为了把这个问题弄清楚，我干脆自己重新来数大米。我数了10粒米一堆儿的，50粒米一堆儿的，100粒米一堆儿的（图4-3），等到500粒、1 000粒、10 000粒时，已经耗费了两个小时的时间。然后，我开始计算到底应该给多少大米，其实就是：
这到底是多少大米？我测量了一下我手里现有的大米，大约40粒米是一克，那么1万粒大米就是250克，4万粒大米就是一公斤了。上面那个数字太大了，就算变成重量，也要大概9 000万吨大米。现在全中国一年的大米产量不过就在3 500万吨左右，也就是说，当时那个大臣要的大米量放在今天都拿不出来，何况那个时候，所以国王就狠心把这个大臣杀掉了。
图4-3
这里的重点不是计算出多少大米，而是听完这个故事之后会有多少小朋友较真儿地去数一下、算一下，自己来发现其中存在的各种各样的问题，而不是听过故事就完事了。我问过我妈妈关于这个故事的许多细节，比如当时国王用了多长时间来数大米并放到格子里？当时参与数大米的人有多少？当时他们是不是把64个格子的大米都数完了？当然，最后肯定是因为没有米了，还有好多格子没有填上。那么，数到第几个格子才发现粮库里一点米都没有了呢？
这样追问细节是出自严密的思维，还是出自好奇心？孩子最初能够提出许多这样的问题，其中有一些有逻辑、有含义，有一些可能无厘头、毫无意义，但父母不能因为潜在的问题就打压孩子提问的行为，这样不仅会导致他们再也问不出问题来，而且会让孩子对听到的、看到的事情不再进行深入的思考。
不打压孩子玩米的行为、不打压孩子提问的行为，这些都是我的妈妈无意中做到的。说出解题的过程，说出听到故事时脑海里涌现的疑问，或者说出好奇的联想，这一点对我来说就是本能，是环境造就的。我没有被打压过，没有因为求知好奇、探索新鲜事物而被训斥过、被惩罚过。我的这些习惯，我发现我弟弟身上也有。这就不是偶然的了，而是在一种共同环境下成长留在人身上的烙印。
读完这一回，作为孩子的妈妈，你决定做些什么呢？
妈妈教的数学
◎ 你能够做到每天至少三次在孩子面前把自己的思考过程说出来吗？
◎ 你能够耐心倾听孩子诉说自己的思考过程吗？
◎ 你能够给孩子更多的空间，让他随意探索家里的任何事物吗？
人类与动物的不同在于有语言。西方哲学就起源于苏格拉底的谈话，他的哲学体系、逻辑体系是说出来的。把自己的思考、思想说出来，让孩子养成这样的习惯，将对他探索任何事物都有帮助。数学也是一样，即使玩儿一样说出来，说多了也就形成印象了，就融会贯通，成为自己熟悉的事情，也就不再感到害怕了，这就是说着玩儿的数学啊！
用心倾听饭桌上的聊天，人们说一个事情的时候，用了很多话，比如用了300个字，然后理解一下这个事情，看有没有人能够用200个字说明白，或者有人用100个字说明白。语言是思维的反映。做数学题尤其如此，一些题目不会做，实际上是没有理解。任何题目都是浓缩了的，精练的语言表达，孩子在学习时，尝试把题目用自己的话说出来，这就是一个训练——思维的训练。说的过程，有时就开窍了，一下就明白了。
那么，学校体系内，这种把题目说出来的做法并不普遍，这样符合规律的事情，是什么原因没有得到普及呢？下面都是可能的原因，你认为哪个可能性最大：
（可能性较大的选项排列在前面）
A：老师其实也不知道认知心理学原理。
B：学生人数太多，听不过来每个学生讲。
C：中国文化有默想、静思的传统。
D：学生已经被打压惯了，不想说。
（参考答案见全书末尾）
应用题的关键难点
◎从孩子早期接受数学概念的能力来看，语言理解是最基础的一关，也是最初的难点。培养孩子对数学词汇的熟悉、理解，并渐渐形成认知。这样，当孩子再遇到应用题时，题意理解这一关就可以轻松跨过了。
◎生活中越经常地接触到具体、具象的数量，并得到及时的启发，孩子就越具备主动走向抽象的能力。
我15岁以前有关饺子的日记，只有这两篇。从这两篇日记中，可以看到一个11岁男孩生活中数字的若隐若现。数学的基础就是数字，数字不仅可以写成文字，还是一个数量，即字面的后面是一个量。能够知道有多少个饺子是对量的认识，而能够知道谁包的饺子多，就是对量的比较，比较能够强化对量更加深入地认识。数学就是从这种对量的比较中逐步建立起来的。
对孩子来说，比较的事物必须要有具象的意义，这两篇日记中体现的就不是单纯地比较数字，而是用来解释现实生活中饺子的数量。包饺子对孩子来说很好玩，是一个动手参与的过程。我妈妈在我玩的时候顺便让我理解了数量之间的比较，更重要的是理解了爸爸比我多包39个饺子的数量意义，理解了一样多的实际意义，理解了我包的是妈妈的3倍的具体意义。
这里有一些词汇，读者朋友们不妨先看看自己是否理解：
乘积 扩展 增加 减少 相差 相同 最小的 最大的
最多的 最少的 一样 一半 两倍 同向 相向 相遇
这里仅仅列举了16个词汇，都是小学数学教科书中出现频率较高的，尤其是在应用题中会大量出现。这些也恰好是孩子在做应用题时常遇到的最大难点。对孩子来说，难点不是数字之间的运算，比如孩子很容易计算47-8=39，却不容易把爸爸比我多包39个饺子变成数学意义上的减法。也就是说，孩子在面对应用题时最大的障碍在于，能否正确地理解一段语言表达的意思，尤其是能否将这段语言表达的意思变成数学上加减乘除的运算形式。
读者朋友们，如果你们不介意的话，请再接受一个挑战，那就是把上面那16个词汇讲给自己的孩子听，看他们是否能够理解。检验他们理解与否的方法就是让他们举出例子来，比如用他们生活中自己看到的、听到的、数过的东西来讲解。
正如妈妈让我包饺子的过程，真的不光只是好玩的包饺子而已，更是润物细无声地讲解了抽象的数学概念。如果孩子能比较自然地理解这些抽象的数学概念，下面这几道题就容易多了。
有三根铁丝，第一根的长度是第二根的6倍，第三根的长度是第二根的一半，第二根长10厘米。现在要把它们截成一样长的铁丝而且无剩余，并且要使每段铁丝尽可能地长。问：可以截成多少段？每段长多少厘米？
有两列火车，客车长200米，每秒行驶30米；货车长300米，每秒行驶20米。两车在平行轨道上齐头同向行驶，问：几秒后客车超过货车？如果两车相向而行，从相遇到错车而过需要几秒？
三年级三个班的少先队员为美化校园环境自己动手种花，一共种了265盆。一班种的是二班种的2倍，三班种的比一班种的多5盆。问：三个班级各种了多少盆？
画展9点开门，但早有人排队等候入场，从第一个观众来到时起，每分钟来的观众一样多。如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就不再有人排队。问：第一个观众到达的时间是8点几分？
这4道题都涉及抽象的语言概念，分别是：6倍、一半、无剩余、尽可能长、同向、相向、错车、2倍、多5盆、每分钟一样多、不再有人排队。以上4道题都选自一些小学奥数类的图书。编写这些奥数训练图书的老师都是小学老师，经验丰富，对数学思维的运用也很熟练。但最大的缺陷就是，这些图书是从编写老师的视角出发的，题目中涌现出大量抽象的语言词汇，其实并不是在测试孩子数学量化的能力，而是在测试孩子对抽象语言的理解能力。而图书中最缺乏的就是对词汇的注解——对词汇进行简单解释，用孩子易懂的话来把事情讲明白。
我也是在从事了数学教育之后才渐渐理解了那些书本上的心理学术语的含义，比如，具象的事物对认知过程的意义总是大于对抽象词汇的理解。一项针对来自俄罗斯、德国的天才儿童的研究揭示了如下3个结论：
● 天才儿童的卓越之处主要体现在对抽象词汇、抽象关系的掌握中。
● 生活中越是经常地接触到具体、具象的数量，并得到及时的启发，孩子就越具备主动走向抽象的能力。
● 数学方面的天才都具备对语言中词汇的特殊理解能力。
比如前面的第1题，如果妈妈能够在孩子面前摆出三根线来，让孩子一根一根地测量，这道题完全可以做出来。并且在做的过程中，孩子能够渐渐理解“6倍”、“一半”、“尽可能长”的意思。如果一定要用数学语言来说，这道题背后的概念就是“最小公约数”，但完全没有必要让孩子去理解“公约数”这个概念，用现实中缝衣服的线来实际演示就可以了。等孩子非常熟悉并可以快速地自己做类似的题目后，他的脑海中便会形成一个概念，他会用自己的词汇来解释这个概念。到那个时候，再告诉他这就是“公约数”的意思。
我的一个学生是这样思考的：第二根长10厘米，那么第一根就是60厘米，第三根就是5厘米。一段只能长5厘米，这样所有铁丝就都用上了，第一根可以有12段，第二根做成2段，最后一根只有1段，12+2+1=15段，每段长5厘米。
这个学生理解“无剩余”的意思就是所有铁丝都用上，那么就只能将就最短的那一根，即5厘米，因此“尽可能长”这句话其实没有意义。这个孩子接着这样说道：“如果你要尽可能多一些段，我能不能剪成1厘米长的？”这个学生算是理解了“尽可能”的意思，也理解了“一半”、“6倍”的意思。
目前的学校教育中，老师完全没有时间来摆出具象的铁丝，也没有意识培养孩子自己去形成一个概念，而往往是先灌输给一个孩子肯定不懂的词汇，然后再给这个词汇许多解释和说明，看哪些孩子能自己悟出来，就代表他们懂了。但正常的儿童认知发展次序却完全不是这样的。如果孩子强迫自己记住老师要求的操作模式而心里并不真正懂，再通过大量类似题目的训练养成本能，日久天长，孩子的认知理解层面就与操作层面脱节了，失去了思考问题、提出新问题的能力，而变成了机械操作的“机器”。
改变学校的教育并不容易。撇开对孩子学习认知的正确理解不说，面对这么多学生，要保证每个学生都能跟上，在时间短、任务急、教师少的情况下，家长们不要对学校有过高的期望。还是从父母自己开始吧，至少父母应该是孩子最早的启蒙老师。你也可以掌握正确的方法，那就是在生活中寻找大量的机会来讲解具体的数量，并给孩子一个机会，让他自己去形成认识，并学会熟练应用、学会提炼，形成含量丰富的词汇。
按照这个要求来做的话，第二题应该从做模型开始：给孩子摆出来两辆车的模型，演示什么是相向、什么是同向；然后再演示在相遇的点，错车实际是什么样子。这就是具象教育的操作方法。
我在澳大利亚也从事过中小学数学教育，接触到了大量的具体模型，尤其是在澳大利亚的小学教育中这种模型更多。澳大利亚小学生的数学水平无论在熟练程度上、技巧上，还是做题的速度、准确性上都无法与中国学生相比，但是在面对新问题的时候，他们提炼的能力非常强，解决问题的思路也更加多样、灵活，能够实际深入到面对的问题的本质，这些能力都是中国学生严重缺乏的。于是渐渐地，在澳大利亚社会就形成这样一种局面：澳大利亚人在企业中做高层，提炼出遇到的问题，并给出解决的思路，然后交给中国人来具体做出解题过程，并给出正确的答案。比如在保险公司，提出新保险项目的人几乎没有华裔，而实际计算出赔率、赔付比率的几乎都是华裔。这个结果其实就与教育的过程有关。强调具象到抽象的形成过程，而不是强化抽象符号的高速计算，这样就能够培养出另外一种能力来。
作为妈妈，你应该可以思考：你想让孩子具备哪种能力？两种能力是否可以共同拥有？当然！完全可以。两个能力有次序的先后，也有教育过程中的侧重比例。至少目前中国的情况就是只顾一个方面，而几乎完全忽视另外一个方面。
对于第二题，最难的地方仍然是对语言的理解，比如“同向”、“相向”还有“超过”的意思是什么，“错车而过”又是什么意思。
有了模型，解释“同向”、“超过”就容易得多。同样，解释“相向”与“错车而过”也就容易了。具体的算术问题其实非常简单，不就是300米用多长时间、500米用多长时间嘛！如果没有模型，那就用视图，通过画图的形式来让孩子体会到超过、错车而过的意思（图5-1）。虽然数学考试不是考理解语言，但是不理解语言，孩子就可能做不好数学题，而卡在理解上。
图5-1
从孩子早期接受数学概念的能力来看，语言理解是最基础的一关，也是最初的难点。许多女孩子过不了这一关，就认为自己没有学习数学的天分，也就“合情合理”地自我放弃了。但这个难点将一直存在，并终生影响对生活中一些抽象事物的理解，比如利率的用途、汇率的用途、利息的滚动计算等。所有抽象的数学词汇都是之前许多数学家从现实生活中提炼出来，并用他们的词汇来概括的，而孩子的脑海中是空白的，不一定能够直接就接受，也绝对不可能在没有任何现实可见、可触摸的情况下就直接理解。必须让孩子经历具体的操作过程，然后自己去体悟，这才是帮助孩子成长的正确方法。
有一个小朋友在路上看到一只蚕茧，就把它带回家，想观察蚕蛾破茧而出的过程。等了几天，他终于发现蚕茧在晃动，于是每天观察的时间更长了。他细细观察起蚕蛾用身躯艰难冲破蚕茧的过程。开始的时候，蚕蛾在壳里一点一点地蠕动，渐渐地，可以看到蚕茧壳一个角出现了一个洞。然后停了好长时间，蚕蛾又开始努力了，小洞渐渐扩大，能够看到里面是成形的蚕蛾。过了一会儿又有了新的动作，蚕蛾试图从小洞中钻出来，但实在钻不出来，只能又继续开始摩擦这个洞口的边缘。小朋友取来放大镜，仔细看，洞口的边缘先变得有些潮湿，然后洞口就一点一点地扩大，扩大了一点后，蚕蛾又尝试钻出来，还是没有成功，它又继续摩擦洞口边缘……这样来回至少有15次，孩子明白了蚕蛾的目的，于是拿出小剪子，从洞口的边缘剪开这个蚕茧。蚕蛾脱离了蚕茧的束缚，终于自由了。它尝试扇动翅膀，想飞起来，可试了几次都没有成功，翅膀上还有没完全展开的皱褶。蚕蛾一直在尝试、尝试，但一个小时后就不再尝试了。过了4个多小时，蚕蛾还在原处，用手触摸时，它已经没有动静了。
我们的老师、父母都是好心人，看着孩子不理解这么简单的概念会十分着急，于是干脆就帮助他跳过去——你记住就行了！照着模仿还不会吗？以后都这么做就可以了！其实就是这个意思，懂了吗……这些话都是老师、家长们常说的吧？这些话就好比泯灭了蚕蛾自己奋力的过程，没有了奋力的过程，也就没有机会长出足够坚强的翅膀，就算挣脱了、自由了，也仍旧没有足够坚强的翅膀去飞翔。
妈妈们，让我们回到前面，从生活中寻找具体的事情来解释这些词汇吧：
乘积 扩展 增加 减少 相差 相同 最小的 最大的
最多的 最少的 一样 一半 两倍 同向 相向 相遇
● 乘积：我家住在四楼，每上一层要走两段楼梯，一段的台阶数是7，那么一层楼的台阶数是多少？住在四楼，所有台阶数的乘积是多少？
● 扩展：用尺子来测量一下，学校发的自然课的课本的长宽高比语文课本的分别扩展了多少？
● 增加：上个星期，你的作文写了156个字。这个星期的作文增加了22个字，写了多少字啊？
● 减少：昨天早晨你喝了两杯水，今天减少了一杯，喝了几杯？
● 相差：去年你的个子高1.23米，今年高1.32米，相差多少？
最小、最大、最高、最多、最少、最短、最长，所有的“最”都是多个比较后的结果，让孩子理解就要提供尽量多于三个的同类东西来比较长短、大小、轻重，孩子才能够渐渐理解“最”的含义。一样、一倍、两倍、一半、相同，这些都是比较的结果。让孩子对事物进行比较，并理解生活中这些常用的数学术语。
多数孩子从小学三年级起就会在数学课本中发现许多不太能够理解的词汇，而语文教学中又没有专门对这类词汇进行说明，也没有提供足够多学生见过、听过、遇到过的来自实际生活的例子。一旦遇到了不懂的地方，便经常会归罪于数学学不好的常见原因上。其实本质都是对词汇的理解没有过关。在日常生活中，爸爸妈妈可以借助很多常见的事物来建立抽象概念，这对孩子数学能力培养的效果要比参加奥数班强得多。
父母们可能会觉得，社会上有各种各样的辅导班，能够把孩子送去，就算对得起自己的良心了，就为孩子的智力成长尽到责任了。外包是社会分工的一种表现形式，对孩子教育的外包不仅可以是学校，也可以是辅导机构，但其实最关键、最贴近孩子、最直接有效果的还是父母本身。孩子的第一任老师就是父母，父母也最能够把握一切日常生活的机会来建立许多概念，扩展脑力智慧。
数学不仅是由数字构成的，也包括词汇。父母应该设法将孩子可以见到的各种现象变成词汇，尤其是数学中会出现的词汇，培养孩子对这些词汇的熟悉、理解，并渐渐形成认知。这样，当孩子再遇到应用题时，题意理解这一关就可以轻松跨过了。
这里再给妈妈们列出一些小学数学经常会碰到的12个词汇，希望你们能够借助生活中的机会来启发孩子去认识、熟悉这些词汇，并理解其本质的概念。可通过多举例、多比喻来实现。
顺序 任意 和 往返 轮流 连续
剩余 多出 同比 匀速 注满 单独
数学能力的基石正是掌握词汇。
具象与抽象，这是人与人在面对相同事物时，能够形成不同理解的核心挑战。18岁以下的孩子，都不擅长抽象能力。任何文字都是对事物的抽象过程。桌子，是先看到具象的样子，才学会抽象的这两个字。乘积呢？非常抽象的词汇，没有让孩子充分看到一个样子，是不能理解具体意思的。
小学数学中有大量的类似题目，实际上考的都不是数学，而是对词汇的理解。这个回合给了一些例子，可惜例子还不够多，且看下一本《爸爸教的数学》中，有更多的具象到抽象的例子。
那么，孩子什么时候才具备运用抽象词汇来学习的能力呢？
A：要到触觉学习的阶段。
B：要到视觉学习的阶段。
C：要到听觉学习的阶段。
D：要到大学阶段。
（参考答案见全书末尾）
从手指开窍出大脑智慧
◎人类有记载的数学活动基本上来自于计算、数数、清点，而早期最方便的工具无疑就是手。当然，玛雅人还用过脚趾头呢。
◎对孩子来说，指尖上的数学并不是登堂入室的学术任务，而是启迪心智、启发思维、启动乐趣的探索过程。
