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式逻辑的范围内就能说得通了。既然是以损失原来意义的 ‘列入’为代价， 这种解决看来也不能说是完美的。”说完，卡里马楚斯的信徒们都闷闷不乐 地离去了。 十三、镇长分身术 ——区别与规定法 荷兰又称 “尼德兰”，是西欧著名的小国。“尼德兰”（Nederland）就 是“低洼之国”的意思。荷兰全境均为低地，三分之一的土地海拔不到1米， 四分之一的土地低于海面，靠堤坝及风车排水防止水淹。境内河流密布，沟 壑交错。特殊的地理条件使得荷兰在很久以前就出现了许多小市镇，人口多 少不等。每个市镇均有镇长加以统治，没有任何人担任两个或两个以上市镇 的镇长，也没有任何市镇由两个或两个以上的人担任镇长。这些镇长中，有 的居住在自己任职的市镇中，称为 “居民镇长”；而有的镇长则到另外的市 镇中去居住，我们称之为 “非居民镇长”。有一年，荷兰颁布一项法令，为 这些非居民镇长开辟了一块土地，令他们居住在那里。 随着经济的发展，新的市镇不断出现，而非居民镇长的数量也随之不断 增加，非居民镇长居住的地区也越来越繁华，越来越扩大，为此，须建立一 个新的市镇。当然，这个市镇也要设立一镇长。但选出镇长后，人们却发现 一个很难解决的问题：此镇长住不住在这个镇呢？ 如果此镇长住在这个镇，那么，他就是居民镇长，但只有非居民镇长才 能住在这里，所以，此镇长不能住在这个镇；如果此镇长不住在这个镇，那 么，他就是非居民镇长，而非居民镇长只能住在这里，所以，此镇长必须住 在这个镇。不住在这里，那么，只能住在这里，而住在这里，就必须不住在 这里，此镇长也陷入怪圈。 在汤姆逊先生看来，这问题非常容易解决。根据他的 “理发师定理”， 有 “荷兰所有的镇长”这样一个集合，在此集合中又有一个子集合，这个集 合由所有不在担任职务的镇上居住的镇长 （非居民镇长）组成，那么，不存 在另外的这样一个人，他是荷兰某个镇的镇长，而且他在非居民镇长们的镇 上居住。这句话听起来很复杂，用通俗的语言来讲，它的意思是说，非居民 镇长们居住的镇上是无法选出一个镇长的，也就是说，这样的镇长是不存在 了。既然如此，我们也不用煞费苦心帮助这位镇长摆脱困境了。 但是，对自己回答不了的问题就说它不存在，这并不能使人信服。况且， 汤姆逊也没有能证明这样的一位镇长为什么不存在。实际上，人们完全可以 给这个镇选一个或任命一个镇长。 在类型论中，此问题也很容易解决。在罗素看来，集合有不同的类型， 如个体的集合、个体的集合的集合等。人们可以在高一级的类型中谈论低一 级的类型，但不能在低一级的类型中谈论高一级的类型，也不能在同级类型 中相互谈论。所有非居民镇长组成一个集合，即前面所述的新的市镇，而此 市镇的镇长则属于高一级的类型，说他是否属于此集合，即是否居住于这个 市镇则是无意义的。但是，不让人谈论这个问题并不是说它就消失了。从客 观上来说，新市镇的镇长总是存在是否在此居住的问题。 按照策梅罗的集合论，此怪圈更算不上什么问题，因为在他那里，集合

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不是任意形成的，而必须由大的集合分出，也就是说必须是某一大集合的子 集合。这样，也不会有某范围内最大的集合，如所有居民镇长的集合，所有 非居民镇长的集合等是不允许的。这样，所有非居民镇长组成的市镇也就不 存在了。因而，选出镇长后可居住在别的地方而不造成悖论。 下面，我们再看另外一种办法。 首先，我们分析一下 “非居民镇长组成的市镇的镇长”这个概念。如果 人们能够选出来这么一位总镇长，那么，他同时也是一位普通的非居民镇长， 正如一个班的班长同时也是一个普通的学生一样。因此，这位镇长本身具有 二重性。我们可以假定，这位总镇长不住在本镇，而作为一个普通的非居民 镇长也不住在本镇，这样就有如下的情形： 1.总镇长作为总镇长不住在本镇； 2.总镇长作为普通的镇长也不住在本镇。 据 2，作为普通的镇长不住在本镇，那么，他是非居民镇长，而非居民 镇长必须住在本镇，但据 1，总镇长不住在本镇，因此，可以得出，这位只 是作为普通的镇长居住在本镇，而不是作为总镇长居住在本镇。由于这种方 法是通过区别同一个体的二重性并把二者加以不同的规定来解决悖论的，所 以称为 “区别与规定法”。 我们也可以用此方法来分析编目悖论。 《自身不列入的目录的总目》本 身是一部总目，但同时它又是一部普通的自身不列入的目录，因此，《总目》 本身就具有二重性。我们可以假定，这部 《总目》不列入自身，当然，作为 普通的目录的总目也不列入自身。这样就有如下的情形： 1.《总目》作为总目不列入自身； 2.《总目》作为普通目录也不列入自身。 据 2，作为普通目录的 《总目》既然不列入自身，它就是一部“自身不 列入的目录”，因此，必须列入 《总目》，但据1， 《总目》作为总目并不 列入自身。所以， 《总目》只是作为一般的目录列入作为总目的《总目》。 这时，会有人诘问说，这种把一个整体分成两部分的做法只是头脑中的 幻想，你只不过是把一种幻想列入另一种幻想罢了。我们也只能说，二重性 之所以成为二重性，就是因为二者是事物本身所具有不可分离的部分，当然 不能在实际中把二者分开，分开后也就不成其为二重性了。 这样的解释不很清楚，我们再举一通俗的例子。 某日课后班长把同学们留下，说：“学校发下来一些表格让大家填一下。 如果有同学不愿填，可由班长我代劳，当然，如果愿意填，就不用我费神了。” 有些同学很踊跃，领来表格认真地填写起来，但也有几个同学因有急事，自 己不愿意填，就请班长代他们填写。别的同学都填完后，突然，有一学生问： “班长，你自己的谁填呢？” “当然我自己填。”班长脱口而出。 “这样不行，”那同学说，“你刚才不是说，自己愿意填的你不帮他填 吗？” “那我就不用填了。”班长又改口。 “这更行不通，因为你还说，不愿填的你都帮助填。”那同学还是不让。 这下可把班长难住了。 但是，如果学了这种区别与规定法，此问题就难不倒他了，他完全可以 自己填上而又不用修改诺言。如果那同学提出疑问，他可以这样回答：“作

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为学生的我不愿意自己填，我是作为班长替作为学生的我填写的。” 通过区别和规定，我们也可以使那位塞维利亚的理发师摆脱困境。 这位理发师身上也有二重性：他是一个理发师，同时也是塞维利亚村的 村民。既然如此，他就可以坦然在店里给自己刮胡子，而不用修改自己的店 规。 这时，来了位村民看到他正在自己刮胡子，就责问道： “老兄，你那白 纸黑字不是写得清楚？你的店规不是明明规定，你给且只给不给自己刮胡子 的人刮胡子吗？你既然自己刮了，你就不能给你刮。”而理发师可以反唇相 讥道： “是的，我的店规是说得很明白，但我并没有违反店规。作为村民的 我一直没有给自己刮胡子，我现在只是作为理发师在给作为村民的我刮胡 子。”或者也可以这样回答： “今天小店歇业，作为理发师的我休假，我现 在以村民的身份作为村民的自己刮胡子。” 看来，他总是有道理的。那么，为什么以前他却陷入困境而不能自拔呢？ 原来，以前人们一方面把他身上的二重性分开；他是个理发师，同时也是村 民；但另一方面，在他刮胡子时又不允许他把 “到底谁在刮胡子分开”。只 要他一刮胡子，就仿佛是村民自己在刮胡子，而理发师也在替这个村民刮， 两个身份的他同时在刮，这样就违反了店规，造成团团转而无法摆脱的局面。 这正如一个中国民间故事所说明的。 某地有一女孩子非常聪明，什么问题也难不倒她，人称 “伶伶”。这事 不知怎么传到县官那里，他决定亲自去难为一下伶伶。 有一天早晨，他骑马来到怜伶的庄上，叫人把她喊出来。伶伶听说县官 来访，便急忙出来迎接。她打开大门，前腿刚迈出来，就看到县官站在马蹬 上对她喊道： “伶伶，听说你很聪明，老爷我今天就考考你，你说我要下马 还是要上马？”伶伶一听知道是在向她发难，抿嘴一笑对县官说： “老爷， 你先回答我，我是要出门还是要进门？”县官无言以对，骑上马就匆忙赶回 衙门去了。 这位县官的问题确实很难为人，因为站在马蹬上本身就是个中间状态。 如果你说他要上马，他可以马上跳下来，而如果说他要下马，他却可以骑上 去，因此，这种中间状态就具有上去与下来的矛盾二重性，单说上去或下去 都是不行的。但是，聪慧的伶伶并没有被难倒。她来了个以其人之道还治其 人之身，给县官提出了一个类似的难题，因为前腿在外后腿在内本身也是个 中间状态，也具有矛盾的二重性。如果说她要出来，她可以进去，而如果说 她要进去，她又可以出来。这一问题县官很难回答，当然，他也就不能要求 别人回答他的类似的问题。 县官之所以被难倒，还有一个重要原因，那就是他的形式逻辑的思维方 式。根据形式逻辑的基本规律，对问题必须进行 “是”或“否”的回答，也 就是说，要么回答进去，要么回答出来，但无论哪种回答都可能造成困难。 同样，在理发师悖论中，理发师本身具有矛盾的二重性。作为理发师不 能自己理，而作为一个村民可以自己理，也就是说，他既要自己理又不能自 己理。而在编目悖论中，“自身不列入的目录的总目”本身既要列入自身， 又不列入自身，但要加以区别并给以不同的解释。 区别与规定的方法同样适用于罗素悖论。罗素悖论是由于“不以自身为 元素的集合的集合”这一概念引起的，那么，我们对它试加分析。这一概念 具有二重性，作为所有不以自身为元素的集合组成的集合，它本身也是一集

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合，但这是集合也是一个总集。这样，就形成以下两种情形：此集合作为总 集不包含自身，同时，作为一普通的集合它也是不包含自身的。而既然它是 不以自身为元素的，那么，它就必然是总集所包含的元素，所以，此集合不 是作为总集，而是作为普通的不以自身为元素的集合包含在自身中。也就是 说，此总集既包含在自身中，又不包含在自身中。这看似矛盾的，但通过区 别二重性并加以解释后，也就不成其为形式逻辑的矛盾了。 十四、奇妙的唱机与唱片 ——拒斥排中律 集合论中一系列悖论，特别是罗素悖论的出现，揭示了这样一个严酷的 事实：集合论是不相容的，即前后是矛盾的。一向以精密严格著称的数学大 厦居然出现了裂痕，而且是足以使整座大厦倾覆的裂痕，这怎能不令人震惊！ 悖论产生的根源何在？能否为数学找到一个可靠的逻辑基础？这些问题困绕 着数学家和逻辑学家，由此也引发了一场关于数学基础问题的大论战。 论战的一方是以罗素为代表的逻辑主义学派。逻辑主义认为，逻辑是全 部数学的基础，以真假二值为基础的经典逻辑是绝对可靠的，数学的基本概 念可以用逻辑的概念来定义，数学的命题则可经由逻辑的公理，运用逻辑的 法则推导出。只要构造出合适的逻辑系统，就可以推出全部经典数学。把数 学化归为逻辑，这是逻辑主义学派的基本纲领。避免悖论，维护集合论和已 有的一切数学成果则是其基本出发点。 为消除悖论，罗素提出其著名的类型论。类型论取得一定的成效，但由 于过于繁琐和做作，所以，遭到许多人的批评。而且，由于在推出经典数学 的过程中需借助于一些非逻辑的公理，因此，逻辑主义学派 “把数学归结为 逻辑”的纲领最终证明是失败的。 论战的另一方是以希尔伯特为代表的形式主义学派。形式主义学派也坚 信经典逻辑的有效性，捍卫一切已有的数学成果。为了证明经典数学的可靠 性，希尔伯特提出了这样的方案：首先把经典数学形式化 （即变成纯粹的形 式符号），构成形式公理系统，然后用有穷的方法 （即不采用实无穷的观点， 不使用无穷集合）来证明这些公理系统的一致性 （即无矛盾性），试图用逻 辑的无矛盾性来为数学的真理性作辩护。在希尔伯特看来，如果一个概念具 有矛盾的属性，这个概念在数学上就不存在。但是，如果可以证明一概念的 属性不会经过有穷步骤的逻辑推理导致矛盾，那么，这个概念的数学存在性 就证明了。 这一方案首先遭到直觉主义学派的攻击。此学派的代表布劳威尔曾一针 见血地指出： “不正确的理论即使还未碰到矛盾，但仍然是不正确的，正如 一个罪恶的行为即使还未被法院发觉，但仍然是罪恶的。”而给予这一方案 致命打击的还是哥德尔的不完备性定理。对于这一定理，霍夫施塔特曾用一 故事加以通俗说明： （阿基里斯去访问乌龟，并在他家消磨时间）阿：上帝啊！，你的收藏 品可真多。你收集了这么多唱片，那你究竟喜欢什么样的唱片呢？ 龟：我认为巴赫的作品最棒。不过，我最感兴趣的却是一种特殊的音乐， 我把它称为 “粉碎唱机的音乐”。

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阿：这可真是一种古怪的音乐。难道你举着大锤，按照贝多芬 《惠灵顿 的胜利》的节奏把唱机一个个地砸掉？ 龟：可不是这么回事。懂得这种音乐的人并不多。这要从我的朋友蟹说 起。有一天，他来我这儿作客，他刚刚买了一台新唱机，按照店主的说法， 它能演奏任何声音，也就是说，这是一台完备的唱机。 阿：你肯定不相信这一点的。 龟：后来，我就去回访他，并且带去一张我自己创作的唱片。唱片的曲 名就叫做：“我不能在唱机1上演奏。”我建议他和我一起来欣赏这张唱片。 于是，他就打开唱机把这张唱片放进去了。不幸的是，刚奏出几个音符，唱 机就开始抖动起来，越抖越厉害，最后只听 “啪”的一声，唱机裂得粉碎， 不用说；这张唱片也跟着报销了。 阿：真倒霉！可是店主不是吹嘘这是一台完备的唱机吗？ 龟：确实如此。阿基里斯，难道你也会和蟹一样天真，相信店主告诉你 的一切吗？ 阿：我想这是因为店主在吹牛的缘故。 龟：其实，在回访蟹之前我就去过出售唱机的那家商店。我向他索取了 设计说明书，分析了它的结构，并且发现确实有这样一组声音，如果它在唱 机附近作响，就可以使唱机振荡，乃至于碎裂。 阿：你这个恶毒的家伙！不用细说我就明白了。你录下的真是这组声音， 还假惺惺地把它当作礼物去送给蟹。 龟：你倒是够机灵的。不过事情并未就此了结。蟹并不相信他的唱机是 有缺陷的，于是，他又买了一台更加昂贵的唱机。店主则向他许诺，如果他 能发现一组在这台唱机上无法演奏的声音，我就包赔两倍的钱。于是，蟹兴 致勃勃地来找我，而我也带着极大的兴趣去观看。 阿：我敢打赌，你一定又按照新唱机的结构炮制了一张新的唱片： “我 不能在唱机2上演奏。” 龟：你的反应很快，你完全领会了问题的精神实质。当然，完全可以料 想到，这台唱机又被震得粉身碎骨了。 阿：我倒有一个主意。他可以买一台低保真度的唱机，这样就不会重演 使自己毁灭的那组声音了。 龟：可是，这样一来就违背了原来的宗旨——可以演奏任何声音。 阿：我现在明白问题的两难性究竟在哪里了。这就是说，任何唱机其实 都是有缺陷的。 龟：我不明白你为什么要把这叫做缺陷。问题的实质在于，你要唱机去 做它根本办不到的事情。不过，我的朋友蟹并不死心，他又自己设计了一台 “奥米枷唱机”。这种唱机带有一架电视摄像机，能在唱片演奏之前先把它 审视一番。它和微型计算机连接在一起，可以立即判定这组声音对于唱机所 产生的效果。如果唱机会受到破坏，它就可以通过一个内部装置将唱机的各 部分重新组装，从而改变它的内部结构再来演奏唱片。 阿：这下好了，你也没有办法了吧？ 龟：瞧你这副得意的劲儿，如果你懂得哥德尔定理就不会这样得意了。 哥德尔定理是说：（1）如果系统是无矛盾的，那么，此系统是不完备的， 即其中必有一个命题，其真假不可判定；反之，如果它是完备的，那么，它 必然包含矛盾。（2）这样的系统自己不能证明自己无矛盾，除非它自己是矛

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盾的。哥德尔通过建造一个类似说谎者悖论的命题证明的： “本命题在此系 统中不可证”（G）。假如这个命题G在系统中可证，则证明了它“不可证”， 矛盾。因此，假设不成立，G在系统中不可证。而G是说它在系统中不可证， 故G真，这样，就证明了在系统中有一个真命题不可证。用上面的例子说， 就是任何唱机都不可能完备，它总有不能演奏的唱片。所以，蟹通过摄像机 审视后不断调整唱机结构的方法是行不通的，因为乌龟总可以设计出一种它 不能演奏的唱片。哥德尔定理的发现标志着希尔伯特方案的破产。 论战中的另一方是以布劳威尔为代表的直觉主义学派。直觉主义学派认 为，数学的基础和出发点是自然数的理论，而自然数则是由人的原始直觉（按 时间顺序出现的感觉）构造出来的。数学理论可靠性的唯一标准就是心智上 的可构造性。他们有一句名言： “存在必须等于被构造。” 由此，他们反对“实无穷”，而支持“潜无穷”的观点。所谓“潜无穷”， 就是把无穷看成一个不断创造着的又永远无法完成的过程，例如，把自然数 看成一个无限延伸的序列 1，2，3，……，而不是一个已经完成的集合 ｛1， 2，3，……｝。他们进一步认为，实无穷的观念是集合论中产生悖论的根源。 按照直觉主义的观点，要判定一个命题A为真，就必须给出A的构造性 证明。要判定一个否定命题非A为真，就必须有一个构造，这一构造将任何 一个假定原命题A为真的构造导致谬误，例如推出一对矛盾的命题B和非B。 在经典逻辑和经典数学中，人们经常使用间接证明的方法：欲证一个命题为 A真，不是直接去证明，而是先假定A不真，即非A真，然后推出逻辑矛盾， 以此来证明命题为A真。这种方法直觉主义者是不能接受的，因为由非A推 出逻辑矛盾并不意味着可以肯定命题A找到一个构造性证明。 有一个故事很形象地说明了这个问题： 一位能言善辩的人在滔滔不绝地说明 “秘鲁地下有金矿”这一命题的正 确性，可是，他既不清楚究竟在秘鲁的哪个地方有金矿，也不了解为什么会 有金矿，也讲不出按照什么方法就一定能在一段时期内探明金矿的所在地， 而只是兜着圈子论证：如果秘鲁地下没有金矿的话将会导致矛盾。一位听众 提出了质问： “你的这番高论对于一个探矿者有何实际价值呢？”善辩者无 言以对。 基于他们的基本立场，直觉主义者断然否定排中律的普遍有效性。布劳 威尔认为，排中律是从有穷事物中概括出来的，任何一个涉及有穷事物全体 的命题，如 “我们班所有的都戴眼镜”，总可以通过对这些事物逐一加以验 证，来判明该命题的真假，这时，排中律是有效的。但是，如果人们忘记了 排中律的有穷来源，把它看成普遍适用的原则，并把它用于无穷的场合，就 会犯错误。这是因为，对于无穷的事物，我们不可能对它们一一加以鉴别。 例如，设命题A为著名的哥德巴赫猜想： “每一个大于4的偶数都可以表示 为两个素数之和” （素数为只能被1和本身整除的数），这是一个涉及无穷 的命题 （因为偶数和素数都是无穷的），至今还无法证明这一猜想，即不能 断定A真；但我们也无法论证这一猜想是错的，因此，也不能断定非A真。 这样，命题A既不能证实，也不能否定，排中律失效。同理可以看出， “所 有集合的集合”、 “所有不以自身为元素的集合的集合”等等都是无穷的事 物，对它们是否具有某种性质、是否属于自身等都是无法证实或否证的，排 中律不再适用，因此，悖论也不会出现。 与许多其他解决悖论的方法如类型论、语言分层理论等不同的是，直觉

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主义学派采取的是一种激进的、釜底抽薪的方法，因为它使逻辑与数学的基 础发生了根本性的转变。当然，企图维护经典逻辑与经典数学基础的人会极 力加以反对。例如希尔伯特就很愤慨地说：“要想从数学家手中取走排中律， 这就类似于想夺去天文学家的望远镜或禁止拳击家使用拳头一样。” 随着悖论研究的深入，越来越多的人认识到必须正视矛盾，接受矛盾， 拒斥排中律、不矛盾律。1980年，美国的逻辑学家雷歇尔和布兰登提出了“不 协调逻辑”。他们认为，自然界的无矛盾性决不是什么经验事实，而是恰恰 相反！但他们却指出，对这种不协调性的研究，即关于世界的思维应该是协 调的，这正如对于醉酒者精神状态的研究可以是清醒的一样。所以，在其系 统中，他们企图把矛盾局部化，就像治疗癌肿一般把它们圈禁起来，使其不 能扩散开来泛滥成灾。 在 “不协调逻辑”之后，澳大利亚逻辑学家普里斯特和罗特列又提出了 “超协调逻辑”。在介绍这种逻辑学说时，他们讲了一个土耳其人纳塞阿丁 （13世纪人）的故事： 纳塞阿丁的菜园里有二园丁。园丁甲照管卷心菜，发现菜上有害虫，即 着手捉虫，把虫弄死并抛出墙外。园丁乙走来问甲道： “你在做什么？”园 丁甲回答道： “杀虫。”园丁乙问：“杀虫干什么？”甲回答：“因为它们 吃掉纳塞阿丁的菜。”但乙却说：“别杀虫了，虫子也有它们吃菜的需要。” 于是，二人开始争吵并打了起来。纳塞阿丁和他的妻子恰好走过。纳塞阿丁 问： “你们为什么打架？告诉我，由我来判断。”园丁甲说：“我说这些虫 子务必杀灭干净，因为它们吃掉您的卷心菜”。纳塞阿丁答道：“你说得对。” 但园丁乙说：“我说不要去碰这些虫子，让它们吃饱。”纳塞阿丁答道：“你 说得对。”这时，纳塞阿丁的妻于对他说： “但是，纳塞阿丁，他们俩不可 能都对。”纳塞阿丁又答道： “你说得对。” 据普里斯特和罗特列说，纳塞阿丁的立场就是典型的超协调逻辑的立 场。由这种立场出发得出杀虫，不杀虫，不能 “杀虫对，不杀虫也对”，即 A，非A，以及并非 （A且非A），可以说是既承认不矛盾律又否认不矛盾律。 普里斯特和罗特列认为，不可能有一种方法能真正彻底地解除悖论，因 为悖论本身是真的。既然有的矛盾是真的，就毋需谈论什么 “协调”（不矛 盾）和 “不协调”（矛盾）。逻辑必须超出传统的追求协调性的束缚，而成 为 “超”协调的，也就是说，对矛盾采取一种超然的态度。 十五、梵学者的预言 ——悖论的两要素 《科学美国人》编辑部在其所编的《从惊讶到思考》一书中讲了这样一 个故事： 〔一天，梵学者（印度预言家）与他的10多岁的女儿苏椰发生了争论〕 苏椰：你是个大骗子，爸爸。你根本不能预言未来。学者：我肯定能。 苏椰：不，你不能。我马上可以证明它。 （苏椰在一张纸上写了一些字，把它折起来，再将它压在水晶球下） 苏椰：我写了一件事，它在3点钟以前可能发生，也可能不发生。如果 你能预言它能发生，还是不发生，在我毕业时你就不用给我买你答应过要给

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我买的汽车了。苏椰：这是一张空白卡片。如果你认为这件事会发生，就在 上面写 “是”；如果你认为它不发生，就写‘不”。要是你写错了，你答应 现在就买辆汽车给我，不要拖到以后，好吗？ 学者：好吧，苏椰，这可是一项定约啊！ （梵学者在卡片上写了一个字。到3点钟时，苏椰把水晶球下面的纸拿 出来，高声读道） 苏椰：在3点钟之前，你将写一个 “不”字在卡片上。学者：你捉弄了 我。我写的是 “是”，所以，我错了。可是，如果我写“不”字在卡片上， 那就说明我在3点钟之前不会写“不”字在卡片上，但我却明明写了，所以， 我也错了。我根本不可能写对的。苏椰：我想要一辆红色的赛车，爸爸，要 带斗形座的。 这条悖论最初的形式是关于一台计算机，这台计算机用开红灯表示 “是”，开绿灯表示“不”。它被要求用回答“是”或“不”。来预言下一 次灯亮是不是它的绿灯。很显然，要它预言正确，在逻辑上是不可能的，因 为如果它回答 “是”，就要开红灯（恰恰不是绿灯），而如果回答“不”， 就要开绿灯 （正好是绿灯）。 这个悖论还可以简化成最简单的形式，即问一个人： “你下句话要讲 “不”，对不对？请回答‘是’或“不’。”显然，他回答“是”或“不” 都是行不通的。 根据塔斯基的语言分层理论， “是”和“不”是有不同层次的。苏椰所 写的 “在下午3点之前你将写一个 ‘不’字在卡片上”这一句话中，“不” 字是被讨论的对象，属于对象语言，而梵学者所写的 “是”或“不”则是回 答苏椰的问题，或者说是用来讨论上句话中的 “不”字的，因此，属于元语 言。这里的悖论之所以出现，就是因为把元语言混同于对象语言而造成的自 我涉及引起的。如果有两个卡片，在第一张卡片上梵学者回答苏椰的问题， 如回答 “是”，即在3点之前要在卡片上写一个 “不”字，然后在第二张卡 片上写出 “不”字，这样就不会造成悖论。 自我涉及 （或自我相关）是任何悖论出现的一个条件。生活中人们经常 看到这样的情形，有人为了阻止另外的人在黑板上乱画，就在黑板上写出这 样一句话： “严禁乱画！”但不长时间，黑板上就给画满了，如 “严禁严禁 乱画！”“你为什么乱画？”等。“严禁乱画！”这个句子就是自我涉及的， 因为它本身就是在黑板上乱画，不让别人乱画而自己却乱画是说服不了人 的。自我涉及是说一个概念，命题或理论说的是它自己，也就是说，它或其 结论直接或间接应用于其自身。说谎者悖论 “我正在说的话是谎话”是最直 接的自我涉及，罗素悖论是 “不以自身为元素的集合的集合”这一概念的自 我涉及 （即问它是否属于自身），格雷林悖论则是“非自状的”这一形容词 的自我涉及，理发师悖论则是理发师的自我涉及，等等。正因为自我涉及是 悖论出现的基本条件，所以，罗素提出“恶性循环原则”避免一切自我涉及。 但是，自我涉及是否必然会导致逻辑矛盾呢？可以很容易看出，并非如 此。例如， “一切真的理论都是有价值的”是自我涉及的，但它并没导致矛 盾；又如， “我说的这句话是真话”明显也是自我涉及的，被论断者与论断 者混而为一；还有， “本语句共用了十个汉字”也是自我涉及，但这些自我 涉及的语句并没有造成悖论。非但没造成悖论，在日常生活和一些学科 （如 人工智能、计算机科学等）中还是经常出现，并且有重要的实用意义。所以，

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有人批评罗素的 “恶性循环原则”是为泼洗澡水连孩子一块也倒掉了。 但是，一个自我涉及的命题再加上否定概念就不同了，这时，命题会直 接导致悖论。那么，为什么肯定概念如“真”的自我涉及却不会造成悖论呢？ 这是由形式逻辑的特点决定的。在形式逻辑概念形成的过程中，否定概念必 在肯定概念之后，否定概念在形式逻辑的概念中要比肯定概念多了点儿内 容。如果用A代表肯定概念，而代表否定概念的非A显然多了点东西，它包 含着 A。“假”也是一种“真”：即真的 “假”。单独的肯定概念绝不能表 述它自身的二重性。例如， “不属于”这一概念本身包含着各种“不属于” 的关系，因此， “不属于”也是一种属于； “不可形容”已经是一种形容， “不可解”本身也是一种解，“非概念”本身也明明是一个概念。另外如“不 可说”、 “不包括”、“谎话”、“最大”等否定概念也都包含着它们的肯 定概念。因此，自我涉及的命题加否定概念会立即导致自我否定，而任何命 题都暗含着自我肯定，这样，自我否定的命题就会形成悖论。 在梵学者悖论中，如果他的女儿在纸上写出 “今天下午3点以前你将写 一个 ‘是’字在卡片上”，那么，这虽然是自我涉及的，但它并不能造成悖 论，因为这是肯定概念 “是”的自我涉及。假如梵学者写了“是”字，说明 他的预言正确，而如果他写了 “不”字，那就说明他的预言不正确，并不能 由正确推出不正确，而由不正确又推出正确。同样，“自身列入的目录的总 目”也不会形成悖论，因为“自身列入”是一肯定概念。如果要问：“自身 列入的目录的总目’是否列入自身呢？”那么，肯定或否定的回答都不会造 成困难。如果它是自身列入的目录，那么，正好它应列入总目，而如果它不 是自身列入的目录，那么，它就不应列入自身。但 “自身不列入的目录的总 目”就不同了。它是一个否定概念，本身包含它的对立面——肯定概念，因 为总目作为总目，它列入了所有 “自身不列入的目录”，不列入本身就是一 种列入。因此，如果要问 “‘自身不列入的目录的总目’是否列入自身？” 这就是否定概念的自我涉及，造成自我否定，出现悖论。 西班牙塞万提斯的名著 《唐吉诃德》中有一个故事： 巴拉塔里亚岛的总督桑差做官问案时曾遇到一些复杂案件的考验，其中 有这样一件事：在这位总督的辖境内有座桥，是一个富人为了旅客的便利而 建造的，不过桥旁还立了一个绞架，行人必须满足一个条件才能被允许通过 这座桥，这个条件是：旅客必须说出他真正要干什么去；如果他说了谎，那 就必须放在绞架上吊死。后来有一个人来到桥上，在回答干什么去的问题时， 他说他到这里来是为了在绞架上吊死。守桥的人对这个回答迷惑了，因为如 果把他吊死，那他就说了真话，应该放他过去；如果放他走了，那他就是说 了假话。他们无法解决，于是请总督明断。总督说了一句聪明话：在如此疑 难的情况下，应该采取最温和的处置，因此应放他走。 因为如果说了谎，就须放在绞架上吊死，所以，这人说他来是为了放在 绞架上吊死，意思也就是说他是来撒谎的，这显然是说谎者悖论的翻版。如 果说是真话，即真的在撒谎，那么就既是真话又是谎话，因而是矛盾的；如 果说是谎话，而他来是为了说谎，因此，这又成了真话，也是矛盾的。之所 以造成悖论，也是因为 “我来是为了说谎”（或“我在说谎”）是在说自己 是谎话，因而是否定概念的自我涉及，即一种自我否定。 “我来是为了说真 话”（或“我在说真话”）虽然也是自我涉及，但并不会造成悖论，因为“真 话”不同于 “谎话”，“谎话”本身也是“真话”即真的谎话，它是具有矛

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盾二重性的，因而在自我涉及时会形成矛盾，即既是真话又是谎话。 值得注意的是，有些悖论并非由于直接的自我涉及引起，这里有一段对 话可以证明这一点： 柏拉图：下面苏格拉底说的话是假的。 苏格拉底：柏拉图说的话是真的。有的逻辑学家对此加以简化，形成下 面的形式： S：句子S是真的。 1 2 S：句子S是假的。 2 1 假设句子S是真的，那么，句子S就是真的。但是，如果句子S2是真 1 2 的，句子S就必然是假的。反过来，我们假设句子S是假的，也就是说，“句 1 1 子S是真的”是假的，那么，句子S是假的。而如果句子S是假的，句子 2 2 2 S就须是真的。两个句子都没有直接谈到它自身，但放在一起后却是间接地 1 涉及到自己，它们不断改变着其真实性，使我们无法说出任何一个句子是真 还是假。 对此悖论，我们还可以换个样式进行表述。我们在一张空白卡片的一面 写上： “这张卡片背面的句子是真的”，而在它的背面写上：“这张卡片背 面的句子是假的”。 将这种悖论与说谎者悖论加以比较容易看出，二者的区别仅在于：在这 种悖论中，命题的自我否定是通过另外一命题来实现的。因此，这种悖论只 不过是说谎者悖论的变种。如果我们领略了其中的奥妙，也就不难构造出涉 及三个或更多命题的否定。例如，这种悖论可构造如下： 张三：李四说的是假话。 李四：王五说的是真话。 王五：赵六说的是真话。 赵六：张三说的是真话。 或者： 张三：李四说的是假话。 李四：王五说的是假话。 王五：赵六说的是假话。 赵六：张三说的是假话。 这正如一个人不是用棍子敲打自己，而是用自己的棍子敲打李四的棍 子，带动李四的棍子敲打王五的棍子，王五的棍子又引起赵六的棍子运动， 而赵六的棍子恰好在张三的头上，因此就敲打了张三。

十六、怪圈之谜

——悖论的实质

一句简单的“我在说谎”困绕了2000多年来的哲学家、数学家和逻辑学 家，有人为其烦恼，有人为其倾尽心血，甚至有人过早地丧失了生命。就说 谎者悖论本身的含义来讲，它确实没有多大的意思。之所以能引起这么多人 的关注，是因为它表现了 “否定概念的自我涉及”如何反映出概念和命题的 矛盾本性，揭示了形式逻辑思维本身的局限性。

形式逻辑的思维以事物的相对稳定性为基础，它的基本规律就是同一 律、不矛盾律和排中律。它要求对问题作出肯定或否定的答复，而这就需要 对事物进行分解、割裂。形式逻辑习惯于把不间断的东西割断，把一个对象 实际上联结在一起的各个环节分隔开来考察。 惠施的 “历物十事”中有一个著名的命题：“连环可解也。”所谓“连 环”，就是一个个的小环首尾相连而形成的大环。关于这个命题，人们有种 种解释，其中有一种解释非常有趣。 秦昭王派人送了一个连环给齐威王，说： “齐多智，解此环不？”齐威 王拿起锤子就把连环给“解开”了，也就是把连环砸断，并回答秦使说：“谨 以解矣。” 这种解法就是形式逻辑的方法。在认识的过程中这是很必要的。正如列 宁所说：“如果不把不间断的东西割断，不使活生生的东西简单化、粗糙化， 不加以割碎，不使之僵化，那么，我们就不能想象、表达、测量、描述运动。” 但是，这种分裂后的事物已不是原来活生生的事物自身。例如，上述的连环 是无始无终，无限循环的，砸开以后就出现了两个头，形式逻辑就硬性地给 它们规定一个是始，一个是终，也就是说，把原来既是始又是终，即集始终 于一体的环割裂开来。但当人们再把它们接起来后， “始”、“终”又连在 了一起，形式逻辑让你回答到底这一环是 “始”，还是“终”。这时，你回 答是 “始”，它又是“终”，回答说“终”，它又变成了“始”，在形式逻 辑看来，这就是悖论。 所以，悖论实质上不过是客观对象的辩证性与形式逻辑思维方法矛盾的 集中体现。具体地说，客观对象是对立环节的统一体 （如连环就是既包含了 始又包含了终），然而，由于形式逻辑思维方法的限制，客观对象的这种辩 证性有时遭到歪曲，对立的环节被绝对地割裂并片面地夸大，以至达到僵化 的程度，从而辩证的统一就变成绝对的对立；而如果再把它们机械地 （而不 是有机地）重新联结起来，对立的环节就产生直接的冲突，悖论就是不可避 免的了。 例如，集合在本质上是辩证的，它既是一种完成了的对象，又具有无限 扩张的可能性，换句话说，集合既是我们面前完成了的实在的对象，又是潜 在的对象，即完成与过程的统一。这种辩证性在认识过程中往往被割裂开来， 并被夸大为绝对的对立，当它们被机械地重新联结起来时就会发生直接冲 突，这就是悖论。比如，在康托尔悖论中，集合的幂集 （即此集合的所有子 集组成的集合）是可以无限增大的，也就是说，可不断形成集合的幂集的幂 集、集合的幂集的幂集的幂集等等，但同时它又包含了对所有集合完成性的 肯定，也就是说，它断定了所有集合的集合 （“所有集合的集合”是把集合 作为我们面前完成了的客观存在的整体反映的）。形式逻辑思维方式把它们 割裂开来并机械地联结起来，就形成了悖论。 悖论的实质在 “对角线方法”中得到最好的体现。这种方法康托尔在证 明自然数与实数不能形成一一上对应时首先使用过，他的证明是这样的： 先证明[0，1]区间之间的实数。假设所有这些实数与自然数能一一对应， 那么，可以给它们编号列成下面的形式：