希望你还记得在第二回中指尖上的那些数学动作，我们一起回顾一下。
● 一位数乘法中，任何乘以9的算法都可以通过两只手表示出结果。
● 在一只手上数数，可以来回一直数下去。
利用手指对孩子的好处有：
● 手指活动对大脑细胞发育、活跃会起到促进作用。
● 手指活动能够激发孩子学习的兴趣。
● 手指活动能够降低孩子学习新知识时的恐惧感。
你在本回开篇看到的日记，正是来自29年前我在北京师范大学附属实验中学教书时辅导小学奥数班的经历。当时，利用手指头的学习就已经得到了拓展（图6-1）。
图6-1（未完）
图6-1（续）
这就是4乘以8，弯下去的指头左边是3，右边是2，所以就是32。
乘以8与乘以9不同的地方有两个：第一是弯下一个指头还是弯下几个指头；第二是当弯下的指头不够时，从左手的指头中减去这个数。
图6-2
图6-3
如图6-2所示，操作一下7乘以8，数到第7个指头。接着在第7个指头的右侧继续弯下去7个指头，现在已经弯下去了3个，这样还应该弯下去4个（图6-3）。第7个指头左边有6个指头，就是60，减去还应该弯下去的4个，就是60-4=56。
别看说出来一下就明白了，但在没有想到之前，自己要突破头脑中多少封闭的门啊！这才是创造性的火花闪耀，才是兴趣激发的瞬间，才是灵感降临后的喜悦，才是一种最深厚的激励，让孩子产生自信，并驱动他的思想走得更远。这个突破胜过加了100次油的汽车，让孩子可以在探索的路上走得很远。
我曾走过12个国家，每到一个国家都要去当地的图书馆查阅一些数学著作，包括英国伦敦的英国图书馆、美国纽约州立图书馆。我阅览过的数学方面的英文版图书超过了200本，但都没有找到关于乘以8的算法的记载。这次本书中详细讲解的指尖算法，应该属于罕见的内容了。美国纽约州立图书馆的一本数学书中提供了另外一种指尖算法，但我们需要先回顾一下乘以9的手法：以3乘以9为例，弯下去的指头左边剩余两个指头，右边剩余7个指头（图6-4），乘法的结果就是27。也就是说，左边的指头数应该乘以10，右边的指头数当作个位就可以了，即2×10+7=27。
图6-4
其中，我们把左边指头乘的这个10当作基础标杆。这个标杆来自于10个手指头，计算的目标是乘以9。如果是乘以8的话，应该用9个指头，基础标杆就应该是9。让我们来尝试一下：4乘以8起始是9个指头，从左到右数到4，把这个指头弯下去，左边剩余3，右边剩余5；左边的3乘以基础标杆9，就是27，用这个27加上右边剩余的5，就是32。
这个手法在计算的时候有一个前提条件，那就是乘以9已经掌握得非常熟练了，这样左边剩余的手指数乘以9的时候，就会立刻在脑海中出现一个数字，然后加上右边剩余的手指数，得出答案。
人类有记载的数学活动基本上来自于计算、数数、清点，而早期最方便的工具无疑就是手。当然，玛雅人还用过脚趾头呢。印度人还有另一个计算6～10之间任意两个数字相乘的指尖算法。这也不是原创，而是来自于我阅读的一本英文版的数学科普读物。我也在这里将其介绍给各位读者和妈妈们，用于调动孩子参与的积极性，激发他们的兴趣。
请看图6-5所示6乘以8的情况：左手的6对应右手的8，对应的6、8两个手指下方有4个指头（包含6、8两手指在内），就是4×10=40，上面左边4个、右边2个，4×2=8，所以40+8=48。
图6-5
再看一下7乘以9的情况（图6-6）。左手的7对应右手的9，对应的7、9下面有6个指头，就是60。上面左边是3，右边是1，相乘就是3，然后60+3=63。
图6-6
孩子从5岁起就已经具备用手指头计算的意识了，同样，在学习加法的过程中，也非常熟悉手指头这个工具，可以通过清点手指来找到加法的答案，当然，也可以找到减法的答案。我们在第二回中已经介绍了通过手指头数数的办法，不知读者朋友们是否在自己孩子身上应用过。如果试过，你可能会观察到如下反应：
● 孩子有兴趣轮流去数。4岁左右的孩子应该可以数到50。
● 此时如果提问40落在哪个手指上，孩子的表现应该是重新数数，并找到数到40时的那个指头。
● 跳数1、3、5时，应该知道都落在小拇指、中指、大拇指上，跳数2、4、6时，明白了都落在无名指和食指上。接着问199落在哪个指头上时，孩子大概能够猜出只能是三个手指中的一个。
● 增加难度后，孩子可能会懈怠，需要妈妈想办法激发孩子，比如妈妈可以说，我不用数就知道40落在无名指上。这样孩子可能会验证一下，然后就觉得妈妈一定有神秘武器。你还可以进一步显示规律的威力，比如可以说：我也不用数，就知道90落在无名指上，100落在食指上。能运用规律，才是指尖上的数学在激发孩子兴趣后要实现的真正目的。那么，规律究竟是怎么来的呢？
现在，妈妈可以陪孩子把指尖数数的游戏玩出新花样（图6-7）：
图6-7
● 增加一个手指头，重复往返数数的步骤，重新考察1、3、5、7等落在哪里。
● 重新考察2、4、6、8会落在哪里。
● 重新考察189会落在哪里。
启发孩子寻找规律，从而激发孩子去验证，进一步产生好奇心，然后去探索，渐渐揭示出规律来，并在下一次的活动中运用这个规律。
对孩子来说，指尖上的数学并不是登堂入室的学术任务，而是启迪心智、启发思维、启动乐趣的探索过程。对12岁以前的孩子来说，还不足以掌握复杂、高深的理论及公式，但他们的智力完全可以进行多种形式的变换。调动孩子参与这些不同形式的计算、数数和清点，都是这个年龄大脑发育阶段最合适、最贴切的活动。
德国著名数学家卡尔·弗里德里希·高斯生于1777年，拥有“数学王子”的美誉，与牛顿、阿基米德一同被誉为有史以来最伟大的三位数学家。在成长过程中，高斯主要得益于自己的母亲及舅舅——两个人都极其富有智慧。可以说，在数学史上，很少有人能像高斯一样，幸运地拥有一位鼎力支持自己成才的母亲。高斯从小就对一切现象和事物充满好奇，在探索的过程中总免不了会超出一个孩子能被允许的活动范围。每当丈夫因此而训斥孩子时，高斯的母亲总是支持高斯，她十分珍视高斯的才华。
高斯（C.F.Gauss，1777年4月30日—1855年2月23日）
高斯9岁那年在学校上课时的表现成了后人世代传诵的佳话。当时老师觉得教室里太闹，索性出了一道题，试图让孩子们静下来，自己好消停片刻。题目是这样的：从1加到100，结果是多少？教室里确实安静下来了，但不到两分钟，高斯就脱口而出：“5 050！”老师心想，答得那这么快，肯定不对，于是顺口就说：“重算。”高斯答：“从1加到100，用1加上100，再用2加上99，都是101，一共有50对101，就是5 050。”老师愣住了，接着高斯又说：“也可以这样，加两列1到100，其中一列从100排到1，这样就是100对101，也就是10 100，这个数的一半就是5 050。”他用了两种形式，灵活、多变、快速地算出了1到100的和。
这个故事是我妈妈讲给我的，听了以后，我自己在纸上用高斯的方法计算了一次，验证了他的计算是正确的，然后才开始在脑海中品味算法的灵活性。这个算法并不是要让孩子掌握数列、数列之和，或者是死记硬背的算法公式，而是启发孩子扩展思考的边界，不一定遵循1先加2，再加3，然后是4、5、6这样的次序，完全可以跳跃，可以重新组合，甚至可以增加一列数来补充，记着算完后减去一半就可以了。
训练灵活性是在12岁之前最需要的脑力活动。手指头在生理上会刺激大脑的部分区域，而它本身也确实是一种工具，可以用来计数，是灵活性训练的一种途径。衡量1岁孩子智力发育状况的标准之一，就是看孩子的大拇指与食指能否捏合拿起细小的物品，如果可以，大脑细胞发育的边界就在扩张。同样，对4～6岁的孩子来说，手指头的活动，如清点、计数都能够激发灵活性，而不要教条、僵硬地按照老师说的一切去模仿。这才是《妈妈教的数学》的意义。老师没有时间进行这样的教育，妈妈有！老师没有足够的爱心和耐心去启发孩子，妈妈有！老师可能没有学过数学教育中的心理变化，妈妈看了这本书就学会了。老师也许缺乏方法，这本书就向妈妈们揭示了这些方法。
灵活多变、形式活泼、有动作、有行为、能参与，这些过程会在孩子的心里渐渐扎根，并萌发好奇、新奇、探求的动力。从小我的记忆力不好，但对乘、除以2还是非常熟悉的，于是我妈妈教给了我另一个窍门儿，至今就算在国内的奥数教材中都没有，我只在小学奥数班上讲过，请看图6-8。
图6-8
眼前的题目是17×234=？写上左边、右边，中间画一条线，然后把17写在左边，234写在右边。然后开始第一行，左边用除法，当然是除以2，不用考虑17除以2的时候的余数，直接写8就可以；右边用乘法，当然是乘以2。然后第二行，左边继续相除，右边继续相乘。直到有图中的样子，然后用线把左边是偶数的行划掉（图6-9）。
图6-9
然后看右边剩下了两个数，一个是234，一个是3 744，两个相加就是答案了。这种算法的好处是仅仅用乘除2，而不涉及任何其他数的乘法和除法，而且其中有更多的参与活动，与目前学校中教育的方法完全不同。对于乘法，可以提供给孩子竖式算法、格子算法，还可以提供这个叫“二号算法”的方式。无论是两位对两位，还是三位对三位，都可以。
我在纽约州立图书馆中一部叫《法老时代的数学》的书里查到了这个方法，是古代埃及人在4 000多年前记载的。那个时候没有九九乘法表，也没有发明出什么乘以3、乘以7，仅仅依靠对2的运算就完成了所有数量之间的相乘，绝对智慧。
指尖上的数学有足够的空间引导孩子参与，并培养快乐的体验。所有的快乐来自于不同的计算方法，却都能够得到相同的结果，这是神奇，是奥妙，是无穷的宝藏。妈妈给孩子指出通往宝藏的方向，孩子积极主动地去探索，一生也就充满了实践、探索、满足和快乐的活动。
这一回中妈妈可以做的事情有很多，我就不单独提供额外的建议了。用好自己的手，审视手掌、手指，这是苹果公司创始人乔布斯的习惯。通过长时间的审视，让他下决心要替代鼠标，直接用手来解决问题——你一定体验到了苹果那灵动的触摸屏！
开窍就是人们对一个事物有一个恍然大悟的感觉。“哦，我明白 了。”这时才是真正的明白。现在很多孩子其实都没有体会过这个感觉，都是被动地被灌输了大量已知的内容，并变成一种习惯。如同人工养殖的鸭子，不用自己找食物，被人拎起脖子，用管子塞到嘴里，打开开关，灌5秒，结束。
开启智力的窍，需要孩子自己较长时间的参与、琢磨和思索，如同徘徊在门前，突然想到一个方法，结果真的就打开门了。这个回合增加了更多指尖的玩法，本意就是增加更多的活动，试图让孩子从活动中去悟、去体验，并感受到一种规律性的内核。
而大多数读者，阅读这个回合的内容，都将注意力放在了如下四个方面，其中，哪个方面最多：
（关注度更高的选项排列在前面）
A：这么频繁地使用手指，好吗？
B：那个数数儿到底落在哪个指头上啊？
C：这些手指的法子背后原理是什么啊？
D：这些玩法都是从哪里来的？
（参考答案见全书末尾）
发烧是多少度
◎我妈妈做的事情其实很简单，就是在“37度”这个事物上联想开去，进行有关联的解释，这样孩子的脑海中就能够不断地想这件事。
◎儿童心理学在谈到记忆力的时候有这样的解释：对一个事物的记忆来自于头脑中对这个事物的集中时间，集中的时间越长，对这个事物记忆的时间也就越长。
今天回顾这篇日记，我真恨自己，为什么就记得这么短呢！多写一点多好啊！能够想象得出来，当时我妈妈应该还讲了很多很多，只可惜我的日记中全都没有记载。10周岁生日应该算是比较重要的日子，我却没有详细地记录。不过，在我记忆深处有关3、7、37的记忆的确都是来自10周岁生日这一天。
777÷（7+7+7）=37
这个神奇的等式就是那天留在我脑海里的。这还不算，不信你再看这个：
999÷（9+9+9）=37，888÷（8+8+8）=37，666÷（6+6+6）=37
后来，我自己得出了更多的结论，好像37能表现出来这种特点的根本原因是37×3=111。所以，以上的999、888、777……不过都是111的倍数，而其实111本身也可以这样写：
111÷（1+1+1）=37
把1都换成7当然也对，都换成9或者换成4也一样。这样，那个神奇的等式就变成了如此简单的等式，我也体会到数学表面不同而背后一定有更加美好的根源。
当我乐此不疲地把有关我生日的数字颠来倒去地计算时，我并不知道实际上自己正沉浸在古代数学家的研究成果中，也不知道自己其实在重复着历代数学家、哲学家们已经反复咀嚼过许久的内容。“数学”这个词很有意思，拆解开来先是“数”，然后是“学”。“数”这个字的含义就更加广泛了，可以是数量、数字，也可以是动作——清点什么东西的动作也是数。数数可以是数牛、羊，也可以是数自己的手指头。“学”的意思比较容易理解，那就是重复、模仿，深入一点就是对更多的事物进行分类，然后比较之间的区别，这就是研究了。“学”的对象可以是数、量，可以是字，可以是数与数的关系，也可以是“数”这个行为的过程。
中文中还有更多说法，比如，“算术”的意思就是算的技术。“算”就是对数字之间进行加工的过程，只要涉及过程，那就是技术。还有“计算”这个词，意思就是计量，把不同的量进行标示，并保存下来。算还是加工过程，把加工过程保存下来就是计算了。
数学、算术在英文中对应的词汇分别是mathematics、arithmetics，意思就是针对量进行清点。数学这门科学起源于清点、计数、比较和加工。如果孩子能够充满兴趣地投入，去摆弄数字，用刚学到的加法、减法、乘法、除法来进行反反复复的操作、参与、体验，用自己的行为来体验历代数学家、哲学家们做过的事情，这不就是科学精神吗？
我的妈妈给我打开了一扇门，没有多么严肃地事先声明，而是做了这么一件简单的事情——从我的生日这个数字开始，让我站在了一条路的起点，而走下去这个动作竟然是我自觉自发（或者说是不知不觉）的行为。如今年过半百的我才深刻理解了，妈妈给我的不是学校老师教的那些知识，而是追求知识的动力，是追求知识的乐趣，是追求知识的兴奋。
遗憾的是，在我以后每年的新年日记中都再也没有找到类似的记录。这些等式都不是教科书中的，也从来没有在学校教育中被要求过，它们都留存于生活的瞬间之中，也许在脑海中停留过一段短暂的时间，但都随着岁月的流逝而流失了。而能够留在脑海中无法泯灭的是那探索数字之间运算的过程，这个过程让我熟悉了运算，了解了颠来倒去对结果的影响——加法前后次序没有影响，乘法也不受次序的影响，减法和除法会因前后数字的不同而变化。
通过1973年、1974年这两年的日记，我看到更多的就是妈妈用各种不同的形式、事件、活动，来激发我探索、尝试、实践，并让我在所有这些活动中建立了自信，使我不再怕数字，不再怕运算符号，不再怕长长的等式；也让我对数字更加熟悉、亲切，在脑海中扩展了足够的空间来记住阶段性的运算结果。
直到上了中学，我还一直以为每个人的体温应该是不同的——生日不同体温当然应该不同。看到这段日记我才知道，自己的这种认识原来是出自这里。我好奇的是妈妈为什么讲37度的时候要说就是我的生日呢。我想她的目的应该就是要让我记住这个数字吧，37度是体温，用我出生的日子来记住，这也是一种提高我记忆力的方法。
儿童心理学在谈到记忆力的时候有这样的解释：对一个事物的记忆来自于头脑中对这个事物的集中时间，集中的时间越长，对这个事物记忆的时间也就越长。
那么我妈妈做的事情其实很简单，就是在“37度”这个事物上联想开去，进行有关联的解释，这样孩子的脑海中就能够不断地想这个事情，在这个事物上用的思考时间延长，延长的结果就是对这个事物的记忆加深。
今天回顾这些日记片段，我才知道自己对围棋棋盘的熟悉源自我10岁的时候。如果不是妈妈每次都问我这、问我那，我可能真不会主动去关注那些细节。只有熟悉了细节，对全局的情况才更有把握。
从七分之一一直到七分之六的结果，我到现在都可以不假思索地说出来，根源一定就在于我11岁生日那一天。数字是数学的基本材料，玩弄数字到了极致，就形成了数论，数论是数学科学的基石。读者朋友们，培养起孩子玩数字的兴趣吧，让他们看到不同过程中的变化、不变，以及奇怪的对称、巧合，这些都是激发孩子脑海中火花的灵感之源。
为了强化我的记忆，妈妈列举了不少可以让还不到10岁的我十分惊讶的东西，比如：
1×9=9
2×9=18
3×9=27
4×9=36
5×9=45
6×9=
7×9=
8×9=
9×9=
妈妈提醒我看结果的第一列数字，是1、2、3、4，而最后一列的数字是9、8、7、6……我就开始猜了，那么接着就是54、63、72、81，妈妈肯定地点头。接着她进一步提示我，看看还有什么规律，当时的我其实是没有明白“规律”这个词是什么意思，又不知道其实自己是不懂“规律”这个词，所以肯定就无从做起。妈妈提示了我一下：“你看18这个数，1加8等于多少啊？”不用思考，“9啊。”我回答。“那么2加7呢，就是第三行。”“9。”接着不用她说了，我快速扫了一眼就知道了，都是9。
随后我自己做了10乘以9、11乘以9，等等，直到100以内所有数去乘以9，然后把所得结果的所有数字相加，加到最后都是9。接着妈妈提示我：“如果你看到这个数，837，是不是9的倍数呢？”我快速加了一下，数字相加是18，再加就是9，所以我说应该是。妈妈让我自己算一下，果然，算出来就是93×9。不用我妈妈再说，以后看到一个数字，快速一加，最后是9，这个数肯定能够被9整除。其实，这就是数学中的猜想，对孩子来说，证实猜想的方法就是实验，没有例外。而对真正的数学来说，必须证明，这就要求具备初中代数的知识才能够完成了。
孩子可以不理解“规律”这个词，却能充分理解“窍门儿”这个词。对童年的我来说，知道一个数是不是能够被9整除，就觉得这是窍门儿了，掌握了窍门儿，就可以经常露一手了。等别的同学表示惊讶、感慨的时候，自己心里的得意和自豪就油然而生了。接着，等一些同学也知道了这些窍门儿之后，我已经努力去想新的窍门儿了。于是任何数乘以3的结果的窍门儿也让我找到了，乘以5、乘以11我也都渐渐发现了。
在北京师范大学学习儿童心理学时，我学习到“mathematics”这个词。在拉丁语系中，这个词就是计数、猜想的意思。妈妈让我参与的活动其实就包括了四个阶段，这四个阶段涵盖了人类思考方式的次序：大量的实践，实践中观察，观察后猜测，猜测后验证。牛顿的万有引力理论就来源于对身边诸多现象的观察，尤其是对前人伽利略留下的大量数据的观察。在此基础上，牛顿形成了一些猜测，然后对自己的猜测进行检验，并试图用严谨的方式来论证，从而形成了体系化的理论。
但这些理论对孩子来说都太伟大，也太遥远了。对孩子而言，最直接的、最贴近的例子就是自己观察那些乘以9的数的结果，然后尝试去猜测，去验证，进一步推广尝试，并形成自己脑海中的结论。从记忆、理解、运用这三个方面来看，这样比从学校老师那里学习的效果要好得多，记忆的时间更长，理解得更加透彻，运用得更加熟练。多数孩子都是在学校里由老师教授这些被9整除的规律，这是被迫、被动的，没有植根在脑细胞中，随着一夜的睡眠，也就烟消云散了。
我对数字的兴趣越来越大，妈妈给我玩的数字也越来越大，她总是给我出各种挑战，比如7834968这个数是不是能被9整除。我就在心里把每个数加起来：7+8+3+4+9+6+8=45。然后4+5=9，这个数肯定能够被9整除。于是我养成了一个习惯，只要看到数，就把每个数字都加一遍，比如，看到19路公共汽车，就会想：累加的结果就是1。看到37路，我感觉特别亲切，累加的结果也是1。直到有一天……
看了这一天的日记，我想起现在检查儿子作业的时候就经常使用这个方法，不过我不知道这个方法是怎么来的，我在北京师范大学数学系上学的时候也没有学过这个方法。但是这个方法真的很巧妙，首先是速度快，其次是变换了一个方法来验证自己做题的结果。作为妈妈的你，如果真的曾经检查过孩子的作业，就会知道检查一遍这种两位数的乘法多费时间，除非用计算器。可是孩子看你用计算器，心里多不平衡啊，肯定会想，就知道逼我做题，你自己还用计算器。不用计算器吧，自己口算又不熟，想到这儿，我心里对妈妈的敬仰之情就如江水、海水般泛滥。用上这个法子，简直太牛了。
其实，后来我把这个法子进一步省略了。比如3891，这里面能够凑成9的有8和1，还有一个9，直接就划掉，其实数和就是3。而3901这个数中呢，有一个9直接划掉，剩下3、0、1，加起来就是4，这样更快，连中间多弄一次21、13的步骤都不用。下面我会多举几个例子，让读者朋友们充分理解一下。
23×39=897，快速扫一眼，看对不对。
你的脑海中应该是这样的次序：23的数和是5，39的数和是3，5乘以3是15，15的数和是6，897的数和也是6，所以答案正确。只要数和不等，结果肯定不对。
再尝试一个：278×845=233910
尝试自己按照步骤来做：278的数和是多少？845的数和是多少？以上两个数的乘积是多少？233910的数和是多少？第3步的数与第4步的数一样吗？自己动手算一下，然后用这个方法再验证一下。
有些妈妈看了这一段，给我写邮件，问我为什么。我在这里就不进行数学论证了，作为数学专业毕业的学生，论证这个很容易，可是讲给妈妈们却不容易，我也不打算在这里破坏我自己的写作意图。我的意图就是你掌握了就可以了，就能够让孩子觉得你神奇了；孩子自己也会努力掌握，觉得自己超级厉害，在同学中也比较自信、得意、自豪。如果你真的执着地要知道背后的原因，那就给我写邮件吧。
关于小学时光，我记忆中的许多事情都与数字有关。比如，我是1963年出生的，如果加上我的生日数字37，那就是2000。我以前一直觉得我到2000年就会死掉，结果辛辛苦苦熬过来了，就觉得自己挺幸运的。我知道1963是一个素数，爱因斯坦生于1879年，也是一个素数。这就与我另外一天的日记有关了。
我到今天半百的岁数，仍然能够脱口而出π的数值3.14159，根本原因应该就是因为这一天是爱因斯坦的生日。
妈妈借用生日引发了我对数字的好奇，引导我对数字进行各种方式的探索，让我熟悉数位，并练习心算各种个位数的加法，从而让我对9、3、5、11的倍数都非常熟悉。等到学校老师讲的时候，我已经了如指掌。老师让我来讲，我讲例子用的语言都是同学熟悉的，当然就会得到同学的掌声以及羡慕的目光。这促使我暗下决心，要跟妈妈学更多的窍门儿。感谢妈妈为我打开了这扇门。
在我三年级到六年级的这四年，我对数字、运算的各种窍门儿都已经融会贯通。有的老师说我这都是旁门左道，然而实际上，我是掌握并运用了正确的方法。读者朋友们，你也可以用孩子的生日来激发孩子的兴趣，或者用以下这些内容来获得孩子的惊叹：
（一）
1×8+1=9
12×8+2=98
123×8+3=987
1234×8+4=9876
12345×8+5=98765
123456×8+6=987654
1234567×8+7=9876543
12345678×8+8=98765432
123456789×8+9=987654321
注意，不能直接打印好给孩子看。在孩子面前，让孩子看着，你拿一张白纸，然后开始写第一行。你不能抄书，也就是说你必须让孩子知道你是自己边想边写出来的。写三行后，看孩子是否能够跟着你写。
如果不能，你就直接写第五行，把第四行留空，然后看孩子能否填写进去。还不行，就写第七行，继续重复给孩子机会去写。如果无法完成，把白纸留着，放在孩子接下来一周内都可以看到的地方。
（二）
0×9+1=1
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1111
1234×9+5=11111
12345×9+6=111111
123456×9+7=1111111
1234567×9+8=11111111
12345678×9+9=111111111
123456789×9+10=1111111111
具体做法与第一题相同。主要目的就是启发孩子自己找到规律，并鼓励他们自己去计算一下，验证是否正确。
（三）
0×9+8=8
9×9+7=88
98×9+6=888
987×9+5=8888
9876×9+4=88888
98765×9+3=888888
987654×9+2=8888888
9876543×9+1=88888888
98765432×9+0=888888888
具体做法与前两题相同。孩子是否有兴趣？是否觉得惊奇？是否在你做的过程中参与说出你将要写的数字？是否能够自己创新出更多的形式？
（四）
1×1=1
11×11=121
111×111=12321
1111×1111=1234321
11111×11111=123454321
111111×111111=12345654321
1111111×1111111=1234567654321
11111111×11111111=123456787654321
111111111×111111111=12345678987654321
具体做法与前三题相同。不要在一天内都给孩子做了，至少应该相隔一周。在一周内，还可以鼓励孩子重新在一张白纸上自己从头做起。
别忘了，孩子的生日是与他最有关系的数字，要找机会用上。当然，每年的年份也都可以尝试把0～9的数字都用上。通过各种计算方法，看能否列出可以计算出年份的等式。
人们最喜欢的字是自己的名字，人们最喜欢的数字是自己的生日。自己的事情，人们有天然的喜好。而学习的东西，只要与自己有关联，也就容易有兴趣，能够推动自己用更多的时间和精力去关注。生日就是这么回事，而学到发烧，学到温度，学到数字表示的温度，也是这么回事。自己发烧了，才关心医生用的体温计，也才对上面的刻度感到好奇，继而渐渐懂得数字计量。
每个孩子都是不同的，相同的地方就是都有生日，都有机会发烧；而妈妈的任务就是借助一切孩子自己体验过的事情来巧妙地、不露声色地加入那些有知识意义的元素，让孩子接受起来更为自然和顺利；从具象到抽象，顺理成章。
这个回合中能够找到一个问题的答案。这个问题是：作者为何那么喜欢数字呢？你认为哪个答案能够最理想地回答这个问题：
（较为重要的因素排列在前面）
A：天生的，就是喜欢数字。
B：被妈妈启发到自己的事情都用数字。
C：熟悉了数字就体会到绝招，就会更加喜欢数字。
D：学校老师教得好。
（参考答案见全书末尾）
孩子懂了吗？妈妈怎么知道
◎学数学，并不是能够模仿过程就等于学会了，重要的是真的从概念的层面理解词汇。
◎做题并不能验证孩子对数学概念的掌握情况。作为妈妈，能够用来检验孩子对数学概念掌握情况的唯一方式，就是观察或者询问。
看了我日记中这四天的内容，再来看现在各地课外数学补习班或者奥数班的内容，我才感到妈妈让我理解题目的过程是多么精心和巧妙。我的妈妈并没有学过心理学，也没有当过老师，她都没有念完初中就参军了。当我在自己50岁生日那天问她这四段日记内容的时候，她想了许久，说：“不太记得了，不过确实不知道怎么讲给你听啊。”然后我问妈妈知不知道“等量代换”。妈妈说，当然知道啊。我让妈妈给我解释这个词汇，妈妈说，就是“等量交换”的意思啊。我没有继续难为她，妈妈已经在我小的时候，用行动给我解释了“等量代换”。
如果你是一个想为孩子学好数学而尽心尽力的妈妈，就一定思考过应该如何给孩子解释“等量代换”这个概念。通过互联网，你会了解到以下内容。
等量代换的定义：用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）。“等量代换”是指一个量被与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。狭义的等量代换思想通过等式的性质来体现就是等式的传递性：如果a=b, b=c，那么a=c。真正使用到的等量代换为：f（a=b）就是f（a）→f（b），其中f是函数公式。广义的等量代换举例来说就是：“如果李四是张三的同义词，张三是人，那么李四也是人。”这种数学思想方法不仅有着广泛的应用，而且是今后进一步学习数学的基础，是一个非常重要的知识点，甚至到了大学都还会使用。
接着，你还可能会查到曹冲称象的故事，于是，你觉得应该给孩子讲讲这个故事。把故事讲完，孩子终于应该懂了吧？小朋友说不出来自己懂什么，也说不出来自己不懂什么。孩子到底懂不懂，大人怎么能够知道呢？只有一个办法，那就是做道题试试。
李老师买了3个足球，张老师买了4个篮球，王老师买了1个足球、1个篮球、3个皮球。他们每人所用的钱数都相等。问：5个足球的价钱相当于几个皮球的价钱？
孩子头脑中仍旧是迷雾重重。这些迷雾中有：曹冲是谁？干吗要称象？称象行，干吗又称石头呢？石头与大象有什么关系啊？象重多少是什么意思？什么是等量？代换又是什么意思？接着足球与篮球之间有什么关系？皮球又是什么？都混在一起干什么呢？
做题并不能验证孩子对数学概念的掌握情况。作为妈妈，能够用来检验孩子对数学概念掌握情况的唯一方式，就是观察或者询问。以上这些问题其实反映的是孩子头脑中从具象到抽象的过程。当孩子不清楚一件事情的目的或者不理解目的的时候，就不太能够将注意力集中到这个目的的实施过程上。
目前中国小学教育中三年级就开始教等量代换了，如果你的孩子没懂，你就知道他在课堂上的表现是似懂非懂。孩子可能只是机械地解决题目表面的问题，如果你追问他一些具象的问题而他却回答不出来，那么说明他表面上能够操作符号，但没有理解其在现实生活中的意义。孩子在这样的灌输下长大，也就没有了联系实际的能力，没有了从具象过程中抽象出问题来的能力。通过许多名牌学府，中国向世界输出了不少人才，却很多都是操作型的人才，而缺乏独创型的人才、提出问题的人才、开拓型的人才。这与目前中国小学教育所采用的方法不无关系。要知道，即使一些特级教师都没有思考过这个本质性的核心问题：如何教育孩子掌握概念？
在现实生活中，妈妈让我体会到了冰棍与汽水之间是可以交换的。要不选这个，要不选那个，这让我理解了交换的意思。接着用晚饭吃的包子和饺子来体现一种关系，就是吃两样都可以饱，不过包子是5个，饺子是30个。这都是来自生活中的案例，隐含的意思就是都能吃饱的情况——5个包子与30个饺子是一回事儿。用钱来衡量的话，那就是3根冰棍与1瓶汽水的钱是一样的。
孩子在不理解等重的情况下，又如何理解足球、篮球、皮球之间的交换呢？在不知道铅笔、橡皮、转笔刀的情况下，又如何借助价钱的线索寻找不同物品之间的关联呢？
学数学，并不是能够模仿过程就等于学会了，重要的是真的从概念的层面理解词汇。读者朋友们，你们可以尝试一下问问孩子两类问题。第一类问题是：你见过的猴子是什么样子的？或者可以稍微变化一下问这种问题：你见过的鸡翅是什么样子的？见过的菠菜是什么样子的？然后再问第二类问题：你见过的7是什么样子的？等量是什么样子的？
对第一类问题，孩子的回答中多数都包括颜色、状态的描述，有时还可能包括见过的地点、时间，以及当时在场的人。对第二类问题，麻烦就来了，孩子几乎无法回答，回答的语言中往往会陷入用7来解释7。这说明孩子对数字的理解停留在表象上，甚至都没有透彻理解数字的真正意义。
关于这一点我对澳大利亚数学教学与中国数学教学进行过比较。澳大利亚小学3～5年级的孩子的数学做题速度、准确度都明显不如中国同年龄孩子的表现，但在概念理解上，中国孩子就明显薄弱了。澳大利亚9～11岁的孩子在解释7的时候，会说出类似这样的话：7是一周的天数啊，7就是你拥有的东西的一个数字记录，7就是一年级小学生的岁数，7就是电梯中的数字说明要去的楼层……
而中国的孩子，还有日本、韩国、印度、俄罗斯的孩子，我都曾经直接接触并调研过，他们的反馈十分相似，那就是用数字来解释数字，缺乏运用与现实的结合来理解数字。这样一来，中国的孩子不是输在了起跑的时间上，而是输在了起跑的姿势上。起跑的时间越来越早，起跑的姿势却越来越不正确。随着年龄的增长，这个不正确的姿势无论是对跑步的成绩还是身体形态都会造成越来越明显的影响。因此，重视起跑的时间不如重视起跑的姿势！
对数学概念的理解是孩子数学能力发展的一个重要基础。这个基础从3岁就开始形成了，然后每3年一个阶段，直到18岁。这是数学教育中抽象概念的理解发展规律，具体解释就是对词汇的理解。首先是对数字这个词汇的理解。与大象、牡丹花、猴子不同，数字在现实生活中没有具象的物体，只能从已有的量入手来建立数字概念。
这里涉及另外一个话题，那就是孩子对一个概念的理解是不是只有两个表现，要不就是理解了，要不就是不理解。通过我自己从1985年到现在不间断地对各个年龄段的孩子的观察和测试，得出的结论是：认知过程在理解抽象事物上分为5个阶段。以对数字的理解为例。
● 浅层阶段：仅仅是一个字，与“大”、“天”这样的字是一样的。
● 初级阶段：一些物品的量，比如我有3个苹果。
● 中级阶段：一些事物的关系，比如8点总是在9点的前面先到。
● 高级阶段：这些数量之间不仅可以比较，还可以操作。
● 深层阶段：数字是数量的符号，可以代表任何事物，任何事物都可以被数字量化。
对于3岁前就能够从1数到20的孩子来说，他们多数都停留在浅层阶段，理解的仅仅是字而已。这个时候需要父母带领孩子进行大量的清点物品的活动，比如，帮孩子清点有多少双袜子、喝了多少水、吃了几个饺子，渐渐培养孩子抽象出数字中的量，在量的基础上开始建立中级阶段的认识。
如果孩子能够主动说出“我这次吃了18个饺子”或者“我现在又有了1双袜子，这样我就有7双袜子了”这样的话，就说明他已经达到初级阶段了。
如果孩子说话中主动运用了数字，而且用对了，就说明孩子对数字的认知能力进步了。这种能力不是依靠考试能够测量的。只有依靠妈妈对孩子平时表现的观察，尤其是言谈话语中流露出来的数字运用的表现。运用语言其实就是大脑层面对各种词汇的操作，运用了数字，大脑神经元的活动区域就扩大到了左脑。只有当左脑中的数字混合了右脑的形象描述时，数字概念才会得到进一步发展。
有许多孩子到了9岁时，对数字的抽象理解才仅仅到达中级阶段。根据历史记载的曹冲称象的故事来看，实际上是曹冲在6岁时数字概念就发展到了深层阶段，可以对任何事物进行数量的操作，并且不受事物表象差异的影响。
我是从小学四年级起开始写日记的，也就是说，9岁之前，我的生活中爸爸妈妈的许多做法都没有文字记载可以查看了，只能通过我9岁之后的一些记载来推测妈妈对我在数学方面的启蒙作用。
根据皮亚杰对儿童思维发展的研究结果：孩子3岁可以建立初级阶段的数字认知，6岁可以发展到中级阶段，9岁可以到高级阶段，12岁左右应该实现深层的抽象认识。
目前的学校教育中，从教科书到老师的教学方法，99%的内容都是直接发展到对数字的操作上，比如加减乘除。但就连加减乘除的概念都没有做到让孩子真正理解，而只是让他们机械地、照猫画虎地当成一套流程来操作，以期熟能生巧。当然，耐心、符合认知规律、阶段性辅助孩子建立概念、从具象到抽象和深刻掌握概念的意识都完全没有，更不要说教学行为和教学方法了。
