非常小的一部分——相信事实上他总会取得胜利。他们相信这一点，是因为相关的证明是基于超级公理而不是所谓的“赫拉克勒斯公理”，而且超级公理并不是无中生有臆造出来的。超级公理不需要证明就是正确的。
是什么使得超级公理不证自明呢？唯一的原因便是——我们认识到算术公理是有内容、实实在在存在的。一个随意的公理列表很可能就是前后不一致的，但算术公理不是随机的。它们描述了真实存在的事物，即自然数体系。正因为如此，我们知道它们是具有内部一致性的；换句话说，也正因为如此，我们知道超级公理是正确的。
如果某天有人发现一条赫拉克勒斯无法打败的九头蛇，我们就会得知超级公理是错误的，因此我们会得知算术公理是前后不一致的，自然数也不存在。但那种情况的可能性有多大？或许又是kanoogol分之一吧！
[1] 已知的这个证明用到了超级公理。那么是否可能存在其他的证明方法（只是还没被发现），能够不用这个超级公理得出结论？答案是不可能。以下就是原因：超级公理暗示了赫拉克勒斯的无敌性，不仅这一点为真，而且反过来还是真，赫拉克勒斯的无敌性蕴含了这个超级公理。但是我们又从哥德尔那里知道皮亚诺公理并不蕴含这个超级公理。于是皮亚诺公理不能说明赫拉克勒斯的无敌性。
十一
不完备的人类思维
当我们谈到用算术去证明定理时，那些真正已经触及或可能触及人类心灵的问题并不会像回答“人们可以跳多高”“一个人在5分钟内能吃多少热狗”“一个人可以记住圆周率小数点后多少位”“人类目前可以到达多远的太空”等问题那样简单。它们会更像“一个人在5分钟内能吃多少热狗且不会让自己感到恶心”之类的问题，它们是在不同的时代、不同的社会中由不同的人得到不同答案的问题。
——托克尔·弗兰岑（Torkel Franzén）
哥德尔的不完备性定理因为启发了两种对立的、持久的错误论调而享有盛誉。它既被拿来“证明”人类的思维比你所期待的更狭窄，也被拿来“证明”人类的思维比你所期待的更宽广。
第一种错误论调似乎主要是受人们对“不完备性”这个词过于宽泛的解释的“启发”，认为“哥德尔证明了一切形式的推理都是很不充分的”。
事实上，哥德尔只是证明了如下内容：首先，正如我们所看到的那样，无论你选择哪一个（正确的）数学公理，都会有很多（正确的）命题你无法证明，第二，数学本身不能够被用来证明其自身的一致性。
这些说明公理系统存在着明显的局限性。但人类的思维并不存在这种明显的局限性，因为人类的思维本身并不是公理系统。我们思考时经常用的是类比和比喻，我们总以直觉和本能作为向导，我们在前进的过程中会不断改变规则。人类的思维就是一种充满了各种偶然性的混杂，我们因此会常常犯错，但正因为如此，我们的思维完全不受哥德尔不完备性定理的约束。
对第一种错误的论调就说这么多吧。第二种错误论调就更有趣了。
第二种论调大概是这样的：一台基于数学公理（即所谓的皮亚诺公理）运行的计算机，绝对无法证明赫拉克勒斯可以击败九头蛇。 [1] 但是，因为我们都深知数学是具有一致性的，所以你和我都知道赫拉克勒斯可以击败九头蛇。因此，你和我都知道一些连计算机都证明不了的东西。所以，你和我的大脑比任何计算机都强大。
当我还是个孩子的时候，我有一个超级好玩的玩具叫“第一代数码计算机”。在销声匿迹几十年后，我很高兴地看到这款玩具又出现在了市场上。“第一代数码计算机”完全就是一台机械计算器：它利用弹簧和橡皮筋来运行，而且你必须使用一套工具来初始化它的状态。编程的办法是把细小的塑料管（从饮料吸管剪下来的）贴上合适的标签，而运行程序的办法则是推动当中的一个杠杆。计算机的背面完全暴露在外面，所以你能看到塑料管、橡皮筋互相推来推去。玩过“第一代数码计算机”的孩子可以深刻洞察到计算机的工作原理。
你可以用“第一代数码计算机”编程来设计游戏，尽管设计出来的游戏不可能太复杂。它的计数能力最多只有8位。我可以下棋（但不是绝顶高手），而且我可以准确地预计300种可能发生的情况。这是否证明我的大脑比任何计算机都强大呢？不，这只能证明我的大脑比“第一代数码计算机”强大。
同样，赫拉克勒斯打九头蛇的游戏也只能证明你和我的大脑比某些计算机强大，并不能证明它们比任何计算机都强大。一台只能依照皮亚诺公理运转的计算机不能得出赫拉克勒斯总可以击败九头蛇的结论。但一台依照皮亚诺公理和表明数学内部一致性的“超级公理”（或者就此而言，证明赫拉克勒斯总可以击败九头蛇的公理）运转的计算机可以很容易得出这样的结论。
如果你真的想要提出一个哥德尔式的命题，比如人类的思维能力比计算机的运算能力更强大，你不如把论证做得更漂亮些。下面便是一种尝试：你和我“刚刚发现”，一旦你接受了数学公理，你就可以同样接受超级公理。你可以断言，没有电脑可以产生这样的跳跃性思维。
不幸的是，针对这个命题，我们可以很容易就制造出一台能产生这样的跳跃性思维的计算机。首先，你将皮亚诺公理输入计算机。然后，在旁边添加一个大的蓝色按钮。当按钮被按下时，一个新的公理便被加入了，其内容是目前已知的公理都是具有一致性的。最终，你不妨给计算机加装一条机器臂，每次做证明卡住，需要新的公理的时候，它都可以自己去按下那个蓝色按钮。 [2] 现在，我们已经制造出一台能够“只意识到”添加超级公理很合理的计算机。然后，如果有需要的话，它可以继续按下按钮，而且“只意识到”添加超超级公理（其内容便是包括超级公理在内的所有公理都是具有一致性的）也很合理。依此类推下去，它就像一个人。
然而，这里好像仍然有一点是人能做到而计算机做不到的：你和我可以意识到添加终极公理（无论按下蓝色按钮多少次，得到的公理总是具有一致性的）也很合理。但是这意味着你和我比任何计算机都强大了吗？不，这只会让我们显得比这台计算机强大。只需制造一台一按下红色按钮就可导入终极公理的计算机，就能证明我们并不比这台计算机强大。
依此类推。你可以告诉我在这个功能区所用的原则，在这些原则的指导下，“只意识到”这个功能会知道添加哪些公理到你的理论中比较合适，我来为计算机添加按钮以便体现这些原则。
虽然还不够完全，但这已经足以揭示第二种论调的错误之处了。我们还可以尝试用最后一搏来使它起死回生：“当然，如果我把自己加入公理的原则告诉你，你就可以制造出能够表达这些原则的计算机。但是，我的原则是无限的。我有一个原则，即无论你按下多少次按钮，你的理论依旧是具有一致性的。你可以再用一个绿色的按钮来表述它，但我再加入一个新原则，即无论你按下多少次绿色按钮，你的理论依旧是具有一致性的。无论你制造了多么强大的计算机，我总能找出你没有预置进计算机内的原则。所以，没有计算机能跟我的大脑一样强大。”
因此，当你使用到更高层次的原则时，把握住每一个原则的含义就更加困难了，更不用说还要确认它的正确性了。你真的确信，运用很多很多很多很多次“按下蓝色按钮很合理”的原则的原则的原则的原则以后，你还能保持数学具有一致性的观点不变吗？按照托克尔·弗兰岑的话来说就是：
当我们继续制定更有力、更广泛的原则，将一个正确的理论放大为一个更丰富且正确的理论时，我们就要面对一系列问题，一系列需要用“的确如此”还是“显然不对”来回答的问题……不同的数学家、哲学家对于这些问题会给出不同的答案，甚至会有很多人说并没有明确的答案。为了设计出一个能完全模仿人类数学家的反应的机器人，我们原本应该提供给它类似的参考答案的范围。除非我们做到了这一点……否则，我们就没有理由宣称人类数学家可以证实所有机器人无法证实的内容。可是，我们其实只是成功地将机器人变得跟人类一样，而机器人在从一个影响深远的正确理论思考出更强有力的正确理论的过程中，是思维混乱的，无法确认结果的。
换言之，你的思维中能够很自然就接纳的原则很可能并不是无限的，而且只要它们不是无限的，我就可以将它们全部输入到一台计算机里去。哥德尔的理论并不能用来反驳这一点。
[1] 这里我用到了关于赫拉克勒斯和九头蛇这个游戏的两重事实：1）单用皮亚诺公理不可能证明赫拉克勒斯可以打败九头蛇；2）如果加入超级公理，用来说明皮亚诺公理具有一致性，就有可能证明赫拉克勒斯可以打败九头蛇。
[2] 对于这个贴切的形象，我要特别感谢已故的逻辑学家托克尔·弗兰岑。
十二
逻辑规则和一头肥猪的故事
哲学的特征就在于，从貌似微不足道的简单事物出发，最终得出貌似自相矛盾以至于无人相信的结论。
——伯特兰·罗素
数学家就像小情人。给数学家提供一丁点儿原则，他就会由此推导出一个结果并向你索取它，接下来他还会从这个结果推导出下一个同样会向你索取的结果。
——伯纳德·德·方特纳尔（Bernard de Fontenelle）
数学中最有名的违反人类直觉的公理要数著名的巴拿赫–塔斯基分球悖论：先按照你想要的任意尺寸挑选一个球，比如说足球；然后我们总是可以把这个球分成五部分，经过一定的方式重新排列，就可以还原回去两个立体球，而且都和原来的球一样大。现在我们再进行一次，你就能够得到四个立体球；次数足够多时，这些球足以填充整个宇宙。
如果你不确定有多少人会来参加你的生日派对，这个理论听起来就很有用了。你只需要按照你想要的尺寸烤一个蛋糕（要是这个定理生效的话，你甚至无须特意烤球形的蛋糕），把它切成形状合适的5份，然后把它们按照正确的方式重新组合起来，你就获得了两个和原来一样的大蛋糕。
不幸的是，巴拿赫–塔斯基定理仅适用于真正的固体物质，而生日蛋糕还远远算不上固体。现实世界中的其他任何东西都不是，因为它们都是由原子构成的，而原子大部分是空的。“巴拿赫–塔斯基分球悖论”冲击着我们的直觉，是因为我们对它提到的所谓真实的固体的状态并无任何了解。
我们知道“巴拿赫–塔斯基分球悖论”在逻辑上是成立的，只不过我们并没有证据来证明它，更不能依靠直觉或洞察力来揭示它，而只能靠纯粹的逻辑推导来得出这样的结论，这种简单的证明是任何一位数学专业的大一新生都能理解的。反过来说，其证明只能依靠对数学法则和集合论的基本概念的掌握程度，而不是我所强调的逻辑之外的理由来推导。但只要将那些基本概念作为条件，我们就能按照逻辑原理推导出“巴拿赫–塔斯基分球悖论”。
这个悖论的寓意就是，有些知识只能凭借逻辑推理来了解。这不仅适用于数学知识，还适用于我将介绍到的后文中的一些经济学范例。但我们还是先继续关注数学知识吧。
如果你想要一个简洁、漂亮且功能强大的很好的数学上的证明范例的话，那么请返回到第三章——事实上那是我所知道的最好的范例。那一论证表明有限的质数列表不可能是完整的（或者换句话来说就是，质数有无限多个）。就如同这个巴拿赫–塔斯基定理，单纯依靠观察、直觉或者超感官知觉绝对无法得出结果。我们需要做出证明。
举一个更令人吃惊的例子吧。从自然数里随机选择一个数，它不能被任意的平方数（1除外）整除的概率是多少呢？ [1] 准确的答案是6/π 2 ，或者约等于60.79%。这个π就是你在几何课上学到的圆周率——那个约等于3.14的数。像60.79这样的数字并没有什么特别有趣之处，但是这个π就有点吸引你的眼球了。为什么圆周周长长和其直径的比率会出现在一个算术问题中？
要证明6/π 2 就是那个正确的答案要比证明质数的无限性还要难，但是又比证明巴拿赫–塔斯基定理要容易点。为了满足那些对此类内容感兴趣（而且还能良好掌握大学微积分知识）的人，我已经将自己的证明过程发布到了网上，网址是：http://www.thebig-questions.com/pi.pdf。
在数学上，纯逻辑能够揭示很多伟大的真理。在其他领域也是如此。例如，纯粹的逻辑——无须补充任何证据——可以告知我世界已经陷入重度空气污染中了。这听起来或许不足为奇。诚然，人们都不喜欢污染，但这并不能证明我们已经造成了太严重的污染。毕竟，人们都不喜欢支付账单，这也不能证明我们已经支付过太多账单了。污染，就像买单一样，是那些我们珍视的事物（例如电力、现代建筑和乘飞机旅行）所附带的令人不愉快的副产品。确切的数目当然不会为零。
因此，如果这个量不是零的话，我如何来确定就是很多，而不是很少或者只是适量呢？我怎么能在不知道污染及污染所造成的损害的具体程度的情况下就做出这样的断言呢？让我们从谈论一个大肥猪的案例来寻找答案吧。
我曾经的一个研究生和一位兽医学教授奥德里奇同名。有一天，她收到了一封来自本地农民的（明显是寄错对象的）信件，这封信的内容如下：
亲爱的奥德里奇博士：
我们在10月份从朗蒙特市的阿斯塔西亚·孔普夫那里购买了一头大肥猪。兽医说我们得有一份关于这头猪的包含伪狂犬病检查的健康报告。据我们从阿斯塔西亚那里了解到的情况，她把她的猪群送到大学里检查过。她也给了我们您的大名。那么，您能够把有关检验这头大肥猪血液的最好方法教给我们吗？我们确实希望您能在这个问题上帮助我们。谢谢！
约翰·温尼坎普
她的回复如下：
亲爱的约翰·温尼坎普先生：
虽然我并不是大肥猪血液检验方面的专家，但我深信，如果正确运用基本的经济学原理，就能够以最有效的方式完成这一任务。
大肥猪的血液应该一直被测试下去，直到测试的边际成本正好等于测试的边际效益。 [2]
也许这个图可以说明我的观点：
真诚的，
奥尔德里奇博士
试图解释这个有趣的笑话，或许存在一个风险，那就是会糟蹋它，我发现奥尔德里奇博士的建议既是完全正确的，又是毫无用处的。在第一次、第二次和第三次抽取一加仑猪血的时候，图表显示，检验带来的边际效益（以美元衡量）超过了边际成本，所以这些猪血应该被检验。 [3] （事实上，要检验猪血的话，我们本来应该选择比加仑小一些的单位，那样更合适。）这种情况一直不变，直到我们检验的猪血数量增加到Q*加仑，此时边际成本和边际效益完全相当。对于后续的检验来说，检验的边际成本超过了边际效益，所以你测试到Q*加仑就应该停下来。
这个分析的确简洁、漂亮。不幸的是，我们并不知道Q*到底是4还是8还是17。我们怎么可以像“奥尔德里奇博士”那样，在对大肥猪完全没有任何专业研究的情况下就随意在一张纸上画几条曲线来解决问题呢？（当然，这就是这件事能变成冷笑话的原因。）
这是一个多么了不起的发现啊！我们并不比“奥尔德里奇博士”拥有更多的专业知识，也不比他更用心，我们却能够使用同一张示意图来发现一些关于世界本质的问题。
假设这样一种情况，当农夫温尼坎普给他的猪抽血时，猪大声嚎叫，由此惹恼了邻居。那么，我们就可以在示意图里增加一条曲线。之前的个人边际成本曲线，用来衡量温尼坎普先生所关注的花费情况（时间、精力和用来进行血液检验的材料），除去这条曲线，我们得到了一个新的社会边际成本曲线，涵盖了所有这些成本，加上施加于邻居的成本：
如果完全不考虑邻居的烦恼的话，温尼坎普先生仍然有必要去检验恰好Q*加仑的猪血。另一方面，如果我们考虑到邻居的因素，而且你想使所有效益超过所有成本（包括邻居的烦恼对应的成本）部分最大化，你会想让他只测试Q**加仑的猪血。
所以现在你了解到的情况就是：自私的温尼坎普先生要测验恰好Q*加仑的猪血，而一个有社会意识的观察员则只想让他测试Q**加仑的猪血。还和以前一样，我们根本不知道Q*和Q**的具体值。这个看上去和之前的示意图一样没什么用处。
除了一点例外，这一次我们接触到了一个真实的、深刻的事实。那就是，Q*总会出现在Q**的右边。换句话说，当你因抽猪血而惹邻居不悦时，你抽取了更多的血，多于你应该抽取的数量。这样的道理同样适用于任何会惹恼邻居的行为，例如污染了空气。
这里使用的“应该”一词有着非常精确的含义。对你和其他人而言——如果它带来的所有效益——超越了它耗费的所有成本，那么我在说的就是你应该这样做。而血液测验图描述了一个重要的普遍原则：当你的行为带来的成本会部分波及你的邻居时，你在这些行为上实际花费的精力其实比你“应该”花费的要多。
这是经济学中的一个基本原理。它也是——完全无法得到验证——至少在这个给肥猪抽血测验的事件中是这样的。无法验证是因为我们在实际做的时候无法知晓邻居到底会有多恼怒，因此也无法实际测量出相关的成本和收益。不过，即使这是一个无法验证的命题，我们仍然知道它是真的。只要社会边际成本曲线一直在个人边际成本曲线的上方，我们就知道Q*总会出现在Q**的右边。这是一个纯几何学结论，自欧几里德发现几何学原理以来，纯几何学比任何观察方法要靠谱得多，且更具指导意义，最起码这对某些种类的真理来说是这样的。
我们还可以根据类似的示意图确立一个类似的原则：当你的行为产生的效益会部分波及你的邻居时，你在这些行为上实际花费的精力其实比你“应该”花费的要少。
你可能会觉得这些原则都非常显而易见，但它们带来的后果却并不是如此。比如说，我们来思考一下这个问题：世界上的一夜情行为是太过泛滥还是太过罕见？ [4]
我们先来做一个思维实验。我们来假设你（未必就是现实世界中的你，仅仅是一些你的虚构版）是一个不计后果、不检点、过去有着一大群性伙伴的人。这样一来，你染上某些可怕疾病的可能性就非常大。每次你跟一个新的性伙伴发生关系，你都有可能将这种可怕的疾病传染开来。
不过，这并不能证明你就不应该跟任何人发生性关系，它甚至不能证明你的性伙伴太多了。就像污染一样，你的不计后果也能带来一些效益，这效益至少可以抵消部分成本。你的放纵大概给很多人都带来了快乐。因此，关于你的性伙伴是太多了还是太少了，答案并不会立刻显现出来。但我敢肯定你的性伙伴太多了，就像出于同样的理由，我敢肯定世界的污染太严重了一样——因为你的行为成本会部分波及我们其他人。我们都在同一个池塘里钓鱼，每次你跳进池塘里，都会污染池塘里的水。而在给大肥猪抽血的例子中，我可以说你跳进池塘的次数实在太多了。如果你表现出一定的自我克制的话，世界会变得更加美好。
我认为，这一点很容易理解，也容易让人相信。但是现在让我们来看看这个例子的另一面，所有令人惊讶的结论都出来了。
现在假设你是一个在性方面很谨慎、很保守的人，几乎没有性伙伴，因此你极不可能感染上某些很可怕的疾病。当你跳进大家垂钓的池塘时，你可以魔法般地让它变得更加干净。今天和你回家过夜的性伙伴注定会享受一整晚安全的性行为。你的这些性伙伴们自己都没意识到自己有多么幸运。
这一次波及他人身上的就不是你的行为成本了，而是你的行为所产生的效益。这一点可能意味着你的性伙伴的确太少了。正如污染者跳到池塘里的次数太多，而你跳进去的次数还远远不够。如果我们能让你得到更多的性伙伴，这世界也会变得更安全、更快乐。
实际上，有两个原因可以使我们的世界变得更美好，我只提到了其中的一个：你们这对偶遇的性伙伴开始享受相对安全的性行为。你还能通过第二种方式来让世界变得更美好，这种方式有点恐怖但却可能有很重要的实证意义。下面我来展示一下：外面来了些感染了疾病的人，而如果你今晚要去寻找一个性伙伴，你就很有可能把其中一个被感染的人带回家。然后你自己就可能被感染。最终，你会生病，甚至死掉。如果有人会在今晚染病，我宁愿染病的人是性行为谨慎的你，而不是不检点的彼得，因为他会在自己死前感染二十来个其他人。
现在的话，这一论证没什么问题，但不幸的是，你不能拿这个作为搭讪别人的准则。比如在酒吧里，你绝不会离谱到跟人这样说：“跟我回家吧，这样我就能感染你，而不会传染给其他别的人。”这里的整个要点是，对于个体决策者来说，这是件很好的事情，而这对于其他人来说就不是一回事了。环境污染者不会关注他们的烟囱给别人带来的损害；不检点的彼得也不会关注自己散布出去的病毒，而你——这个在性方面很谨慎、很保守的人——不会关注那些因为你过度守身如玉而死在滥交者手上的人。
于此，我们应该怎么做呢？比较理想的情况就是，我们会想办法鼓励那些在性方面很谨慎、很保守的人带走更多的性伙伴。不需要太多——我们并不是想把他们全部变成不检点的彼得的翻版。仅仅多一点就可以了。我们如何才能做到这一点呢？我也不知道答案，尽管我认为免费发放避孕套也许是朝着正确的方向迈出了一小步。
如果我们能以某种方式让那些在性方面很谨慎、很保守的人稍微放松一点，世界可能会因此变得更美好——艾滋病患者会减少，快乐的记忆会更多。最值得注意的是，我们可以通过纯粹的逻辑推理得出这一点，根本不需要任何依据。
那么，世界究竟会因此变好吗？首先，你的（大概是两厢情愿的）性伙伴们应该会获得更多的乐趣。诚然，她们得冒着患病的风险，但是她们已经确定你值得冒这样的风险——甚至在她们根本不知道这风险到底有多低时。其次，你通过提高安全的偶然性性行为的比例，而且（或者）从不检点的彼得那里夺过来一些性伙伴，从而实际上或许会减缓传染病的传染速度。从另一方面来讲，你也可能加快传染病的散播速度——毕竟，我们其实还不能确认你现在还没有感染疾病。
这结果喜忧参半。接下来你的性伙伴会导致第二轮影响，而你的性伙伴的性伙伴会导致第三轮影响。能不能从头到尾理出整个过程的利弊，这是一个重要的研究项目。幸运的是，我们已经预先知道了如何去核定预算。总而言之，让那些在性方面相对谨慎、保守的人变得略微滥交一些，这是一件好事。 [5]
如果你发觉这个结论令人惊讶的话，那么请记住，这是严格按照我们得知世界上的污染情况很严重的思维方式推导出的结论。如果你相信世界上的污染情况很严重，你必定也相信大家都守身如玉的情况也很严重。
请允许我对于这一点再啰唆一次：你不需要去了解大肥猪，但你完全可以知道给大肥猪抽血会惹恼邻居。你根本不需要去了解现实的污染到了何种程度，但你可以知道世界上的污染已经很严重了。你也根本不需要去了解确切的性病传播率，但你完全可以知道高风险人群拥有太多的性伙伴，而低风险人群拥有的性伙伴人数则太少。这一切结论都是由纯粹的逻辑推理得出来的。有时候，你需要的仅仅是逻辑而已。
[1] 如果这是本数学教材的话，我将会花点时间来详细说明一下“随机”这个词的准确含义。但这本书并不是，所以我就不再对此赘述。举例来说，104可以被平方数整除（也就是4），105就不能被平方数整除。
[2] 边际的意思是，例如，当数量为3时，图表显示的就是，第一加仑和第二加仑测验之后，第三加仑的血液接受检测时所产生的附加成本和效益。
[3] 这个图表用来显示边际效益和成本。换句话说，图表显示的是每增加一加仑所对应的附加成本和效益。
[4] 以下内容只是一个简介，这些内容在我的那本《反常识经济学4》（More Sex Is Safer Sex: The Unconventional Wisdom of Economics）的第一章中有更详细的论证。或者，如果你更喜欢看视频的话，你可以去这个网站www.the-big-questions.com/pueblatalk.thml观看我对于这个话题制作的课件。
[5] 要想得到一个精确的结论还需要一些证据，以及一些经济学知识（也就是，人们对于诱因做何反应）和传染病学知识（即病毒的传播方式）。哈佛大学的迈克尔·克瑞默（Michael Kremer）教授就是这两个领域的专家，他预计到如果我们能把那些一年中性伙伴平均少于2.25个的人提高到超过2.25的话，我们将大幅降低艾滋病的传播速度。
十三
证据的规则
若是奇迹，任何迹象都能解答。若是事实，证据则是必需。
——马克·吐温（Mark Twain）
在2004年这一年，印度贝拿勒斯的上百万居民每天都能收到大约60万个避孕套。不过这些避孕套（由印度政府免费提供）中的大部分并没有用于计划生育或性病预防，而是用来润滑城里那二十万台织布机。织布工手里拿着领到的免费避孕套擦完织布机上的梭子后就扔一边了。
如果你已经对避孕套和贝拿勒斯的经济有所了解，知晓印度的计划生育政策，并且深谙人性的话，那么你大概就已经能够预测到这个故事的梗概了。但是你绝对猜不到准确的数目。有时候你还需要收集一些事实。
但是仅仅有事实是不够的。还需要辅助以解释以及广泛接受的一种意愿。我相信你有大动脉并不是因为我看到过，而是因为我听到别的人被发现有大动脉，因此，我猜想你也有。
如果你拒绝接受这种形式的推理，网上有个地方很适合你。最近我有幸应邀在知名法律博客Volokh Conspiracy上发表博文，这里是很多法律精英的网络聚集地，和其他所有的公共博客一样，偶尔也会有些疯子点进来。在博客上我写了一篇（我以为）平淡无奇的评论，内容是免费配送洪灾保险的房子会比较贵。很快就有人提出质疑，要我为这一异乎寻常的论断拿出证据来。证据倒是多得很：刮脸和理发比只刮脸要贵；喝汤和吃汉堡要比只喝汤花钱多；同时买洗衣机和烘干机要比只买洗衣机花得多。而且我们也都知道原因：当你接受到一个免费的额外奉送的服务时，你的需求就会增加，而当需求增加时，价格就会被抬高。显然，房地产市场也存在同样的情况，因此加保险的房子比单买房子要贵。
那些回应我的人声称（显然他们都很认真，可能他们只是觉得有点气急败坏）没有哪一个例子是相关的，因为没有哪一个是跟房地产沾边的。好吧，那么我们可以说带个壁炉的房子比没有壁炉的房子要贵。但是这个例子又不是附带保险的房子！好吧，在某种程度上我已经放弃了。
Volokh Conspiracy上那些理论家们坚持要忠于事实，那些未被理论所染指的事实。但是，假若你真的想要学到点东西的话，这是不可能的。事实上，所有我们了解到的“有事实依据”的东西都是根据某个适当的理论搜集到的事实。我们知道草是绿色的，一部分是因为我们见到过绿色的草，还有一部分原因是我们有相关的理论让我们可以从一片绿色的草推及其他，归纳出草是绿色的。如果你一丁点儿理论都不信的话，那么无论事实多么明显，你都可以选择不相信。如果我之前举的例子是一栋实实在在的房子，比如说，位于堪萨斯城，当售楼方出了一个免费搭送保险的政策时，楼价正好涨了，我确信一定会有人说我的这个证据只适用于堪萨斯城，而且只在那些含有字母R的月份里才适用。
顺便说一下，这并不单单是一项学术研究，它还有很重要的政策意义。当美国联邦政府要采取一项帮助水灾难民的政策时，免费配送水灾保险就成了他们的有力措施。因为有了这项政策，泛洪区的房子就会比较贵。对那些（大部分都是穷人）图省钱想要在泛洪区买个便宜房子的人来说，这显然不是什么利好。矛盾之处就在于（至少对那些没有经过深思熟虑的人们来说），免费提供的洪灾保险使得穷人的状况更糟糕了。
逃避现实有很多种方法，拒绝接受理论的普适性只是其中一种罢了。对于那些习惯了叫嚣“相互关系并不意味着因果关系”的人，每当要面对一些他们更想视而不见的证据时，互联网也给他们提供了一个舒适的场所。单独来看，相互关系确实并不意味着因果关系。错就错在我们直接从这一观察跳到了一个无根无据的结论，认为没有什么能蕴含因果关系。
抽烟和患上肺癌有一定的相关性。我们很容易得出一些和这一观察相一致的理论。也许是抽烟导致了癌症。也许是因为癌症而去抽烟。（也就是说，也许癌症在没有被发现的数十年前就流行开了，而人们首先发现的症状就是想抽烟。）也许是某一单个基因导致了癌症和这种成瘾人格。
不过，我们有法子来解决这个问题。想要建立因果关系，有一条黄金准则，那就是进行一组对照实验。随机指定一些人去抽烟，而另一些人不抽；对他们进行监控从而确定他们照着做了；对他们进行几十年的追踪，然后看看最后哪些人会生病。如果这个相关性确实经得住检验（同时如果你的样本足够大到可以排除巧合的可能性），你就可以坚信抽烟会导致癌症。这是因为你已经排除了其他的可能性。“癌症导致抽烟”是一个不具可行性的理论，因为这样你知道能不能抽烟完全靠运气。
任何一个科学家都不太可能去做这个实验，但是政治家们确是经常这样做，不厌其烦。每当宾夕法尼亚州提高香烟税时，就有一些宾夕法尼亚人戒烟——与此形成对照的是纽约人，他们依旧香烟在手。这就很像是一项随机试验，而你如果恰好就住在纽约的话，就属于被指派为抽烟的实验组。如果宾夕法尼亚州的癌症发病率降低，而纽约没有的话，你就能得出这样一个证据，即抽烟引发癌症。 [1]
经济学家称上述案例为一个“自然的实验”或者（如果用术语的话）叫作通过“工具变量”的一种实验方法。（在这个例子中，工具变量就是税率。）经济学家们总是在留心观察一些好的工具变量。例如，在整个非洲地区，经济困难时期往往会伴随着国内骚乱，有时甚至会爆发内战。
这里的因果关系是怎样一种形式？是不是艰难时期会导致人民不满，然后引发动乱？或者是动乱破坏了生产活动，进而导致经济困难？
为了回答这一问题，来自加州大学伯克利分校和纽约大学的三位经济学家进行了观察，他们注意到很多经济困难时期是由恶劣天气导致的。结果往往是，即便经济困难明显是由恶劣天气导致，这些时期爆发内战的可能性要大得多。
我们又一次得到了一个工具变量（也就是天气）和一个自然实验。天气随机指定了一些国家（暂时地）比另一些国家穷苦，这些更穷苦的国家会爆发更多的战乱。于是，这样看来的情况就是经济困难导致战乱。
另一个例子：观看色情内容的人比较多的州，上报的强奸案件反而要少。这里又是什么样的因果关系？（一些）潜在的强奸犯会因为淫秽内容易得而勉强收手？还是因为执法良好使得他们不敢出门作案？或者说是对于性行为持更为开明的态度导致色情猖獗和强奸减少同时并存？
