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ds O 运动的问题而言，如果认定无穷小量dt为0，那么， 就是 ，而按数学的 dt O 传统法则，这是无意义的。事实上，这时也没有任何 ds 运动发生。而如果不把dt看作0，那么，所求出的 就仍然是一段时间内的 dt 平均速度，而不是瞬时速度。 由于无穷小量分析中包含有这样的矛盾，而牛顿、莱布尼兹在建立微积 分时也没有在理论上解决这个问题，这就使得无穷小量必然会首当其冲地成 为不少人攻击的对象。在反对无穷小量分析的人士中，最激烈的要算爱尔兰 克罗因地区的主教乔治·贝克莱。他认为，无穷小量只是一些数学家臆想的 产物，是抽象的、虚无缥缈的主观猜测。他把无穷小量讽刺为 “逝去了的量 的幽灵”贝克莱的目的虽然是企图否定无穷小量，但通过这种指责可以看出， 他在此问题上的确是个 “行家”，他确实有效地揭示了无穷小量分析中所包 含的逻辑矛盾。由于当时人们确信建立在无穷小量分析之上的微积分理论的 正确性，因而，由此引起的矛盾就被认为是悖论，世称 “贝克莱悖论”。 由于贝克莱的攻击切中了要害，因此，贝克莱悖论的发现动摇了数学的 基础，在当时的数学界引起了一定的混乱，人们把它称之为 “第二次数学危 机”。 实际上，这并不是整个数学的危机，而是无穷小量分析方法的危机。第 二次数学危机后，一些数学家致力于解决这一矛盾。通过近半个世纪的努力， 人们发展了极限理论，从而为微积分理论建立了可靠的基础，克服了危机， 解决了悖论。 五、无穷旅馆 ——伽利略悖论 什么样的数算大数呢？当然，这是一个相对的问题。有这样一个故事： 两个贵族想做数数的游戏——谁说出的数字大谁赢。 “好，”一个贵族说，“你先说吧！” 另一个绞尽脑汁想了好几分钟，最后说出了他所想到的最大数字：“3。” 现在该轮到第一个动脑筋了。苦思冥想了一刻钟以后，他无可奈何地说： “你赢啦！” 两个贵族的智商显然是非常的低，这很可能只是一个挖苦贵族们的故 事。但是，如果是发生在原始部落中，这故事大概就完全可信了。现已证实， 在某些原始部落中，没有比3大的数词。如果问他们有几个儿子或杀死过多 少猎物，那么，要是这个数字大于 3，他就会回答说： “很多个。”看来， 他们的计数水平还不如一些幼儿园的娃娃呢！ 有时候，看似不大的数却出乎意料的大，古印度的舍汉王就曾经吃过亏。 据传说，舍汉王打算重赏国际象棋的发明和进贡者、宰相达希尔。这位聪明 大臣的要求看来并不高，他跪在国王面前说：“陛下，请您在这张棋盘的第 1个小格内放1粒麦子，第2个小格内放2粒，第3格内放4粒，照这样下 去，每一小格内都比前一小格加一倍。陛下把这样摆满棋盘上的所有64格的 麦粒都赏给您的仆人就行啦！”

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“你所求的并不多啊。”国王说道，心里为自己对这种奇妙的发明不用 花费太多而暗喜， “你会如愿以偿的。”说着，他令人把一袋麦子拿到宝座 前。 计数麦粒的工作开始了，第1格内放1粒，第2格内放2粒，第三格放 4粒……还没放到第20格，袋子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面 前来。但是，麦粒数一格一格增长得如此迅速，很快就可看出，即使拿来全 印度的粮食也兑现不了国王的诺言，因为这需要18， 446， 744，073，709， 551， 615颗麦粒。 1升麦子约137， 560颗，照此计算，那就要给达希1136 亿升。这位宰相要求的竟是全世界在2年内生产的全部小麦！ 这样，舍汉王发现自己欠了达希尔好大一笔债，要么忍受他没完没了的 讨债，要么砍掉他的脑袋，当然，舍汉王选择了后者。 达希尔所要求的麦子粒数虽然大得令人难以置信，但毕竟是有限的，就 是说，只要有足够的时间，人们总能把它从头到尾写出来。然而，还有一些 比我们所能写出的无论多长的数还要大的数，即无穷大的数，如“所有自然 数 （正整数）的个数”、“一条线上所有几何点的个数”。这些数是随着数 学的发展必然被人们发现的。第一次数学危机促使严格的实数 （包括有理数 和无理数）理论的建立，第二次数学危机则使极限理论成为微积分的主要工 具。极限理论也是以实数理论为基础的，而实数的数目就是无穷的。对于无 穷大的数，除了说它们无穷大之外还能说些什么呢？这些数能否进行比较？ “所有有理自然数的个数和一条线上所有几何点的个数哪一个大些？” 这一问题乍一看真是不可思议，但著名的数学家康托尔首先思考了这一问 题，并指出二者是不一样大的。然而，我们又会面临这样一个问题：这些既 不能读出来，也无法写出来，该怎样进行比较呢？这下我们有点儿像一个既 不清楚自己的汽车有多少座位，又不了解有多少个乘客，但却想知道座位够 不够坐的司机了。既然他什么也不清楚，他会不会放弃原来的打算呢？根本 不会。如果他足够聪明 （而且通常的办法也是如此），他就会通过把座位和 乘客逐个相比的办法来得出答案。他让第一位乘客坐在第一个座位上，第二 位乘客坐在第二个座位上……这样一直相比下去。如果最后座位用光了，还 剩下些乘客，他就知道乘客多于座位；如果乘客都坐下了，座位还有多余， 他就会明白座位多于乘客；如果乘客都坐下了，座位也正好用完，他就会晓 得，乘客和座位数目相等。 康托尔所提出的比较两个无穷大数的方法与此是相同的，即给两组无穷 大数列中的每一个数一一配对，如果这两组最后一个都不剩，这两组无穷大 就是相等的；如果有一组还有些没有配完，这一组就比另一组大些。这种方 法显然是合理且实际上也是唯一可行的方法。但是，当把这种方法实际应用 时你却会大吃一惊。举例来说，所有偶数与所有奇数这两个无穷大数列，我 们都会直觉到它们的数目相等，应用上述方法也完全符合，因为这两组数可 建立一一对应关系： 1 3 5 7…… 9 11 13 2 4 6 8 …… 10 12 14 这里，这种对应是非常自然的。现在请读者思考一下：所有整数的数目 与所有偶数的数目哪一个更多？当然，你会说前者多一些，因为所有的整数 不仅包括所有的偶数，而且也包括所有的奇数。然而，这只是人们的直觉。

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如果应用上述方法，你会吃惊地发现，这种直觉是错误的，从下面的对应表 就可看出： 1 2 3 ……4 5 6 2 4 6 8…… 10 12 根据上述比较无穷大数的原则，偶数的数目与整数的数目是同样多的。 当然，这个结论看起来是非常荒谬的，因为偶数只是整数的一部分，这与整 体大于部分的直觉显然矛盾。由于这种矛盾首先是伽利略发现的，故称 “伽 利略悖论”。康托尔认为，伽利略悖论并非什么 “悖论”。任何两组东西， 只要能相互一一对应，就是一样多。 “整体大于部分”这条规律只有在有穷 的情况下正确。在无穷大的世界里，部分可能等于全体！这就是无穷的本质。 对于有穷和无穷的特点，著名数学家希尔伯特的一则小故事给予了最好 的说明： 某旅游胜地有一家旅馆，内设有穷个房间。由于是旅游旺季，所以，所 有的房间都已客满。这时，来了位客人想订个房间。 “对不起，”店主说， “所有房间都住满了”。客人无可奈何地来到另一家旅馆。这家旅馆与别的 旅馆并无多大不同，只是房间数不是有穷而是无穷多个，号码为1、2、3…… 这位客人到来时，所有房间也已住满，但他疲惫已极，坚持要住下。旅馆老 板只得耐心劝说： “满了就是满了，非常对不起！”正好这时候，聪明的老 板的女儿来了。她看见客人和她爸爸都很着急，就说： “这不成问题！请每 位房客都搬一下，从这房间搬到下一间。”于是，1号房间的客人搬到2号， 2号房间的客人搬到3号……依次类推。最后，这位客人住进了已被腾空的1 号房间。 第二天，又来了一个有无穷多位旅客的庞大旅游团要住旅馆，这下又把 老板难住了。老板的女儿又出来解围：“这好办，您让1号房客搬到2号，2 号房客搬到4号，3号房客搬到6号……这样，l号、3号、5号等单号房间 就都空出来了，新来的无穷多位客人就可以住进去了。” 来多少客人都难不倒聪明的老板女儿，于是，这家旅馆越来越繁荣。后 来，老板的女儿考入了大学数学系。有一天，康托尔教授来上课，听说此事 后问她一个问题： “你能不能给1寸长线段上的每一点安排一个房间？” 她绞尽脑汁，想要安排一下，但终于失败了。康托尔教授告诉她，1寸 长线段上点的数目和自然数的数目尽管都是无穷的，但却不是一样大的无 穷。线段上的点要比自然数的个数多得多，任何想安排下的方案都是行不通 的。为了证明，我们给它们建立一一对应关系。 线段上每一点可用这一点到这条线的一端的距离来表示，而这个距离可 写成小数形式： l.0.aaaa…… 11121314 2.0.aaaa 21222324 3.0.aaaa…… 31323334 …… k.0.aaaa k1k2k3k4 现在我们可认选一个实数d=0.bbb……，其中b≠a，同样，b≠a， 123 k kk 1 11 b≠a…显然，d不等于上述任何数，因为至少第k位 b≠a 。这样，线 12 22 k kk

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上的点与自然数之间的一一对应就建立不起来，线上的点数所构成的无穷大 数大于自然数所构成的无穷大数。 可以证明且令人惊异的是，无论线段是1寸长，1尺长还是和赤道一样 长，上面的点数都是相同的。而且，平面、立方体上所有的点数与线段上所 有的点数也是相等的。这种无穷是比自然数、分数的数目更高一级的无穷。 同样可以证明，所有几何曲线的数目是第三级的无穷。到目前为止，还没有 人想象得出更大的无穷大数。这三级无穷大数就足以包括我们想到的所有无 穷大数了。看来，在无穷的世界里，我们有点像开头所讲的那两个贵族了！ 六、多少人参加比赛 ——康托尔悖论 一年一度的某中学艺术节又要到来了。本次艺术节共设三项：书画比赛、 歌咏比赛和围棋比赛。初二·三班的文艺委员孟娟对本班参赛人员进行统计， 结果是：参加书画比赛的15人，参加歌咏比赛的28人，参加围棋比赛的25 人，但使孟娟百思不得其解的是，参加人员总计68人，而她的班里总共才有 60人，剩余的8人是从何处来的呢？原来，这是由集合的性质造成的。 关于集合的理论是19世纪末开始形成的。当时德国数学家康托尔试图回 答一些涉及无穷量的数学难题，例如 “整数究竟有多少？”“一个圆周上有 多少点？”0—1之间的数比1寸长线段上的点还多吗？”等等。而 “整数”、 “圆周上的点”、“0—1之间的数”等都是集合，因此对这些问题的研究就 产生了集合论。 集合是什么呢？用康托尔的话说，集合就是把具体的或思想上的一些确 定的、彼此不同的对象聚集成的整体。简单说来，集合就是一组事物。例如 “中华人民共和国的直辖市”、“星期二数学课迟到的人”、“张三穿过的 鞋”等都是集合。物以类聚，人以群分，同类的人或事物总有共同的特点或 性质，根据这种特点或性质就可以决定一个类，这个类就是集合。任何人或 事物总是处于不同的集合中，甚至你自己也会是一些集合内的成员，如你的 家庭、你上学的班、你参加的校外活动小组等。生活中我们有时也用其他的 词如群、套、队、族、类、班等等来表示集合。 集合可以是一组数字、一群人、一些图形、一类概念。构成一个集合的 东西均属于这个集合，属于这个集合的个体称为集合的元素，比如 “小于7 的奇数”就是一个集合，构成这个集合的1、3、5就是这个集合的元素。“中 学课本”也是一个集合，组成此集合的物理课本、化学课本、英语课本等是 这个集合的元素。给出一个集合，就规定了这个集合是由哪些元素组成的。 显然，对于任何事物来说，它要么属于一个集合，要么不属于这个集合，二 者必居其一。如1和3属于 “小于7的奇数”这一集合，而6和8则不属于 这个集合。 “小于7的奇数”这一集合由元素1、3、5组成，人们通常把这种说法 用符号表示，记作： ｛1，3，5｝，花括号｛｝示集合的元素的组成，一般用 英语大写字母表示集合，如A＝｛1，3，5｝。这种表示集合的方法称为列举 法。而 “小于7的奇数”是通过描述集合元素的共同性质的方法来表示这个 集合的，因此这种方法又称为描述法或特征法。这两种表示法是可以互换的。

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一般地，如果集合由有穷个元素组成，且这些元素又知道得清清楚楚，那么 最简便的方法就是列举法，如 “中国的直辖市”可表示为｛北京，天津，上 海｝”而如果元素为无穷多个，或者即使为有穷多个，但其元素太多，那么 一般使用描述法，如 “济南市的居民”、“大于9的奇数”。有时描述法也 可这样表示：A=｛X｜X是济南的居民｝，B=｛X｜X是大于9的奇数｝。 在算术中我们常比较一些数，找出其中哪一个数较大。集合也可以进行 比较，而比较的方法之一就是把一个集合的元素与另一个集合的元素进行比 较。集合 ｛1，3，5，7｝与集合 ｛2，4，6，8｝不同，因为二者的元素不同。 而集合A＝ ｛a，b，c｝与集合B＝｛c，b，a｝则是相同的，这是因为这两个 集合有着相同的元素，这时我们记作 A＝B。至于元素排列的次序是否一样， 倒是没有关系的，只要两个集合具有相同的元素，它们就是相等的。 集合之间还可以采用一一对应的方法进行比较。古时有一人遭诬陷后被 关进了漆黑一团的地下室里，他一心想着能早日出去报仇，但在这幽暗的世 界里，没有黑夜与白天的分别，当然更没有天数的概念、怎么能知道自己在 这里呆了多少天呢？他发现了一个窍门，原来狱卒每隔一天倒一次马桶。于 是每当狱卒倒马桶时，他就用石块在墙上划一道线，这样马桶的集合与线的 集合就形成一一对应，而马桶的集合又与日期的集合形成一一对应，因此， 从线的多少就可以知道天数的多少。 要对任何两个集合进行比较，只要用一个集合的元素去对应另一个集合 的元素就可以了。如果两个集合有一一对应的关系，那么我们就说两个集合 是等价的，如上述线的集合、马桶的集合、日期的集合相互之间都是等价的。 但值得注意的是两集合等价与相等不是一回事。例如在初一·二班中有张三 和李四两位同学，张三的老师的集合A与李四的老师的集合B是相等的，因 为两集合的元素是完全相同的；也就是： A＝ ｛王五，赵六，周七｝ ‖ ‖ ‖ B＝ ｛王五，赵六，周七｝ 但假如张三与李四不是同一学校的，张三的老师的集合A与李四的老师 的集合C就不是相等而是等价的，因为两集合的元素只是一一对应，而不是 相同的，也就是： A＝ ｛王五，赵六，周七｝ C=｛吴八，郑九，陈十｝ 判断若干个集合是否等价最简单的办法就是看每个集合内元素的个数是 否相等，一集合的元素的个数称为此集合的基数，例如 ｛北京，天津，上海｝ 这一集合有三个元素，故其基数为 3，而 ｛《孔乙己》，《风波》，《阿Q 正传》， 《一件小事》｝有四个元素，则基数为4。 有一些集合，它们的元素是有穷的，如 ｛1，4，9，……100｝，｛里根， 布什，克林顿｝，这种集合称为有穷集合。而有些集合则有无穷多个元素， 如整数的集合、宇宙中星体的集合等，这种集合称为无穷集合。无穷集合的 基数大于任何有穷集合的基数。由上节的分析可以看出，无穷集合可以通过 一一对应的方法进行比较，但却出现了令人惊讶的结果，如偶数集合与自然 数集合的元素一样多，一条线上点的集合与平面上点的集合其元素也是相等 的。康托尔把无穷集合的概念作为集合理论的基础，并证明无穷集合的一个

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显著特点就是无穷集合自身可与其部分具有一一对应关系。 还有一种集合与无穷集合恰好相反，这种集合不包含任何元素，例如“能 被2整除的奇数的集合”、“活到1200岁的人的集合”等，这些集合叫空集。 在我们讨论具有某种性质的对象时，把具有这种共同性质的一切元素组成的 集合叫做全集。例如在某运动会中，参加某一项目竞赛的共有10名运动员， 那么这10名运动员组成的集合就是参赛运动员的全集。 在一集合中，我们可以拿出一部分元素来组成新的集合。在本节开始所 述的例子中， “初二·三班的学生”是一集合，而在这些学生中，又可以分 出几种不同类型的学生，如参加歌咏比赛的学生、参加书画比赛的学生、参 加围棋比赛的学生等。这几类学生是初二·三班学生组成的几种集合，这些 集合都是初二·三班学生集的子集。显然，子集是包含于原来集合的子集的 元素，如张三既是参加书画比赛学生集的元素，同时也是初二·三班学生集 的元素。当然，我们还可以按其他条件组成不同的子集。如男学生集、女学 生集、团员学生集、参加英语学习小组学生集等等。那么给定一个集，能组 成多少个子集呢？我们具体看一下，例如： ｛1｝可有 ｛｝、｛1｝2个子集； ｛1，2｝可有 ｛｝、｛1｝、 ｛2｝、 ｛1，2｝4个子集； ｛1，2，3｝可有 ｛｝、｛1｝、 ｛2｝、 ｛3｝、 ｛1，2｝、 ｛1，3｝、 ｛2，3｝、 ｛1，2，3｝8个子集。 n 依次类推，可以看出，一个含有n个元素的集合有2个子集。 需要注意的是，在集合论中，对于集合有多少元素没有限制，所以会出 现只有一个元素的或没有元素的子集 （空集），原集本身也是自己的子集。 所以当我们问原集能有多少个子集的时候，空集和原集也须计算在内。 一个集合的所有子集也可以组成集合，这个集合叫做原集的幂集。例如 ｛张三，李四｝这一集合的幂集就是 ｛｛｝｛张三｝，｛李四｝，｛张三，李四｝｝。 两个或两个以上的集合还可以通过运算形成新的集合。例如英语考试优 秀的学生集A＝ ｛赵丽，王芳，陈凤｝，数学考试优秀的学生集B＝ ｛朱军， 王铭，王芳｝。这两个集可以相加组成集C，它既包含了A的元素，又包含 了B的元素，这个集就是 ｛赵丽，王芳，陈凤，朱军，王铭｝。这个集称为 A和B的并集。注意的是，王芳在上面的集中不必写两次，只要写一次就说 明她是C的元素了。因此C的基数并不等于A的基数加B的基数，而是二者 相加后再减去共同的元素。文艺委员盂娟在作统计时实际上就是把3个子集 进行相加，但要把3个子集的基数相加后再减去共同的元素才能等于初二·三 班的总人数。而孟娟只是简单相加，忘记了应减去相同的元素，难怪要多出 8人了。集合A和B还可以相乘得一新集合D，D是由于A、B中共同的元素 组成的集即 ｛王芳｝，D称为A和B的交集。 以上是康托尔集合论的一些基本概念。康托尔的理论，特别是一一对应 的方法造成的无穷中的悖论，与传统观念格格不入，难怪一开始康托尔就遭 到那些坚持传统观念人士的强烈反对，说他的理论是 “雾中之雾”，甚至有 人骂他是疯子。当时德国数学权威、他的老师克洛耐克的攻击尤为激烈。他 说：“康托尔走进了超穷数的地狱。”他有一句名言：“上帝创造了正整数， 其余的是人的工作。”就是说，人只能在正整数的有穷范围内研究，至于无 穷的世界则完全超乎人的能力之外。甚至不承认康托尔为他的学生。在这种

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情况下，康托尔长期受到压抑和排挤，竟然得不到柏林大学的教授职位，他 郁郁不得志，一度精神崩溃，放弃数学的研究，后来终于在一家精神病院去 世。 然而康托尔集合论的创立是人类思维发展史上的一座里程碑，它标志着 人类经过几千年的努力，终于基本弄清了无穷的性质。因此越来越多的人开 始承认它，并成功地把它应用到许多别的数学领域中去。大家认为，集合论 确实是数学的基础。而且，由于集合论的建立，数学的 “绝对严格性已经取 得”。这时，数学的王国里春光明媚，阳光和煦，一派太平景象。然而正当 人们喜气洋洋、兴高采烈地准备大摆 “百牛宴”时，数学王国的大地上突然 爆发了空前强烈的地震——在集合论发现了一系列的悖论。 这些悖论的出现，可以说是康托尔集合论的必然结果。实际上在19世纪 末，康托尔本人就已发现自己理论中有不少矛盾，但他没有声张，而是悄悄 地在利用。 由上可知，有1个元素的集合其子集有2个，有2个元素的集合其子集 n 共有4个，一般地，有 n个元素的集合其子集有2个,n个元素的集合其基数 n 为n，而其所有子集组成的集合的基数为2，显然2n＞n。因此有“康托尔 定理”：任意集合 （包括无穷集）的幂集的基数大于该任意集合的基数。 据康托尔集合理论，任何性质都可以决定一个集合，这样所有的集合又 可以组成一个集合，即 “所有集合的集合”（大全集）。显然，此集合应该 是最大的集合了，因此其基数也应是最大的，然而其子集的集合的基数按“康 托尔定理”又必然是更大的，那么， “所有集合的集合”就不成其为“所有 集合的集合”，这就是 “康托尔悖论”。对这一悖论，康托尔并没有感到害 怕，因为通过反证法恰恰证明没有“所有集合的集合”或者说“最大的集合”， 当然也没有“最大的基数”。 悖论的出现这时并没有引起多大的震动，人们觉得这似乎仅仅牵涉到集 合理论的一些技术问题，只要作适当的修正，集合论仍然会成为数学大厦的 基础，康托尔只是利用悖论进行反证，而并没有细究悖论的来源及意义，他 没有意识到这种反证之所以可能，是因为他的理论中所使用的基本概念 “集 合”、“属于”、“元素”是包含着矛盾的。1901年罗素发表的“罗素悖论” 则 “剥掉了数学技术性的细节”，使其中的矛盾赤裸裸地暴露出来了！ 七、理发师给不给自己刮胡子 ——罗素悖论 伯特兰·罗素是英国著名的哲学家、数学家、散文作家和社会改良主义 者，1872年5月出生于威尔士的特雷克，祖父约翰·罗素勋爵在维多利亚女 皇时代曾三次出任首相。罗素4岁前已父母双亡，他是在祖母和家庭教师的 抚养下长大的。1890年进入剑桥大学 “三一学院”学习，毕业后曾在三一学 院任哲学讲师和兼职研究员。1920—1921年罗素曾来我国讲学并任北京大学 客座教授。他也曾任美国哈佛大学客座教授，偶尔也在英美其他大学作短期 讲学。罗素曾是亚里士多德协会会员，英皇家学会会员和英国科学院名誉会 员。 罗素一生颇具传奇色彩，他曾经四次结婚，三次离婚，两次因政治原因

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被监禁。一次是1918年因犯对美军的诽谤罪被监禁6个月，另一次是 1961 年在89岁时因煽动民众反对政府，支持核裁军运动，在医院被监禁1星期。 罗素知识渊博，在数学、逻辑学、哲学、教育学、社会学等领域均有建 树。他也是一位多产的作家，一生写有69本著作和大量的文章，1950年曾 获诺贝尔文学奖。 1901年6月，罗素考虑了康托尔悖论，通过分析其结构后发现了罗素悖 论。构成罗素悖论所使用的也是康托尔集合论的最基本概念：集合、属于、 元素。元素属于集合，一个集合也可以成为另一集合的元素。 罗素说，集合可以分为两类，一类是集合本身也是自己的元素，例如“概 念的集合”，它包含了所有概念为其元素，而 “概念的集合”本身也是一个 概念，因此也是它自己的元素，也就是说属于自己。又如 “汉字符号组的集 合”是由汉字组成的符号组，因此这一集合本身也是自己的元素。当然，“一 切集合所组成的集合”也是自身的元素，因为它也是一个集合，这种集合罗 素称为 “非常集”。非常集并不是很多，最常见的还是第二类，即本身不是 自己元素的集合，罗素称之为“平常集”。例如“兔子的集合”，这一集合 本身是一概念，而不是一只兔子，因而它不是本身的元素。 “英国首相的集 合”则包含撒切尔、梅杰等人作为其元素，而这一集合本身却不是一个首相。 此集合也是 “平常集”。 根据集合的特点， “兔子的集合”、“英国首相的集合”等等这些平常 集也可以组成一个集合，即 “所有不属于自身的集合的集合”。那么，现在 就有一个问题：这一集合是平常集还是非常集？ “所有不属于自身的集合的 集合”属于自身还是不属于自身？ 如果它属于自身，那么，它就是非常集，也就不是“不属于自身的集合”， 因此，也就不属于自身；如果它不属于自身，那么，它就是平常集，也就恰 恰是自身的元素，即属于自身。简言之，如果这个集合属于自身，那么就不 属于自身；而如果不属于自身，那么就必须属于自身。怪圈！ 这一悖论简单明了，而且是集合论的基本概念引申出来的。这时，数学 王国的臣民们开始惶惶不安起来，因为他们一贯追求严密性，而一旦发现他 们自称绝对严密的数学基础——集合论并不严密，竟然出现了 “悖论”这种 自相矛盾的结果，可以想象他们是多么震惊，多么心慌意乱！一时间，数学 王国一片混乱，第三次数学危机到来了。 德国数学家弗雷格花了25年的时间写成了 《算术的基本法则》，正当第 二卷要付印的时候，他收到了罗素的一封信，罗素在信中把这一悖论告诉了 他，弗雷格就在著作的末尾加了这样的附记： “一个科学家不会碰到比这更 难堪的事情了，即在工作完成之际，它的基础突然垮掉了。当这部著作只等 付印的时候，罗素先生的一封信就使我处于这种境地。”数学家戴德金原来 准备把 《连续性及无理数》第三版付印，这时也把稿件抽了回来。他觉得由 于罗素悖论，整个数学的基础崩塌了。有的数学家甚至宣布他以前的数学著 作全部是 “废话”。 为了有助于人们对罗素悖论的理解，1918年罗素又用 “理发师悖论”进 行了通俗的解释。 西班牙的塞维利亚村只有一个理发师，自夸无人可比。他给自己的小店 立了一条店规： “我给且只给村里不给自己刮胡子的人刮胡子。”他把此店 规用一个牌子写出来，并把它挂在小店的墙上。小店开业后，顾客盈门，理

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发师当然喜不自胜。顾客们只管刮胡子，对其店规也都没大在意。然而有一 天，理发师自己感到迷惑了：谁给他自己刮胡子呢？ 如果他自己刮胡子，那么他就属于自己刮胡子的那类人，但是他的招牌 说明他不给这类人刮胡子，因此他不能自己来刮。 如果他不给自己刮胡子，而由另外一个人给他刮，那么，他就属于 “不 给自己刮胡子”的那类村民，但是，他的招牌却明明说，这类村民的胡子应 该由他给刮。因此，其他人不给他刮胡子，他的胡子只能自己刮。 属于 “自己刮胡子”的则属于“自己不刮胡子”的；而属于“自己不刮 胡子”的，则又属于 “自己刮胡子”的。不刮，该刮；刮，不该刮……可怜 的理发师陷入了神秘的怪圈而不能自拔了。 排中律说，一个元素要么属于某集合，要么不属于。而这里却说属于不 行，不属于也不行，总是矛盾的，怎么办呢？ 、有人说，干脆理发师也不要讲卫生了，他的胡子就让它长着永远不刮 算了。但这也行不通，因为这样的话他就又属于自己不刮胡子的那类村民了， 按规定仍需自己刮。理发师说： “我就是不刮，你能拿我什么办法？”这当 然可以，但他的店规就不能执行了。那么，请别村的理发师替他刮呢？也不 行，这情形同上是一样的。有人说，给这位理发师施行现代手术，消除他脸 上的毛囊，不让他长胡子，但这就近乎抬杠了。 西方的一些逻辑学家则采用了康托尔的，也是过去人们常使用的方法— —反证法。 “矛盾即荒谬。”既然由假设导致了“既要自己刮胡子又不能自 己刮胡子”的矛盾，因此，假设必然是不成立的，也就是说，“给且只给那 些不给自己刮胡子的人刮胡子”，这种塞维利亚理发师是不存在的。塞维利 亚的理发师不是塞维利亚男人，他可能是塞维利亚的女人或孩子，或者是其 他地方来这里谋生的男人。如果他是塞维利亚男人，他不能不折不扣地实行 自己的规定，世界上总会有许多不一致的政令、法律和制度等。因此，这里 并没有悖论，困难只是表面的。 但是，这些解释完全误解了罗素的意思，他只不过想用通俗的方式说明 罗素悖论。因此，塞维利亚村的这位理发师不但不是女人和孩子，而且还是 个不断长胡子从而必须经常刮的男人。为了使人信服，罗素指出他的悖论还 可以用逻辑的术语表示出来。 形容词可以分为两类：一类是这种形容词所表示的性质可以适用于形容 词自身，比如 “黑的”这个形容词本身就是黑的，所以它就适用自己。“四 个字的”这个词本身也是四个字的，因此它也可以用来形容自身。又如 “用 汉语表示的”，既可以用来形容 “一目了然”、“至高无上”等这些词，同 时也可以用来形容自己，这种形容词称为 “自状的”。而另一类形容词所表 示的性质则不能形容自身，即它不具有自身所代表的性质，这种形容词称为 “非自状的”。例如，“英文的”本身是汉语的，而不是英文的，它不能形 容自己。 “无意义的”自身是有意义，它并不适用于自己，所以也是非自状 的。 但是， “非自状的”本身也是一形容词，那么，它是属于自状的一类， 还是属于非自状的一类呢？ 如果说， “非自状的”这一形容词是自状的，也就是说，它所表示的性 质适用于自身，而它所表示的性质就是非自状的，因此， “非自状的”是非 自状的。

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如果说， “非自状的”这一形容词是非自状的，就是说，它所表示的性 质可以适用于自身，据定义，它又是自状的。 自状就是非自状的，非自状的就是自状的，循环不已。 这一悖论是由格雷林提出的，故称 “格雷林悖论”。 如果嫌 “自状的”、“非自状的”不太清楚，你还可以换成其他的说法， 比如“符合自己的”、“不符合自己的”。现在句，“不符合自己的”符合 不符合自己？如果符合自己，那么正好说明它是不符合自己的，而如果不符 合自己，则又是符合自己的。 理发师悖论中的理发师可以说不存在，或者说他的店规是不能实现的， 但形容词总有能不能适用于自己的问题，而非自状的”作为一形容词也有是 否适用于本身的问题。任何东西总有符合不符合自己的问题，而对 “不符合 自己的”也就可以问是否符合自己。“非自状的”、“不符合自己的”这些 形容词显然存在，看来，悖论是不可避免的了。 八、重温旧梦 ——悖论的解决 据 《圣经》上说，人类的始祖亚当和夏娃因偷吃禁果被逐出伊甸园，于 是他们在凡间生儿育女，逐渐繁衍起来。后来他们的后代发现了一片广袤的 原野，决定住下来，准备在那里建一座城，城里建一座塔，塔顶通天。大家 此呼彼应地说着话，热火朝天地干起来，做坯的做坯，烧砖的烧砖，和泥的 和泥，运料的运料，建塔的建塔，那塔直入云霄。这件事惊动了上帝，耶和 华亲临现场，看到平地上、塔顶上人们川流不息地传运着砖料和灰泥，从下 往上层层传递，有条不紊，越砌越高。 耶和华对天使说： “看哪！他们如此协调一致，如今建塔，往后做起别 的事来，就没有不成的了。看来得使他们语言彼此不同”于是，他就让建塔 的人们说出各种各样的语言，每个人说话只有身边的几个人懂得，稍远一点 就听不懂了，塔顶上的人向下边喊话，震破了嗓子下边的人也不知他们到底 要什么，打手势也不管用，因为缺乏统一的规定。由于语言不通，停工待料， 人们的心随之逐渐涣散，那座塔也就半途而废了。 耶和华把众人分散到各地，遍布天涯海角，从此世间便产生了成百上千 种语言，各种语言中又有各种方言。 半途而废的原因是语言的变乱，“变乱”在希伯莱语中读作“巴比伦”， 因此人们就把这座塔称为 “巴比伦塔”。 经过2000多年的努力，20世纪初人们逐渐构造起了数学的庞大体系。 在这个体系中，每个结果都依赖于以前已经取得的成果，这非常像一个层层 叠叠的巴比伦塔式的建筑物。在这个建筑物中，当时主要有算术、代数、几 何、数学分析等几大阶层。第一次数学危机使自然数的尊崇地位受到挑战， 人们开始认识到无理数的意义，同时也意识到直觉和经验不一定靠得住，从 而导致古典逻辑和欧氏公理几何学的诞生。随着第二次数学危机的解决，微 积分 （数学分析的一部分）建立在极限理论的基础上。而要理解极限的性质， 就必须对数有明确的概念。这里的数不仅指有理数，而且还包括无理数，这 两种数构成了实数的集合，因此当务之急是建立严格的实数理论。康托尔通

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过一定的有理数序列定义实数，而戴德金则利用有理数集合的分割来定义实 数，就是说他们都依赖于有理数的集合概念。这样，实数理论的无矛盾性就 归结为有理数论进而归结成自然数论的无矛盾性了。 自古以来，大家都认为自然数的算术是天经地义的。不过数学家们又把 它进一步归结为逻辑与集合论，也就是用逻辑和集合论推出自然数，这样， 逻辑与集合论成为整个数学大厦的基础。在这个建筑物的构架中，如果有一 个小框架电现了一点裂缝，并不会使整个大楼倒塌，但是如果它的基石崩溃 了，你可以想象会是什么样的结果！ 从历史的发展来看，罗素悖论的发现对人们的震动是巨大的。因为这种 威胁不仅限于集合论，而是涉及整个数学，甚至还包括逻辑。因为只需稍作 变动，罗素悖论就可以在纯逻辑的形式下得到构造，如上述的格雷林悖论。 那么，为什么2000多年来的悖论对逻辑、数学没有产生根本性的威胁， 而现在却像爆发了一场大地震，使许多人大惊失色、惊愕得说不出话来呢？ 这是因为过去的悖论或依赖于某些具体的事实，或者主观认识上的错误。例 如， “说谎者悖论”要依赖于说话的人为克里特岛人。人们可以说悖论的出 现只是表明所假定的事实不能出现，不过是一幻想，也可以说这样的话毫无 意义。 “希帕索斯悖论”的出现，是由于毕达哥拉斯学派坚持“一切事物和 现象都可以归结为整数或整数之比”的信条造成的，由于人们未能认识这一 信条的相对性 （即在一定范围内适用）， 而把它应用到整个世界，就使之成为错误的结论，这样就和 2 的无理性的明 构成了直接的矛盾，形成悖论。同样， “伽利略悖论”也是如此。由于正整 数与正整数的平方数 （前者的部分）之间可以建立一一对立关系： l，2，3，4，…… l，4，9，16，…… 因此，整体 （自然数集）和部分（平方数集）在数量上是相等的。但由 于人们总认为 “整体大于部分”，殊不知，这只能适用于有穷量，而不能适 用于无穷量，因此造成悖论。显然这也是由于主观认识上的错误造成的。 那么，“贝克莱悖论”又是怎么造成的呢？无穷小量在本质上是辩证的， 它是零与非零的统一，也就是说它既是零又是非零。所谓 “无穷小量是零” 是指它的运动变化的终点是零，而所谓“无穷小量是非零”是指它趋向于零。 由于数学是以形式逻辑为基础的，它就要遵循不矛盾律，要求对象具有明确 性和一义性，也就是说必须明确无穷小量究竟是零还是非零 （不能断言既是 零又是非零）。而在实际应用中是这样解决的：人们先假设无穷小量不等于 零，然后再规定它为零，这种方法实质上是通过把对立环节割裂开进行把握。 但对立双方仍然存在于无穷小量本身，当它们被重新联结在一起时，悖论就 不可避免地出现了。因此， “无穷小量具有一义性”这种错误的认识是造成 “贝克莱悖论”的原因。 这种由于主观认识上错误而造成的悖论，其特点就是在它们的构造过程 中包含有某个或某些具有直接错误的前提，既如此，悖论就是一种应当避免， 而且也能被彻底排除的主观错误。 “矛盾即假”，客观世界是不存在矛盾的，矛盾只在人的主观认识中， 这是人们的普遍观念，数学和逻辑是严格性和真理性的典范，因此当其中出 现悖论时人们自然会想到：一定是我们主观上出什么差错了。找出悖论中错