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《解题思路训练》

作者：未知

千里之行，始于足下。——老聃

在数学中，例子比法则更重要。——牛顿

1到迷宫去

很久以前，希腊的克瑞特城有个国王叫米诺斯，他喂养了一只牛头人身 的怪物叫弥诺陶洛斯，这只怪物吃了很多人。后来，年轻的英雄泰修斯，决 心为民除害，要去杀死这个怪物。可是，这个怪物住在一座迷宫里，这是米 诺斯请著名建筑师代达罗斯精心设计建造的，里面的道路迂回曲折，无论谁 走进去，不多久就会迷失方向。

不过，泰修斯却没有被困在迷宫里。因为他得到了米诺斯的女儿、美丽 的公主阿德涅的帮助。

阿德涅给泰修斯一把宝剑和一个线团。泰修斯走到迷宫的入口处，把线 团往地上一放，线团就向前滚，把线放开。泰修斯顺着线往前走，很快就到 了迷宫的中心，怪物弥诺陶洛斯正躺在那里。他举起宝剑劈死了怪物，然后 又顺着线走出了迷宫。

这座迷宫现在还在吗？

米诺斯的迷宫早已找不到了。不过，既然弥诺陶洛斯能走进走出，那就 有路可通。所以，我们也可以来设计一个。

这就是一个迷宫： 现在，有两个问题请你考虑一下： 一、怎样从入口A走到迷宫的中心B？牛头人身的怪物就躺在那里。 二、怎样从中心B走到入口A？ 这两个问题是相同的。能从A走到B，自然能从B走到A，反过来也是这 样。 注意。从图中B走到A，比从A走到B容易得多。因为从A到B时，要 遇到很多岔路，不知道该选择哪一条；而从B到A，却几乎不需要选择。在 别的图上，可不一定就是这样。 于是，解决这类问题有三个方法： 一、从A走到B； 二、从B走到A； 三、泰修斯从A向B走，弥诺陶洛斯从B向A走，他们在迷宫中某处相 遇。 其实，不只这类问题，可以说一切数学问题，都有这样的三种思考方法。 第一种方法叫做综合法，它是由已知条件推出结论；第二种方法叫做分 析法，它是由结论倒推到已知条件；把这两种方法结合起来使用，便是第三 种方法了。 究竟哪种方法好，要根据问题来确定。

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2五角星上放棋子 这个游戏很有趣。 图上的五角星有十个交叉点A、A、A、A、A、A、A、A、A、A，要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 我们把棋子放在交叉点上，看谁放得多。 一切游戏都有规则。这里放棋子的规则是：从一个没有放棋子的交叉点 开始，沿直线向前数一、二、三，把一枚棋子放在第三个交叉点上；在每个 交叉点上，只能放一枚棋子。 例如，从A出发，在A处放上棋子；再从A出发，在A处放棋子；从 1 8 1 10 A出发，在A放棋子；从A出发，在A放棋子；从A出发，在A与A放棋 6 4 5 7 9 2 5 子。这样放上六枚棋子，剩下的四个交叉点A、A、A、A，都无法再放了。 1 3 6 9 你来试试。 一试，有时放五枚棋子，有时放六枚或者七枚、八枚、九枚。九枚最多， 可重放一次，放了八枚就无法再放了。 不能准放上九枚，可见你还没有掌握方法。 那该怎么放呢？ 其实，方法很简单。就是上一节说到的，把问题反过来考虑。 换句话说，假定问题已经解决，九枚棋子，已经放在五角星的九个交叉 点上，只有一个交叉点空着，比如说是A空着。 10 现在，我们来把这九枚棋子，一枚一枚地取下来。按照放棋子的规则， 取的要求是：从那个没有放棋子的交叉点A开始，沿直线向前数一、二、三， 10 把A与A上的棋子取下来。其余类推。 1 3 这样把九枚棋子取下来很容易： A→A→A→A→A→A→A→A→A→A； 10 1 8 4 6 2 9 5 7 3 A→A→A→A→A→A→A→A→A 10 3 7 5 9 2 6 4 8 →A。 1 现在，再把上面的过程反过来，就好把九枚棋子放上去了：从右到左， 从空格A出发，在A放上棋子；从空格A出发，在A放棋 7 3 5 7 上子；从空格A出发，在A放上棋子；…最后从A出发，在A放上第 9 5 10 1 九枚棋子。 明白了道理，你就不难把这样的方法，用在其它的图形上。比如说，在 跳棋盘上放上尽可能多的棋子。

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3合并火柴棍 不少好玩的游戏和火柴有关。这里介绍的就是一个。 把十四根火柴摆成一排： 要你把这十四根火柴两两合并成七对： 合并的要求是：每根火柴只能越过两根，与另一根并在一起。 例如，火柴3可以越过4、5与6合并；然后，火柴5又可以越过3、6 与7合并。 你试一下。要是并成了，再考虑进一步的问题：把十四改成更大的偶数， 例如 四十，该怎么办？ 十四根就不容易了，四十根更难。 欲进先退，从最简单的情况做起。就是把火柴的根数减少、再减少，一 直减 少到最少的根数。 按照要求，两根和四根显然不行。反复试试，六根也不行。八根呢？看 来有希望。 怎么并呢？ 还是采用前面用过的方法。假设问题已经解决，就是已经摆成了四对， 看能不能还原回去。 一试。行。先把火柴3越过2、1；再把火柴6越过7、8；然后把火柴2 越过4、5；最后把火柴7越过2、5。 把这个过程反过来，也就是把图中的7与8合并；2与 1合并；3与4 合并；6与5合并，又变成四对了： 解决了八根火柴的问题，我们就好来解决十四根了。 你看，把开始图中的火柴4，越过3、2，与1合并，十四根火柴的问题 就化为十二根。再把图中的火柴6，越过5、3，与2合并，问题又化为十根。 再把图中的火柴8与3合并，问题又化为八根。所以，解决了八根火柴的合 并问题，十根、十二根、十四根火柴的合并问题也随之解决了。 这样，要把十六根、十八根、…四十根，以至任意多的偶数根火柴，两 两合并成对，就都变得容易了。 现在，请你考虑一下，看怎样把一排二十一根火柴并成七堆，每堆三根。 并的要求是：每根火柴只能越过三根，与其他火柴并在一起。

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4抢三十 小聪与小明在抢30。两个人从1开始，轮流往下报数，每次至少报一个 数，至多报三个数，谁报到30就胜了。 “1，2”，小聪开始报数。“3，4， 5”，小明接着往下报。“6”。“7，8”。结果，小聪报到 30，小明输了。 接连报了几次，总是小聪胜。 “怎么老输？我的运气真不好。”“这不是运 气。胜有胜的道理，垐有输的原因。换个玩法，你就明白了。” 小聪取出一副扑克，说： “我们轮流取牌，每次至少取一张，至多取三张。这回取最后一张的算 输。” 玩了几次，还是小垐输。 “老是你赢，把诀窍告诉我吧。” “诀窍很简单，把问题倒过来想。假设是你报30，那么，在这之前的一 次，你应当报到多少呢？” “不能报到29，也不能报到28或者27。要是我报到27，28，29，你就 可以报30。所以，我应该报到26。要是我报到26，那么，不管你怎么报， 我都能报到30了。” “对。要抢30，先抢26。那要抢26，先抢什么呢？” “先抢22。” “对。这样，我们就得到了一串取胜的数——30，26，22，18，14，10， 6，2。这样，第一个人应当报到2，他就可以陆续报到6，10，14，18，22， 26，30。” “这么说来，总是第一个报数的人胜了。” “是这样的。不过，要是他不知道诀窍，让第二个人抢去一个取胜的数， 胜利就可能易手了。” “那么，一定要事先把这些关键数算好、记好了？” “这些数不必死记。因为每相邻两个的差是四，所以30÷4得到的余数 2，就是最小的关键数。因为4=3+1=2+2=1+3，所以报2后，你可以根据对方 报的数，采取相应的策略。也就是对方报一个数，你报三个数；对方报两个 数，你也报两个数；对方报三个数，你报一个数，使两个人所报的数的个数 和为四。这样，你每次报到的数就都是关键数了。” “啊，我懂了，取扑克牌也是同样的道理。不过，这一次却是取最后一 张的算输。这…” “要是扑克牌共五十四张，那你取到哪一张就胜定了呢？” “对了，先抢53。其余类推。” 后来，小聪和小明玩取火柴游戏。两个轮流取，每次至少取一根，至多 取四根，一共有五十六根火柴，谁取完为胜。小聪先取，次次胜利。小明要 求先取，小聪把火柴增加到六十根。尽管小明先取，小聪还是次次获胜。 请你想一想，小明为什么老输？

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5蜗牛爬井 一只蜗牛住在井底，坐井观天，以为天只有井口那么大。后来，听说井 上面还有很大的天地，它下定决心，要爬到井上面去看看世界，开开眼界。 且说蜗牛每天，先向上爬三米，然后向下退两米，要是井深八米，这样 爬要多少天才能到达井口？ 这太容易了。蜗牛每天先向上爬三米，然后向下退两米，这就是说它每 天向上爬一米。所以， 8（米）÷1（米）=8（天）。 这样算错了。因为当蜗牛爬到离井口三米的地方，它只要一天，实际上 还不到一天就爬到了井口。正确的算法是： （8—3）÷ （3—2）+1＝5÷1+1＝6 天，实际上不到六整天。 这个例子说明：在解题时，要注意你后来解的问题，是不是与原来的问 题相同。或者说，是不是与原来的问题等价。我们说： 蜗牛每天先上爬三米，然后下退两米，井深八米，多少天爬到井口？ 蜗牛每天上爬一米，井深八米，多少天爬到井口？这两个问题不是等价 的。

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6添数字 老师问小聪和小明四个问题： 一、在724后面写三个数字，使得到的六位数被7、8、9整除。 二、在724后面写三个数字，使得到的六位数被504整除。 三、在724后面写三个数字，使得到的六位数被7、8、3整除。 四、在724后面写三个数字，使得到的六位数被7、16、9整除。 小明说： “这四个问题好象差不多。” 小聪说： “第一和第二个问题是相同的。” “为什么呢？” “因为504＝7×8×9，恰好是7、8、9的最小公倍数。所以，能被7、8、 9整除的数，一定能被504整除。反过来，能被504整除的数，也一定能被7、 8、9整除。” “那第一和第三、第四个问题相同不相同呢？” “能被7、8、9整除的数，一定能被7、8、3整除；可是能被7、8、3 整除的数，不一定能被7、8、9整除。”小聪说， “所以，这两个问题有所 不同。” “能被7、8、9整除的数，不一定能被7、16、9整除；可是能被7、16、 9整除的数，一定能被7、8、9整除。”小明抢着说， “所以，这两个问题 也有所不同。” “再出一个问题，”老师说，“你们看看它和哪一个问题相同： “在724后面写三个数字，使得到的六位数能被7、8、18整除。” “这个问题还是和第一和第二个问题相同。”小明说，“因为7、8、18 的最小公倍数还是504。” “好。现在你们解一下这个问题吧。” 小明的解法是： 724000÷504=1437，差248； 724000+248+504=724752 小聪的解法是： 724999÷504=1438，余247； 724999—247=724752。 老师说： “思路和方法都对。看来你们的解题能力提高了。不过， “724752—504=724248，也对。”

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7从小爱数学 这是一道智力竞赛题： 在图中空白方格中填上字，使得每一横行、每一竖行和两条对角线上的 五个方格中，都含有 “从小爱数学”这五个字。 碰上这种关联变化多的题，可以象打仗那样，先找薄弱点，从这里突破， 然后再逐步扩大战果。 这个题的薄弱点显然在第三横行。它的两个空白方格，应该填上 “从” 和 “小”。 一看，左边第一竖行已经有了“从”。所以，第三横行左边方格填“小”， 右边方格填 “从”。 剩下的三条空白横行，从竖行看，都只有两个字，不好填。两条对角线 上已各有两个字，加上竖行的两个字，好填。 一看，在两条对角线上的六个空格中，右边三个已有的四个字有重复， 不好填；左边三个已有的四个字都不重复，应该分别填上 “爱”、“从”和 “学”。 填到这里，很快就把剩下的方格填出来了： 常见的 “虫食算”，也可以用这个办法去解决。例如：在这个乘式中， △表示0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一个。一看，最容易填的，是第 五行左边的△是1。这样，我们便得到了△1△×300＝12△500。一算，我们 又得到了415×300＝124500。填到这里，很快就把剩下的△填出来了： 这是两个不相干的问题，可是解题的思路是类似的。

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8算周长 小聪问小明： “你会算一块地的周长吗？” “当然会。” “好。你算一下这块地的周长：” “周长就是各边长的总和。可是，这个图中的AB、BC、DE、…是多长呢？” “AB是可以算出来的。”小聪说，“它的长应当是：9— （5—3）=7。” “BC、DE、FG、HI、JK长不知道，怎么办呢？” “是不知道。可是，你看，它们的总长不正好等于20嘛。” “啊。我知道了。这个山字形的周长是：7+3+8+8+5+9+20×2=80。” “其实，AB的长也不必先算出来。”小聪说，“我们可以把它分成两段， 一段与 IJ合来起等于9，另一段等于CD，也就是3。所以，山字形的周长是： （20+8+9+3）×2=80。” “这样看来，题目中的数据不是少了，而是多了。”小明说，“IJ＝5 这个数据就是多余的。” “对。这个例子告许我们：周长虽然等于各边长的总和，可是认为只有 知道了所有的边长才能算出周长，却是一个偏见。不冲破这种偏见，本来好 解的题，便解不出来了。” “啊。我做过一道有趣的题，”小明说，“和这个求周长的题类似。 “题目是：有甲、乙、丙三种货物。购甲三件、乙七件、丙一件共需3.15 元；购甲四件、乙十件、丙一件共需4.20元。问购甲、乙、丙各一件共需多 少元？ “开始，我认为只有知道了单价，才能求出甲、乙、丙各一件共需多少。 我这么想着，可就是做不出来。 “后来，我的想法变了，很快就把题做出来了。” “怎么变的呢？” “题目给的是甲、乙、丙各多少件的总价，问的是甲、乙、丙各一件的 总价。我想，能不能不求出单价，直接求出甲、乙、丙各一件的总价呢？ “我反复看3、7、1、和4、10、1。原来窍门在这里： “3×3，7×3，1×3，共需3.15×3元； “4×2，10×2，1×2，共需4.20×2元。 “上下对应一减，便得到甲、乙、丙各一件的总价。所以，答案是： “3.15×3—4.20×2=1.05元。” 小聪高兴地说： “这是两个不同的问题，可是就解题思路来说，是类似 的。你真会动脑筋。” 小明认真地说： “不是会动脑筋，是走投无路，逼出来的。”

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9解鸡兔同笼 用一种方法解几道类似的题，往往不如用几种方法解一道题生动有趣， 收获较大。 举一个例子：鸡兔同笼，共有十六个头，四十只脚，问鸡兔各多少只？ 列方程来解。设鸡有X只，那兔有 （16—X）只。然后，再考虑它们的足 数。鸡X只共有足2x只，兔 （16—X）只共有足4（16—X）只，根据题意， 有2x+4（16—X）＝40。 列方程解应用题的要点正是这样：首先，把一个或者几个未知数用X或 者X、y等表示；然后，把其余的量用X或者X、y等的代数式表示；最后， 根据其余的量的关系列出方程。这就是说，同一个量，要是可以用几种不同 的方法计算，得出几个表达式，那么，这几个表达式一定相等。 设兔有X只也可以。还可以设鸡或者兔的脚有X只，然后利用头数来列 方程。这些解法，思路一样，可是有简繁的不同。 用算术来解。假设十六只全是鸡，共有脚16×2＝32只，比原来少了40 —32＝8只。为什么少八只呢？因为把一些兔子当作鸡了。把一只兔子当作 一只鸡时，少了两只脚，现在少了八只脚，说明有8÷2＝4只兔被当作鸡了。 兔有四只，鸡当然就是十二只了。 同样的道理，假设十六只全是兔，或者假设四十只脚全是鸡的、全是兔 的，也一样可以求解。 还有别的解法吗？ 有。假设把每只兔分成两只怪兔，这种兔有一个头两只脚。这样，总的 脚数还是四十，可是鸡与怪兔的头数是 40÷2=20，比原来鸡兔头数多了 20 —16＝4。一只兔分成两只怪兔，头数增加一。所以，兔子应当是四。 同样的道理，也可以假设把每两只鸡并成一只怪鸡，这种鸡有一个头四 只脚。40÷4=10只，头数比原来少了 16—10=6只。因为每两只鸡并成一只 后头数少一，可见鸡数是十二只。 这样的解法构思巧妙。可是，鸡是奇数只呢？ 鸡是奇数只时，拿出一只，算好后再加进去就是了。 还有更为巧妙的办法是凑。可惜有很多人轻视凑，不愿意凑。其实，凑 可以叫做尝试法或者试探法。在数学中，这是一种寻求解答的重要方法。你 看， 兔数：0，1，2，3，4； 鸡兔总足数：32，34，36，38，40。 很快就得到了答案。 注意。总足数不到四十，要增加兔子的只数；相反，就应当减少兔子的 只数。第一个代入尝试的数很重要。选择得当，很快就能得到结果。这道题 也可以用计算机来做，计算的程序是：

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10追水壶 小聪在河中游泳。他逆流而上，在大桥旁遗失塑料水壶一只，继续游了 二十分钟后才发现。他返回寻找，在离桥两公里的地方追到。问水速是多少？ 小聪返回寻找用了多少时间？ 设水速为每分钟X公里，小聪的游速为每分钟y公里。于是，小聪的顺 水游速是每分钟y+X公里，逆水游速是每分钟y—x公里。追寻水壶的时间也 是未知的，设为t分钟。不要怕未知数多了。未知数多，列方程反而容易。 不过，这个题设了三个未知数，方程还是不好列。不要紧，先画一个图看看： A点表示小聪返回时的位置，与大桥的距离是20（y-x）公里； B点表示小聪返回时水壶的位置，与大桥的距离是20x公里； C点表示小聪追到水壶的位置，与大桥的距离是2公里。 小聪从A到c用了t分钟，A与C的距离是t（x+y）公里； 水壶从B到C也用了t分钟，B与c的距离是tx公里。 这样，我们便得到两个方程： 20（y-x）+2=t（x+y）…… （1） 20x+tx=2………………… （2） 三个未知数两个方程，还要列一个方程才行。不过，这个题只要求求出 x与t，不一定非要列出三个方程不可。 把 （1）写成 20y+2=20x+tx+ty，和 （2）比较，得 20y＝ty。 y当然不等于0，得 t＝20。 代到 （2），得 1 x= 。 20 答案是水速每分钟0.05公里，回追水壶用了20分钟。 这道题有两个特别的地方： 一个是小聪返回追找水壶的时间，与水速没有关系。因为小聪和水壶， 都顺着水速在往下流动。 一个是算出水速是每分钟0.05公里后，只要y大于0.05，都符合问题 的要求。这就是说，小聪的游速是无法确定的。 认识一些问题中的这种不变量，往往是解决问题的关键。

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11卖蛋 一位农民卖鸡蛋，第一次卖去篮中的一半又半个，第二次卖去剩下的一 半又半个后，剩下一个。请问：篮中原有多少个鸡蛋？ 用倒推法。第二次卖去一半又半个，剩下一个，要是第二次只卖去一半， 那篮中应该剩下 1 3 1+= 2 2 个。所以，第一次卖完后，篮中剩下 3 ×2=3 2 个鸡蛋。 同样。要是第一次只卖去篮中的一半，那篮中应该剩下 1 7 3+= 2 2 个。所以，原来篮中是 7 ×2=7 2 个鸡蛋。 列方程解。设篮中原有鸡蛋x个。第一次卖去 1 1 x+ 2 2 个，剩下 1 1 1 1 x-（ x+）= x- 2 2 2 2 个；第二次卖去 1 1 1 1 （ x-）+ 2 2 2 2 个，剩下 1 1 1 1 （ x-）- 2 2 2 2 个。于是，得到方程 1 1 1 1 （ x-）- =1。 2 2 2 2 解得x＝7。 列方程麻烦点。可这是解应用题的普遍适用的方法。算术解法，有时简 单巧妙，难在不容易想到；代数解法列方程，有时繁一些，却容易想到。 从思路看，算术解法是第一节说的希腊勇士“1”，从入口走到迷宫中心 去杀怪物 “x”；代数解法是怪物“X”，自己从迷宫中心走了出来，在入口 碰到希腊勇士 “1”，然后勇士跟踪追击，在迷宫中心把怪物杀死。 还有更为巧妙的解法。 要是这位农民，事先借一个鸡蛋放在篮里，每次卖出的个数仍然不变， 那每一次都比原来多剩下一个，最后在篮子里应该剩下两个鸡蛋。 2×2×2=8，8—1＝7。

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这就是农民篮子中原来有的鸡蛋数。 卖的次数再多一些，用这个方法解特别方便。比如说每次卖一半又半个， 7 共卖了六次后剩一个，那2-1=127，就是原有的鸡蛋数。

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12 ＝1+110 1加1怎么会等于10呢？原来，这里用的是二进制。 十进制是最常见的进位制。在十进制中有十个数码——0、1、2、3、4、 5、6、7、8、9，逢十进一。所以， 2 325＝3×10+2×10+5。 十进制并不是唯一的进位制。人们根据需要，也常常采用其它的进位制。 例如1小时＝60分，1分=60秒。 在现代技术中，二进制是最常用的。因为二进制只需要两个数码——0 和1，逢二进一。所以， 2 3 10＝2，100=2，1000＝2，… 这里等号左边是二进制，右边是十进制。为了避免混淆；在同时用到两 种进位制时，可以把二进制中的数写成 （ ）。例如， 2 （101101） 2 5 4 3 2 =1×2+0×2+1×2+1×2+0×2+1＝45。 这也就是化二进制为十进制的方法。反过来用除法： 得45＝ （101101）。 2 逢二进一，使二进制的计算十分简单。例如， 1+1=10； 在二进制中，一个数的一半，就是把这个数的小数点向左移动一位。例 如， 111的一半是11.1； 11.1的一半是1.11。 1 其中，0.1就是十进制中的 ，0.01就是十进制中的 。 2 采用二进制，上面说的卖蛋问题是很容易解决的。 这个卖蛋问题的答案，用二进制来写是 111。因为第一次卖去篮中的一 半又半个，篮中剩下一半少半个，而 111的一半又半个就是 11（＝11.1— 0.1）。第二次卖去11的一半又半个，剩下的当然就是11的一半少半个，也 就是1个。 2 （111）＝1×2+1×2+1=7。 2 这就是卖蛋问题的第四种解法。

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有趣的是，在这样的问题中，虽然一再出现了 “一半又半个”的字眼， 可是每次卖出的鸡蛋数却都是整 数，完全用不着担心半个鸡蛋怎么卖。13难题不难一例 有一个六位数，它的二倍、三倍、四倍、五倍、六倍还是六位数，并且 它们的数字，都和原来的六位数的数字完全相同，只是排列的顺序不一样， 求这个六位数。设这个六位数为X。X的首位数字一定是1。 为什么呢？ 因为x的首位数字大于1，比如说是2，那5x和6x就是七位数了。 一想，x、2x、3x、4x、5x、6x的首位数字，应该一个比一个大，而且 后面一个的首位数字，至少比前面一个的首位数字大 1。这六个数的六个首 位数字互不相同，按题意，就应该正好是x的六个数字了。 x的六个数字互不相同，首位数字是 1，其余的数字都比 1大，所以 x 的数字都不是0。 现在，把注意力转移到末位数字上来。 一想，x、2x、3x、4x、5x、6x的末位数字，也应该互不相同。 为什么呢？ 因为，要是其中有两个数的末位数字相同，那么，这两个数的差的末位 数字是0。可是，在x、2x、3x、4x、5x、6x中，任意两个数的差，必须是x、 2x、3x、4x、5x中的一个。例如4x—2x＝2x，6x—5x＝x。既然它们的数字 与x的数字相同，也就不能是0了。这样，六个数的末位数字，也就是x的 六位数字了。其中，一个是1。 一想，1不是x的末位数字。因为x的首位数字是1。1也不是2x、4x、 6x的末位数字。因为它们的末位数字是偶数，不可能是奇数1。1也不是5x 的末位数字。因为5x的末位数字是5或者是0。这样，我们便得到1是3x 的末位数字。 3x的末位数字是1，那x的末位数字是7。 x的末位数字是7，那2x、4x、5x、6x的末位数字分别为4、8、5、2。 x＝l××××7。其中的四个×，应该填上 4、8、5、2。问题是谁先谁 后呢？ 一想，x、2x、3x、4x、5x、6x这六个数的第二位数字，也应该是互不 相同的。 为什么呢？ 要是其中有两个数的第二位数字相同，那这两个数的差的第二位数字是 0或者是9。可是，这个差是x、2x、3x、4x、5x中的一个，它的数字只能是 1、4、8、5、2、7，不能是0和9。所以，x、2x、3x、4x、5x、6x的第二位 数字，也恰好是1、4、8、5、2、7这六个数字。 同样的道理，x、2x、3x、4x、5x、6x的第三位、第四位、第五位数字， 也都是这六个数字。 这和求x有什么关系呢？ 有关系。你看， x+2x+3x+4x+5x+6x＝21x。列成竖式，把这六个六位数相加，得第一位数 字的和是 1＋4＋2＋8＋5＋7＝27，第二位数字的和是27，…直到第六位数字的和

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也是27。所以，这6个六位数的和应当是 ∵21x＝2999997； ∴x＝142857。 最后，说一下这道难题是怎样设计出来的： 1 ＝0·142857142857142857… 7 x＝142857，是这个循环小数的循环节。 的 小数部分，与 的小数部分相同，它们的循环节，也 是由1、 4、2、8、5、7这六个数字组成。所以，用2、3、4、5、6去乘142857， 得到的数还是由1、4、2、8、5、7组成，只是次序不同。

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14八个等式 请你算一算这八个等式： 2 1、 （2n）＝ 2 2、 （2n+1）＝ 2 2 3、 （n+1）—n＝ 2 2 4、 （n+1）— （n—1）= 2 2 5、 （a+b）— （a—b）= 2 2 6、 （ab+1）— （ab—1）＝ 1 1 7、 - = n n 1 2 2 2 8、 （2k+2k+1）— （2k+1）＝ 算好以后，再请你看一看，想一想：这些等式说明什么？你能得出什么 结论？

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15 …111111 是平方数吗 2 2 2 自然数的平方——1，2，3…叫做平方数。要是一根火柴表示数字1， 那么，不管用多少根火柴摆成 111…111 也不可能是平方数，除非只有一根火柴，可以得1=12。 为什么呢？ 你已经算过： （2n）2=4n2； （2n+1）2＝4n2+4n+1＝4（n2+n）+1。 这就是说，平方数有这样的特点：偶数的平方除以4余 0，奇数的平方 除以4余1。换句话说，要是一个整数除以4，余数不是0或者不是1，那它 就不是平方数。 我们知道，100，1000，10000，…都是4的倍数。所以，一个正整数除 以4的余数，就是它的末两位数字所组成的数除以4的余数。 这样，111…111除以4的余数，就是11除以4的余数，也就是3。根据 前面所说，111…111不是平方数。 同样的道理， 22，222，2222，… 55，555，5555，… 66，666，6666，… 99，999，9999，… 都不是平方数。 平方数除以4余0或者1。可是，除以4余0或者1的自然数，不一定 是平方数。例如，33就不是平方数。 33，333，3333，…除以4都余1，其中有没有平方数，用上面的方法是 无 法判别的。不过，根据乘法，一个自然数的平方的个位数字是： 0×0=0，1×1＝1，2×2＝4，3×3＝9， 4×4＝16，5×5＝25，6×6＝36， 7×7=49，8×8＝64，9×9＝81。 也就是平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9。所以， 33，333，3333，… 77，777，7777，… 88，888，8888，… 都不是平方数。 44，444，4444，… 呢？因为平方数与非平方数的积是非平方数，所以， 44＝4×11，444=4×111，4444＝4×1111，… 都不是平方数。 一个自然数的个位数字，就是它除以10的余数。所以，上面所用的方法， 就是根据一个自然数除以4或者除以10的余数，来证明它不是平方数的。