所以，这些有用的快捷方式，如表征和可用性，即使偶尔会导致错误的预测或估计，还是会被保留就不令人惊奇了。或许应该惊奇的是，人们没办法从一生的经验中，推论出基本的统计规则，如回归到平均数或样本大小在抽样变异性中造成的效应。虽然每个人在日常生活中，都有接触到许多例子，应该可以从这些例子经验中，演绎出这些统计规则，但是很少人会发现抽样的原则和回归。统计的原则不是从每天的经验中得来的，因为相关经验不是很恰当的被标示。例如，人们没有发现英文文本中，连续几行中每一行英文单字的平均长度差异，大于连续几页的平均单字长度，这是因为我们在看书时，不会去注意每一行单字的平均长度，也不会去注意某几页单字的平均长度。所以人们不会学到样本大小和抽样变异性之间的相关，虽然这种学习的数据到处都可见。
为什么人们不能在他们的机率判断中侦查到偏见，另一个原因是缺乏恰当的标示。一个人可以用记录实际发生事件的比例来看他给的机率：从正不正确中来学习他的判断有没有外部校准。然而用判断的机率把事件分类是不自然的。在没有分成这些小团体时，一个人是不可能去发现他给予.9或更高的机率，其实只有50%的机率后来是真的。
认知偏见实证的分析，对判断机率的理论和应用都有很大的影响。近代决策理论[24] 认为，主观机率是某个理想化的人的量化意见。尤其是某事件的主观机率是定义为，这样一个人愿意去接受这事件的这组赌注。如果这个人的选择是满足某些特定原则，也就是这个理论的定理，就可以得到内在一致或连贯的主观机率测量。这个得出的机率是主观的，因为不同的人对同一个事件可以有不同的机率。这种研究法主要的贡献在它提供了一个严谨的机率主观解释。这个解释可以应用到独特的事件，而且包含在理性决策的一般理论中。
读者也许该注意，主观机率虽然有时可以从对赌注的偏好中推论出，但它平常并非用这个方式得来的。一个人下注A队而非B队，是因为他认为A队比较可能赢。他不是从他下注的偏好推论出他的信念。所以，在真实世界中，主观机率决定偏好的赌注，而不是从偏好的赌注中得出主观机率。这在理性决策理论中是不言自喻，显而易见的[25]。
机率主观的天性导致很多学生相信，连贯性或内在的一致性是判断机率有效的唯一标准。从主观机率正式理论的观点来看，任何有内在一致性机率的判断都一样好。这个标准并非完全令人满意，因为内在一致的主观机率，可以跟这个人其它的信念不兼容。请想一想，一个人对丢铜板赌局所有可能结果的主观机率，其实反映出的是赌徒谬误。也就是说，他对某一次投掷出来是反面的机率，估计会随正面连续出现而增加，这个人的判断可以是内在很有一致性，所以根据正式理论的标准，它被接受为合适的主观机率。然而这些主观机率与一般认为铜板没有记忆的想法不兼容，所以没有办法得出非独立事件。判断出的机率要被认为是合适或理性的，只有内在一致性是不够的。这个判断必须跟这个人的整个信念兼容才行。不幸的是，对评估判断机率与这个人全部信念系统是否兼容，并没有一个简单的正式程序可行。理性的判断者还是会努力去找兼容性，即使内在一致性是比较容易达到，也比较容易取得。特别是，他会想办法使他对机率的判断跟他的主题知识、机率规则和他自己判断的快捷方式和偏见兼容。
摘要
本文描述三个在不确定状态下所用的快捷方式：（1）表征：人们在被要求去判断，某个物体或A事件是否属于B类或B历程的机率时，通常所用的方式；（2）例子或场景的可用性：当人们被要求去评估某一类别的频率，或某一特定发展的可能性时会用到。（3）从锚点所做的调整：通常是人们被要求做数字的预测，而有相关的值在手边时会用到。这些快捷方式非常省时省事，而且通常很有效。但是它们会导致系统性且可预测的错误。对这些快捷方式和偏见有更多的了解，会改进在不确定情况下，判断和决策的正确率。
1.这就像许多人认为生了六个女的，第七个应该是男的，不了解每一次的机率是独立事件，当N很大时，男女会各半，小样本则一定会有偏差。
2.不能只看书面报告，要看实际的数字，会作文的人可以巧妙的把真相隐藏在表象之下。
3.表示不是随便敷衍，而是为了得到报酬，有好好在做。
NOTES
1.D. Kahneman and A. Tversky, "On the Psychology of Prediction," Psychological Review 80(1973):237-51.
2.Ibid.
3.Ibid.
4.D. Kahneman and A. Tversky, "Subjective Probability:A Judgment of Representativeness," Cognitive Psychology 3(1972):430-54.
5.Ibid.
6.W. Edwards, "Conservatism in Human Information Processing," in Formal Representation of Human Judgment, ed. B. Kleinmuntz (New York:Wiley,1968), 17-52.
7.Kahneman and Tversky, "Subjective Probability."
8.A. Tversky and D. Kahneman, "Belief in the Law of Small Numbers," Psychological Bulletin 76(1971):105-10.
9.Kahneman and Tversky, "On the Psychology of Prediction."
10.Ibid.
11.Ibid.
12.Ibid.
13.A. Tversky and D. Kahneman, "Availability:A Heuristic for Judging Frequency and Probability," Cognitive Psychology 5(1973):207-32.
14.Ibid.
15.R. C. Galbraith and B. J. Underwood, "Perceived Frequency of Concrete and Abstract Words," Memory&Cognition 1(1973):56-60.
16.Tversky and Kahneman, "Availability."
17.L. J. Chapman and J. P. Chapman, "Genesis of Popular but Erroneous Psychodiagnostic Observations," Journal of Abnormal Psychology 73(1967):193-204;L. J. Chapman and J. P. Chapman, "Illusory Correlation as an Obstacle to the Use of Valid Psychodiagnostic Signs," Journal of Abnormal Psychology 74(1969):271-80.
18.P. Slovic and S. Lichtenstein, "Comparison of Bayesian and Regression Approaches to the Study of Information Processing in Judgment," Organizational Behavior&Human Performance 6(1971):649-744.
19.M. Bar-Hillel, "On the Subjective Probability of Compound Events," Organizational Behavior&Human Performance 9(1973):396-406.
20.J. Cohen,E. I. Chesnick, and D. Haran, "A Confi rmation of the Inertial-Ψ Eff ect in Sequential Choice and Decision," British Journal of Psychology 63(1972):41-46.
21.M. Alpert and H. Raiff a, unpublished manuscript;C. A. Stael von Holstein, "Two Techniques for Assessment of Subjective Probability Distributions:An Experimental Study," Acta Psychologica 35(1971):478-94;R. L. Winkler, "The Assessment of Prior Distributions in Bayesian Analysis," Journal of the American Statistical Association 62(1967):776-800.
22.Kahneman and Tversky, "Subjective Probability"; Tversky and Kahneman, "Availability."
23.Kahneman and Tversky, "On the Psychology of Prediction"; Tversky and Kahneman, "Belief in the Law of Small Numbers."
24.L. J. Savage,The Foundations of Statistics (New York:Wiley, 1954).
25.Ibid. ;B.de Finetti, "Probability:Interpretations," in International Encyclopedia of the Social Sciences, ed. D. E. Sills, vol.12 (New York:Macmillan, 1968), 496-505.
附录B
选择，价值和框架
Daniel Kahnment and Amos Tversky
摘要：我们讨论在风险和无风险的情境下，决定选择的认知和心理物理因素。相较于中度机率的事件，机率的心理物理学导致对确定事件和不太可能事件的过度加权。决策的问题可以有很多种方式来描述，或从不同的角度来框架，使达到不同的偏好，这点是与理性选择的不变性标准相违背的。人们组织交易结果的心智会计程序，解释了一些消费者行为的不正常原因，尤其是人们是否接受一个选项，是决定于这个负向结果被解释为成本或损失。本文也讨论了决策价值和经验价值的关系。
做决策就像说话──人人都在做，不论是否知道自己在做。所以，决策这个主题被许多研究领域所探讨，也就不足为奇了，从数学和统计学到经济学和政治学，再到社会学和心理学，大家都在谈如何做决策。决策的研究讨论了规范和描述的问题，规范的分析是谈理性的本质和决策制定的逻辑。相反的，描述的分析是谈人们的信念和偏好，是就它们本身而言，而不是说它们应该是怎么样。这个规范和描述之间的紧张关系是很多判断研究和选择研究的特点。
决策的分析有风险和无风险两种选择。风险下的决策制定最典型的就是赌局的下注，这牵涉到金钱的结果和特定的机率。典型的无风险决策就是交易，也就是货物或服务与金钱或劳力的交换。在本文的第一部分中，我们讨论在有风险情况下，决定风险价值的认知和心理物理因素。在第二部分，我们延伸到交易行为的分析。
*This article was originally presented as a Distinguished Scientific Contributions Award address at the American Psychological Association meeting,August 1983.This work was supported by grant NR 197-058 from the U. S. Office of Naval Research.Originally published in American Psychologist,vol.34,1984.
风险的选择
今天出门要不要带伞，两国要不要开战，是风险的选择，是在没有更多后果知识的情况下，所做的选择。因为这种行动的后果决定于不确定的事件，如气象和对方的决心。一个行动的选择可以看成接受一个赌局，这赌局会带来不同的结果，因为每一个结果的机率是不一样的。所以很自然的，研究风险下的决策制定，就聚焦到有金钱结果的简单赌局和特定机率的赌局，希望这些简单的问题可以让我们看到人们对风险和价值的基本态度。
我们要先描述一个研究风险选择的研究方法，这是从分析人们对金钱的反应和对机率的心理物理选择假设而来的研究法，心理物理学对决策的研究可以追溯到1738年，白努利所发表的一篇论文 (Bernoulli 1954)，在那篇论文中，他解释为什么人们一般来说会选择风险规避，以及为什么当财富上升时，风险规避的行为就减少了。为了说明这个风险规避及白努利的分析，请看下面这个选择：有85%机会去赢1,000美元（但是有15%的机会什么都没有），和现在就拿800美元，这是确定的，没有风险的。绝大部分的人会选择确定的800美元，而不要赌一下，虽然赌赢的话，拿的钱更多。金钱赌局的预期是一个加权的平均值，而每一个可能的结果是用它发生的机率来加权。在这例子中，赌局的期望值是0.85×1,000美元+0.15×0美元＝850美元，超过确定的800美元。这种偏好确定的获得，就是一个风险规避的例子。一般来说，偏好一个确定的结果而不选择有比较高或相同的期望值的赌局，叫做「风险规避」(risk averse)。拒绝确定的结果，去选择比较低或同样期望值的赌局，就叫做「风险寻求」(risk seeking)。
白努利认为，人们并没有用金钱结果的期望值来评估前景 (prospect)，而是用对那些结果的主观价值的预期来决定的。一个赌局的主观价值是加权平均，但现在是每一个结果依其机率来加权的主观价值。为了在这个框架下来解释风险规避，白努利提出一个假设：主观价值或效用是金钱的凹函数 (concave function)，在这函数中，200美元和100美元的效用差异大于1,200美元和1,100美元的效用差异。根据这个理论，赢80美元的主观价值大于赢1,000美元的80%价值。因此，效用函数的凹性就解释了：为什么风险规避会使人去偏好800美元的确定结果而不要1,000美元的80%机率，虽然这两案都有相同的金钱期望值。
在决策分析上，一般会把决策的结果用整体财富来表达。例如，给你20美元去赌丢铜板，会用这个人目前的财富W和从W移到W＋20美元或W－20美元做选择。这种表达方式显示了心理上的不真实性，人们一般不会用整体财富的状况，来想小小的赌博赌赢结果，而是用赢、输，或是不输不赢来形容赌博的结果。假如有效的主观价值承载者 (carrier) 是财富的改变，而不是我们提议的财富的状态，那么赌局结果的心理物理分析应该是应用到输和赢上，而不是应用到整个资产上，这个假设在对待风险的选择上扮演了重要的核心角色，这是我们称之为展望理论的重点。反思法和心理物理的测量都看到主观的价值是一个获利大小的凹函数。这同样的原理也适用于损失。损失200美元和损失100美元的主观价值差异，比损失1,200美元和损失1,100美元的主观价值差异来得大。当赢和输的价值函数放在一起时，我们得到一个S型的函数，见图1。
图1
图1所显示的价值函数是（a）定义赢和输，而不是全部的财富，（b）在赢面是凹函数，在输面是凸函数，（c）输的曲线斜率比较陡，这一点，我们称之为「损失规避」(loss aversion)。在直觉上，输X美元的感觉是比赢X美元的感觉差（即赢X美元的快乐小于输X美元的懊恼），损失规避解释了，当赢的和输的赌注是一样的时候，人们不愿去赌丢铜板，因为可能赢所带来的吸引力不及可能输所带来的厌恶，这补偿是不足的。例如，在一个以大学生为样本的丢铜板实验中，大部分的大学生不愿意拿出10美元去玩丢铜板的赌局，假如他们赢的收益少于30美元的话。
这个风险规避的假设在经济学原理上扮演了核心的角色。然而，就像赢的价值函数的凹性，说明了风险规避，输的价值函数的凸性，则说明了风险寻求。的确，在输的时候，风险寻求是个很稳健的效应，尤其当输的机率很高时。例如在一个情境中，一个人被迫去选择85%的机会损失1,000美元（15%不输任何钱）或是确定输800美元，绝大部分的人会选择去赌一下。这就是风险寻求，因为预期的赌博结果（－850美元）比确定的损失预期（－800美元）更差。在输面时的风险寻求，已被好几项研究所确定 (Fishburn and Kochenberger 1979；Hershey and Schoemaker 1980；Payne,Laughhunn,and Crum 1980；Slovic,Fischhoff,and Lichtenstein 1982)。它也在非金钱的结果中有观察到，如痛苦的时数 (Eraker and Sox, 1980)和生命的流失 (Fischhoff, 1983；Tversky, 1977；Tversky and Kahneman 1981)。那么，在赢面时风险规避，在输面时风险寻求，是错的吗？这些偏好跟我们对赢和输的主观价值有很强的直觉关系，而人们有权去决定他自己的价值观。不过，我们马上会看到这个S型的价值函数有一个规范上不可接受的含意。
要说明规范 (normative) 议题，我们得从心理学转向决策理论。近代的决策理论可以说是从冯纽曼和摩根史坦开始的 (1947)。他们建立了好几个定性的原理或公理，来说明一个理性的决策制定者的偏好，他们的原理或公理包括「传递」（transitivity，假设A比B讨人喜欢，B比C受人喜欢，那么A比C受人喜欢），和「替代」（substitution，假如A比B受人喜欢，那么得到A或C的机率比得到B或C的机率受人喜欢），以及其它比较技术性的条件。这个理性选择公理已受到广泛讨论，特别是现在有令人信服的证据显示人们并非总是服从替代的公理，对规范的好处也有相当不认同的声音（如Allais and Hagen 1979）。主流派认为假如A的前景在每一个层面都至少跟B一样，或在至少一个层面上比B强，那么应该选A。不变性 (invariance) 要求前景偏好的排序不应受到他们被描述方式的影响，尤其是同一选择问题的两个被认为是一样的版本并排陈列时，它们应该引发同样的偏好，即使在不同的时候呈现。我们现在知道这个不变性的要求，不管多么基本和无害，一般来说，无法被满足。
结果的框架
风险前景的特质来自它们可能的结果，以及这些结果的机率。然而，这同样的选择可以用不同的方式来框架或描述 (Tversky and Kahneman 1981)。例如，一个赌局的结果，可以被框架为赢或输（相对于现状或把初始财富包含进来的资产情况），不变性要求在描述结果的赢或输时，不能改变偏好的次序。下面的问题说明了对这个要求的违逆，每一个问题的反应总和为N；每一个选项的被选百分比，列在该案末尾的括号中。
问题一 (N＝152)：想象美国在准备应付一场不寻常的亚洲疾病爆发，专家预期它会杀死600人。他们提出两个对付这个疾病的项目。这两个项目的科学估计如下：
假如采取A案，可以救200人。(72%)
假如采取B案，有三分之一的机会，这600人可以获救，三分之
二的机会没有人获救。(28%)
你会选哪一个？
问题一提供了一个参考点：这个疾病会夺去600人的生命。这两个项目的结果都包括了参考点以及正向陈述（有多少人获救）。正如我们预期的，大部分人偏好风险规避：大部分的人喜欢确定可以救200个人，而不喜欢有三分之一机会救600人的赌局。现在请想象另一个问题，同样的故事，但是不同的描述方式。
问题二 (N＝155)
假如采用项目C，400人会死。(22%)
假如采用项目D，在这600人中，有三分之一的机会没人会死，有三分之二的机会600人会死。(78%)
你很容易看出问题二的C和D选项跟问题一的A和B选项，在实质上是完全相同的。但是问题二所假设的偏好（参考点）是没有人死于这个疾病，最好的结果是维持这个偏好情况。但它的陈述是用死于这个疾病的人数来测量损失，用这个方式来评估选项时，大部分人会采取风险寻求，也就是选D而不会选C，因为不愿400人确定会死亡。的确，实验结果显示：在问题二中，人们采取风险寻求，不像问题一中，人们采取风险规避。
这个不变性的失败，非常的普遍且效应很强。即使在有经验、受过统计训练的专家中也是如此。而且它很难去除，即使给同一个人，相隔几分钟，做这两个问题，结果仍然一样。受试者的反应很令人困惑，即使在重新读这两个问题后，他们仍然希望在「拯救生命」版本中采取风险规避，在「失去生命」的版本中采取风险寻求。他们也希望服从不变性，对这两个版本给出一致性的答案。在他们的倔强中，框架效应比较像知觉的错觉，而不像计算的错误。
下面这两个问题所引发的偏好，违逆了理性选择的主流要求：
问题三 (N＝86)，请选择：
E.25%机会去赢240美元，75%机会输760美元。(0%)
F.25%机会去赢250美元，75%机会输750美元。(100%)
你很容易看到F是主控，的确，所有的受试者都选了F。
问题四 (N＝150)，想象你面对下列并列的决策，
先检视两个决策，然后说明你的偏好。
决策(1)，请选择：
A：确定拿到240美元。(84%)
B：25%机会赢1,000美元，75%机会什么都没得到。(16%) 决策(2)，请选择：
C：确定输750美元。(13%)
D：75%机会输1,000美元，25%机会什么都不输。(87%)
从前面的分析中，我们预期大部分的人在第一个决策中会风险规避，而选择确定的240美元，不愿去赌，而在第二个决策中，有更多的人愿意去风险寻求，而不愿选择一定输的750美元。事实上，有73%的受试者选A和D，只有3%选B和C。这同样的反应型态在修改过的版本中也一样看到，我们降低了赌注，大学部学生选择了他们可以真的玩的赌局。
因为受试者是同时看到两个选择，他们还是选了A和D，而没有选B和C。这个复合的偏好其实是因为拒绝B和C的关系。若增加「确定拿到240美元」（选项A）的陈述到D选项中，会得到25%的机会赢240美元、75%机会输760美元的结果，这正是问题三中E的选项。同样的，若增加「确定输750美元」（选项C）到B选项中，可得到25%机会赢250美元、75%机会输750美元的结果，这正是问题三中的F选项。所以框架的易接受度和S型价值函数在同时并列的决策问题中，产生了违逆主流的情形。
这个结果令人不安，不变性是规范教条的核心，但是在直觉上和心理上不可行。的确，我们只看到两个方法可以确保不变性。第一是采取可以转变任何问题到同样典范表征的版本的程序。这个是给商学院学生标准训诫的理由，他们应该用全部资产去考虑每一个问题的决策，而不是用输和赢去想 (Schlaifer 1959)。这种方式可避免前面问题中出现的违逆不变性的现象。但是给忠告比去执行来得容易，除了在可能毁灭的情境中，考虑赢和输往往比考虑财富状态自然得多。此外，风险前景的典范表征需要把所有并列决策的结果综合起来看（如问题四），这即使在简单的问题中，都超越了直觉计算的能力。在别的情境，如安全、健康或生活质量，就更难了。我们应该劝告人们用疾病的整体死亡率，或是用跟这疾病有关的死亡人数做标准，去评估公共卫生政策（如问题一和二）的结果吗？
另一个可以保证不变异的方法是用他们实际精算的，而不是心理上的后果来评估选项。精算的标准对人的生活情境有些吸引力，但它很明显的不适用在财务的选择上，至少自白努利以来，一般都是这样认为的。它完全不适用于没有客观测量的结果上。我们下结论说，框架的不变性不可能成立，在某个选择上的信心并不能保证这个选择在另一个框架下会被选择。因此，用不同的框架去测试决策问题偏好的强度，是一个很好的方式 (Fischhoff,Slovic, and Lichtenstein 1980)。
机率的心理物理学
到现在为止，我们的讨论都是假设白努利的预期规则是来自增加可能结果的效用，每一个效用依它的机率而加权。要检视这个假设，让我们再来看一下心理物理的直觉会怎么说。把目前的价值设为零，假设有一个现金礼物300美元，你给它价值为1。现在再想象你有一张乐透彩券，它的奖金也是300美元。这张彩券的价值如何依赢的机率的函数而变？它的价值应是从零（当赢的机率是零）到1（当赢300美元是确定的）。
直觉告诉你，这张彩券的价值不是一个赢的机率的线性函数，如预期规则所示，尤其是从0%到5%的增加效果比30%到35%的增加效果大，而30%到35%的增加效果又比从95%增加到100%的效果小。这些情况显示了一个类别边界的效应 (category-boundary effect)：从不可能到可能的改变或是从不可能到确定的改变，它的效应大于量表中间相同差距的改变。这个假设被纳入图2的曲线中，它把每一个事件的加权画成它数值机率的函数图。
图2最显著的特质就是决策的加权依所呈现的机率而回归。除了两端之外，增加0.05赢的机率所增加的前景价值，不到奖金价值的5%。我们下面来看一下在风险选项中，对偏好的心理物理假设。
在图2中，决策的加权就整个来说，是低于相对应的机率。对确定事项在中高机率的低加权，使受试者风险规避，因为它减少了正向赌局的吸引力。同样的效果在输的时候，使受试者去做风险寻求，因为它减轻了负向赌局的厌恶感。然而，低机率是被过度加权的，使得决策的加权在那个区域非常的不稳定。低机率的过度加权逆转了上面描述的形态：它加强了长期的价值，放大了严重损失的规避效应，虽然这机率很小。因此，人们在处理不太可能的赢局时会进行风险寻求，在处理不太可能的损失时，会实行风险规避。所以，决策加权的特质使得彩券和保险单变得有吸引力。这个非线性的决策加权，无可避免的，一定会导致不变性的违逆，这可从下面这两个问题中看出：
图2 一个假设的加权函数
问题五 (N＝85)：请看下面这个二阶段的赌局，在第一阶段，有75%的机会去结束赌局而没有赢任何东西，有25%机会进入第二阶段，假如你进入了第二阶段，你可以选择：
A：一定赢30美元。(74%)
B：80%机率赢45美元。(26%)
你的选择必须在赌局开始前决定，也就是说，在第一阶段的结果揭晓前，必须表示你的偏好。
问题六 (N＝81)：下面哪一个你比较喜欢？
C：25%机会去赢30美元。(42%)
D：20%机会去赢45美元。(58%)。
因为在问题五中，有四分之一的机会进入第二阶段，A案有0.25机率赢30美元，而B案是0.25×0.8＝0.20机率赢45美元。问题五和问题六因此在机率和结果上是一模一样的，然而，受试者的偏好却不一样，在问题五中，绝大多数人喜欢比较高的机率去赢比较少的钱，但是在问题六中就倒过来了。这个不变性的违逆在真的赢钱和假设的赢钱情况下，都被证实了（目前这个实验是用真的钱）；在以人的生命为结果，以及没有序列关系的机会历程中，也都得到证实。
我们把不变性的失败归因到两个因素上：问题的框架和非线性的决策加权。在问题五，人们忽略第一阶段，因为不论决策是什么，它的结果是相同的，他们把注意力集中到假如你们到达第二阶段后会怎样，当然，在那种情况下，他们选A就有确定的获利，假如想赌，也有80%的机率赢。的确，在这序列的版本下，人们的选择跟「在确定拿30美元与80%赢45美元之间做选择」是相同的，因为确定的事是有加权。在跟「在图2中间到高机率相比，这个可能会赢到30美元的选择」在这序列的版本中，就比较有吸引力，我们把这个现象叫做假确定效应 (pseudo-certainty effect)，因为一个其实是不确定的事件，把它当作确定事件加权了。
一个很类似的现象可以在机率范围的低端显现出来，假设你不能决定要不要去买地震保险，因为保费很高，在你犹疑时，你的保险公司友善的经纪人给了你另一个保法：你可以用原来一半的保费去买全额的保险，假如地震发生在单日的话，你就会获赔。这是一个很好的条件，因为只花一半的钱而你被保了比一半还多的天数，「为什么大部分的人觉得这个保险不吸引人？」图2给你了答案，在低机率的任何一点，把机率从P减到P/2的决策加权，比从P/2到0减少的风险小很多。减少一半的风险并不值得一半的保费。
对机率保险的规避有三个原因，第一，在凹效用函数上，它破坏保险的古典解释；根据预期的效用理论，当正常的保险是可接受的，机率保险应该绝对是偏向正常的保险（见Kahneman and Tversky 1979）。第二，机率保险代表了许多保护行为的形式，如健康检查、买新的轮胎、或装防盗警铃系统。这种行为，一般来说，是减少危险发生的机率而不是全部消灭它。第三，保单的可接受度可以用应变框架 (framing of the contingency) 来操弄。一张保火险而没有保水灾险的保单，可以被看成对某个特定风险的完全保险（即火），或是看成财产损失总机率的减少。图2显示人们大大低估了危险机率的减低，这是对比于完全消除这个危险而言。所以，假如把保险框成消除风险，而不是把它描述成减少风险，保险会看起来比较有吸引力。的确，Slovic、Fischhoff和Lichtenstein (1982) 显示一种假设的疫苗可以减低感染到这个疾病的机率，把感染率从20%降到10%，但这对民众并没有多大的吸引力；假如它可以被描述为在一半的个案有效，那么它就会比前者更有吸引力。
表述效应
到现在为止，我们已经讨论了框架，把它当作工具来呈现不变性的失败。我们现在把注意力转到控制结果和事件的框架的历程。公共卫生的问题说明了表述效应在那里，只要改变说法，把「拯救生命」换成「失去生命」，就会引发完全不同的偏好，从风险规避转到风险寻求。很明显的，受试者用问题所给予的结果描述来评估结果，把它当成得或失。另一个表述效应是McNeil、Pauker、Sox和Tversky (1982) 发现的，他们发现医生和病人对肺癌假设的治疗法这个问题的结果，是被描述成死亡率或存活率时，有很大的差别。外科手术不像放射治疗法，在治疗时是有危险，可能会丧命的，因此，手术的选项相较之下，就比较没有吸引力，尤其把治疗的结果用死亡率而不是用存活率来表达的时候。
一个医生，或许总统的顾问也是，会影响病人或总统的决策，他们不必扭曲或压抑讯息，只要框架结果和应变计划的方式不同，就能造成改变了。表述效应可以在没有人知觉这个框架对最后决策的影响下，偶然的发生。它们也可以特意去操弄相关选项的吸引力。例如，瑟勒 (1980) 注意到信用卡公司的国会游说人员，坚持把现金购买和信用卡购买价钱上的差异叫成「现金折扣」，而不是「刷卡费」。这两个卷标把价钱框成不一样，一个是得，一个是失，看它是把低的或是高的当作正常的价钱。因为损失的感觉比赚得的感觉大很多倍，消费者比较不会去接受刷卡多加的费用，而会去用折扣。就如我们预期的，市场和政治人物常用框架来影响消费者和老百姓[1]。
结果的评估会受到表述效应的影响，因为价值函数是非线性的，以及人们会用题目给的、或是题目暗示的参考点来评估选项。值得注意的一点是，在其它的情境里，人们会把相同的讯息自动转换成同样的表征，语言理解的研究显示人们很快的把他们所学的重新登录成抽象的表征，转换后，我们就不再知道这个想法是主动的还是被动形式，也不再知道它当时是怎么说的，只知道当时那些话的意思是暗示的说、假设性的说，或含蓄的说 (Clark and Clark 1977) [2]。不幸的是，表现这些操作的心智机器是无声的，不费力的，所以它们不适合去把公共卫生问题的两个版本重新登录之事，或把死亡率、存活率的统计数字重新登录到一般抽象形式的工作。
交易和贸易
我们对框架的分析和价值的分析，可以延伸到多重属性选项的选择，如一个交易的可接受度。我们提出，为了要评估一个多重属性的选项，应一个人建立一个心智的账户；根据多重属性的参考点，专门来登记这个选项是优点还是缺点。这个选项整个的价值，可以从它的优点和缺点与参考点相比较就知道了。所以假如它优点的价值超越它缺点的价值，那么这个选项是可以接受的，这个分析是假设心理上我们可以区分开优点和缺点，这个模式没有规范分开的属性用什么方法组合成一个整体的测量去评估优点和缺点，但是它把凹性和损失规避加到测量的假设上。
我们对心智会计的分析要感谢瑟勒 (1980, 1985) 非常有激发性的研究，他让我们在消费者的行为上看到这个相关。下面这个问题是改自沙维克 (1954) 和瑟勒 (1980) 的例子，它介绍了控管心智账户和会计建构的一些规则，说明了价值函数的凹性延伸到交易的可接受度。
问题七：想象你要买一件125美元的外套，和一个15美元的计算器。计算器的售货员告诉你，你要买的计算器在别的分店正好减价，只要10美元就可买到。这分店只在开车20分钟车程的地方，你会去另外一家店买吗？
这个问题讨论的是选项的接受度，这个选项的缺点是不方便，要另外开车去，好处是它可以省5美元，但是它是好和坏都组合在一起了。这个问题可以有三个方式来框它：最低额 (minimal)、主题的 (topical) 和综合的 (comprehensive) 账户。最低额账户包括两个选项的差异，不必管它们共同的特质。在最低额账户中，开车去到另一家分店的好处是框成可以赚5美元。主题的账户是把选择的结果跟参考点相比，由情境来决定，在这例子中，相关的主题是买计算器，以及这一趟的好处是被框成价钱的减低，从15美元减为10美元。因为节省下来的百分比只有跟计算器有联结，外套的价钱是没有包括在主题的户头内的。外套的价格以及其它的花费可以包括在比较综合性的账户中，它所省下的钱，是跟每个月的家用开销来相比的。
前面例子的表述，对采用最低额、主题式或综合账户的人来说是中性的，然而，我们认为人们会自动用主题式账户方式去框架问题，主题式在决策制定上扮演了重要角色，它类似在知觉中的「好的形状」(good form) 或是在认知中基本的类别。主题式的组织，结合价值的凹性，就使这个人愿意开20分钟车子去省5块钱，这个决定也跟外套的价钱无关。为了测试这个预测，我们把这个问题修改了一下，使外套和计算器的钱可以互换，计算器在第一家店是125美元，在另一家是120美元，外套是15美元，如我们所预期的，愿意开20分钟去省5美元的人数大大降低。有68%的人 (N＝88) 在计算器是15美元时，愿意开车去另一家店，省5美元，但是在计算器是125美元时，只有29%的人愿意开20分钟，就为了省125美元计算器的5美元。这个发现支持了主题式的账户组织，因为两个问题在最低额和综合账户上是一模一样的。
