《妈妈教的数学》
作者：孙路弘
内容简介：
成长之初，孩子的脑海中并没有“数学”这个概念，而当他们发现父母、老师教的数学难以理解时，“数学”就渐渐变成“可怕”的东西，当心理上出现了本能地抗拒，探索数学的乐趣也就成为空谈。本书作者孙路弘，学数学出身，更是“中国奥数*人”。他首度将数学启蒙与儿童心理学高度结合，运用“兴趣激活”的方式推动孩子智力自然发展。他强调从日常生活中帮助孩子“感受”数学，由此衍生通透、牢固和全面的数学思维。
作者公幼年成长日记，还原妈妈对自己行数学启蒙的生活场景，总结其中的数学教学方法；帮助每位妈妈都能够“零门槛”带领孩子数学的天地！
妈妈*的成功并不是教会了孩子多少知识，而是把孩子追求知识的原始动机培养出来，这种求知的原始动机驱动孩子的一生。
目录
总序
引言
家里有一杆秤
指尖上的数学
粗心到底是什么
默想是智力发展的敌人
应用题的关键难点
从手指开窍出大脑智慧
发烧是多少度
孩子懂了吗？妈妈怎么知道
满分学生没有未来
不会做题，只有三种可能
后记
蔡校长写给读者的话
保教授写给读者的话
王博士写给读者的话
测试题答案
妈妈才是孩子智慧启蒙的关键人物
让我引以为豪的并不是我自己的能力
而是给我这个能力的人——
我的妈妈
我与妈妈，那时我四岁
我与弟弟，那时我九岁
小时候，爸爸妈妈给买的儿童车
获得全国数学竞赛的奖励
日记中记载了那天学到的几何题
我在实验中学任数学教师，与全班同学春游时合影
总序
父母将数学渗透我的人生
马走日，象走田。这是象棋的规则。先乘除后加减，遇到括号全让路。这是四则运算的规则。哆咪唆，大调，来发啦，小调。这是音乐调子规则。先来后到，排队守则，这是乘车规则。这些都是小时候留下的，至今仍然在记忆中的。
下象棋需要规则，才能够与对手进行对抗；做算术题，需要规则，计算的结果才有作用；弹钢琴，也要熟悉音乐的调性，才能够理解国歌的旋律与抒情旋律之间的差别；乘车遵守排队的规则，才不会拥挤，不会出现磕碰。
《妈妈教的数学》激发了我对数学的兴趣，生活中的点点滴滴都可以悄悄地变成数学的形式，比如清点包了多少个饺子，下楼数楼梯，记住家里的楼号、门牌号，或是收电费。我至今都有这样的习惯，走楼梯数台阶，看地板上瓷砖的数量等。通过这些细小的事情，我不害怕数字，对公式也不恐惧，并渐渐爱上了数学。
《爸爸教的数学》更多的是规则；约束自己的行为，用的就是规则。吃饭、睡觉，这些生活中的事情都有规则，上学放学也有规则，做数学题也要依靠规则。爸爸引导我重视规则，遵守规则，并按照规则做事。规则仅仅是数学思维方法中的一种，我自己小学期间的日记中，出现爸爸的次数并不多，但每次出现都是伴随着想法、做法和方法的，都是基于思考方式的。由此，爸爸打开了我认识世界的多个小路，多个小窗户。当我成为父亲以后，延续了这个做法，譬如陪伴儿子打篮球的过程，就是一种规则意识和对抗角色的思维排练。
早期购买《妈妈教的数学》的读者反馈较多的是受到了启发，却难以在自己的生活中落实与操作。于是《妈妈这样教数学》就推出了。借助具体的示范，具体的活动和具体的模板，将书中的内容贯穿到生活中，妈妈可以三言两语就让孩子对难题茅塞顿开，就让孩子觉得好玩，就让孩子在不知不觉中，走进数学思维的天地。
这三本书，就是这样的逻辑，让孩子一步步登上智力发展的阶梯，运用兴趣激活的方式让孩子的智力自然发展，同时系统地将智力发育、规则运用与思维方式训练为一种本能。凭借这牢固的基础，数学思维可以扩展到方方面面，成为智力构成的主干。
数学是我一生的智慧源泉：从事市场营销工作，靠的是数学；从事销售工作，需要掌握心理学，其中蕴含着数学中的“模糊的对策模型”；从事顾问咨询工作，靠的仍然是数学。在当下的大数据时代，数学就是我赖以生存的核心血液。数学也是一切科学的基础，是一切学问的皇冠。我并不介意将数学渗入我人生的过程和细节都揭示出来，让每一个爸爸、每一个妈妈都能获得启发，给孩子一个数学天地的魂，用来迎接未来千变万化的挑战。
随我一本一本来，从《妈妈教的数学》开始，翻开第一页，起步……
读书指南针
感谢您购买这本书，我是孙路弘。正式阅读前，请让我先啰嗦几句：
第一句：书中的日记。那是我童年的记载，源自我的小日记本，其中保留了当时不会写的字和用过的拼音。日记中的片段勾起了我对过去的回忆，这些回忆让我更加理解孩子与成人在视野和思维方式上的差异。看日记，权当是理解一个孩子的童心。如果你的孩子也是小学三四年级，不妨让他们看看日记部分，他们也会学着开始写日记的。我的有些日记是在每一个回合的开篇，也有一部分穿插在行文中，不妨将它们当做时光穿梭机，让你在我的童年与我的现今之间游离一会儿吧。
第二句：测试题。每个回合结尾还有测试题。测试题就是对读者的理解能力进行评估。一个回合阅读结束，内容都理解了吗，是否存在不理解的地方？这一章节的核心本质到底是什么，妈妈们能够完全领会吗？做一下测试题，就能帮您梳理一个回合的梗概与要点。
第三句：二维码。二维码，不是文字；虽读不懂，里面却藏了太多的东西。不过，您手里的智能手机能够解码。用微信的“扫一扫”，然后镜头对准二维码，就能看到了。其中有我的讲解，是我本人亲自出马哟！尤其是通过阅读文字不太容易理解的地方，比如手指操，就可以扫一下旁边的二维码，把我召唤出来了。本书最后还有一个二维码，就是十道测试题的汇总，您可以在线上实时做题，测试自己的理解，马上得到答案解析。
好了，我啰嗦得够多的了，阅读一本书，就是开启一段文字的旅程，旅途中有我伴随。欢迎您随时用二维码把我召唤出来，给您说上一段。现在，开始你安静的阅读旅程吧……
引言
每位妈妈都能锻造一个有价值的人
我的妈妈是一个普普通通的家庭妇女，她怎么有能力教会我数学呢？
在我小的时候，妈妈的任务无非就是给全家人做饭、洗衣，早晨叫我起床、扔给我干净的衣服。10岁那年我上小学四年级，在我的印象中，我家住在一个筒子楼里，从楼梯上去后，一边有5户人家，另一边有4户人家。9户人家共享3个卫生间、3个厨房。每个月，都有一家要负责收整个楼层9家的电费。由于没有电表，电费是按照人头计算的。
轮到我家收电费时，妈妈会给我一张纸，上面左侧一列有每家应该缴纳的费用，而右侧是空格，用来填写收缴上来的实际金额。如果左侧应该收到的总数与右侧实际收到的总数能够对上，收缴电费的工作就算完成了。我挨家挨户地去收钱，一收到钱就把金额写在右侧相应的位置，然后回家把钱交给妈妈。妈妈点钱，我负责将右侧的数字都加起来，然后把加好的总数写在纸上。
有一次，我发现左右两侧的总数不符，简单一算，差三毛六。妈妈听了这个数后，连看都没看就说肯定是我把数字的位置写错了。我一一核对了一下，还真是，一家应该收五毛九，我写成了九毛五。不过，妈妈清点了实际收到的钱数，却是正确的，也就是说，是我粗心将数的位置写错了。吃过晚饭，我问妈妈：“你怎么连看都没有看就知道是位置写错了呢？”妈妈说：“差三毛六，是9的倍数，应该不会是加错了，而是位置颠倒了。”正是这句话让我陷入了长时间的沉静——至少对一个10岁的孩子来说，连续三天都比较安静，没有那么多好奇的问题，算是够长时间了。
只要差错是9的倍数，最大的可能就是位置颠倒了，这是为什么呢？没错，九毛五与五毛九的差就是三毛六，她是通过三毛六猜测到我将九和五的前后次序弄错了。这里面有什么规律吗？如果写错位置的是八毛五和五毛八，那么差是两毛七，仍然是9的倍数；如果错的是一毛七和七毛一，差是五毛四，还是9的倍数。也就是说，不管我错的地方在哪里，只要差是9的倍数，妈妈都会推测出是我将数字位置弄颠倒了。
她是怎么知道的呢？这个问题不仅让我安静了三天，更让我将一生都投进了数学的天地。
数学这个东西能够吓住许多人，很多家长却仍然前赴后继地将孩子送上这条艰难的旅途。而生活中这么一件小事儿，就能够让一个孩子自愿自觉地去追求数学这门如此枯燥的学科，其威力可真是不小。多少家长因为希望孩子学好数学而送孩子参加各种奥数班、补习班，费了九牛二虎之力，最终却适得其反，使孩子一见到数字便心生恐惧。孩子遇到的困难越多，内心的挫败感就越强烈。当家长们匆匆忙忙送孩子走上艰难的数学之旅时，大概从来没有考虑过孩子的心理感受，更无从谈什么兴趣激发、培养和发展了。妈妈从来没有强迫过我学习数学，我也自然没有被数学吓住。我小的时候对数字、算术没有任何意识，也就是说，对我而言学的不是什么数学，也不是什么算术，而是游戏、是挑战、是好奇。
试想一下，最初孩子的脑海中本来没有“数学”这个词汇，父母打算教他这么一门高深的学科，于是正经八百地说：“孩子，数学是所有科学的基础，必须学好，咱们今天就开始从数学的基础学起……”这样从一开始，便在孩子的意识中树立了一个艰难的认识，一个模糊的、似懂非懂的概念。当孩子发现父母、老师讲的许多话都难以理解时，数字、数学、算术就渐渐变成让他们恐惧的东西，其心理上就会本能地出现抗拒、抵触的情绪。这时，父母和老师又觉得孩子不听话、不配合，认为孩子的态度有问题，却不知道实际上是教学方法、教学形式让孩子无法接受。
孩子在能力上不具备接受抽象事物的基础，反映出来的消极、逃避不是态度问题，而是能力有限的一种表现。如果从学前阶段就留下这样的心理烙印，小学一二年级又得到进一步的强化，那么对孩子来说，数学从此就真的成了让人恐惧的东西。以后每当再遇到数学系的学生，他们就会心生敬佩，觉得能够学数学得多么聪明啊！其实，数学都是被父母、老师弄成这个样子的。
让我感到自豪的不是我自己，而是我有一位难得的妈妈。收电费不是杜撰的故事，当然也不是神话，它来自真实的生活。此外，还有买日用品时让我口算钱数、乘公共汽车时让我去买票并核对找的钱是否正确等，这样的生活细节培养了让我引以为豪的数学能力。从小学到初中，再到高中、大学，在数学领域建立起来的脑力成为支撑思想的能力，这些能力帮助我更快地理解一些复杂的事情，更快地掌握比较抽象的概念，更快地进入新的领域。等我自己成为数学教师后，在与各种不同性格的孩子互动的过程中，我渐渐认识到，让我引以为豪的并不是我自己的能力，而是给了我这种能力的人——我的妈妈。
妈妈的三言两语总是会让我回味无穷。每年，我家至少会轮上一次查收电费的任务；每周，我都会有加总一周早餐费用的任务；每天，我都习惯性地计算一次下楼的楼梯数。在这些任务中，我有时能够做对，有时会粗心犯错。但是，我的粗心导致的诸多错误不但没有成为挨骂的理由，反而成了引领我探索数学天地的极大诱惑。妈妈指出过我忘记进位的错误，还指出过错位的错误。总之，她总是能够快速看出是乘法做错了，还是加法做错了。她的这种快速发现错误根源的能力总是让我十分感慨，在我成人之后更是如此。
妈妈才是孩子智慧启蒙的关键人物。在北京师范大学数学系求学的过程中，我选修的科目中有儿童心理学。这门学科强调，孩子学习任何新知识、掌握任何新能力、建立各种新概念的过程都是循序渐进的，不仅有术语的认识、熟悉、运用、掌握的过程，还有亲自动手尝试的过程。这个过程可以在学校里由老师辅导来完成，可以通过同学之间的讨论来完成，当然也可以像小朋友玩游戏一样，在参与、体验、尝试中完成。从我幼儿时期的数数、掰手指加法，到儿童时期的加减混合、一位数乘法，再到少儿时期的两位数乘法、简单除法，然后是智力思考应用题、火车追击问题、泳池排水问题、鸡兔同笼问题，及至初中的初等代数、初等几何，每个阶段都有妈妈的影子。妈妈没有上过大学，也没有资格当数学老师，甚至连幼儿园老师的资质也不具备，但她却启蒙了我的数学才智，培养了我一生不变的思考习惯。可见，能够真正启蒙孩子智慧的不是老师，而是妈妈。
每位妈妈都能锻造出一个不同的人。任何国家、任何民族，其优秀的儿女、杰出的人才都是由母亲哺育的。有人说，两个民族的竞争其实就是两位母亲的竞争。妈妈的细致周到成就了孩子的健康，妈妈的三言两语塑造了孩子的信念，妈妈的一点一滴启发了孩子一生的追求。在当数学老师的职业生涯中，发现每位妈妈都能够在有意无意之间传递一种知识、激发一个兴趣、点燃一簇火花。不断积累的知识最终会成为思想的基石，不断激发的兴趣最终会成就一生的事业，不断放射的火花最终会迸射出光芒，照亮世界、照亮人类，如明星闪烁般灿烂辉煌，妈妈也就成了培养人才的伟大的人。
爱因斯坦有这样一位妈妈，牛顿有这样一位妈妈，莱布尼茨也有这样一位妈妈。再看看中国历史，祖冲之有这样一位妈妈，徐光启也有这样一位妈妈。这些妈妈都是平凡得不能再平凡的人，教科书中没有她们的名字，历史典册中也没有她们的传记，但她们的贡献与所哺育出的伟人的名字就镌刻在人类历史进程的丰碑上。
对于妈妈而言，你的孩子在12岁以前，都是你能够雕琢他的时候。每一个时刻的眼神，每一个瞬间的肢体反馈，每一次的呕心沥血、梦中惊醒，都贯穿着你对孩子的影响——对孩子身体健康的影响，对孩子智力发育的影响，对孩子智慧启蒙的影响。你培育的不是孩子，而是民族的未来。那么，你打算如何启蒙他呢？
任何一个两位数，比如48，都可以变成84，然后做一次减法会得到一个数，那个数一定是9的倍数。比如84-48=36，36就是4乘以9的结果。你不妨再试试28这个数，先变成82，然后做一次减法，得到的是54，54是不是9的倍数呢？多尝试几个，比如37、46、19，等等。
神话来自神奇。我的妈妈并不知道这个规律的原理，但却知道这个规律，并在比较两个数字不同的时候运用了这个规律，让一个孩子觉得如此神奇，并将神奇延续下去，从而成为神来之笔，最终被艺术家变成神话。对孩子来说，原理其实并不重要，重要的是应用，把规律用熟、用透、用烂，从而激发出好奇心。在追问每一个“为什么”的过程中，孩子渐渐培养了兴趣，获得了快乐，而科学的秘密也就一点一点地被揭示了出来。这一切让孩子陷入其中、不能自拔，不知不觉中挖掘的能力、探索的办法都成为习惯、成为本能。智慧源于其中，能力萌发于此。
更重要的是，我的妈妈总是能够在日常平凡的生活中找到自然而然的机会来激发我的兴趣。借收电费计算错误的机会激发了我对数字倍数的兴趣，借乘车买票锻炼了我对减法的熟练应用，借买书培养了我口算、心算、连加的能力。多数妇女都能够生育孩子，但却不是所有生了孩子的妇女都能够成为让孩子自豪的妈妈。寻找生活中的各种细节，并借机发挥，把话题引到孩子有兴趣的层面，这才是合格的妈妈应该做到的。
当我50岁的时候，回顾自己已经走过的人生道路，我感谢的人是我的妈妈。她能够做到的这一切，所有用心的妈妈都能够做到，也一定能够通过对孩子智慧的启迪，对兴趣的激发、培养和促进，让孩子拥有更强大、更深刻的思考能力，从而创造美好的人生。
有人说，99%的父母是教不好自己的孩子的。还有一种更加鲜明的说法：再好、再出色的教师，也教不好自己的孩子。有趣的是，妈妈在她40岁谈到对我的教育时，她认为自己是失败的。根据是我没有成为大学教授，没有成为科学家，没有成为知识分子。然而等到她50岁谈到对我的教育时，她认为一部分是成功的，比如我做人善良、比较正直、追求事业、不断努力。根据是我在不断学习新的知识，并努力进入全新的领域。等到她60岁再谈到对我的教育时，她的说法是，她是成功的。根据是我仍然在从事教育领域的工作，并渐渐得到了这个领域的认可，获得了一定的知名度，而且自我感觉有所成就、对社会有价值。
在父母能不能教好自己孩子的这个问题上，为了比较客观地判断父母对孩子教育的作用和效果，请思考如下几个问题：
● 教好孩子的意思是性格好、智力高，还是品质好？或者还有其他的意思？
● 教好孩子用什么来衡量？是考试分数、老师的赞扬，还是各种赛事的奖状？
● 教好孩子应该用孩子的哪个年龄阶段来衡量？
妈妈用她的实践给出了答案，好妈妈胜过好老师。老师给的是知识、是理性、是系统，而妈妈给的是兴趣、是动力、是喜悦。妈妈，不是要成为家里的老师，而是成为一个启蒙孩子智力发育的朋友。在追随科学的路上仅仅有知识、理性、系统并不足以启发孩子，往往还会是一种打击。人需要被自己的兴趣所驱动，而这就需要来自妈妈的细心引导与布局。等孩子长大、真正回头望去时，那种感激、敬佩便会油然而生，因为那既成就了妈妈的期望，也成就了自己的一生。
请您打开这本《妈妈教的数学》，让自己成为一位锻造有价值人才的妈妈。
家里有一杆秤
◎4岁左右，孩子就已经对物体的重量有感觉了，能够比较不同物体的轻重。6岁左右，孩子就能够接受“轻重的不同是可以通过数字量化来比较的”这种认知。
◎眼睛看得多了，耳朵听得多了，并参与其中，看到自己的不同做法会产生不同的结果，也就开始对事物有了兴趣。重要的是，这一切都不是事先告诉你的。
我的爸爸在广播事业部文工团工作，他工作使用的工具是钢琴，输出的结果是歌曲。我的妈妈年轻时身体不好，从部队离休了，她每天的工作就是照顾家庭、照顾我和弟弟。这样的家庭怎么会有一杆秤呢？
上大学之后，我渐渐有了一些社会意识，开始觉得在自己成长过程的点滴中，还有一些没有解释清楚的情况，于是翻阅起了从小学四年级开始写的日记，试图理解当时的情况以及当时自己生活的细节。我对家里有这杆秤感到十分奇怪，于是就此事向父母询问，才明白一个没有做过生意的家庭怎么会有秤。
一天，我的父母在下班回家的路上看到一家商店门口排起了长队，妈妈不由分说赶紧加入队伍，排了一个多小时才进到店铺内，发现大家排队买的是秤。爸爸埋怨妈妈见队就排，也不问卖什么。妈妈说，其实家里也是需要秤的，有时买回来的肉是按照两斤买的，却觉得根本就不到两斤，因此需要秤来称一下。两人也没有更多的争议，就把这杆秤买回家了。5块钱的秤，对当时每月工资才38块钱的家庭来说，不是一笔小数目。在那个什么东西都短缺的年代，只要有排队的，就意味着有东西卖，不由分说排了队再说的情况屡见不鲜，买到不需要的东西自然就是家常便饭了，这是妈妈排队导致的结果。妈妈说秤有用，而秤的价格不便宜，当然她就更多地使用这杆秤了。
妈妈肯定没有想到，1972年3月21日，她给书包称重量这个举动深深影响了我。从那天起，我回家后的第一件事就是给我的书包称重量，后来开始给爸爸的茶杯称重量，家里10斤以内的小东西都被我称过了重量。有一天在学校，校办工厂车间许老师到班里讲勤工俭学要做橡胶圈的事情。下课后，我看到他喝水的大茶杯，用手掂了一下，然后自言自语地说：“1斤6两。”许老师听到了，看了我一眼，笑笑说：“你说这个茶杯1斤6两？”我没敢说话。等下午放学的时候，许老师到班里找到了我，让我去校办工厂。到了以后，他让我拿起桌上的茶杯，我掂了一下，他问我多重，我说差不多9两。他从办公室的门后取出一杆秤，把茶杯放上去称重，然后惊讶地对我说，你怎么光用手就能知道多重呢？
我每天给书包、书本、铅笔盒、茶杯、水杯称重，都是自己用手拿上拿下，连续一个多月，手感就越来越准，当然能够做到用手称重了。当我有一个小小的绝活儿，能够让学校的老师感到惊讶，并特别叫我到办公室去验证而不是批评我时，这对还是孩子的我来说简直就是天大的激励。
记得有一天回家，妈妈见我又在给书包称重，她拿过来一个瓶子，瓶中有水，让我称一下重量。称完后，我在纸上写下：1斤6两。妈妈说应该写成1.6斤。接着，我把瓶中的水全部倒掉，再称是8两，然后妈妈让我写成0.8斤。这时，妈妈问我刚才的水有多重。我哪里知道水有多重，我都不知道斤是什么、两是什么，当时仅仅知道这些字代表了这个东西重的程度。数越大，当然就越重了。不过，在这种称重的过程中，我学到了10两就是1斤、1斤就是10两的知识，记得非常快，也理解得非常快，于是算出倒掉的水重8两，也就是0.8斤。
对于小数点的接受过程是自然的还是人为的，对孩子的理解与应用至关重要。此时，我才意识到小数点的作用是更加容易得出两个数之间的差，不然妈妈给我解释1斤6两减去8两将是多么大的麻烦。妈妈讲到1斤等于10两的时候，我说那么1斤6两不就是16两嘛，16两拿走8两，就是剩下8两喽。
小数点是数学历史发展过程中一个重要的里程碑，是数学领域的一件大事。这么一件大事讲给小学生听，唯一的结果大概就是成功地把孩子都吓住，使他们在平时生活中再也不敢碰相关的事情了。妈妈的成功之处就在于让我自然地接受了小数点的作用，却没有用多么悠久的历史、多么辉煌的成就来培养我敬畏的心情和崇拜的心理。没有了类似这样无用的负担，又与眼前的生活息息相关，接受起来自然就轻松得多了。
这件事至今仍令我记忆犹新，并不是因为我第一次知道自己喝了多少水，也不是因为算出了瓶子的重量，而是在那个星期五，学校算术课老师出了一道题，这道题让我牢记了以上所有的画面：一个瓶子中有水，连瓶带水共重8斤，倒出了一半的水后称了一下，重4.5斤，那么瓶子是多重？
老师的题目出来后，我都没有举手就脱口而出了：“倒出了一半的水后重4.5斤，8-4.5=3.5，这3.5斤就是倒掉的那一半水，所以原来的水总共有7斤，连瓶带水共重8斤，那么瓶子当然就是1斤了。”老师觉得我一定是以前做过这个题目，所以没有让我发言，而是给了其他同学更多的时间。我却开始不安、乱说乱动，甚至开始打扰其他的同学。我居然问：那么知道倒掉一半水后，瓶子里还有多少水吗？我印象很深，那天放学后我被老师留了校。老师让我说出来是在哪里事先学过的，我说不出来的结果就是妈妈被叫到学校领我回家。从此以后，所有有关重量的应用题没有一个难倒过我，而且我都能以最快速度讲出正确答案。
物体的轻重是最容易让孩子理解量化作用的切入点。对孩子来说，重量是一个比较抽象的概念，要到小学五年级才会学到。书中比较明确的说法是：重量是物体受万有引力作用后的度量，一个物体重量的量化数字就是这个物体的重量。其实对孩子来说，4岁左右就已经对物体的重量有感觉了，能够比较拿在手里的不同物体的轻重感觉。6岁左右，孩子就能够接受轻重的不同是可以通过数字量化来比较的这种认知。比如，通过看不同罐头上标明的重量，就可以知道哪个拿在手里会轻一点、哪个会重一点，而不用依靠手的感觉来区别。
对物体进行数字量化、对温度进行数字量化，这些都曾经在人类文明的进程中发挥过重要的作用。仅仅通过看数字就能够知道哪个东西沉、哪个东西轻，这对孩子来说是神奇的，神奇的标志又是数字，我大概就是这样开始喜欢上数字的。每次跟妈妈去菜市场买菜的时候，我都是左手拎拎、右手拎拎，然后回家用秤来验证我的手感，并把重量写成数字。这样，数字在我脑海中就变成了一个生活中的东西，可以用来标重量，也可以用来标温度，还可以用来标长度。数字打开了我脑海中量化事物的大门。
小数概念的自然接触和掌握。孩子在学习算术的过程中接触到小数是五年级，而我在四年级的时候便在不经意间接触到了小数，即比1还要小的分量。妈妈没有给我讲小数的定义，也没有讲小数对数学的意义。对我来说，直接测量的时候，秤砣的位置在1的左边，就是不到1；如果落在1的右边2的左边，就是1点几。接受一个对孩子来说比较抽象的小数概念，对我来说是多么轻松、多么不知不觉啊！
在学校的课堂上，老师一本正经地讲了40分钟，许多孩子还是觉得小数不就是比较小的数嘛。我在辅导小学四年级的孩子时，有的孩子给我举小数的例子时说：“1、2、3都是小数。”还有的学生说：“9也是小数。”我要求他们进一步解释，于是听到这样的回答：“我们现在都是8岁或9岁，还是小孩子，所以8、9都是小数。当然，幼儿园的孩子只有3岁、4岁、5岁，他们更小，所以3、4、5就是更小数。”居然还有孩子说：“小学是一年级到六年级，所以1、2、3、4、5、6都算小数。”孩子往往都是通过自己体验到的生活认识事物的，产生这样的想法也不足为奇。经过我的循循善诱，不知不觉间，几个难点的概念他们都已经融会贯通了。寓教于乐就是来自生活的教育。
亲手挪动秤砣，让手拎住的那个点的两边持平，然后查看秤杆上的刻度知道东西的重量，这样就可以学会斤两的关系。现在的孩子都是在学校里学习这些内容，但学校并没有足够多的秤来让每个孩子都随意地使用。其实，在玩的过程中理解了知识，掌握了概念，学到的也是融会贯通的知识。让孩子在回家后能动手实践，不但没有消耗多少时间，反而让孩子觉得在玩中得到了更多、更全面、更实在、更实用的能力。今天教育界津津乐道的寓教于乐，说的不就是我妈对我做的事情吗？
家里需要一杆秤。等我到大学四年级学习儿童心理学时，才理解家里的这杆秤对孩子智力发展的作用及其背后的本质原理。重量是一个抽象概念，只有与生活中身边的事情结合起来时，才会变成眼睛能够看见、手能够感觉到的具象的东西。这时，脑海中也就建立起了对应的数字概念，理解了物体重量的意思，并能够与手里的感觉对应起来，进一步刺激大脑皮层与手、数字、概念之间的联系。而缺乏这种体验的孩子在学习重量、长度、时间、温度的时候，就会仅仅停留在对概念的理解上，无法与具体的生活相结合。感谢妈妈那次无心的排队，感谢她购买了这样一杆秤，激发了我的数字意识，激活了我的概念理解。
如果你的孩子上学了，你家有这样一杆秤吗？其实，你不一定非要照搬我的成长过程。你可以把温度计利用起来，也可以用上尺子，这些都是人类文明发展历程中的里程碑。能够用数字计量事物，人类的智力就能够在前人的基础上进一步发展了。一杆秤，可以让孩子学到重量的概念，掌握数字的作用，体会小数点的方法，以及理解比1小的数的实际意义。不断地控制平衡，让不同重量的两边到拎节点的距离不同就可以保持平衡……这些知识、术语、概念不知不觉地都变成了我脑海中的东西，仿佛我天生就会、天生就懂似的。
其实，哪里有什么天生就聪明的人，哪里有什么天赋异禀的人，都是后天的环境、后天动手的活动带来的。眼睛看得多了，耳朵听得多了，并参与其中，看到自己的不同做法会产生不同的结果，也就开始对事物有了兴趣。重要的是，这一切都不是事先告诉你的。然而许多父母的做法是，在开始讲知识之前就说：今天要教一个会影响你一生的东西……对孩子来说，这个套路起到的作用仅仅是恐吓；被吓得僵化以后，孩子对后面听到的东西也就变成机械模仿和简单重复了，毫无乐趣和生机。作为抚育一个民族的母亲，你可以对这种情况说“不”，你可以行动起来，让你的家里也有“一杆秤”。
我从初中二年级起就想当老师，尤其想当数学老师。为了这个理想，我报考了北京师范大学。毕业后，我成为北京师范大学附属实验中学的数学老师。在教学中，当我看到学生在理解概念的过程中遭遇的各种挫折以及他们拥有的各种与大人完全不同的理解时，我才有意识地去回忆自己学习这些概念的过程，才认识到妈妈给我创造的生活环境、给我营造的智力发育氛围、给我布置的智慧启蒙道具，也才意识到不是所有的孩子都经历过类似的环境、体验过类似的氛围，或者接触过类似的道具。
我很想问问妈妈，她是怎么知道环境的重要性、氛围的意义和道具的作用的。她没有上完初中就参军了，她怎么能够如此智慧地为我布下了成长的“天罗地网”呢？妈妈的回答出乎意料：“我没有故意给你什么好的环境，也没有特别弄什么氛围、搞什么道具。只是顺着你做的事儿碰巧讲到了就讲到了，没有讲到也就算了。”这样的回答用一句谚语来描述还真是恰如其分，那就是“无心插柳柳成荫”。而我从事教育工作30年后体会到，那些望子成龙的父母们的做法与想法以及为此努力落实的方法，大多是另外一句谚语的折射：有心栽花花不开。
一切皆有原因。当我养成了数学思考的习惯后，我就一直不相信世界上的偶然事物。妈妈做的事情对她来说可能是无心的，但一定有可以寻找、挖掘出来的东西，符合儿童学习认知的规律。一定有这样的方法，我妈妈不过是偶然契合。找到了这样的方法并揭示出其背后的规律，复制人们想要的结果，也就能够控制好花朵的开放。花朵不是无心随意开放的，有关温度、水分、土壤、气候等本质的规律必然存在，否则人类凭什么是万物之首，凭什么能随意到太空去转一圈、到地下去弄出黑色的煤炭来取暖？
凡事皆有因果，孩子的成长仅仅是许多因的一个果。多数家长要的是果，追求的是补习、做题、练习这些因。而从妈妈对我的影响过程来看，这些都不是什么真正的因，不过是表面的花拳绣腿罢了。智力启蒙一定有方法，一定有规律，一定有人可以主动控制的因。当一位好妈妈，有效地激发孩子形成数字概念，你完全可以做很多事情。
妈妈教的数学
◎ 让孩子把手伸到冰箱中10秒，问他有什么感觉，然后用温度计测量里面的温度。再让孩子把手放到冷水中，然后问他，是冰箱里凉还是水里凉，看孩子是否用温度计上的数字来解释。
◎ 问孩子是爸爸高还是妈妈高，然后问他多高、高多少，并拿出尺子来测量，把测量的数字写下来。
◎ 告诉孩子一个游戏只能玩3分钟，然后开始计时，结束后告诉他开始时指针的位置、结束时指针的位置。再让他玩5分钟，让他自己计时。
◎ 拿两个不同的杯子，问孩子哪个杯子里面的水多。接着取一个透明的瓶子，倒入水，在水面（即瓶子对应处）画线，然后倒掉；再倒入另外一个杯子的水，就可以知道是高于那个刻度还是低于那个刻度，也就有了水的多少这个概念了。
当然，如果你的家里也有一杆秤，这一回中所讲的事情你就都可以做到。
从秤的使用开始，还是孩子的我，学到了数字，学到了小数，理解了重量，并能够在手中实际感受到分量的感觉。这其实完全吻合儿童的认知过程。任何人学习新的东西都有三个基础模式，分别是触觉模式、听觉模式和视觉模式。试错是人类起源并发展的最早的模式，试错就是触觉模式。第一个回合中，通过不断地实验、体验、参与，手动的过程驱动了大脑，从启动到疑问，接着就是想出来一些事情。这个过程是不能省略的，多少父母希望孩子快一点学到知识，快一点掌握知识，快一点提高能力，实际上就是省略了探索的过程，彻底剥夺了孩子自然的发展步骤，最后即使学会也是没有过程的，容易遗忘的。
这个回合中，还是孩子的我，主要是通过什么模式真正领悟了一些重要的概念：
A：触觉模式
B：听觉模式
C：视觉模式
D：混合模式
（参考答案见全书末尾）
指尖上的数学
◎参与的过程比最终记住的结果要重要得多。
◎每位妈妈都能够做到，在日常生活中带孩子玩好手指头，借此来启迪智慧、激发兴趣，获得与众不同的感觉。
记忆力这东西，不同孩子的表现真不一样。从一年级的时候开始，老师就总是强调讲过的东西要记住，而且对班里的男生还要进行特别强调：不仅拼音、新字、符号——写在黑板上的都要记住，回家还需要按照老师的要求背诵指定的短文。
老师在强调记忆力的时候对男生与女生的要求是不一样的，而且给我印象最深的是，她对我会格外严格。妈妈也说过，我粗心的原因就是记性不好。为此她还特别给我找来一些据说能够提高记忆力的食品吃，比如核桃、豆浆、菜花等。现代脑神经外科医学的研究结果也部分论证了妈妈的这些不知从哪儿得来的土法子的正确性。比如豆浆来自黄豆，富含大量的卵磷脂，是大脑运行需要的主要物质，菜花富含乙酰氯，是直接刺激脑细胞活跃的主要物质。
虽然妈妈在食品上用心良苦，但还是无法帮助我快速记住乘法口诀。男生与女生的记忆力水平不同，就算都是男生，不同小朋友之间的记忆力表现也不同。我为什么就记不住那些知识呢？于是，她开始使用她的新方法——这次竟然是手指游戏。
参与的过程比最终记住的结果要重要得多。一一得一，一二得二……七七四十九，七八五十六……三九二十一，四九三十九……每一次，不仅同学会笑，老师还会让我留校，让我大声朗读书中的九九乘法表10次、30次、50次，只要错一次，就额外再加10次，我简直恨透了这个玩意儿，心想：“这有什么意思啊，就算我把3乘以9的结果弄错了，又能怎么样呢？犯得着这样嘛！”无奈的是，只有8岁的我，怎么能拗得过大人呢！上课如同受罪，被老师点名站起来回答问题简直就是酷刑，留校更是命运的折磨！妈妈来学校接我回家就是快乐的时光，一路上我们便开始了各种游戏，包括手指头的游戏（图2-1）。
妈妈：2加6等于多少？
我：8。
妈妈：8加6等于多少？
我：嗯，14。
妈妈：还记得用手指头做的加法吗？
我：记得！
妈妈：2加6用手指比给我看。
我伸出双手，伸到自己眼前，一边一个一个地掰着指头，一边说：“1、2、3、4、5、6、7、8，你看，这是8个指头。”
妈妈：好，我们重新来一次。把10个手指都伸出来，从你的左手开始数到4。然后把这个手指弯进去，现在还有几个指头是伸着的？
我：9个啊！
妈妈：弯下去的这个指头左边有几个？
我：3个。
妈妈：弯下去的这个指头右边有几个？
我：6个。
妈妈：你是数到第几个指头弯下去的？
我：第4个。
妈妈：你还记得4乘以9是多少吗？
我：三十……嗯，几来着……
妈妈：左边有3个，右边有6个，就是36。
图2-1
我重新看着自己的手指头，把刚才妈妈说的做法从头做了一次。伸出双手10个指头，从左手开始数数，数到4，把这个指头弯下去，左边有3个指头，右边有6个指头，这就是4乘以9，是36。
我：妈妈，那5乘以9呢？
妈妈：数到第5个指头，弯下去，看左边几个右边几个。
我快速地做了一下，左边有4个，右边有5个，那就是45。是啊，五九四十五嘛！接着我又试了六九、七九、八九，直到九九。其中在做到八九的时候，我右手的中指弯不下去，妈妈就帮我按住这根指头，左边7个，右边2个，就是72。
这时从育民小学到回家才走了一半，妈妈不断提醒我看车、看路、看行人、看树，因为我一直在摆弄自己的手指头。
第二天学校的算术课我就不害怕了，一个晚上在家里摆弄手指头，乘以9的口诀都了如指掌，实际上我已经完全不用摆出双手，因为脑海中就是双手10个指头的影像。
就这样，九九乘法表中乘以9的部分我再也不怕了，也再也没有出过错。老师要求小朋友重复朗诵许多遍的意图，其实是想让孩子记住，我妈妈让我摆弄手指头的意图也是让我记住，但这两个过程却完全不同。机械地重复朗读，试图强迫自己记住，这是多么无聊、枯燥、折磨的过程啊！一点儿乐趣都没有。我妈妈想的法子居然是让我摆弄手指，摆弄了一个多小时仍沉醉其中。一个小时后，脑海里就全是这些不同组合的手指的影像，不也记住了吗？结果都是记住一些知识，过程却有着天壤之别。
老师和同学的认可是一种永恒的、源源不断的激励。随后的几天，在一位数乘法上我就再也没有出过任何错误。我进步的速度非常快，从最差的一名，直接超越了班里所有小朋友。有时，我还会拿出手指头来摆弄一番，然后再说出答案。老师觉得我手里事先写好了口诀表，于是检查我的手掌，却发现我其实并没有看手掌，而是在看手背，可是我手背上没有任何字。老师给我出题：“四八多少？”我摆出了两只手，然后说：“32。”（图2-2）[1]
图2-2
老师让我停住两只手，当时我的左手有三个指头伸出，右手有两个指头伸出。老师发觉其中有奥妙，便问我是怎么弄的，我说不出来，也没有说是我妈教的。在我的印象中，妈妈没有特别坐下来教过我什么。这一天我又被留校了，1973年5月15日，就是本回开篇的日记的来历。第二天，老师让我到讲台前把这个法子讲给所有同学听。他们的眼神让我觉得自己很神奇，老师的认同让我觉得记忆力差不见得是坏事，变一个法子反而可能更出色。
自这件事以后，我在算术课上就没有走神儿过，也没有感到痛苦，因为同学们已经觉得我很神奇了，我当然不能轻易走下神坛啊！很难想象，这居然成了我日后不断努力学习、做各种数学题目的动力。孩子的内心其实不仅在乎父母的认可，而且更在乎同学的认同；孩子的内心其实不在乎大家都做同样的事情但我是第一，而更在乎我做的事情与大家不一样，也得到了同样的结果，而且过程还有趣、好玩儿。
