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误的前提，并加以改正，悖论就能得以避免。无理数理论的建立使人们否定 了 “一切事物和现象都可归结为整数或整数之比”的错误信条，“希帕索斯 悖论”得以克服；以实数理论为基础的极限理论的产生则否定了 “无穷小量 要么是零要么是非零”的错误观念，使 “贝克莱悖论”不再出现。 而罗素悖论却不同，它使用了集合论的最基本概念：集合、属于、元素。 根据人们古老的信念，既然出现了悖论，那只能说明集合论的基本前提是错 误的。但人们在这些前提中却没有发现以往任何明显不正确之处，这样，在 对此悖论的解决中也就出现了种种不同的方法。而且，在解决罗素悖论的种 种努力中，人们又进一步暴露出在许多最基本的数学概念上的严重分歧，如 到底什么是集合，有没有实无穷等等，这些分歧又增加了人们关于数学不可 靠性的感觉，从而也就更增强了“危机”的气氛。一向是平和宁静、人人“安 居乐业”的数学王国顿时众心浮动，群情沮丧。正如数学家克莱因所说：“作 为逻辑结构的数学已处于一种悲哀的境地……数学家们以向往的心情回顾这 些矛盾被认识以前的美好时光。” 但是在悖论面前，人们对所处的境况是不能长期忍受下去的，因为如希 尔伯特所指出的，数学是可靠性和真理性的典范，在这里，如果每个人所学 的、教的和应用的那些概念和推理方法导致了不合理的结果，那么数学思考 就会失灵，人们又能到哪里去寻找可靠性和真理性呢？因此在惊愕和沮丧之 余，数学家们和哲学家们并没有沉沦，而是采取种种措施去排除悖论这个怪 物，从而为数学大厦建立更稳固的基础。 要解除悖论，就要搞清悖论是如何形成的，以罗素悖论为例，它的构造 过程如下： （1）构成集合 S＝｛A｜A不属于A｝，也就是“不以自身为元素的集合 的集合”； （2）考虑“S是否属于S”； （3）由排中律，这时必然有S属于S或S不属于S，但无论S属于S， 还是S不属于S，总会得出矛盾，因此，矛盾不可避免。 以上述事实进行分析可以看出，这里事实上包含了以下前提： Ⅰ、对任意的A来说， “A不属于 A”总是有意义的命题。 Ⅱ、对任何性质来说，如果对所有的对象都有意义，那么总可以构造出 相应的集合。例如 “红色的”为一性质，所有具有这一性质的对象就构成一 个集合。因此，集合就是把我们感兴趣的，想加以研究的对象集中在一起组 成的整体。感兴趣可以是任何的东西，树木、房子、数字、猫、狗、猪等等。 如果对 “高大”感兴趣，就可以把我们班所有高大的同学组成一个集合。想 研究 “食草性”，就可以把所有食草动物组成一个集合。当然，想研究 “不 以自身为元素的集合”，也就可以把它也构成一个集合 （S）。 Ⅲ、对所构造的 S也可考虑 “S是否属于 S”的问题。 Ⅳ、排中律在集合论总是有效的，即一元素或者属于或者不属于某个集 合。 Ⅴ、在集合论中不允许任何矛盾出现，即不矛盾律是有效的。 因此，从技术上讲，任何方法都是通过否定其中一个或一个以上的前提 来排除悖论的。 九、大跳蚤与小跳蚤

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——类型论 小学一年级时用过的语文课本曾令我惊奇不已。课本的封面上有一男一 女两个小学生坐在一起看着一本书，而这本书正是我们使用的语文课本，他 们看的书上也有两个稍小一点的小学生同样也是在看语文课本。如果画家继 续画下去，那就会形成层层的倒退。 这样的情形我也在理发店里见过，在顾客的前面有一面大镜子，而后面 的墙上也有同样的一面镜子，往任何镜子里看去，人们都会看到无穷的镜子 和镜子前的顾客。如果读者感兴趣，不妨也做一个这样的实验：把一根蜡烛 放在两面相向的镜子中间，从镜子里你可以看到无穷层次的蜡烛。 数学家奥古斯塔斯·德摩根曾改写了乔纳·斯威夫特的一首诗，生动地 描绘了这种无穷的倒退： 大跳蚤有小跳蚤 在它们的背上咬， 小跳蚤又有小跳蚤， 如此下去 没完没了。 大跳蚤倒了个儿——变小， 上面还有大跳蚤， 一个上面有一个， 总也找不到 谁的辈数老。 罗素也曾设想了一个与此相似的类型论来消除悖论。按照罗素的看法， 悖论是由于非直谓定义造成的恶性循环引起的。所谓 “恶性循环”就是自我 指称性或自返性。通俗地讲就是自己说自己。而 “非直谓定义”是指这样的 定义：它借助于一个整体来定义一个对象，而这个对象又属于这一整体。也 就是说，假设我们要给一对象A下定义，这时要借助于B，而B是一类对象 的整体，A是B的一部分。例如，在格雷林悖论中曾给 “非自状的”下这样 的定义：一个形容词，如果它不具有自身所代表的性质就称为“非自状的”。 这一定义就是非直谓定义。因为 “非自状的”要借助于“不具有自身所代表 的性质”来定义， “不具有自身所代表的性质”描述的是这类对象的整体。 但是， “非自状的”却恰恰是这一整体中的一员，这样，就造成自己指称自 己、自己描述自己的恶性循环。同样，在罗素悖论中，“不以自身为元素的 集合的集合”要借助于 “不以自身为元素的集合”的全体来定义，但是，这 一集合本身也是全体的一分子。又如，所有集合也可以构成一集合（大全集）， 但此大全集本身也是一个集合，当然又属于 “所有集合”，这样就形成“所 有集合” “大全集” “所有集合”的恶性循环。罗素把这种造成自己指 称自己、自己描述自己的整体称为 “不合法的总体”。为了避免“不合法的 总体”，罗素提出了 “恶性循环原则”，确切点说应该是“避免恶性循环原 则”：凡牵涉到一个汇集的全体者，它本身不能是该汇集的一个分子；或者， 反过来说，如果假定某一汇集有一个总体，它便将含有一些只能用这个总体 来定义的分子，那么，这个汇集就没有整体。换句话说，一类对象可以汇集 成为一个总体，人们可以利用这总体给某一具体对象下定义，但这一具体的

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对象不能是这一全体的成员；反之，假如某类对象可以汇集成为一个总体， 但其中却发现有这样的对象，它们必须用这一总体来定义，那么，此总体就 不成其为真正的总体。有了这一原则，对任何具体的对象下定义时，就不会 借助于包含这一对象的总体，从而也就不会造成自己说自己的恶性循环。在 此原则的基础上，罗素提出了类型论。 这种理论用简单的例子来说并不深奥。例如， “张三是高个子”是个有 意义的命题，显然，如果我们用 “李四”、“王五”、“赵六”等等来代替 命题中的 “张三”一词，它仍然具有意义。但是，如果我们用“班级”、“小 组”、“人类”等代替“张三”时，这个命题就变得毫无意义了。这是因为， “李四”、“王五”等是与“张三”属于同一级别的具体事物，而“班级”、 “小组”等则是由这些具体事物作为元素构成的集合。由此可以看出，在这 里，命题的意义取决于对个别事物和个别事物的集合两个层次的区分，这就 是类型论的思想。 类型论的基本轮廓是这样的： 世界是一个无穷等级的体系，在最低级的层次上只有个别事物，在较高 一级的层次上只有个别事物的集合，在更高一级的层次上只有个别事物的集 合构成的集合。依次类推。总之，同一层次的对象构成一个类型，不同层次 的对象构成不同的类型。假设个别事物为最低一级的类型，即类型0，那么， 次一级的类型由个别事物的集合构成，即类型 1；再次一级的是由个别事物 的集合构成，即类型2。依次类推，可以构成无穷的类型层次。类型n＋l的 集合只能把类型n的集合作为自己的元素，而不能以类型 n＋ l的集合作为 自己的元素，也不能以类型n＋2的集合作为自己的元素等等。因此，不能考 虑一个集合是否是自身的元素。用罗素的话说，正如 “美德是四边形，或者 不是四边形”这句话是没有意义的一样，“一个集合是自己的元素”或者“一 个集合不是自己的元素”不是错误的，而是没有意义的，因为它们混淆了类 型，是恶性循环的。 罗素的类型论就像我们平时看到的套餐盒一样。大餐盒里面套着中餐 盒，中餐盒里又套着小餐盒，小餐盒里面还有更小的餐盒，这是层层递进的。 不同大小的餐盒属于不同的类型。这里只能由大到小往里套，即只能套比自 己小的，任何餐盒都不能自己套自己，更不能套比自己大的。 据类型论， “A不属于A”并非有意义的命题，同样，“S〔不以自身为 元素 （A不属于A）的集合的集合〕是否属于S”的问题也是没有意义的。另 外， “A不属于A”既然没有意义，那么，由它也不能构成集合S，也就是说 并非任何性质都能决定一个集合，这样就否定了上节所述的罗素悖论中的前 三个前提，罗素悖论得以避免。 格雷林悖论的构成过程是这样的： （1）把形容词分为两类：一是适用于自身的，称为“自状的”，一类是 不适用于自身的，称为 “非自状的”。 （2）据集合形成规则：任何一性质决定一个集合，“自状的”构成一集 合，而 “非自状的”同样也能构成集合。 （3）问“非自状的”是否属于自身。 （4）据排中律，要么属于自身，要么不属于自身，总之都会引起矛盾。 而据类型论， “非自状的”是否属于自身的问题是没有意义的，去掉这 一环节，悖论也就不能构成。

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由于“类型的划分”不能消除所有的悖论，罗素又提出“级的划分”， 即在每一类型中又划分出不同的级。但后来罗素的学生兰姆塞认为， “级的 划分”完全是没有必要的，并认为 “恶性循环原则”应该放弃。他指出，非 直谓定义方法是应该允许的。 实际上，非直谓定义虽然是循环的，但有些循环不是恶性的，而是无害 的 “良性循环”，正如人的肿瘤有良性肿瘤和恶性肿瘤（癌）一样。例如， 一形容词如果它所表示的性质可以适用于自身，那么它就是 “自状的”，这 一定义就使用了 “可以适用于自身的”这种性质的总体，而“自状的”也是 其中的一要素，这样，此定义就是非直谓定义，是循环的，但它并没有造成 悖论。在生活中，人们经常使用这种方式说话，如 “房间里的最高者”、“我 们班里年龄最大的人”、 “他是班里考得最好的”等。“房间里的最高者” 姑且解释 （定义）为：“在一个房间里有许多人，这些人形成此房间里所有 人的整体，而在这一整体中，张三的个子是最高的，这时，我们称张三为 ‘房 间里的最高者’。”可见，在对 “房间里的最高者”的解释中使用了“房间 里所有人的整体”，而房间里的最高者也是这个整体的一员，因此，这种解 释是循环的。但是显然，没有人认为这样的说话方式有什么问题。 另外，这种定义方法也是必不可少的。正如兰姆塞所说，人都是有限的 ——有限的生命、有限的能力等，我们不可能对无穷多个性质逐个地进行命 名，但却可以通过性质的总体来对其中的一些进行描述。也就是说，当我们 接触到一些未了解的性质时，没有必要每一个都进行命名，而只是根据过去 掌握的知识说明这种性质在性质总体中处于何种地位，与其他性质有何类似 或不同之处等。这种描述利用了性质的总体，而这种性质却是整体的一部分， 因此是循环的。 罗素的另一解除悖论的方案是 “加限制”的方法。这一方案罗素并没有 采用，而被后来的数学家策梅罗接受。据以前的分析可知，悖论的构成中都 包含了这样一前提，即任何一性质都决定一个集合，这是康托尔对集合的直 观规定。那么到底什么是集合？集合是什么样的呢？人们是不甚清楚的。康 托尔自己说，集合是个 “无底的深渊”，而戴德金则说：“集合是一个口袋， 里面装的什么可不知道了。”这样就可能出现包含问题的集合，从而带来悖 论。罗素和策梅罗都认为，集合论中悖论的出现是由于使用了太大的集合， 特别是大全集，即所有集合的集合。因此必须对康托尔的集合论进行限制， 特别是抛弃 “任何性质都决定一个集合”这一原则，因为从这一原则可立即 推出大全集的存在。 策梅罗认为，他的目标就是要保留康托尔集合论中一切有价值的部分， 也就是说使限制后的集合论仍能起原来的基础作用，即能由此出发而展出全 部数学理论。为达此目标，他采取了把原来的直观集合论进行公理化的方法。 在这里，集合成了不加定义的原始概念，它的性质由公理加以规定，即由公 理直观地显示集合的特征，当然也就表明了什么是集合。例如，其中有这样 一条公理：我们可以凭借任何性质由一个已知集合分出一个子集，它是由已 知集合中所有那些满足这一性质的元素构成的。比如，我们可以用 “在中学 读书的”这一性质从已知的 “人类”这一集合中分出一子集“在中学读书的 人”即 “中学生集”。这里也是由一性质决定一集合，但它不是任意的，而 必须是由更大的已知集合中分离出，因此，它与康托尔的上述原则是不一样 的。根据此公理， “所有集合的集合”、“所有子集的集合”、“所有非自

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状的形容词的集合”等等这些集合都不会出现。因为没有比它们更大的集合， 当然也就不能由已知的集合分出这些集合。这样也就否定了悖论构成的第二 个前提：即任何一个性质都决定一个集合。罗素悖论、格雷林悖论、康托尔 悖论等都可以得以避免。 就已知的集合论悖论来说，其共同的特点就在于对大集合特别是大全集 的承认。因此，人们普遍认为，这些悖论已不可能在策梅罗的系统中得到构 造。准确点说，是不可能按照原来的方式在此系统中得到构造，因而策梅罗 的公理系统为集合论悖论提供了一种可能的解决。而且，就目前的数学实践 看，策梅罗的系统已为数学提供了一个合适的基础。所以，在一定的意义上 说，策梅罗原来的目标已基本达到。 尽管如此，策梅罗的系统并非是十全十美的。例如，虽然此系统避免了 原来所发现的悖论，而且迄今尚未遇见悖论，但是，它还不能保证将来不会 出现新的悖论。因为它没有证明系统本身的无矛盾性，即本身是否包含矛盾。 所以法国著名数学家彭加勒挖苦说： “我们设置栅栏保护羊群以免受到狼的 袭击，但是很可能在装栅栏时，就已经有狼被围进栅栏里了。”他说的狼就 是悖论，羊群就是集合论，栅栏则是策梅罗的公理集合论系统。 十、我受骗了 ——语言分层理论 美国逻辑学家雷蒙德·斯穆里安曾经讲过这样一个故事： 1925年4月1日，6岁的我曾卧病在床，传染上了流感或诸如此类的什 么病。一大早，大我10岁的哥哥埃米尔跑进我的卧房说：“喂，弟弟，今天 是愚人节。你向来没让人骗过，今天我要骗骗你啦！”那一整天我都等着他 来骗，而他却不动声色。深夜，我妈妈问我： “你怎么还不去睡呀？”我回 答她说：“我在等哥哥来骗我。”妈妈转身冲哥哥：“埃米尔，你就行个好， 骗骗这孩子吧！”哥哥这才调过脸望着我，跟我对上话了： 他：这么说，你是盼我骗你喽？ 我：是啊。 他：可我没骗吧？ 我：没有啊。 他：而你是盼我骗的，对不？ 我：对啊！ 他：这就行了，我已经把你骗了！ 嘿，至今我还记得，关了灯好久我还躺在床上寻思自己是不是真的受骗 了。一方面，如果没有受骗，那么我就没有盼到我所盼的事，因此我受了骗。 埃米尔抱的正是这个理儿。不过，同样可以理直气壮地说，如果我受了骗， 那么，第二只手，但第三只手必须画在第三张画布上，依次类推。 我们所使用的日常语言就是一类似于画画的双手的封闭语言。因为在其 中，我们可以用命题A描述命题B的真假情况，而又可以用命题B描述命题 A的真假情况，也就是说，可以相互描述。当然，命题A也可以描述自身， 即自我描述。然而，在这种条件下，只要假设 （T）等式是成立的，就立即可 构造悖论。

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现考虑这样的命题： “本页第18行的那个命题不是真的。” 现在令C代表本页第18行的那个命题。 据C的意义，C是上述命题，同时又可代入上述命题的前半部分，这样 自然有： （1）“C不是真的”等同于C； 但据 （T）原则又有 （2）“C不是真的”是真的，权且仅当C不是真的。 由 （1）和 （2）可得： （3）C是真的，权且仅当C不是真的。矛盾。 “说谎者悖论”（“我在说谎”）可据同样的方式构成。因为“我在说 谎”等同于 “我在说的话是假的”或“我在说的话不是真的”，只要用C代 表 “我在说的话”即成。 塔斯基认为这些悖论的出现是因为在封闭的语言中，语言的层次是混淆 的。为了得出真理的令人满意的定义，避免悖论，塔斯基采取了语言分层的 理论。 塔斯基指出，在讨论语言意义的问题时，我们应当使用两种不同的语言， 其中第一种是被讨论的语言，即讨论的对象，这种语言称为对象语言。用以 讨论第一种语言的为第二种语言，这种语言称为元语言。例如：我们可以用 汉语讨论英语的语法，如构词法、句子结构及时态等等，这时英语为对象语 言，而汉语为高一级的元语言。当然，我们也可以用汉语讨论汉语，这时汉 语既是对象语言又是元语言，但其中的层次不同。又如，我们可以讨论一个 命题的真假情况，这时，命题本身如 “华盛顿是美国第一任总统”为对象语 言，而讨论时使用的命题 “‘华盛顿是美国第一任总统’是真的”则属于元 语言。在对象语言中，命题本身不能涉及自己的真假问题，为了谈论用对象 语言表述的句子的真或假，我们必须使用元语言，即比所说明的语言更高一 层的语言。元语言包括了所有的对象语言。因此它比对象语言更丰富，它可 以谈论对象语言的真实性。 那么，我们能不能谈论元语言中命题的真实性呢？当然能。不过，这时 需要进到更高一层的元语言，也就是用更丰富的即包括了它以下的对象语言 的语言说话时才能做到。每一层语言相对于它下面一层的语言来说为元语 言，而相对于它上面一层的语言来说则又成为对象语言。 初中的平面几何中有这样一条定理：“一直线的垂线与斜线必定相交。” 那么，为什么它是一条定理？有何根据？我们要对它进行讨论，引用已知的 一些定理、定义等进行证明。这时，定理本身为对象语言，而讨论、证明时 所有的语言则为元语言。例如，我们可以这样证明： 已知：如图8，在平面内 （1）直线a是L的垂线， （2）直线b是L的斜线。 求证：a、b必定相交。 证明：假定a、b不相交， ∵a、b在同一平面内， ∴a∥b（a平行于 b）， ∴ ∠1＝∠2

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又∵a是L的垂线， ∴∠2=90°， ∴b是L的垂线。 而这与已知条件矛盾，故假设不能成立，定理得证。但是，我们也可以 对这一证明的真假、形式等进行讨论，说明这种证明是正确的，它使用的形 式是反证法。这时证明又成为对象语言，而关于证明的理论又是用更高一层 的元语言写成的。当然，我们也可以用更高一层的语言对证明的理论进行研 究，等等。 根据语言分层理论， “说谎者悖论”完全可以避免。“我正在说的话不 真”，这句话可以用A表示，A语句既然是讨论一个句子的真假情况，那么 可以把它看成元语言。而“我正在说的话”就是这一元语言讨论的对象语言， 我们可以用B来表示，因此，A就等于 “B不是真的”。这里的B可以用一些 句子代替，如 “张三打了人”、“这些人都戴眼镜”等等，但却不能用A代 替。因为A是元语言中的句子，与B不属于同一层次。这样就避免了A说自 己不真的问题，悖论也就不会出现。同理，“非自状的”这一形容词能用来 描述各个具体的非自状的形容词，如 “白色的”、 “不能理解的”等等。这 些具体的形容词属于对象语言，“非自状的”则属于元语言。但“非自状的” 自身不能描述自己，否则就混淆了元语言和对象语言的层次。这样也就不能 问 “非自状的”是否非自状的问题，悖论就得以避免。 斯穆里安搞不清楚他的哥哥是否骗了他，这是因为他哥哥的话造成了悖 论。但这个悖论又是如何形成的呢？他哥哥说： “我要骗骗你啦！”这句话 是用来说明他要骗斯穆里安的行为的，因此这是元语言的句子，但从以后的 结果来看，他说这句话却是指的自身，就是说 “我要骗骗你啦”本身就是欺 骗行为，这样就混淆了语言的层次，所以才造成了悖论。按照语言分层理论， 只有在一天中具体进行了其他欺骗 （正如斯穆里安所希望的），“我要骗骗 你啦”才有意义，而在这种情况下也就不会出现悖论。 这种语言层次的混淆使我联想到中国的一段传统相声： 甲：旧时候中国人有好多忌讳。 乙：有什么忌讳呢？ 甲：比如新婚夫妇在头天晚上入洞房后是不能说话的，谁先说话谁先死。 但我大爷就不信这一套，他说他结婚时一定能使新娘子先说话。 乙：人家能信吗？ 甲：不信，不过我大爷和他的一个拜把子兄弟打了一个赌。 乙：打什么赌呢？ 甲：我大爷如果能让新娘子先说话，说一句他的小兄弟给10块大洋。 乙：新娘子说了没有？ 甲：说啦！那天晚上我大爷进洞房时，新娘子已经睡下了，他上床后就 把被子横了过来，新娘子就把它竖了过去。我大爷又把它横过来，新娘子又 竖过去。如此几个回合，新娘子急了，说： “你这个人，怎么回事？”我大 爷高兴了：“一句啦！”“什么‘一句啦’？”新娘子不知原故，问道。“两 句啦！”“什么‘两句啦’？”新娘子继续问。“三句啦！”我大爷更来劲， 新娘却更摸不着头脑： “你这人怎么啦，什么‘三句’、‘两句’的？”这 时，蹲在窗外偷听的那位小兄弟急了，忙叫道：“大哥，别喊啦，我只有40 块大洋！”

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读者朋友，你又能从这段相声中悟出些什么道理呢？” 十一、未来世界探秘 ——理发师定理 70年代，美国曾拍摄一部轰动一时的惊险科幻故事片 《未来世界》。片 中描写了机器人的发展情况，到那时，人们制造机器人的技术水平已相当高 超。美国某地建立了一个机器人的工厂，工厂中有管理人员、普通的机器操 作工人、其他的勤杂人员等等，而整个工厂中只有一名是人。但这些机器人 造得和人类一模一样，因此，这个人与机器人在表面上是无法区分开来的， 为了揭开机器人工厂神秘的面纱，某大报纸两位记者麦克和杰西娜到工厂进 行采访。 到工厂后，管理人员 （不知是人还是机器人）让他们登记并拍照后就允 许他们进行采访。他们参观了整个工厂的生产过程，并观看了他们的业余生 活情况。他们看到有的 “人”在下象棋，也有的自己在玩扑克，甚至有的让 仆人替他煮咖啡。但最令他们惊奇的是，工厂竟模仿他们造了两个与他们完 全一样的记者。相遇后，两位机器人记者一心想杀掉他们，并向他们开了火。 不得已他们只好一边进行还击，一边向厂外撤退。经过种种努力，他们终于 消灭了机器人，逃离了恐怖的机器人工厂。 值得一提的是，工厂的机器人还能够在厂里自己进行修理。麦克和杰西 娜在一天晚上就曾发现，一个机器人把自己的头拿下来，打开后整理自己的 线路，这种机器人是能够自我修理的人。但是，还有些机器人不能修理自身， 工厂中就专门开了一个车间修理这种机器人。车间只有一位机器人任修理 工，现在就产生了一个困惑人的问题：这个机器人如果出了毛病由谁来修呢？ 如果他不是自己修，那么，他就属于不给自己修理的机器人，因此，就 应送到他的车间，由他自己修；如果他自己修，那么，他就不应该自己修， 因为他只给不给自己修理的机器人修理。给自己修，不给自己修；不给自己 修，给自己修。机器人也陷入了神秘的怪圈之中。 对此怪圈，英国逻辑学家汤姆逊提出著名的 “理发师定理”进行解决。 这条定理用我们平常的语言表述出来就是这样的： 在某一集合中有一些元素自己与自己没有某种关系，而另一元素却与这 些元素有此关系，那么，这个元素不存在。 乍看起来，这条定理很抽象，难以理解，但仔细分析开来却是非常简单。 这条定理说的是那位 “理发师”，这里，“某一集合”指的是塞维利亚村所 有村民的集合， “某种关系”指的是“给某人刮胡子”的关系，“有些元素 自己与自己没有某种关系”是指有的村民自己与自己无刮胡子关系 （即自己 不给自己刮胡子），而另一元素 （理发师）却与这些元素有刮胡子的关系， 即这些村民的胡子由这位理发师给刮。那么，结论就是：这样一位塞维利亚 村的理发师是不存在的。或者可以这样说，塞维利亚村的这样一位理发师即 使有也不存在于形式逻辑所能够解释和接受的范围之内。 从以上的定理表述中可以看出，定理的前半部分 “在某一集合中有一些 元素自己与自己没有某种关系，而另一元素却与这些元素有此关系”，实际 上是理发师的规定： “我给且只给塞维利亚村中不给自己刮胡子的人刮胡

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子。”只在后面加上 “这个元素不存在”就变成了定理。 这条定理在逻辑中很容易得证。它虽然说的是 “理发师”，但它并不仅 仅限于此，它指的几乎是所有的集合论中的悖论。 那么，如何利用此定理解除上面的机器人修理工的悖论呢？ 在上面的悖论中， “某一集合”指的是工厂中所有机器人的集合，“某 种关系”是指 “修理”的关系，在此集合中，“有些元素自己与自己没有某 种关系”是指有的机器人自己与自己无修理关系，（即自己不给自己修理）， 而另一元素 （这位机器人修理工）却与这些元素有修理的关系，即这些机器 人要由机器人修理工修理。那么，结论是：这样的一个机器人修理工是不存 在的。 据此定理，其他一些类似的悖论也可排除，并因而把它们变成一条定理。 例如，罗素悖论解除后就变成了以下定理： “没有一个集合包含这样一个集 合，其元素都是而且仅仅是这个集合中的所有非自己元素的集合”。通俗地 说， “不以自身为元素的集合的集合”是不存在的。 汤姆逊还用此定理解释了格雷林悖论。就是说： “没有一个形容词的集 合能包含这样一个形容词：它能真实地表示这个集合中所有 （而且仅仅是） 非自状的形容词。 这条定理的意思是： “非自状的”这个形容词如果要能够形容所有非自 状的形容词 （包括它自身）那是不可能的。因为形容它自身时就会出现矛盾， 而不形容它自身也会出现矛盾。 由此，汤姆逊也对罗素的类型论和塔斯基的语言分层理论进行了评述。 罗素的类型论是如何解除此悖论的呢？据类型论， “非自状的”是对所有具 体非自状的形容词的概括，因此，它是比这些形容词高一级的类型，但同一 级的类型不能表述自身，因而问 “非自状的”是否非自状的毫无意义，是类 型论不允许的。而据语言分层理论， “非自状的”是用来描述具体的非自状 的形容词的，如 “无意义的”“英文的”等，因此，它是更高一层的语言， 即元语言。要描述 “非自状的”本身，又要用再高一层的语言，它用来描述 自身是不允许的。这样，概括所有层次的“非自状的”形容词是不存在的。 因此，汤姆逊认为，类型论与语言分层的方法与他的方法是殊途同归的。但 与其最终承认这样的集合或语词是不存在的，为什么不一开始就直截了当地 说它们不存在呢？另外，汤姆逊认为，类型论或语言分层理论都显得有些武 断，为什么一定的集合要属于一定的类型呢？为什么语言要属于一定的层 次？这都显得有人工雕凿的痕迹，显得不自然，都不如他的直接承认具有说 服力。 但是，也有人对这条定理提出异议，如麦克伊说，汤姆逊显得更武断， 为什么 “非自状的”这一形容词不能用于自身？为什么一个集合中就不能有 这样的元素呢？汤姆逊说，因为引出了矛盾。但麦克伊却说，这不能算作回 答。麦克伊评论道：“这种证明解除了悖论吗？显然没有。它摆脱了理发师…… 但它不能摆脱罗素悖论或格雷林悖论，因为我们手上仍然有一个矛盾存在： 一方面是 ‘理发师定理’的适当解释，另一方面则显而易见地存在着不包含 自身为元素的集合……这一矛盾 （不以自身为元素的集合的集合是又不是自 身的元素）靠了否认这样的集合的存在而被解除，但一个更深刻的矛盾仍然 存在：即否认这个集合的存在和这个集合的显然存在之间的矛盾。汤姆逊的 解除方法成为这个更深的矛盾中的一方。”这正如一个孩子拉着妈妈的手说：

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“妈妈，魔鬼不存在。”妈妈问：“为什么呢？”“因为我害怕。”但魔鬼 并不能因为否认它存在而不存在。 可以看出， “理发师定理”就是说不但“矛盾即荒谬”，而且“矛盾不 存在”，这只不过是形式逻辑 “无矛盾思维”影响的结果。它企图说明悖论 的局限性，但到最后却证明形式逻辑思维本身是有局限性的。 十二、卡里马楚斯的困惑 ——编目悖论及其解决 在古老的亚历山大图书馆里，勤奋的学者卡里马楚斯正在埋头给馆藏图 书编目。 突然，这位白发苍苍的老先生坐在书堆中呜呜地哭了起来。原来，他遇 到一个闻所未闻的难题，这是他学了一辈子的亚里士多德形式逻辑都没法帮 助他摆脱的问题。 事情是这样的，在编目时，他把所有的目录分成了两大类，其中第一类 专门收集 “自身列入的目录”。所谓“自身列入的目录”，就是指一本书目 中也列入了这本目录自身。比如说，在图书馆有许多数学方面的书，如 《算 术》、 《几何学基础》、《初等代数》、《解析几何》等等，我们可以给它 们编目，写成一本 《数学书引》，它收入的都是这方面图书的名称。如果翻 开这本书目，却发现 《数学书目》这本书本身的名称，即如下情形： 数学书目： 1.算术 2.几何学基础 3.初等代数 4.解析几何 5.数学书目 那么，这本书就是自身列入的目录。当然，其他还有许多自身列入的目 录。 第二类目录是 “自身不列入的目录”。所谓“自身不列入的目录”，就 是一本书目的目录中没有自身的名称。比如说，本图书馆中有一些地理方面 的书，如 《世界地理》、《中国地理》、《欧洲地理》、《经济地理》等， 我们就可以给它们编一本 《地理书目》。翻开这本书，你在它所列的书目中 并没有发现它自己的名称，即如下的情形： 地理书目： 1.世界地理 2.中国地理 3.欧洲地理 4.经济地理 那么，这本 《地理书目》就是自身不列入的目录。所谓自身“列入”或 “不列入”，实际上就是列入或不列入自身，也就是一本书目中包含不包含 自己的名称。 卡里马楚斯编完这两大类目录后，发现 “自身列入的目录”有很多，如 《数学书目》、《哲学书目》、《逻辑学书目》等等，而“自身不列入的目

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录”也有不少，如 《地理书目》、政治书目》、《军事书目》等。既然如此， 又可以各给它们编一个目录，即 “自身列入的目录的总目”和“自身不列入 的目录的总目”，这样又编成了两本书目。这时，卡里马楚斯发现了问题， 那就是 《自身不列入的目录的总目》这本书该不该收入《总目》本身呢？而 且他发现，这个问题是无法解决的，因为这部 《总目》如果不列入《总目》， 不但不成其为 《总目》，而且这恰恰使它成为“自身不列入的目录”，而这 本 《总目》是专收“自身不列入的目录”的，因而它必须列入自身；可是， 如果它列入自身，那么，它就成为一部“自身列入的目录”，而这本《总目》 不收这类的目录，因此，它不能列入自身。亚里士多德的形式逻辑告诉卡里 马楚斯，要么列入自身，要么不列入自身，不能既列入又不列入自身。但在 这里，列入自身，就必须不列入自身；不列入自身，则又必须列入自身。不 论列入自身还是不列入自身都无法跳出自相矛盾的境地。卡里马楚斯就像一 只要吃到自己尾巴上绑着的肉却又够不着，而在那里不断旋转的猫一样陷入 神秘的怪圈而不能自拔，所以，他坐在那里痛苦得哭了起来。 可怜的卡里马楚斯于是终日茶饭不香，郁郁寡欢，因为那怪圈始终萦绕 在他的心头。一直到生命的尽头，他也没能解开这个死结，从而带着终生的 遗憾离开了尘世。 2000多年后的现代，追求完美的欲望促使一些逻辑学家、数学家要重新 赶走这个魔鬼。他们为卡里马楚斯想出了各种解决的办法。英国逻辑学家汤 姆逊说，我这里有一个 “理发师定理”，它已经帮助塞维利亚的理发师摆脱 了困境，而卡里马楚斯与那位理发师处于同样的境地。根据理发师定理，这 样的一部 “自身不列入的目录的总目”是根本不存在的，它只是存在于卡里 马楚斯的幻想当中。去掉幻想，站在现实的大地上，他会发现，一切问题突 然都消失得无影无踪了。这时，卡里马楚斯的信徒们跳了起来：“简直空谈！ 你自己解释不了，就说不存在，这能说明什么问题？你并没有证明这样的总 目为什么不存在。” 大哲学家罗素马上起来安慰这些信徒们： “既然大家不同意‘理发师定 理’，我看还是采用我的办法，这个办法也是在解决理发师悖论时提出来的， 这就是类型论方法。据类型论，集合都属于不同的类型，如元素的集合、元 素的集合的集合等。同一类型的集合不能相互包含，因此，一个集合不能是 这个集合本身的元素，即不能包含自身。如果说一集合属于另一集合，那么， 前一集合应该比后一集合的类型低。这样，卡里马楚斯先生就不要编这种‘自 身列入的目录的总目’，因为它的元素 ‘自身列入的目录’就是自己属于自 己，这是违反类型论的要求的。当然， ‘自身不列入的目录的总目’也不会 有列入自身的问题，怪圈也就不会出现。” 罗素的话音刚落，塔斯基站起来说： “我同意罗素先生的观点。我也提 出一个与类型论相似的语言分层理论，据此理论，语言有不同的层次，低层 次的称为对象语言，包括对象语言并对其进行讨论的称为元语言。同一层次 的语言是不能相互讨论的，这样， ‘自身列入的目录’是不允许的，当然， ‘自身列入的目录的总目”也就不能存在。同样，‘自身不列入的目录的总 目’也不会有属于不属于自身的问题，悖论当然能避免。” “嗯！有一定的道理，”卡里马楚斯的信徒们说， “不过，你们的理论 却都有些武断。根据亚里士多德大师的形式逻辑，目录总可以分为两类：自 身列入和自身不列入。要么自身列入，要么自身不列入，不能既是自身列入

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又是自身不列入。从客观上讲，自身列入的目录是存在的，而你们却严加禁 止。退一步讲，据你们的理论，任何目录不能列入自身，那么，据排中律， 则有任何目录都是自身不列入的，而给这类目录编一个总目没有任何理由进 行反对，它作为一部目录当然也要归入两类中的一类。你们既然禁止自身列 入这种情况存在，那么，它只能属于自身不列入这一类。 ‘自身不列入的目 录的总目’属于 ‘自身不列入的目录的总目’，那不又成了自身列入了？矛 盾！” 看来，现代的逻辑学家们并没有使卡里马楚斯摆脱困境，清除矛盾。这 时，辩证法的大师们出来替他们解围了。 “矛盾，是的，矛盾！你不会清除矛盾，因为矛盾无处不在，无时不有， 矛盾才是真理！ ‘自身列入的目录的总目’本身就是一个矛盾的统一体，它 把所有 ‘自身不列入的目录”列入了，即‘列入’了‘不列入自身者’，因 此，它应该既列入自身又不列入自身。” “蠢话，胡言！这简直是对亚里士多德先哲的亵渎！”卡里马楚斯的信 徒们嚷嚷着，他们真不愿大换一下脑筋。 “且慢，听完我们的解释后，你们也许会有所启示的。我们先看看中国 的悖论专家杨熙龄先生提出的两种方法。他的第一种方法称为 ‘列入不列入 法’。按照这种方法，卡里马楚斯在给所有自身不列入的目录编成总目之后， 在这本总目的最后一页的末尾加上这样一条： ‘本总目未列入本总目’。此 总目就通过不列入的方式把自己列入了。” “这叫什么解决方法？”卡里马楚斯的信徒们还是不满。“这简直就是 在说此地无银三百两。如果说它自身列入，它又明明说未列入；而如果说它 未自身列入，但它又通过这种特殊的，即说自身未列入的方式列入了，亦即 把自己的 ‘未列入’列入了。这何曾是解决悖论？这不过是戴上面罩的悖论 而已。另外，就算你解决了自身列入不列入的问题，编成了一本总目，那么， 这本总目你放在哪个书架上？是放在自身不列入的目录这个书架上，还是放 在自身列入的目录这个书架上？还有，一本书的目录列入总目就应该是把它 的书名列入。说 ‘本总目未列入本总目’，这叫什么列入法？” “哪个书架上都不能放，放哪个书架上都会形成矛盾。那我们就在图书 馆中设另一个，即中间的书架，就把这本总目放在上面。当然，这违背亚里 士多德形式逻辑基本规律的要求，这需要你们和图书馆人员改变思维方式。 还有，总目有它的特殊性，它也只能有它不同于一般的特殊列入法。” “这种方法我们也无法接受。你们还有什么高招？” “杨熙龄先生还有第二种方法，即‘不列入列入法’。这种方法最简单， 就是总目干脆不列入自身。” “既然不列入自身，那不正好是本总目要收的吗？这就应该列入自身 啊！缺了这一种，本总目还叫总目吗？” “这问题不难回答。根据这种方法，总目的名称就在它的封面上，其他 目录由总目内部收，而这本特殊的总目只能由它的封面来收了。它的内部没 有列入自身，而封面却列入了自身，这就叫 ‘不列入的列入’。如果你们要 问为什么要列在封面上，那我们也只能说，这本特殊的总目也只能采取特殊 的列入法。” “你们这种方法不过是把矛盾的双方分解，使原来‘列入’的意义改变， 现在的 ‘列入’与原来意义的‘不列入’就不再具有矛盾关系，这样，在形