希望你还记得在第二回中指尖上的那些数学动作，我们一起回顾一下。.2
面对这些问题，每个家庭都是无意识地走过来的，孩子似乎只好听天由命了。我也只能感谢妈妈从我小时候在概念上对我进行的循序渐进的引导——让我上楼的时候数楼梯、坐车的时候数站数、数米粒、称重量，大量的量化活动让我较早地建立了数字概念，虽然自己说不出来等量代换，却能够完全自如地做出等量代换这个概念下涉及的任何题目。
加法对孩子来说也是一个抽象的概念，也有四个理解的层次，并不是会做加法就等于理解了加法的概念。
● 层次一：知道加法是一个操作动作，是数量的增加过程。多了一个苹果的意思就是原来苹果的数量多了1。
● 层次二：知道加法是一种运算，可以针对任何事物进行。苹果也可以加梨，意思是总体拥有的数量增加了。
● 层次三：理解加法不用考虑次序，先多了1个、后多了3个，与先多了3个、后多了1个是一回事儿。
● 层次四：加法概念的扩展。和、总和、一共、多了、所有、全部，这些词汇都是加法的不同表达，都是一个意思，就是加法。
同样，减法、乘法、除法都有这样的四个认知过程。学校教育中依靠大量的模仿、类型练习，强迫孩子熟悉操作过程，在完全不理解加法核心本质的基础上生硬地运算，结果会造成三方面的不良影响：
● 破坏了认知次序。孩子失去了询问或者思考原因的能力。
● 破坏了对数学的感觉。对孩子来说，觉得数学就是与生活没有什么关系的一堆操作、运算，只要记住就好了。
● 破坏了求知的能力。泯灭了孩子认识事物的好奇心，从而养成看一遍然后照猫画虎就可以了的惯性，更导致今天的中国到处山寨流行。没有创新的能力并不是缺乏制度、缺乏激励，而是人们的创造力从小就已经被非常彻底地扼杀了。
我清楚地记得，在上我家四楼楼梯的过程中，我认识到先上三级台阶然后再上五级台阶到达的位置，与先上五级台阶再上三级台阶的位置是一样的。这是我自己认识到的，而不是像许多其他孩子一样，嘲笑地说这你都不知道啊。其实，他们是在学习了加法法则中的先后次序无关后才知道的，而我是通过生活体验知道的。结果都是知道了，由于知道的过程不同，我对加法法则的理解就更加深刻，而其他的孩子则仅仅就是知道而已。
妈妈能做的事情很多。不妨参考我提供的认知过程、概念，从具体到抽象的发展阶段，运用孩子生活中的事物作为与孩子交流的切入点，让孩子通过参与活动，渐渐建立起头脑中的数字概念、加法概念。
妈妈教的数学
◎ 可以帮助孩子清点自己的物品，定期记录并比较。
◎ 帮助孩子记录自己的饮水量、饭量、体重。
◎ 让孩子帮助妈妈做事，过程中增加数字活动，比如清点冰箱中有多少种不同的物品。
◎ 帮助孩子建立加法概念，根据四个阶段来练习。不同物品可以相加的仅仅是重量、体积、个数，而不是类别，比如，苹果与梨可以相加的仅仅是重量、水果数量，这就是建立单位的概念。
在杭州有一个妈妈群，带头人是一个听过我讲子女教育课的学生，她是一个5岁孩子的妈妈。这个群每周会从我这里领取一个任务。其中有一个周末的任务是让孩子搭积木，比如乐高的积木，搭成什么形状都可以。要求搭好后，清点一下用了多少积木、用了多少种不同的积木，搭出来的东西的长宽高是多少。这些数字都要写在纸上记录下来。四周后，用同样数量、同样类型的积木重新搭建一次，看看在长宽高上能否超越前一次做的。这个过程本身，就是孩子理解数字概念的过程。
表面上，孩子说不出来自己理解了数字的概念，其数学成绩也不会立刻表现出来有明显进步，但是他们在脑海中渐渐形成了更加深刻的数字概念，等上了小学二三年级，就能够比较明显地表现出来。
妈妈教的数学不是招数、技巧，也不是口诀、宝典，而是让心智开启的钥匙，让兴趣迸发的力量。大脑智力健康没有灵丹妙药，只有长期坚持正确的方法，才能日久天长，牢固而不动摇。
作为尝试，你可以看看下面这段话中，哪些词汇其实是孩子不理解的：
同学们排成一个方阵进行广播操表演，小海的位置从前、从后、从左、从右都是第6个，问：参加广播操表演的共有多少人？
也许你可以从中悟出一些道理，那就是，教育孩子的过程，首先是自己有把握理解并能够用孩子的语言讲出来的过程。
这个回合是全书最难的一个章节。难点主要体现在三个方面：第 一，有了抽象的结论，比如理解概念的发展阶段。第二，形成了因果。把孩子的表现当作现象，给出了符合逻辑的结论。第三，对读者有行为要求，比如建议妈妈做的事情。
词汇是递进的，一个阶段有一个阶段的理解，从认识常见的词汇到少见的词汇，就是一个过程。作为读者，阅读到这个回合，已经完成一本书的80%，您是否已找到可以运用到自己生活中的经验了呢？
《妈妈教的数学》是一本操作性的图书，属于文化类别。您在购买的时候设想过这本书能够提供什么吗？读一本书的目的到底是什么？
A：能够落实到现实中的具体操作。
B：有启发的知识和理论。
C：得到别人成功的经验和教训。
D：了解一些新想法和趣闻。
（参考答案见全书末尾）
满分学生没有未来
◎错误是学习的最佳机会，把握这样的机会才能够带领孩子一步一个脚印地走过理解的道路，找到自己独特的方法。
◎妈妈最应该扮演的就是陪伴的角色、好奇的角色、能够不断交流的角色，并在交流中促进孩子自我意识的提升，能够反思做过的题目。
读到这段日记，我尝试回忆当时错的题到底是什么，依稀记得卷子上有一道题，问现在是1975年，2000年前是哪年。我肯定是写错了，而且写的应该是25年，老师给的正确答案应该是“公元前25年”。也就是说，25年是正确的，但要在前面写上“公元前”。实际上，日记里妈妈问我问题的这一天，我还是没有弄懂“公元前”的意思，尽管我已经将老师给的正确答案写在了卷子上。
后来我自己当了老师后，才发现了这一点：孩子在听到老师讲的正确答案后，会把正确的答案写在卷子上，不管脑海中理不理解。比如“公元前”这个词，老师肯定讲解过，有一些孩子理解了，有些孩子没理解，我就是其中之一。在课堂上我并没有告诉老师我没有听懂，老师当然不会重新讲一遍。在测验的时候，孩子做错了题目，这个时候应该是老师发现并引导孩子认识错误的好时机，然而多数老师的做法是把正确答案讲出来，然后问孩子们懂了吗。像我这样的学生，肯定不会说自己没懂，而只是将正确答案写在了卷子上。一个老师面对着40多个学生，没有机会关注每个学生是否真正彻底理解了一个概念，学生貌似理解了，实际上还是似懂非懂。类似的含糊不清累积起来，错误就会越来越多，错误多了内心深处受到的打击也就越来越大，渐渐对数学就越来越没有兴趣了。
妈妈面对的是一个孩子，比老师要好多了，不用面对那么多学生，所以也就有足够的耐心关心自己的孩子是不是真正知道错在哪里。我是真的不知道错在哪里。那天的日记没有详细记录妈妈是如何教我的，不过后来有一道题我在日记中写了。
通过这两天的日记片段，我能够看出来，“公元前”这个概念我当时确实是懂了。但在妈妈用我的生日来测试我的时候，我肯定还似懂非懂，后来才明白现在日期中的年份总有一个开始，都叫1963年、2008年什么的，可是之前呢，就通通叫公元前多少多少年，理解了这一点，与此有关的任何题目就易如反掌了。
今天看这段日记，能够看出来一个孩子的思考过程，虽然麻烦，但是概念理解正确。感谢妈妈看到我的测试题，并能够变化形式不断地追问。在应对这些问题的时候，我脑海中的概念也渐渐清晰起来——时间节点不过就是一个起始点而已，之后应该说“公元后”，只是平时省略了，但“公元前”不能省，不然就不清楚说的是哪一年。
妈妈们在对待孩子的时候，经常陷入两种情况：孩子考了100分就夸奖孩子，看到有犯错的地方就生气。有些情况下妈妈也会给孩子讲解，但是在讲解时却经常使用成人语言。孩子不会表达自己是否真正理解了，只是貌似把正确答案写了出来，其实那不过是孩子自己在尝试，尝试运用一个概念来应对所面对的题目。多数妈妈几乎已经忘记了自己学习数学的过程，有时又会运用后面学到的知识来解决孩子当前面对的题目，所以难以给孩子讲明白，孩子对过程就似懂非懂。错误是学习的最佳机会，把握这样的机会才能够带领孩子一步一个脚印地走过理解的道路，一点一点地找到自己理解数学概念、运算方法、知识原理的独特方法。
孩子在成长的过程中，小学阶段做数学题会犯五类常见的错误，分别是：
● 粗心导致的错误。
● 步骤跳跃导致的错误。
● 规则运用模糊导致的错误。
● 题意理解偏差导致的错误。
● 对概念理解不准确导致的错误。
第一类错误：粗心。遇到孩子出现这类错误的时候，妈妈经常不由自主地埋怨孩子。“怎么这么粗心啊！这你都算不对啊！”这些话不能起到让孩子下次细心一点的作用，只会让孩子更紧张。对这类错误，要看类似的题目孩子会不会，如果类似的都做对了，就没有必要纠缠于粗心的错误。粗心是孩子大脑发育过程中的好事，凡是从小就细心的孩子，其创新能力通常也比较薄弱，举一反三的表现不如粗心的孩子。
第二类错误：步骤跳跃。在计算的过程中，书面上跳跃了步骤，而大脑中没有比较严谨、熟练的步骤，想到了下一步，就可能忽略了这一步。这个时候，妈妈可以要求孩子在纸上把每个步骤都写下来。一个步骤就完成一个动作，通过细致的步骤来促成大脑建立清晰、明确的过程，避免以后犯类似的错误。这个时候不是要求孩子速度的阶段，许多家长经常要求孩子快一点做题，尽快完成作业，长此以往，孩子长大后也就必然会过度关注速度、忽视细节。忽视环节的精益求精，轻视过程，只关注结果，也会让人产生以结果为唯一导向的观念。大学生浑浑噩噩四年只为混一个文凭，在校园里耗费青春的现象也几乎都是类似的心理导致的。
第三类错误：规则模糊。数学涉及大量的运算，所有的运算都涉及许多规则，无论是加减法的规则，还是乘除法的规则，或者几何图形中线段的规则、面积的规则、角度的度量与规则等。规则是数学的一块重要基石。没有规则，可以说就没有数学。这也是数学与社会科学有联系的一个方面。社会科学中也经常涉及各种各样的规则，比如先下后上。数学的规则集中在数字上，到了中学才渐渐过渡到针对字母的各种规则，而孩子在执行规则的时候又常会混淆在一起。先乘除后加减就是一个高级的规则，是对规则的一个规则。在这个方面的错误多了会让孩子失去耐心，继而降低信心。
第四类错误：题意偏差。在小学四、五、六年级的错误比率中题意理解偏差高达35%。这个阶段，教材中会出现一些孩子从来没有接触过的词汇，而数学老师又没有特别关注孩子对题目中词汇的理解，也没有专门准备强化对事物关系理解的教学内容，这就导致孩子阅读应用题时连蒙带猜。有时猜对了也不知道自己是怎么猜对的，猜错了老师也不给解释，直接给了正确答案，抄完就等于改错了。
第五类错误：概念曲解。这类错误属于一定要格外重视的，连续3个月的概念不清，将带来继续学习的重重障碍。必须采用前面教过的方法，引导孩子把做题的思路、思考的过程都说出来。妈妈在听的过程中不要急于纠正，而应不断地询问，让孩子讲给你听。根据我的教学实践，孩子在讲的过程中，大约85%以上都能够自己领悟。那些自己领悟出来的概念，孩子通常就不会忘记了。老师讲的、妈妈讲的，都不如孩子自己的领悟对大脑的刺激深刻，这种深刻刺激能够使孩子彻底掌握概念。
这里提供一些孩子常犯的错误的例子，请读者来判断一下哪些是粗心，哪些是步骤跳跃，哪些是规则模糊，哪些是题意偏差，哪些是概念曲解。
第一题
15-9÷3=
A.11 B.2 C.3 D.12
这道题，孩子的选择是D就是正确的，而现在你的孩子选择了B，你认为这是什么错误。
第二题
22÷3=3余1
老师在这个结果上画了一个大叉。请读者判断，这是什么错误？
第三题
56÷7=24÷?
供选择的答案有：3、4、6、8。孩子的选择是8，但正确答案应该是3。你认为这是什么的错误。
第四题1.
丹丹去买了一些水果，等开班会给大家吃。她买了1.5千克的橙子，0.9千克的苹果，0.7千克的香蕉。晓梅数了一下，苹果共有7个，那么平均一个苹果多重？
A.15克B.130克
C.270克D.990克
孩子选择了A.15克，请判断他的错误类型是什么。
第四题2.
其实丹丹带回来的水果共重3.9千克，原来还有芒果，那么芒果多重？
A.0.4千克B.0.8千克
C.0.9千克D.1.3千克
孩子选择的是D.1.3千克。你觉得孩子的错误属于哪一类。
第五题
问号的地方可能是3、4、5、6，孩子的选择是5。请判断孩子的错误属于哪一类。
数学最重要的学习其实就是两方面，一方面是规则的熟练，另一方面是概念的理解。规则的熟练需要重复步骤来不断练习，打下扎实的基本功。而概念的理解则需要首先弄懂词汇，然后扩展到对概念的认识。
有一些题目的错误容易判断，不过最好的判断还是让孩子自己说出来，这就是自述法。通过孩子的自述，妈妈能够找到孩子的错误类型，也能够决定是否应该给予足够的重视。有时候，孩子在自述中自己发现了问题，也就自己解决了困难。
前面的两道题都是规则运用的错误。第一题是先乘除、后加减的规则运用。第二题是不能直接写余1，应该写成分数的形式，这是规则。
第三题是步骤跳跃，让孩子先完成等式的左边部分，写出等于8，再完成等式右边的部分，8是24除以多少得到的。步骤严谨以后，答案自然就对了。
让孩子自述第四题的第一小题后得知，孩子没有理解题意。孩子说：“买了那么多水果，我怎么知道一个苹果多重啊！”这就忽略了小题中给的一个条件，那就是有7个苹果，只需到题干中去寻找苹果的重量，然后进行除法并找到最接近的数字就可以了。这属于偏差题意问题，需要引起妈妈的重视。
第四题的第二小题，孩子在自述的过程中知道了正确的答案，这就是属于粗心犯错了，不是严重的问题。
第五题孩子的答案是5，让孩子自述，判断出这是概念错误，就是没有明确分数转换、化简的概念。这个孩子在类似的题目上都出现了错误，可见孩子在学校学习分数变化的时候没有听懂。妈妈必须从分数最基础的概念开始讲起，否则以后涉及更多的分数变化，孩子就越来越难以应付了。
在我的日记中，类似妈妈教我认识概念的内容有本回前面提到的“公元前”，还有“素数”，也有四则运算中“括号”、“括号内”与“括号外”的不同等。这些例子证明我不是犯了粗心的错误，就是犯了概念理解偏差的错误。
我的印象中，妈妈从来没有表现出对分数特别关心。我考过满分，妈妈没有为此特别高兴，或者至少没有在我的面前表现过；我也考过不及格，妈妈也没有表现出特别的烦恼和焦虑。每次她都会仔细看我做的每道题，有时还会在纸上写写画画，我知道她也在做题，有时让我将自己的解法说出来，有时我说着说着又有了新的方法。
在数学的学习过程中，分数从来都不是最重要的。想想看，牛顿在世的时候，有谁能够给他的成就打分呢？考试仅仅是为了了解孩子对已学知识的掌握情况，而不是要进行比较，更不能把考高分当成人生的目标。考试中出现的错误是学习与纠正脑海中对概念错误理解的最佳机会。我的妈妈选择公开地与我讨论考试卷子，让我后来再也没有隐藏过试卷，无论考了多少分，我都愿意让妈妈看。最高兴的是，有时妈妈也会做不出来，又看不懂我做的，这时我就有机会给妈妈讲解题目了。至今我从心里乐于教数学，热衷于辅导孩子数学，并能够快速找到孩子学习数学时卡住的原因，这些能力都应该归功于妈妈与我的交谈——面对考试卷子的交谈。
妈妈教的数学
◎ 读三年级的孩子粗心错误会多一点，不要打击孩子。只要发现后提示他看看以前做对了的类似的题目，让孩子自己找到错误原因就可以了。坚决不要对孩子进行惩罚，尤其是抄写多少遍这种简单、机械、重复性的工作。保护孩子积极的自尊心更加重要。
◎ 读四年级的孩子跳跃步骤、规则模糊、一下记不全的情况较多。这个阶段需要变化题目，让孩子不能跳跃规则，可以给他大一点的纸张，给他更多的时间。
◎ 读五年级的孩子渐渐会出现一些概念类型的错误了。此时，比较有效的方法就是引导孩子把想法说出来。把对题目的理解说出来，这样妈妈就能够发现是对题意理解有偏差，还是对词汇理解有误，然后有机会重新讲题目，或者对词汇进行详细地解释、举例。
◎ 六年级是过渡阶段。概念要非常清晰，规则要非常熟练，这是为中学打下扎实的基础。这个年龄段的孩子各种错误都有可能出现。这也是小学六年的一个总结，学校的老师没有时间、没有精力针对每一个孩子进行如此细致的教育，那么这个任务自然就落在了父母身上。当然，一般妈妈在家的时间更多，也就义不容辞了。
如果孩子将作业都做对了，老师、家长都高兴。如果有错误，孩子经常受到指责。其实，孩子做题中出现的错误才是孩子进步过程中最宝贵的记号。小学阶段总是能够得一百分的孩子，多数依靠的是记忆力，包括对规则的记忆、对概念的死记硬背，而不是灵活地理解。考试分数总是很低的孩子问题大多出在概念方面。当孩子遇到一个没有太多经验的老师的时候，在概念理解、规则运用上表现出来的差距就较大了。
家长不要太在意孩子在小学时的考试成绩，有上有下是正常的，最重要的就是弄清孩子理解了什么、运用了什么。我的妈妈即使在我考了满分的时候也会问我做题用了多少时间，哪道题用的时间最长，哪道题最没有把握，考试后同学之间议论最多的是哪道题。通过回答这些看上去完全无序的问题，我渐渐开始对自己的做题能力有了把握，知道做得快的题目我容易粗心，做得慢的题目可能是理解问题，过程太长的题目总是把规则弄乱。这真的就是本回的最佳注解，就是在错误中学习到的数学。
老师在检查孩子作业的时候，经常只看结果是否正确，而完全忽视了思考过程。有时，答案是孩子蒙出来的，碰巧对了，如果不让孩子说出来，也就不知道思考过程中概念的运用是否正确、对规则是否理解。多与孩子交谈，妈妈可能会担心，我也不会啊！那就拿出学习的心态，让孩子教你，这也是培养孩子成就感的好机会。如果孩子在给你讲解的过程中建立了自信，这对他在外面与别人打交道也有好处。妈妈没有必要在孩子面前扮演全知全能的角色，也从来没有这样的妈妈。妈妈最应该扮演的就是陪伴的角色、好奇的角色、能够不断交流的角色，并在交流中促进孩子自我意识的成长，能够反思做过的题目。不要用厌恶的心情看待错题，要用拥抱的姿态来面对错误的答案。
现在的小学、中学教育非常流行出选择题。选择题是忽视过程的，只对老师阅卷有帮助，但对发现孩子的错误类型并没有什么具体的帮助。在这种情况下，即使看到孩子做错了，也不知道是概念上的错误，是粗心犯错，还是对规则不熟悉……这时，最好的办法就是父母与孩子一起讨论，让孩子把做题的步骤、想法说出来。
父母能够对孩子进行辅导，并不是因为他们会做题，而是能够理解题目。有时完全可以在自己不会做的情况下，通过不断与孩子交谈，从而促使孩子矫正自己的思考方式以及掌握对概念和规则的运用方式。
确实不是耸人听闻，无论是科学界，还是艺术领域，杰出的、有成就的人，他们在求学期间很少出现所有学科考试满分的情况。要不就是大考小考一百次，有三两次满分。
如果没有做错过题目，就等于没有学到过知识。做错题是学习的机会。这个回合中小学生数学五类常见错误的内容来自我的论文，基于对北京三所学校共882个学生，2554份试卷分析的结果。
这五类，可以全面运用在孩子试卷错题分析上，并能够准确找到错误的原因。
目前中国的实际情况是，学校老师将自己的一部分教学任务分包给了学生家长，家长就担负起作业检查和辅导的任务了。而家长做这件事难免也不专业。在辅导孩子作业的过程中最常见的错误是：
（最常见的选项排列在前面）
A：用孩子没有学过的知识教孩子。
B：帮孩子解题，并让孩子抄一遍。
C：指责孩子粗心，通过重复多做来强化记忆。
D：到网上搜答案让孩子自己理解。
（参考答案见全书末尾）
