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然后，我们根据以下规则构成一个新数 d＝0.bb……b……：当a=1时， 12 n nn b＝0，而a≠1时， bn=1。显然， d不同于上表中的任何数，因为b≠a， n nn n mn 即至少一位是不相同的。但由于d是[0，1]区间中的实数，依据假设，d又 必须等同于表上的某一个数，矛盾！故原来的假设不能成立。 通过分析可以看出，这一论证的关键是构造出一个不属于已知集合 （这 里是 ［0，1］区间中所有实数组成的集）的新元素。由于这一构造是通过对 角线位置上的数的变动来实现的，因此，这种方法被称为 “对角线方法”。 对角线方法既然是构造新元素的方法，所以，它肯定的就是集合的无限 扩张的可能性，即过程性 （这里就是可不断形成新的数）。这种对过程性的 确认在一般情况下是没有问题的。但是，如果我们同时又假设了集合的绝对 完成性 （这里就是设定所列表中的数为所有实数的总体）。对角线方法的应 用就会导致直接的矛盾。因为这时所构造出来的就将是一个具有两重性的元 素：它既属于又不属于原来的集合，从而构成悖论。

对此，数学家亨金曾作过形象的比喻。他指出，在康托尔的集合论中为 什么会出现悖论呢？这是因为其中既包含了 “不可抵挡的矛”（指幂集的扩 展是无限制的，没有条件的），又有一个 “能抵挡一切的盾”（指其中包含 一切集合的集合，即大全集），因此，就像我国古代关于矛和盾的故事一样， 在康托尔的集合理论中，矛盾是不可避免的。

可见，集合论悖论的根源在于集合的对立统一在认识过程中遭到歪曲， 而数学的形式逻辑思维特点是造成悖论的重要原因。因为数学在形式逻辑范 围内活动，它要求对象的明确性，因此，当集合的辩证性不可能直接在数学 理论中得到反映，而只能片面地强调集合的完成性，或者片面强调集合的过 程性，而当二者机械地联结在一起时，在形式逻辑的思维看来就是导致了悖 论。

与集合一样，语言本身也是辩证的：作为客观世界的表述，语言既是已 经完成了的 （例如，语言中的每一概念在历史发展的各个时期都有确定的含 义和范围），同时又处于无限的发展之中 （例如，概念的含义和范围随着历 史的发展而不断变化）。由于考虑的角度不同，人们可能分别强调对立中的 某一环节。但如果把二者绝对地割裂开来并片面夸大，然后把它们机械地联 结起来，就会形成悖论。

例如，在格雷林悖论中，首先强调了语言在某一方面的完成性，因为这 样才能对形容词的总体进行分析，并按照是否具有本身所代表的性质进行分 类；但同时它也肯定了语言的无限发展性，即构成了新形容词 “自状的”和 “非自状的”。这两种考虑在一定意义上都是合理的，但形式逻辑的思维把 二者割裂开，当把它们绝对对立并机械地联系起来时，悖论就出现了。 由上可知，形式逻辑思维的局限是造成悖论的重要基础，因而，悖论是 形式逻辑本身所无法解决的。下面的事例很能说明这一问题。

1947年，正在哈佛大学学习的威廉.伯克哈特和西奥多.卡林制造了世界上第一台用于解决逻辑问题的计算机。他们让这台计算机检验语句的正误。 当他们给计算机输入了说谎者悖论“这句话是错的”时，这台可怜的计算机 立即发起狂来，不断地打出对、错、对、错的结果，陷入无休止的反复中。 戈登.狄克森的小说 《猴子扭伤》也曾讲到这样一件事：某些科学家想让计算 机不工作来延长机器的寿命。他们的办法是告诉计算机： “你必须拒绝我现 在给你编的语句，因为我编的所有语句都是错的。”但没想到计算机却因此 而不断重复工作直到耗尽它的生命。

之所以造成如此的结果，就是因为上述的问题不能用 “真”或“假”来 判定，而具有形式逻辑思维特点的计算机却只能回答“真”或“假”，这样， 必然出现无休止的无限循环。看来，同样具有形式逻辑思维的柯斯的裴勒塔 为解决悖论而耗尽精力，一命呜呼并不足为怪了！