请看下面这个例子，我们在后面还会提到：
茱莉四岁时就能阅读。
现在把茉莉的阅读能力跟下面这个强度量表配对：
某人的身高跟茱莉的早熟程度一样，他有多高？
你会想到180公分吗？显然太少，210公分呢？可能又太多，你在找一个跟四岁就能阅读的儿童同样了不起的高度，虽然应该很了不得，但是没有到非常卓越的程度。如果十五个月大就会阅读，那就非常非常了不起，就像一个身高230公分的人一样。
在你的专业领域中，薪水要多高才能跟茱莉的阅读成就一样？
哪一种犯罪的严重程度可跟茱莉的早熟程度相符？
哪一所长春藤明星学校毕业生的平均成绩跟茱莉的阅读水平一样？
并没有很难回答，不是吗？可以确定的是，跟你同样文化环境中的其它人做出的配对结果会很接近。我们发现，受试者被要求从茱莉学会阅读的年龄去预测她将来的学业总平均时，他们会把一个量表的分数转换到另外一个量表去，选出相对应的学业总平均来。我们也明白，为什么用配对来预测的做法犯了统计上的错误──虽然对系统一来说很自然；但对统计学家以外的大多数人来说，他们的系统二也可以接受这种配对的预测方法。
心智的发散性
系统一随时都在做各种计算，有些计算是例行的评估，是持续不断在进行的。只要你的眼睛一睁开，你的大脑就在计算在你视觉范围内三度空间的任何东西，包括物体的形状、所处空间的位置，及物体的名称。你不需要刻意激发这个评估动作，或持续监控有没有任何事情违反了我们的预期。与这些例行评估相反的是，其它计算只有在需要时才会去运作，你不会持续评估你有多快乐或多富有，即使是政治狂热份子，也不会一直评估总统满意度有多高。这些偶尔的判断是自主性的，只有在你要做时，才会发生。
你也不会自动去数你读的每一个字有多少音节，但是假如你想要，的确可以这样做。然而，很难控制让刻意的计算能够很精确：我们的计算常常比我们需要的多，我把这种过量计算叫做心智的发散性。就像用散弹枪去瞄准某一点是不可能的一样，因为散弹枪的子弹是乱飞的，想要叫系统一不要多做系统二没有吩咐的事，也是一样的困难。我很早以前从书上看到的两个实验正好可以说明这一点。
实验一让受试者听几对字词，如果听到字词有押韵就要尽快按键。这些字的押韵可以有下列两种方式：
Vote－Note
Vote－Goat
因为你看到了这两组字，会觉得很明显都有押韵，但是Vote和Goat的拼法不同。受试者是「听」到字，却受到拼字的影响，听出Goat那组有押韵的速度就慢下来了。虽然研究人员只要他们比较有没有押韵，受试者其实还是比较了字的拼法，与声音无关的讯息妨碍他们迅速做出判断。刻意回答一个问题却引发了另一个问题，这不仅是多余的，也不利主要任务的完成。
在另一个研究中，受试者听一序列的句子，只要句意是正确的就按键，请问对下列句子的正确回应是什么？
有些路是蛇 Some roads are snakes.
有些工作是蛇 Some jobs are snakes.
有些工作像监狱 Some jobs are jails.
这三个句子在文意上都是错的，但你可能觉得第二个句子的错误更明显，受试者在第二句子的反应时间跟另两句比起来有显著性的差异。这差异的原因是第一、第三句在比喻上可能是对的，我们再次看到，刻意去计算会激发另一个计算，而且正确答案在冲突中更明显，但这不相干答案的冲突会干扰系统的表现。在下一章中，我们将看到把心智发散性和强度配对综合起来，就可以解释为什么我们对自己所知甚少的东西会有直觉的判断。
说到判断问题
「评估一个人有没有魅力是一种基本评估，不管你想不想，这种评估都会自动进行，评估的结果也会影响你。」
「大脑中的神经回路会从脸型去评估控制欲。他看起来就像个领导人。」
「如果惩罚不符合犯罪的严重程度，我们会觉得不公平，就像你可以把声音的大小和光线的强弱配对一样。」
「这是心智发散性最清楚的例子，人家只是问他这家公司的财务稳不稳，他却想到该公司某项他很喜爱的产品。」
1.向陌生人问路时，我们对女性问路者比较没有戒心，因为我们比较不会把女性看成强势的威胁。
2.所以才会有成语笑里藏刀，笑面虎这种名词出来。
09 回答一个比较容易的问题
你的心智生活有一个很了不起的地方是，你很少受到回答不出来的挫折。没错，你偶尔会碰到17×24＝？这种答案不能马上进入你心中的问题，但是这种让你哑口无言、不能回答的情况很少。在正常的心智情况下，你对几乎所有进入心中的事情都有直觉和意见。你喜欢或不喜欢这个人，远在你跟他们熟悉之前就决定了，你不知道为什么就会信任或不信任这个陌生人，你没有经过分析就觉得这个企业一定会成功。不管你能不能说得出来，你常常对不完全了解的问题有现成的答案，而你依赖的是自己完全不能解释、也不能辩护的证据。
取代问题
我提出一个简单的说法，来解释我们对复杂的事情如何得出直觉的意见。假如对一个很难的问题无法马上找到满意的答案，系统一会找一个容易一点的相关问题来替代困难的，然后回答这个容易一点的问题。我把这种回答另一问题的操作方式叫做「替代」(substitution)，并采用下面这些名词：
目标问题是你要去评估和回答的。
快捷方式的问题是你比较容易回答的。
快捷方式在技术上的定义是「一个比较简单的程序」，它能帮助两个困难的问题找到合适、但有时是不完美答案的方法。heuristic（快捷方式）这个字从希腊文eureka（我发现了）而来。
这个替代的想法来自早期我与特维斯基一起工作的时期，后来成为快捷方式和偏见研究的核心。我们问自己：人们如何在不知道什么叫机率的情况下，去做机率的判断？我们的结论是，人们一定是把复杂的问题简化到自己可以处理的阶段，所以我们就开始研究人们是怎么处理那些不可能的作业。我们的答案是：当人们要去做机率判断时，他们其实是去判断别的东西，但是自以为在判断机率。系统一在面对困难的目标问题时，常常这样做，尤其是当一个相关且较容易的快捷方式问题的答案马上来到心中的时候。
用一个问题去替代一个问题，是解决困难问题的好策略。波利亚 (George Pólya) 在他的经典著作《怎样解题》(How to Solve It) 说：「假如你不能解决这个困难的问题，一定有个容易的问题是你能解决的，去找到它！」波利亚的快捷方式法，是需要系统二去完成的策略程序，但是我在这章中所谈到的快捷方式并不是特意选的：它们是心智发散性的后果，是我们对问题的响应不精确控制的结果。
请看下列表1的目标问题。这些都是困难的问题，在你能够找到合理的答案去回答之前，必须先处理其它困难的议题。什么叫快乐？接下来六个月最可能的政治发展是什么？对其他金融犯罪的标准判刑是多少？这些政治候选人所面对的竞争有多激烈？还有哪一些环境的原因是我们该考虑的？严肃的去处理这些问题是完全不切实际的。但是没有人规定你一定要完美地回答这些问题。但是这些问题有可替代的快捷方式方式，它有的时候很有效，有的时候却会带出错误的答案来。
目标问题
你愿意捐多少钱去拯救濒临绝种的物种？
这些天来，你的生活有多快乐？
六个月后，总统的满意度有多高？
欺骗老年人的理财顾问应该要怎么惩罚？
参与总统大选初选的这位女性候选人，她的政治前途能走多远？
快捷方式问题
当我想到快死的海豚时，我的感情有多强烈？
你现在的心情如何？
总统现在的满意度有多高？
当我想到金融骗子时，有多愤怒？
这位女性候选人看起来像是政治赢家吗？
心智的发散性使我们很快能对这些复杂的问题得出立即的答案，且没有对懒惰的系统二增加什么负担。跟左边相对应的每一个右边的题目都能很快得出容易的答案。你对海豚和对骗取老人退休金的恶棍的感觉、你目前的心情、你对候选人政治的能力或目前总统的声望都有现成的答案。这些快捷方式问题为那些困难的目标问题提供了现成的答案。
但是在这故事中，还是有个不完整的地方：这些答案需要符合原始的问题。例如，我对濒死白海豚的感觉必须用金钱去表达出来，系统一的另一个能力──强度配对，可以用来解决这个问题。感觉和捐钱都是强度的量表，我心中对海豚感觉的强弱可由我捐款的多寡来配对。进入我心中的金额就是配对的数量，同样的强度配对可以应用到所有问题上。例如，候选人的政治能力从可悲的到特别令人印象深刻的；而政治上的成功也可以从很低的「她会在初选中被淘汰」，到很高的「她有一天会成为美国总统」。
心智发散性的自动化历程及强度配对，常为困难问题的替代问题产生一个或多个答案。有的时候，快捷方式问题的替代答案会得到系统二的支持。当然，系统二有机会可以拒绝这个直觉的回答，或去修正它，把别的讯息综合进去。然而，懒惰的系统二通常遵循着最不费力的路线，连想都不想就支持快捷方式答案，没有花心思去想这答案合不合适。你不会被目标问题绊倒摔跤，也不必工作得太辛苦，你甚至没有注意到，你根本没有回答你被问的问题。此外，你可能不了解目标问题很难，因为直觉的回答很快就来到你心中了。
3-D的快捷方式
请看一下图中这三个人，然后回答下面的问题：
图9
右边那个人有比左边那个人大吗？
你心中马上冒出明显的答案：右边的人的确比较大。但是假如你拿把尺去量的话，你会发现，事实上他们是一模一样大。你对他们的印象主要是受到强有力错觉的影响。这个错觉清楚地说明了替代的历程。
这三个人所处的走廊画得看起来有深度，你的知觉系统自动把它解释成三度空间的情景，而不是印在纸面上的二度空间图画。在三度空间的解释中，右边的人比左边的人站得远而且比较大。对大部分的人来说，这三度空间的印象是非常强烈的，只有视觉艺术家和有经验的摄影师才会发展出把这张图看成平面的特殊能力。对我们一般大众而言，替代便产生了：这个强有力的三度空间影像完全控制了二度空间大小的判断，这个错觉来自3-D快捷方式 (3-D heuristic)。
这里出现的是一个真正的错觉，而不是误解问题。你知道问题是要你比较图画中人的大小，假如我请你估计这些人的大小，我从实验中得知，你会回答几英吋，而不是几英呎。你不会混淆这个问题，但是你会被一个你并没有被问到的问题所影响：「这三个人有多高？」
在这快捷方式中，最重要的一个步骤是把三度空间替代成二度空间的历程是自动产生的。这张图中有线索告诉你去做三度空间的解释。这些线索跟你手边的作业──判断图中人物的大小──是无关的，所以你应该忽略它们，但是你不行。这个跟快捷方式联结在一起的偏见，是物体看起来比较远的比较大，这个判断是基于替代，所以不可避免地会朝预期的方向偏误。在这个例子中，它深深发生在我们的知觉系统中，你根本没有办法抵抗它。
快乐心情的快捷方式
有一个对德国学生的调查，是替代最好的例子。这些年轻受试者需要回答下面两个问题：
这几天你有多快乐？
你上个月约会了几次？
实验者想知道这两个问题之间的相关性，约会很多的学生会不会比约会少的快乐？很令人惊讶的是：不会。这两个问题的相关是零。显然约会不是学生在评估他们是否快乐时，第一个进入心中的答案。另一组学生也是同样看这两个问题，但是次序不一样。
你上个月约会了几次？
这几天你有多快乐？
结果这次的相关完全不同。在这个顺序中，约会次数跟快乐有相关，这是怎么一回事？
这个解释很简单，它是替代最好的例子之一。约会显然不是学生生活的中心（在第一个调查中，快乐和约会是没有相关的），但是当学生想到他们的浪漫生活时，就产生了情绪反应。有很多约会的学生被提醒了生活中的快乐层面，而那些没有约会的人则被提醒了寂寞和被拒绝。这个因约会而被提醒的情绪还停留在受试者心中时，下一个有关快乐的问题就出现了，所以相关也就跟着出现。
这个相关的心理学跟图9大小错觉的心理学是完全可以模拟的。「这几天有多快乐」不是一个很自然或很容易回答的问题。好的答案需要时间去思考。然而，那些刚刚被问到约会次数的学生并不需要花时间去思考，因为他们心中已经有一个答案是跟这个问题相关的；他们的爱情生活有多快乐？他们把这个问题用刚刚被问过的问题去替代，然后马上讲出答案。
我们可以像刚刚在第一章中提到的错觉一样，再问：这些学生是否混淆了问题？他们真的认为这两个问题──一个是他们被问到的目标问题，另一个是他们回答的替代问题──是相同的问题吗？当然不是，学生绝对不会分不清楚罗曼蒂克的生活和日常生活。假如你问他们这两个概念，他们会告诉你，是不一样的。但是他们被问的不是这两个概念有什么不同，而是他们有多快乐，系统一已经有现成的答案了。
约会的问题并不独特，学生在被问到与父母的关系或是他们的经济情况后，马上再问他是否快乐时，同样的相关形态也会出现。在这两个情况下，任何会显著改变一个人心情的问题，都会产生同样的效应。这就是前述的WYSIATI，当人们在评估快乐程度时，目前的心情状态会放得非常大。
情意的快捷方式
情绪的影响非常大，心理学家史洛维克 (Paul Slovic) 提出了
「情意快捷方式」这个名词，认为人们让自己的好恶决定他们的世界观。像政党偏好会决定你要不要相信某个政客讲的话；假如你喜欢目前的健保政策，你会相信现行政策的好处很大，花费比另一方案少；假如你对其他国家的政治态度属鹰派的，你可能会认为那些国家都很弱小，你的国家可以强势地逼迫他们屈服；假如你是鸽派，你可能认为那些国家很强悍，不容易说服。你对这种事的情绪态度就像对辐照食物、红肉、核能、刺青，或摩托车，会驱使你认为他们是有利还是有害的。假如你不喜欢上面任何一样东西，你可能会认为危险性很高，收益性可以被忽略。
这个结论并不是说你的心智是完全关闭的，你完全不理会讯息和理性的推理，便形成意见。在你了解你不喜欢的活动的风险性比想象中小时，你的想法，甚至情绪态度会改变（至少一点点），同时，关于风险性较低的讯息也会改变你对效益的看法（会变得更好），即使你所接受到的讯息中完全没有提到效益。
我们在这里看到系统二另一个新的人格。直到现在，我所描述的都是默默顺从的监控者，它给了系统一很多空间；同时也描述系统二主动搜寻记忆、做复杂的计算、做计划、做选择的功能。在球棒与球的问题和其它两个系统互动的例子中，系统二都是最后的决策者，它有能力抵抗系统一的建议，把事情放慢，提供逻辑分析。自我批评是系统二的功能之一。然而，在态度方面，系统二更像是系统一的支持者，而不是批评者或执行者。它通常在跟现行信念符合的讯息中搜寻，而不是真的刻意去审视这些讯息。主动寻求一致性的系统一，对不苛求的系统二提出了解决方案。
说到替代和快捷方式
「还记得我们要解决的问题吗？还是，我们已经把它和容易的问题替换过来了？」
「我们面对的问题是，这个候选人是否会赢？而我们却回答，她是否在记者会上表现得好。请不要替代。」
「他喜欢这个项目，所以他认为代价很低、收益很高。这是情意快捷方式的一个很好的例子。」
「我们用去年的表现来做快捷方式，预测这个公司几年以后的价值。这个快捷方式够好吗？我们需要其它信息吗？」
下表是系统一的特质和活动。每一个主动句替代一个比较正确、但较难懂的话。我希望这个人格特质的清单能帮助你发展出对虚拟的系统一人格的直觉。就像其它你知道的特质，你对系统一在不同情境下会做些什么有预感，而你这些预感大部分是正确的。
系统一的人格特质
?产生印象、感觉、倾向。当系统二支持时，这些就变成信念、态度和意图。
?自动化、迅速地运作，花很少力气或几乎都不花任何力气，没有自主的控制。
?当某一个特定型态被侦察或搜寻到时，可以依系统二的命令去驱动注意力。
?在经过训练后，可以执行有技巧的反应以及产生有技巧的直觉。
?在联结记忆中对活化出来的想法创造出合理、有一致性的型态。
?把真相的错觉、愉快的感觉、降低的警戒心联结到认知放松上。
?区分出惊讶和正常。
?推断并臆测出原因和意图。
?忽略模棱两可的不确定性和压抑怀疑。
?偏向相信和肯定。
?夸大情绪的一致性（月晕效应）。
?聚焦在现存的证据上，忽略不在眼前的证据 (WYSIATI)。
?做一些有限的基本评估。
?用常模和原型来代表基本评估，但没有综合能力。
?跨量表的强度配对（如把体型大小和声音大小配对）。做比所需更多的计算（心智发散性）。
?有时用容易的问题去替代困难的问题（快捷方式）。
?对改变比状态更敏感（展望理论 prospect theory）＊。
?过度看重低的机率＊。
?对量（心理物理学）的敏感度愈来愈小＊。
?喜赚厌赔（损失规避）＊。
?把问题规范得很窄，把它跟别的问题区隔出来＊。
＊第四部分会详细介绍这些特质。
第二部
快捷方式与偏见
10 小数原则
一项针对美国3141个郡所做的肾脏癌研究，显现出一个很令人惊异的型态。肾脏癌发生率最低的郡多半是在乡下、人口稀少、传统上属于共和党的州，分布在中西部、南部和西部。你会怎么评断这个分布型态？
在过去的几秒间，你的心智非常活跃，主要是因为系统二在工作。你特意去搜寻记忆要来形成假设。这是要花力气的，你的瞳孔放大，心跳加快。但是系统一也没闲着，因为系统二的运作要靠从联结记忆中提取出来的事实和建议。你可能会反驳共和党政客提供肾脏癌防治方法这个念头。最后你很可能聚焦到人口稀少的乡村、肾脏癌也很少会发生的这个事实上。聪明的统计学家魏纳 (Howard Wainer) 和翟威林 (Harri's Zwerling)（我就是从他们那取得这个例子的）解释道：「我们很容易去推论罹癌率低是因为乡下空气干净、没有污染、水源清洁，加上食物新鲜、没有添加物。」这听起来非常有道理。
现在来看一下肾脏癌发生率最高的郡，这些郡大部分是在乡下、人口稀少、传统上属于共和党的州，分布在中西部、南部和西部[1]。魏纳和翟威林半开玩笑地说：「我们很容易去推论高罹癌率可能跟乡村贫穷的生活型态有关──没有好的医院、高脂肪食物，太多的酒精、香烟。」这里不太对了。乡村的生活型态不可能既能解释低肾脏癌发生率，又能解释高肾脏癌发生率。
主要的问题不是那个郡是乡下、还是共和党，而是乡村人口稀少，这里最大的教训不是流行病学，而是心智和统计之间的复杂关系。系统一已经非常适应一种思考形式──自动、不花力气地找出事件之间的因果关系，有时甚至是假关系。当你被告知高癌症郡时，你立刻假设这些郡跟别的郡不同，这些差异一定有因果关系。然而我们面对统计的事实时，系统一就一筹莫展了。统计事实会改变后果的机率，但是不会使它发生。
一个随机的事件，并没有解释的能力，这是随机的定义，但是搜集很多随机的事件，的确会出现一个相当固定的行为型态。你可以想象，一个罐子中装了很多弹珠，一半是红的，一半是白的，然后想象一个非常有耐心的人（或是机器人），蒙着眼睛，每次从罐中抓4个弹珠出来，登记有多少颗是红的，然后放回罐子，再从罐中抓4个。如此重复做N次，如果你把结果综合起来看，你会看到2红2白比4红或4白多6倍。这个关系就是数字的事实。你可以非常有信心地预测这个结果，就像你会非常有信心地预测用锤子敲鸡蛋的结果一样。你不能预测蛋壳会怎么破，但是你可以确定这颗蛋一定会破。这里有一个差别：你可以感受到用槌子敲鸡蛋的因果关系，这在从罐子中取样本做研究时是没有的。
一项相关的统计事实跟前面这个癌症例子有关。两个非常有耐心的人轮流从罐子中取弹珠，杰克每次取4颗弹珠，吉儿每次取7颗，每次都登记他们拿到全白或全红的次数。假如他们重复这个动作够久的话，杰克会比吉儿观察到更多的这种极端成果，大约多到8倍（预期的百分比是12.5%和1.56%）。这与槌子或因果关系无关，只有数学的事实：每次拿4颗会比每次拿7颗，会出现更多的极端结果（全白或全红）。
现在把全美国的人口想成罐中的弹珠，有些弹珠上面写着KC（肾脏癌），每次轮流在这些郡中取样本。乡下的样本比其它样本小，就像杰克和吉儿的实验一样，极端的结果（非常高或非常低的罹癌率）容易出现在人口少的郡，这就是唯一的原因。
我们从寻找原因的任务开始：肾脏癌发生率在全国各州的差异性很大，而且这差异是系统化的。从统计角度来解释：极端的结果（高和低的癌症率）本来就比较可能在小样本中出现。这个解释与因果关系无关，人口少的郡既没有引起、也没有防止癌症，它只是让癌症率这个数字与人口稠密的郡相比，变得比较高（或比较低）。真相是没有什么可解释的。人口少的郡癌症率并没有更高或更低，它只是在某一年看起来是这样，因为取样的关系。假如我们在下一年重复这个取样的话，可能会观察到和小样本群同样的极端型态，但是去年高的郡，今年就不一定高了。假如是这样的话，人口稠密与人口稀少的郡就不是真正的事实，而是科学家所谓的「假象」(artifact)──因研究方法而产生的现象──在这里是指因样本大小所产生的差异。
上面这个故事可能令你很惊讶，但是它并不令人意外，你很早就知道大样本比小样本值得相信，即使不懂统计的人也听过「大数原则」(law of large numbers)。但是「知道」并不像「对错」问题，你会发现下面几句话可以应用到你身上：
?在你读流行病学故事时，并没有立刻想到「人口稀少」这个特质与研究有关系。
?你对取4个样本和7个样本所得到的差异多少感到惊讶。
?即使现在，你必须要花些力气才能看懂下面两句话是讲完全相同的两件事：
o大样本比小样本精确。
o小样本比大样本容易得出极端的结果。
第一句话一看就晓得是真话，但是一直要到第二句话变成你的直觉，你才会真正了解第一句话。
结论就是，是的，你真的知道大样本的结果比较精确，但是你可能现在才了解你并没有很清楚。你不是唯一会这样的人，特维斯基与我合作的第一个实验就显示，即使是很严谨的科学家也会有很差的直觉，而且不清楚样本效应。
小数原则
我跟特维斯基在1970年代初期的合作，是在探讨「没有统计训练的人却有好的统计直觉」。他告诉我和我的学生，密西根大学的研究者对直觉的统计很乐观。我对那句话感受很强烈，因为最近刚刚发现自己不是很好的直觉统计学家，而我不认为自己比别人差。
身为研究型心理学家，取样的变异性 (sampling variation) 并没什么特别，只是个讨厌又很花钱和精神的障碍物，它把每一个研究项目变成赌博。假设你想证明，六岁女孩的词汇量比同年龄男孩多的假设。这个假设在母群中是成立的，一般女孩的词汇量的确比男孩多。然而，男孩和女孩的差异性很大，运气好的话，你会选到差异不明显的样本，甚至男孩的分数比女孩高的样本。假如你是研究者，这个结果对你来说，代价就高昂了。因为你耗费了时间和精神，却无法确认假设是否符合事实为真。唯一可以减少这个危险的方法是用很大的样本群，那些用很少样本的研究者等于是把自己交到取样运气 (sampling luck) 的手中。
任何样本大小的错误风险，可以用一个很简单的方式来预估。不过，传统上，心理学家不用计算来决定样本大小。他们用判断力，而这是会出错的。在我跟特维斯基辩论之前，我读了一篇专讲研究者犯的错的论文（他们到现在仍然在犯），这位作者指出，一般来说，心理学家选的样本小到有50%的机会不能成立他们的假设[2]，如果推翻了虚无假设，那么对立假设 (alternative hypothesis) 就成立。没有任何一个心智健全的研究者会接受这样的机率。比较可能的解释是，心理学家关于样本大小的决定，反映出他们对取样变异数有普遍性的直觉迷思。
这篇论文让我很震惊，因为它解释了我自己在研究时所碰到的问题。像大部分的心理学家一样，我习惯性地选了太小的样本群，常常得到无法解释的数据，现在我知道为什么了：这些奇怪的资料其实是研究方法上的假象。会犯这种错误特别令我发窘，因为我教统计，知道如何去计算样本大小来减低达不到可接受度的风险。但是我从来没有用计算的方式去决定样本大小。像我的同事一样，在计划实验上，我相信传统，也相信自己的直觉。
我从来没有真正思考这个问题。当特维斯基来到我的书报讨论课时，我已经知道我的直觉是有缺陷的，在这一门书报讨论课中，我们很快都同意密西根实验者的乐观是错的。
特维斯基和我于是设计实验，想要了解我是唯一的傻瓜，还是众多傻瓜中的一个。我们找数学专家来做实验，看他们会不会也犯类似的错误。我们发展出一个描述真实研究情境的问卷，包括一再成功的一些实验，我们请研究者选择样本的大小，评估他们选定样本大小的失败率，并对假想的研究生提供忠告，教他们如何计划实验。特维斯基在数学心理学年会时搜集了一群专家的反应，包括两位统计学教科书的作者。结果很清楚：我不是唯一的傻瓜，我犯的每一个错误，数学专家们都犯了。这表示即使是专家，都没有对样本大小给予足够的注意力。
特维斯基把我们共同写的论文命名为〈对小数原则的信任〉(Belief in the Law of Small Numbers)。我们开玩笑地解释：「随机取样的直觉显然对小数原则很满意。这显示，大数原则也可应用到小数原则。」我们同时也强烈建议研究者，要适度怀疑自己的统计直觉，尽可能用计算来取代印象。
对自信的偏见压过怀疑
在针对300名老人的电话调查中，有60%支持总统。
假如你要为上面这句话做总结，你会怎么说？几乎可以确定的是，你会说「老人支持总统」。这些字的确表达了上面那句话的意义，但是它简化了调查的细节──用电话采访，样本群是300人，这背景知识没有吸引什么人的注意。你的结论即使在样本群不同的情况下，也是一样。当然，一个无稽的数字会引起你的注意（在全国6名或600万名老人中的电话访问调查显示……）。除非你是专业人士，不然你对样本群150人和样本3千人不会有不同的反应，这就是「人们对样本大小没有足够的敏感度」要表达的意思。
这个电话调查的讯息包含了两种讯息：这个故事及故事的来源。当然你会聚焦在故事上而不会注意结果的可信赖度。当信赖度很低时，这个故事就没有人相信。假如别人告诉你「某政治狂热团体做了一个有偏见、有问题的调查，来显示老人支持总统……。」你当然会拒绝这项调查的发现，它就不会变成你信念的一部分。你反而会把它拿来当做政治谎言的新例子，你可以选择不相信这种一看就晓得是假的例子，但是你有足够的信心区辨「我在《纽约时报》上看到……」和「我在茶水间听到……」的差别吗？你的系统一可以区分出相信的程度吗？WYSIATI的原则认为：不可以。
如我前面所说，系统一不擅长怀疑，它会压抑不确定性，而且会自动去建构故事，使一切看起来合理，除非这个讯息被立刻否定，否则它会认为讯息是真的，进而激发联结扩散。系统二可以怀疑，因为它可以同时维持两个不兼容的可能性，然而，维持怀疑比维持肯定辛苦得多。小数原则就是系统一偏好肯定，不喜欢怀疑的例子，我们在下面的章节中还会一再看到这种偏见。
我们强烈的相信小样本就代表了大母体，这偏见也是大故事中的一部分：我们倾向夸大所见事物的一致性和合理性。在月晕效应中，可以看到研究者夸大的信心，我们常以为了解对方，其实对他们一无所知；系统一跑在事实的前面，去建构一个丰富的影像，而它所根据的证据实在少得可怜。如果我们相信小数原则，快速下结论就会运作起来。通常，它会建构出一个非常合理的真实，让你相信。
原因和机率
联结的机制寻找原因。我们在统计规则上的难处，就是因为统计的取向 (approach) 不同。统计不去看手边的事件怎么了，而是去看可能会怎样。没有什么特定的东西使事件变成现在的模样，一切只是机率问题。
对因果想法的偏好，把我们带到严重的错误中，使我们在评估真正的随机事件的随机性上犯了错。例如，在同一家医院出生的六名宝宝，性别是男是女显然是随机的，这是独立事件，前面几小时出生的男女数量，跟后面几小时出生的男女数量没有任何关系，甲家生男并不会影响乙家生女，这叫独立事件。现在请想一下，下面这个序列的可能性：
男男男女女女
女女女女女女
男女男男女男
这些顺序是否有同样的发生机率？直觉的反应是「当然没有」。这个反应是错的。因为这些事件是独立的，而且生男和生女的机率（几乎）一样，所以任何一种六个宝宝的性别序列发生机率都是一样，即使你现在已经知道这个结果是真的，它还是跟你的直觉预期不符，因为只有第三个序列看起来是随机的。如我们所预期的，受试者认为「男女男男女男」被判断比另两个更符合随机。我们是型态的寻找者，合理世界的信仰者，在这世界中，规则（如连生六个女孩的序列）不只是随机出现，而是像机械的因果关系或是某人的意图。我们并不期待随机的历程会有规则出现，当我们侦察到随机序列像是有规则在后面操作时，会马上拒绝这个历程真的是随机。随机历程制造出许多人们认为一点都不是随机的序列。你可以看到，假设因果关系有演化上的好处，这是从我们祖先身上继承来的普遍性警觉，我们会自动搜寻环境中的任何改变。狮子随时可能出现在大草原，但是假如狮群出现的频率好像有增加，哪怕这增加是随机历程的随机结果，你最好还是注意一下，为了安全起见，先做个万全的准备。
我们对随机的误解相当常见，有时会产生严重的后果。在特维斯基跟我的论文中，我们引用统计学家富勒 (William Feller) 对人们多么容易凭空看到某个型态的说法。二次世界大战时，伦敦遭到猛烈轰炸，人们认为这轰炸不是随机的，因为被炸到的地方从地图上看来很可疑，有人认为没被炸到的地方是因为有德国间谍住在那里。一项严谨的统计分析显示，被炸的地方完全是随机丢弹的结果，但是它引起的印象却是不随机，富勒说，「对没有经过训练的眼睛来说，随机看起来是有规则可循或是聚集的。」
我很快就有机会应用我从富勒处学来的东西。1973年爆发的赎罪日战争[3] (Yom Kippur)。我劝以色列空军的高级军官不要浪费时间做调查，因为空战一开始对以色列很不利，大家没有想到埃及地对空的飞弹表现这么好，以色列损失惨重，而且受创的地方看起来不像随机分布的结果。我被告知，同一基地的两个飞行大队，一队失去了四架飞机，另一大队一架都没有损失，所以以色列成立了调查小组来研究那一队有什么地方做不好。其实没有任何理由相信哪一个大队表现得比另一个好，两队的运作也没有任何差异。当然，飞行员的生活有很多随机上的不同，包括在两个任务期间他们回家的频率，以及出任务时，任务报告的方式等。我的忠告是，司令需要接受这不同的结果是来自机率，也就是运气。他应该要停止面谈飞行员，我告诉他，运气是最可能的答案。他如果随便寻找不显著的原因，不但徒劳无功，还会伤害到已经受创的士气，使队员觉得死去的队友似乎犯了什么错。
多年以后，特维斯基和他的学生吉尔维胥 (Tom Gilovich)、瓦隆 (Robert Vallone)，针对篮球场上随机迷思所做的研究引起了一阵骚动。教练、球迷和球员都相信上场者偶尔会出现手气正旺 (hot hand)、投球必中的时候。于是这个推论几乎理所当然：球员连投中三、四次时，你无法不形成因果关系的判断，这个球员手气正「旺」，他现在得分率会高，有投必中，而且两边的球员都有这种想法──队友会想办法把球传给他，让他上篮得分，敌队则会派出双倍人力去防守他。但是分析出几千次这种情况后发现，根本没有「手气旺」这回事，不管是投篮或罚球都没有。当然，有的球员比别的球员准确一些，但是投中或没有投中的序列是完全符合机率的。所谓「手气旺」完全存在于人的眼中，人们太容易看到因果关系，这是一个影响深远的认知错觉。
大众的反应，也是这研究的一部分。这个惊人的结论上了报纸，一般人的反应是不相信。波士顿塞尔提克队著名的教练奥尔巴哈 (Red Auerbach) 听到吉尔维胥的研究时的反应是：「这家伙是谁？他做了研究？我才不理呢！」人们在随机中看到规律型态的倾向，真是无法抗拒，绝对比这家伙做的研究更令人印象深刻。
规律的错觉对我们生活的影响很大，绝对不只在篮球场上而已。你要多少年都得到好的投资报酬，才承认你的投资顾问其实是不错的？要多少次合并成功，董事会成员才会相信执行长是相当能干的？对这些问题的简单回答是，假如你相信直觉，你会误把随机事件判断为系统化的结果，我们拒绝相信我们所见到的规律性是随机的结果[4]。
我在本章一开头用美国癌症的例子来说明，这个例子原本是写给统计老师看的，我是在前面提过的魏纳和翟威林两位统计学家所写的有趣报告中看到这个例子。他们这篇论文是聚焦在一笔17亿美元的大投资案上：这是由比尔盖兹基金会 (Gates Foundation) 赞助，用以打造一个成功的教育环境。许多研究者都在寻找成功教育的秘密，他们找出最成功的学校，希望发现这些学校与众不同之处。这个研究的一个结论是，一般来说，大多数成功的名校都是小学校，在调查了宾州1662个学校之后，前50名学校中，有6所是小型学校。这使得盖兹基金会投入大量资金去创立小型学校，甚至把大校分割成几个小校，至少有六个基金会跟进，如安能堡基金会 (Annenberg Foundation)、皮优慈善信托基金会 (Pew Charitable Trust)，连美国教育部都成立了小型学习小区项目 (Smaller Learning Communities Program)。
你可能觉得上面的做法很正确。我们很容易建构一个因果故事，来解释小校如何能提供比较好的教育并教出高成就的学生：因为小校能给学生较多注意和鼓励。很不幸的是，因果分析的结果是它们一点意义也没有，因为这个事实是错的。假如问向比尔盖兹基金会报告的统计学家：最糟学校的特性是什么？他就会发现，坏学校比好学校的规模还要小。真相是，小学校不是比一般学校更好，只是变异性更大。魏纳和翟威林说，如果真有区别的话，大学校其实有比较好的成绩，尤其在各种课程的选择上，大学校的成绩更高[5]。
多亏了最近认知心理学的进步，我们现在才清楚，当年特维斯基和我只了解了一部分：小数原则是心智运作两大故事中的一部分。
?对小样本夸大的信心只是一般错觉的例子之一。我们对讯息内容的注意力，大过讯息的可信赖度，这个结果使我们将世界变得比数据能证明的，更简单、更具一致性。「快速下结论」在我们想象的世界中，比在真实世界中安全。
?统计产生许多观察起来具因果关系的解释，但是它其实没有解释力。这个世界的许多事实是来自机率，包括取样的意外在内。对机率事件提出因果的解释一定是错的。
说到小数原则
「是的，本制片公司自从新执行长上任后，已推出三部成功的电影，但是现在就说他的好手气会持续下去，恐怕还太早。」
「我不愿相信新任的业务员是个天才，我要先去问一下统计学家，请他估算一下他的成功是来自机率的可能性有多少。」
「这个观察的样本太小了，以致不能得出任何推论，我们不要被小数原则给骗了。」
「我想先对实验的结果保密，直到有足够大的样本，不然我们会面对太早下结论的压力。」
1.和上面发生率最低的条件一模一样。
2.读者知道在统计上，我们设立虚无假设 (null hypothesis)。
3.10月6日是犹太教中最神圣的日子，这一天要禁食。叙利亚和埃及等阿拉伯国家认为，以色列在这天的戒备应该最松，所以采取突击式，结果被以色列打到离开罗85公里、离大马士革35公里处才谈和。这是近代史上，全面开战的一个例子，又叫十月战争。
4.我们相信无风不起浪，其来必有自。
5.大学校因为人多，可以开出许多选修的课。
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