假设这两组餐具的质量都一样，哪一组的价值比较高？这个问题很简单，因为A组中包含了B组所有的盘子，还多了七件，所以A组的价格一定比较高。的确，受试者愿意付多一点钱买A组：A组标价为32美元、B组标价为30美元。
但是这个结果在单独评估时，便反过来了。他们给B组的标价33美元高于A组23美元。我们知道为什么会出现这样的结果。当受试者看到这些餐具时，你可以马上感觉到A组的平均价格低于B组，因为没有人愿意买破盘子，假如平均价格主控我们怎么评估价值，你就不会惊奇B组的定价高。奚教授把此现象称为「少就是多」(less is more)。如果把A组16个盘子拿掉（里面有七个是没破的），它们价值就增加了。
奚教授的实验结果被实验经济学家李斯特 (John List) 用拍卖棒球卡的方式证实了。他拍卖一套十张高价值的棒球卡，另一套则是同样这十张棒球卡外加三张比较不值钱的卡片。就像餐盘实验一样，联合评价时，十三张一套的比十张那套的价格高；若是单独评价时，十张的价格反而高。从经济理论的观点来看，这个结果很令人困扰：一套餐盘的价值或一套棒球卡的价值当然是增添正向价值的东西愈多，价钱愈高，为何反其道而行呢？
琳达问题和餐具问题都有相同的结构。就像经济价值一样，机率应该是总数的变量，如下面的说明：
（琳达是行员的）机率＝（琳达是女性主义银行行员的）机率＋（琳达是非女性主义银行行员的）机率
这也是为什么奚教授的餐具实验和琳达问题的单独评价，会产生少就是多的现象。系统一会取平均值而不是加总，所以当把非女性主义者的银行行员移开时，主观机率就增加了。然而，在棒球卡或餐盘的例子中，它的机率比较不像金钱那么显著，所以，在奚教授的实验中，联合评估得以去除这个错误，但是在琳达问题的实验中却没有。
琳达问题不是联合评估中唯一的组合错误。我们在很多其它判断中也发现同样违反逻辑的现象。有一个实验是请受试者替下一届温布尔登网球公开赛的四个可能结果排序。当时的球王是伯格 (Bjorn Borg)。四种可能的结果为：
A.伯格赢得比赛。
B.伯格输掉第一盘。
C.伯格会输掉第一盘，但会赢得比赛。
D.伯格会赢第一盘，但是会输掉比赛。
这里面的关键是B和C，B可以包含最大的可能性，机率应该比其它选项大。但是72%的受试者把B排得比C低，违反了逻辑，但是跟表征相符。这又是透过直接比较，得出少就是多的另一例。这一次受试者选出可能性最大的描述，无疑地更为合理，符合世界上顶尖网球选手的印象。
为了要避免有人抗议说连接谬论是因为错误解释机率的关系，我们建构了一个需要做出机率判断的问题，但这个事件不是用文字描述，而且「机率」这个词完全没有出现过。我们告诉受试者有一个四面绿色、两面红色的骰子，投掷20次。我们给他们看由三个绿 (G) 和三个红 (R) 组合的序列，请他们选一种。假如他们选的序列出现了，就赢得25美元。这些序列为：
1.RGRRR
2.GRGRRR
3.GRRRRR
因为这个骰子的绿面是红面的两倍，所以1的序列有点不具代表性，就像琳达是银行行员一样，有点不太可能。第二个序列比较符合我们对这个骰子的预期，因为它包含了两个G，这个序列不过是在第一个序列前面加了G而已，所以它只比第一个机率多一点。这相当于琳达是女性主义的银行行员，只是它用符号表达而不是文字叙述。就像琳达的研究，表征主控了结果。三分之二的受试者选2而不选1。给他们看支持两种选择的论点时，绝大部分的人又觉得1比较有道理。
左边这组受试者的错误率是65%，右边这组受试者的错误率是25%。
为什么「这100人中，有多少……」比「有百分之多少……」的问题容易？一个可能性的解释是，当提到100人时，它把空间的表征带入心中。请想象你叫很多人自己去分组，名字开头字母A到L的集中到房间左边，然后再细分。这个内含的关系现在很明显了，你可以看到名字是C开头的人在房间左边的角落。在这项医学调查问题中，心脏病患者待在房间角落，而角落中有些人还不到55岁。但并不是每个人都能想象出这个鲜明的场景，但是许多后来的实验显示，我们所熟知的频率代表性，使人们比较容易理解一个团体是否包含在另一个团体里。右边问题问的方式是「有多少」，这使你想到个人；但问你「有多少百分比」时你就不会有这种联想，差别就出来了。
我们从这些研究中学到系统二的什么特质呢？有一个新的结论是，系统二不像以前想象的那么警觉。参加连接谬论实验的大学生和研究生都「知道」维恩图，但是他们都没有使用它，甚至所有相关讯息都摆在眼前时，还是没去用。「少就是多」的不合理行为在奚教授的餐具实验中很明显地看出，在「有多少」的表征中也很容易辨认出来，但是它对几千个在琳达问题或类似问题中犯下连接谬论错误的人却不显著。在这些问题中，连接谬论看起来似真，就足以让系统二替它背书了。
系统二的懒惰也是导致连接谬论的部分原因，假如受试者答错就不准去度假，假如他们有足够的时间，假如要求他们依逻辑思考，除非很确定才可以回答的话，我相信大部分受试者可以避开连接谬论。然而，他们的度假并不取决于正确的答案，他们也花非常少的时间在做这个作业上，而且非常满足自己给的答案，好像问题只是「你的意见如何？」没有把回答当作严肃的事。系统二的懒惰是生活中一个重要的事实，而表征可以阻挡相当显著的逻辑规则是一件有趣的事。
琳达研究最特别的地方是它和餐具评价研究的对比性。这两个研究都有相同的结构，但是得到不同的结果。给破盘子那一组餐具很低价钱的人，他们的行为反映出直觉的原则。但是看到A、B两组餐具的人马上应用逻辑推理，认为愈多盘子只会增加价值。直觉在受试者组间设计主导了判断，逻辑在联合评价时占了上风。在琳达研究中则相反，直觉通常推翻逻辑的决定，甚至在联合评价的时候。
特维斯基跟我都觉得，研究中发现明显违反机率逻辑的情况很有趣，值得向同侪报告。我们也认为实验结果强化了我们对判断快捷方式的论点，可以用来说服不相信有这个快捷方式的人。关于这一点，我们错了，琳达研究反而变成争议的范例。
琳达研究吸引了很多人的注意，也引来很多对我们在判断研究方法上的批评。我们和其它的研究者都发现，结合指示与暗示可以减低谬论的产生。有些人认为在琳达的故事中，受试者把「机率」(probability) 误以为是「似真、似合理」(plausibility) 是合理的行为。这些论点有时扩大演变到认为我们整个研究都是在误导大家：假如一个鲜明的认知错觉可以被减弱或解释清楚，其它的系统功能也可以。这种推理忽略了连接谬论的一个特质：它是直觉和逻辑的冲突。我们从受试者组间设计（包括琳达研究）所建构起来的快捷方式证据，并没有受到质疑，只是没有讨论到，而它的鲜明性被减弱，因为批评者火力集中到连接谬论。琳达研究的「净效果」(net effect) 是增加我们研究的曝光率，使大众知道我们在做什么，对我们研究取向的批评当然对我们的可信度也小有伤害，这是我们在做实验初期未料及的。
假如你参观过法院，你会看到律师用两种方式批评：一个是推翻这个案子，他们强烈打击支持这个案子的证据，彻底破坏证人的信用，专注找出证词的最弱点，集中火力，强烈进攻，这也是政治上常见的手腕，但是我不认为在科学争议上应该用这种方式。但是我后来接受它是生活中的事实，社会科学领域的学者无法避免政治型态的追杀，尤其是议题很重大的时候──人类在判断上，普遍有偏见，就是个重大的议题。
不久前，我与琳达研究主要的批评者赫威格 (Ralph Hertwig) 有一段友善的谈话。我问他，为什么他和其它人特别针对连接谬论抨击，而忽视其它能支持我们立场的有力证据。他微笑着说：「这样比较有趣。」他接着说，琳达研究吸引了这么多的注意，我们没有什么可抱怨的[3]。
说到少就是多
「他们建构了一个非常复杂的场景，坚持说它有高可能性 (highly probable)。它不是一个看似真的故事而已。」
「他们在很贵的产品上，搭配了一个很便宜的礼物，使得整个交易不吸引人，在这里，少就是多。」
「在大多数情况下，直接的比较会使人们更小心、也较有逻辑性，但是不常如此。有时，直觉会打败逻辑，即使正确答案就在你面前，瞪着你看，你还是会犯错。」
1.这种确定性证据是实验结果出来的，黑白立分，盖棺论定，通常是最高层次的实验设计。
2.维恩图是用圆圈来表示事件之间的逻辑关系，两圆重迭部分即为两者共有的特性等等。
3.幸好后来康纳曼拿到诺贝尔奖，出了这口恶气。
16 因果基率胜过统计基率
请看下面的场景，注意你的直觉对问题的回答：
一辆出租车在晚上发生了一件撞车逃逸事件，这城里有两家出租车行，它们的出租车分别为绿色和蓝色。你现在有下面的数据：
?这城中，85%的出租车是绿色的，15%是蓝色的。
?目击证人说，他看到肇事出租车是蓝色的，法庭检验证人在意外发生当晚的照明度下，能否看得清楚，结果发现证人可以正确指认出颜色的机率是80%，错误的机率是20%。
请问肇事车辆是蓝色出租车的机率有多少？
这是一个标准的贝氏推论问题，你有两项信息：基率和不完美的证词。在没有证人的情况下，蓝色出租车肇祸机率是15%，也就是它的基率；假如两家出租车行一样大，那么这个基率就无法提供讯息，你只能考虑证人的证词，下结论说机率是80%。这两项信息可以依贝氏推论组合起来，得出正确的机率是41%。然而你可能会猜到人们面对这个问题时会怎么做：他们会忽略基率，采信目击证人的话，最普遍的答案是80%。
刻板印象
下面请看同样故事的不同版本，里面只有基率的百分比被改变了。
你得到下面这些信息：
?两家公司拥有相同数量的出租车，但是绿车的肇事率是85%。
?证人的讯息跟之前一样。
这两个版本在数学上是一样的，但是从心理上来看却不一样。读第一个版本的人不知如何应用基率，常常会忽略它。相反的，看第二版本的人相当注重基率，他们的平均判断与贝氏统计的答案差距不远，为什么？
在第一个版本里，蓝色出租车的基率是关于城里有多少出租车的统计事实。心智渴望着找出因果关系的故事，却发现没有东西可以编故事。城市中的蓝色和绿色出租车数量跟出租车肇事逃逸有什么关系？你完全没有数据可以编故事。
在第二个版本里，绿色出租车的司机比蓝色出租车的司机多了五倍以上的出事率，你马上可以下结论：绿色出租车司机一定是肇事逃逸的司机。你现在在脑海中形成了绿色出租车司机是鲁莽的疯子的刻板印象，并延伸到绿色出租车公司中不同人身上。这个刻板印象是很容易符合因果关系的故事，因为开车不小心是个因果相关的事实。在这个版本里，有两个因果相关的故事需要组合起来，第一是肇事逃逸，这当然会引发绿色出租车司机开车不小心的印象。第二是证人的证词，证人说司机是开蓝色出租车。这两个讯息对于车子颜色的描述是矛盾的，很可能相互抵销掉了。两种颜色出租车的肇事机率是一样的（贝氏估计为41%，反映出绿色出租车基率比证人的证词可信度高一点）。
出租车的例子说明了两种基率。统计基率指出事实──城里有多少出租车，但是跟个案无关。因果基率会改变你对个案的看法，这两种基率的讯息是受到不同待遇的。
?统计基率通常被低估，当人们有该个案的特定讯息时，统计基率有时会整个被忽略。
?因果基率被当作个案的讯息，人们很容易把因果基率跟其它和个案相关的讯息结合。
有因果关系的出租车版本在你脑海中形成了刻板印象：绿色出租车司机是危险的，刻板印象是指团体中每一份子给人的共同印象。下面有两个例子：
这个城市中心高中的毕业生，大部分都上了大学。
法国人普遍爱骑自行车。
这两句话立刻解释了这两个团体中每个人的倾向，他们很符合因果故事。在这特定城市中心的高中毕业生渴望、而且能够上大学，很可能是学校有一些对生活有益的特点[1]。法国特殊的文化和社会生活使很多法国人都喜欢骑脚踏车。当你想到某一个该校毕业生上大学时；或是当你考虑跟刚认识的法国人谈你去法国的游历时，你会想起上面这些事实。
在我们的文化中，刻板印象是一个不好的字眼，但是在本书中，我的用法是中性的。系统一的基本特性之一，就是它代表了常模和原型的类型，就像我们想到马、冰箱和纽约警察时，脑海中浮出该类型中的「正常」代表。当这个类别具社会性时，它就代表了所谓的「刻板印象」。有些刻板印象非常不对，有敌意的刻板印象甚至会带来可怕的后果。但是刻板印象在心理学上的事实却是无法避免的：不论是对是错，刻板印象都是我们对各类事物的看法。
你可能注意到讽刺之处，在出租车的问题中，忽略基率讯息是认知上的瑕疵，没有做贝氏推理，以及想要依赖因果基率。对绿色出租车司机的刻板印象增加了判断正确率。然而，在其它情境下（如雇用或个人描述），社会常模跟刻板印象强烈不符，在法律中也常有这种现象。事实就是如此。我们不应该以刻板印象来评估一个人。在敏感的社会情境中，我们不该只因这团体在统计上的数据，对团体中的个人做出错误结论；我们应该把基率当作这个团体的统计事实，而不是当作个人的假设事实。换句话说，我们应该拒绝因果基率。
社会常模反对刻板印象，包括反对人格剖面图 (profile)，对创造更文明、更平等的社会很有帮助。然而，我们也需记住，忽略有效度的刻板印象不可避免地会导致不够理想的判断。抵抗刻板印象是值得称赞的美德，但是误以为这种抵抗不需付出代价也是错误的。为达到一个更好的社会，这代价是值得的，但是否认这个代价的存在，以满足政治正确和心灵正确的要求是不智的，在科学上也无法立足。政治的辩论常常充满了情意快捷方式，我们所赞同的立场是没有代价，那些我们所反对的也没有获益，我们应该可以做得更好。
因果的情境
特维斯基和我建构了各种出租车问题，但并没有发明强有力的因果基率概念，我们是从心理学家亚增 (Icek Ajzen) 那里借来的。亚增的实验给受试者看一则描述一位在耶鲁大学考试的学生的简短故事，然后请受试者判断这个学生通过考试的机率。亚增对因果基率的操弄很直接，他告诉受试者，这个学生是从75%通过考试的班级抽样的；告诉另外一组受试者，这学生来自通过率只有25%的班级。这是一个非常强有力的操弄，因为通过基率马上让人推论只有25%通过的考试一定很难，而考试很难是学生考得好不好的因素。如我们所预期的，亚增的受试者对因果基率非常敏感，在高通过率的情境下，受试者预估的每个学生通过率，都高于在低通过率的情境下的预测值。
然后，亚增用了一个非常聪明的方法建议了一个非因果基率。他告诉受试者，刚刚看到的那个学生是从已知考试结果的样本群中抽样，但样本群中的学生有的通过考试，有的没有通过。例如，他给受试者看的高失败率组的讯息是：
研究者想知道，为什么学生没有通过考试。所以他建构了一个75%的人没有通过考试的样本群。
请注意其中的差别。这个基率是统计事实，告诉你有75%是考试失败者。结果，这个特别指出的基率讯息对判断产生了影响，但是相对于统计上的因果基率的影响力小。系统一可以处理因果相关的事件，但是在统计推理上很弱，对一个贝氏定理的思考者来说，这两个表达方式是相同的，我们很容易以为自己得到了满意的结论：我们使用了因果基率，只不过把统计事实（多多少少）给忽略了。下面这个实验是我一直以来最喜欢的，它让你看到这个情境其实相当复杂。
心理学可以教吗？
开车鲁莽的出租车司机和难度高的考试，说明了两个从因果基率得出的推论：一是我们容易赋予个人刻板印象，二是情境显著特质会影响个人的思考结果。受试者在这些实验中都做了正确的推论，他们的判断都进步了。很不幸的是，事情永远不可能尽如人意。下面要描述的古典实验会让你看到，人们不会从基率提取与他们的其它信念相抵触的讯息；同时也支持了一个令人相当不舒服的结论：教心理学是白费时间和精力的！
这个实验是社会心理家奈斯比 (Richard Nisbett) 和他的学生波吉达 (Eugene Borgida) 很早以前在密西根大学做的。他们告诉学生一个纽约大学好几年前所做的很有名的「帮助实验」(helping experiment)。在这个实验中，受试者被带到单独的小房间中，请他透过对讲机回答私人的生活和所遇到的问题。每个人轮流讲约两分钟，但是每次只有一个麦克风是开的。每一组有6个受试者，其中有一个是假冒的。这位假受试者第一个讲，根据实验者所设计的对话来念，他先说他很难适应纽约的生活，然后很不好意思地承认自己患有癫痫，尤其在紧张时会发作。其它5个人也轮流讲自己的情形，当麦克风又回到第一次说话的假受试者时，他表现出激动、语无伦次的样子，然后说，他感觉到癫痫快要发作了，请别人赶快来帮他。最后一句话是：「有没有……人……能……救救……我……（呼吸不过来的声音）我……我……快要……死了（呼吸不过来，然后，没有声音了）」(C-could somebody er-er-help-er-uh-uh-uh……I…I'm gonna die-er-er-er I'm… gonna die-er-er-I seizure I-er)。这时，下一个人的麦克风自动开了，而那个可能快死掉的受试者再也没有发出任何声音。
你认为实验中的其它受试者会怎么做？到目前为止，其它受试者知道有一个受试者癫痫发作并且请求帮助。然而，大家都觉得有好几个人可以帮忙，或许不必所有人都出动，只要有人去帮忙就行了，其它人可以留在小房间中按兵不动。结果是：15个受试者中，只有4人立即冲出去对请求立刻响应。有6人不动如山，5人在癫痫发作者已经不能呼吸、无声了，才出房间来看。这个实验显示，当个体知道有别人在场，别人也有听到呼救声时，会觉得自己对这件事没有责任。
结果令人惊讶吗？很可能，大部分人都认为自己是好人，在这种情况下会冲出去帮助别人，我们也期待别人会这么做。这个实验的目的当然就是告诉我们这样的预期是错的。即使是正常的好人，假如他们知道有人会去处理不是很愉快的癫痫情况时，是不会冲出去帮忙的。其实你也是一样。
你愿意赞同下面这段话吗？「当我读了帮助实验的历程后，我认为我会马上去帮助那个陌生人，就像我是单独一个人面对癫痫发作的病人一样。然而，我有可能错了。假如我发觉我所处的环境中有其它人可以帮忙，我可能就不会趋前帮忙了。别人在场会减低我的责任感，比我起初以为的还低。」这是心理学老师希望你学到的。你会对自己做出同样的推论吗？
描述这个帮助实验的心理学教授，希望学生把这个低基率视作因果基率，就像耶鲁那场考试，他要学生推论极高的不通过率（暗示测验很难）。学生要学得的教训是，有些很强的情境特质（如责任的分散）会使正常的好人（如他们自己）做出令人惊异的自私行为来。
改变人们对人性的看法是很困难的事；改变自己对自己的看法，尤其是认为自己比想象中更糟，则更加困难。奈斯比和波吉达怀疑，学生很可能会抵制这个作业和它代表的不愉快感觉。当然，学生有能力、也愿意在测验中说出「帮助实验」的细节，甚至可以重述「官方」的责任分散说词，但是他们对于人性的信念真的改变了吗？为了知道这一点，奈斯比和波吉达给受试者看一段简短的访谈影片，受访者是两位参加过纽约实验的人。这两个人看起来都像正常的好人，他们描述自己的嗜好、休闲活动，和未来的计划，一切都跟大部分人差不多。在看完影片后，学生要去猜测这两个人有多快赶到陌生人旁边帮助他。
如果用贝氏推理处理这个问题，你应该先问自己，假如你没有看到那段访谈影片，你会怎么猜。这个问题需要参考基率。我们前面讲过，15个人中，只有4个人立刻冲去帮忙，所以某人立即去帮忙的机率是27%。所以你原先的信念应该是他们没有前去帮忙。接下来，贝氏逻辑要你依任何相关信息调整你的判断。然而，这段影片刻意设计不提供任何信息，拍摄者很小心地使影片没有提供你任何理由去怀疑这两人有比随机取样的学生更愿意或更不愿意伸出援手。所以在没有新信息的情况下，贝氏推论的标准答案是根据基率。
奈斯比和波吉达请两组学生去看影片，然后预测这两个人的行为。第一组受试者只有被告知帮助实验的程序，不知道它的结果，他们的预测反映出他们对人性的看法和对情境的了解。如你可能预期的，他们认为这两个人会马上冲出去帮忙。第二组受试者则知道实验的过程，也知道结果。这两组的比较就对一个重要问题提出了答案：学生有从「帮助实验」的结果中学到任何改变想法的东西吗？答案很直接：他们什么都没学到。他们对这两个人的预测跟第一组一样。他们知道这两个人来自什么团体，也知道这个团体的基率，但是还是相信影片中的那两个人会马上冲出去救生病的陌生人。
对心理学的老师来说，这个实验的结果很令人沮丧，当我们教学生有关人们在「帮助实验」中的行为时，我们预期他们会学到一些过去不知道的东西，并希望改变他们对某个特定情境中人们行为的看法。这个目标在奈斯比和波吉达的实验中没有达到。我们没有任何理由相信，假如他们选另一个令人惊讶的心理学实验，结果会不一样。的确，奈斯比和波吉达在教学生另一个实验时，也得到类似的结果。这个实验是在轻微的社会压力下，会让人们能承受比较痛苦的电击，而且比大多数人（包括他们自己）预期的大。尚未发展出社会情境压力敏感度的学生，从这实验中什么都没有学到。他们对陌生人或自己行为的预测，表示他们并没有改变原本的看法。奈斯比和波吉达说，学生「默默地把自己（还有他们的朋友）从实验结果中排除掉」。各位心理学老师不要绝望，因为奈斯比和波吉达想出一个能使学生了解到「帮助实验」意义的方式。他们找了一组新的受试者，教他们实验的流程，但是没有提到实验结果。他们给受试者看两段影片，直接告诉他们这两个人并没有帮助陌生人，然后请他们猜测「帮助实验」结果。非常戏剧化的是：学生的猜测非常准确。
要教学生任何他们以前不知道的心理学知识，你必须令他们感到惊奇。但是怎样的惊奇才有用呢？奈斯比和波吉达发现，当他们给学生看一个令人惊奇的统计事实时，学生什么都没学到。但是当他们给学生看一个令人惊奇的个案时──两个看起来很好的人并没有伸出援手──他们立即类化到自己身上，并且了解帮助别人比自己想象中还困难。奈斯比和波吉达用下面这句令我印象深刻的话做了结论：
受试者不愿从常态推演出特殊事件，这点就与他们愿意从特定事件推论出常态如出一辙。
这是一个非常重要的结论，被告知关于人类令人惊讶的统计事实，人们可能会对数据印象深刻，进而告诉朋友他听到了什么，但这并不表示他们的世界观真的改变了。学习心理学的考验是，你是否了解你所面对的情境已经改变，而不是你是否学到新的事实。我们对统计数据和个案的想法之间有一道很深的鸿沟，有因果关系的统计结果对思考的影响，比没有因果关系的讯息大得多。但是，即使是很令人信服的因果统计数字，也不会改变长期的信念，或根植于个人经验的信念。从另一方面，令人惊讶的个案有强大的影响力，对心理学教授来说，更是个有效的工具。因为这不兼容性（跟以前的信念冲突）必须解决，形成一个合理的因果故事。这也是本书的问题叙述方式都针对读者个人围绕。比起听到一般人令人惊奇的行为，你如果对自己的行为感到惊奇，你的学习可能快很多。
说到原因和统计
「我们不能假设他们会从统计数据学到任何东西，让我们给他们看一两个有代表性的个案来影响他们的系统一。」
「不要担心统计信息被忽略，相反的，这些信息会立刻拿去用在刻板印象中。」
1.有人捐赠奖学金等。
17 回归到平均值
我一生最满意的发现经验是我在教以色列空军教官如何增进效率的训练课程。我教导他们技术学习的重要原则：奖励比惩罚有效，奖励进步，不要惩罚错误。这个说法有很多动物实验的证据，例如鸽子、老鼠、人类和其它动物。
当我充满热忱地讲完课后，一位最有经验的教官举起了他的手，发表了一个简短的演说。他一开始先说，奖励对鸟可能有用，但是他不认为对飞行官来说，是最好的方法。他说，「在很多情况下，我会称赞飞官利落地执行了一些困难的操作，但是下一次他们再做同样动作时，通常会更糟。从另一方面，我常常透过耳机骂他们做得一塌糊涂，但一般来说，他下一次会做得比较好。所以，请不要告诉我奖励有效，惩罚无效，因为事实正好相反。」
这真是一个快乐的顿悟时刻。我看到了一道光射进我教了多年的统计原理。这位飞行教官是对的──但是他也完全错了！他的观察完全正确，当他奖励一个行为，下次这个行为就做得比较糟，而惩罚了，下次就会有进步。但是他的推论却是错的，他所观察到的是我们所谓的「回归到平均值」(regression to the mean)，也就是说，在表现的质上，会有一些随机的变动。他会夸奖一个飞官，一定是这个飞官的表现优于一般人的表现，但是飞官那一次优于别人的表现可能正好是运气好，表现得特别好，下一次会回到他平常的表现程度，不管他有没有被称赞。同样的，这个飞官的表现比平常还差，所以被教官骂，下一次他可能会进步，回到他原来的水平，不管有没有被骂。这个飞行教官把因果关系放到了一个只要是随机历程就一定会有的浮动差异上。
我必须对这个教官的挑战做出响应，但是用数学来解释预测大多数人不喜欢听，所以我用粉笔在地上画了一个箭靶，叫每一个飞行教官背对着靶子往后丢两个铜板，不要看，也不要停顿。我们测量落入目标范围的远近，在黑板上写下这两次丢铜板的距离。之后，我们再重写一遍成绩，这次按最佳到最差排序，一排是第一次丢的，另一排是第二次丢的成绩。很显然的，那些在第一次丢得很准的，第二次就比较差，而那些在第一次丢得比较差的，第二次就有改进。我对这些飞行教官说，他们在黑板上看到的正是他们刚刚听到的飞行操作：第一次表现差的，第二次就会好一点，第一次表现好的，第二次会差一点，不要夸奖也不必惩罚，人的表现本来就会如此。
那天，我的发现是这些飞行教官陷入了一个很不幸的偶然 (contingency) 性中：因为他们惩罚做得不好的学员，下一次学员的表现就改进了，他们以为是惩罚的功效，其实惩罚可能一点效用也没有。此外，飞行教官并不是唯一面对这困境的，我也曾发现一个富有重大意义的事实：即我们的生命是一个不好的循环，因为我们会对取悦我们的人好，对我们不喜欢的人不好，可是从统计上来看，我们都会因为对人家好而受处罚，因为对人家不好而受奖励。
能力和运气
几年前，在线杂志《优势》(Edge) 的主编布洛克曼 (John Brockman) 请一些科学家提供他们「最喜欢的公式」。下面是我给他的公式：
成功＝能力＋运气
极大的成功＝多一点点的能力＋很多的运气
运气跟成功很有关系，这不令人惊讶，但是当我们把它应用到高阶高尔夫球锦标赛头两天的表现时，就有令人惊异的结果出来了。为了简单起见，假设这两天选手的平均杆数都是72杆，我们聚焦在第一天打得很好的选手身上，他的分数是66杆。我们从这个优异的杆数上学到什么？一个立即的推论是这位高尔夫选手比其它选手高明很多。成功的公式还有另一个一样有效力的推论，就是打得很好的球员可能是他今天的运气比往常更好。假如你接受这个能力和运气两者都跟成功有关的说法，那么这个结论就是这位成功的球员运气很好，这句话应该跟这位成功的球员球技很好一样有根据。
用同样的逻辑，假如你聚焦在一位球员身上，他比一般平均杆数多了5杆，你就会推论他的技术不好，他今天的运气也不好。当然，你知道这两个推论都不是确定的，一个77杆的选手是非常有能力，但是今天的运气非常的坏。虽然不确定，下面这个推论还是有可能，而且正确的机率比错误的还高。
第一天低于平均杆数＝能力高于平均＋第一天运气好
以及，
第一天高于平均杆数＝能力低于平均＋第一天运气不好
现在，假设你知道一位高尔夫球员第一天的成绩，你要去预测他第二天的表现。你期待高尔夫球员会维持他的水平，所以你最好的猜测是第一个球员是低于平均杆数，第二个球员是高于平均杆数。运气当然就是另外一回事了。因为你完全无法预测一个高尔夫球员第二天的运气（或任何一天的运气），你最好的猜测就是平均数，不好也不坏。这表示在没有任何的信息情况下，你对这个选手第二天的表现最好的猜测是，它不应该重复第一天的成绩，你最多能说：
?第一天打得很好的球员，第二天也可能很好，但是会比第一天差一点，因为他第一天所碰到的超级运气不太可能再有。
?第一天打得不好的球员，第二天可能也在平均数之下，但是会进步，因为第一天的坏运气不太可能持续到第二天。
我们同时预期这两位高尔夫球员的差距在第二天会缩小。虽然最好的猜测是第一个球员还是会打得比第二个球员好。
我的学生每次都很惊讶的听到，对选手第二天的表现最精准预测是比较保守，也比较接近平均数。这是为什么这种形态叫做「回归到平均值」。原始的分数愈极端，回归值就愈大。因为非常好的分数表示那一天的运气非常好。回归的预测是合理的，但是不敢担保它一定正确。有好几个高尔夫球员第一天打了66杆，第二天打得更好，假如他们的运气又更好的话。大部分人会打得比较差，因为他们的运气不再维持在平均值以上。
现在让我们将时间反过来，假设我们先知道他们第二天的成绩，再回过头去看第一天的表现。你会发现同样的回归到平均数的现象。在第二天打得很好的球员很可能那一天运气很好，最好的猜测是他第一天的运气可能没那么好，所以表现会差一点。这个事实──即你在后来的事件上也可以预测先前事件的回归现象，应该就可以说服你，回归不是因果的解释。
回归的效应是常常看到的，所以用它去错误地解释因果也是常常看到的。最有名的例子就是「运动画刊魔咒」(Sports Illustrated jinx)，说如果一个运动员的相片上了《运动画刊》杂志封面，他下一季的表现就完了。过度自信和太多的压力去达成别人对他过高的期望，常被解释为魔咒的原因。但是这里有一个简单的理由可以解释这个魔咒：这个运动员会登上杂志封面表示他的表现是异常的好，很可能得到很多运气的帮助，但是运气是薄情多变的，所以下一季的表现就没有这么好了。
当特维斯基和我在写那篇直觉的预测论文时，我正好在看冬季奥运男子跳台滑雪项目。每一个运动员可以跳两次，把结果加起来变成最后的分数，当选手们在准备第二跳时，我很惊讶听到播音员评论说：「挪威选手第一次跳得很好，他会紧张，希望能保护既有的领先，他这次可能会表现比较差，」或是「瑞典选手第一次跳得不好，现在他知道反正也没什么可损失了，他会放松，这会帮助他这次进步。」这些运动评论员显然侦察到向平均值回归这个现象，编造了很多完全没有任何证据的因果故事。这故事本身甚至可以是真的。假如我们真的去测量运动员的脉搏，可能会发现他们在第一次表现不好后反而比较放松，但也可能不是，我们要记住的是，从第一次到第二次的改变是不需要因果解释的。它是数学上不可避免的事实，运气在第一跳时扮演了一个角色。这不是一个令人满意的故事，我们都喜欢有因果关系的故事，但事实就是如此。
了解回归
不论是没有侦察到或错误的解释，回归这个现象对人类心智来说，是件奇怪的事。的确，它的奇异性使它在万有引力定律和微分发现后两百年才被确认和了解。此外，它花了19世纪英国最聪明的人很大的努力才让人们了解它。
「向平均值回归」是19世纪高顿 (Sir Francis Galton) 博士发现和命名的，他是达尔文的表兄弟，也是很有名的全才。你可以在他1886年发表的论文中，感受到他的兴奋，这篇论文叫做〈遗传身高的向中间回归〉(Regression towards Mediocrity in Hereditary Stature)，他测量了连续好几代种子的大小，以及比较孩子的高度和他们父母的高度后，写道：
这个结果似乎非常值得注意，我把它用在1877年2月9日我在皇家学院 (Royal Institution) 演讲的材料上。从实验中看起来，在大小上，子代并没有像它的亲代，假如亲代很大，子代就比亲代小一点，假如亲代非常的小，那么它就比亲代大。实验显示这个向平均值回归是和亲代跟平均值的差异有直接的比例关系。
高顿显然预期这个世界上最古老的研究机构，这个皇家学院中博学多闻的学者会跟他一样的对这个「值得注意」的发现感到惊奇，但是真正值得注意的是他被这个统计的规则所震惊，这个规则跟我们每天呼吸的空气一样平常，我们随便张望一下都会看到回归的现象，我们只是没有辨认出来而已。高顿花了很多年才发现它，当两个测量之间的相关不是完美时，回归一定会发生，他需要他那个时代最聪明的统计学家的帮助才能达到这个结论。
高顿碰到的一个困难是测量上的困难，当两个变项是用不同的量表测量时，他该如何去算回归，例如体重和弹钢琴。他的解决法是用人群总数做为参考的标准。想象你测量了一所小学从一到六年级100个儿童的体重和钢琴弹奏。在每一个测量中，他们都从高到低排序。假如珍妮在钢琴弹奏是排序第3，在体重上是排序27，你可以说珍妮是比较好的钢琴弹奏者，在钢琴演奏和身高体重排名上，钢琴演奏比较强。现在，让我们做一些假设把事情简化一些。
在所有的年龄：
?钢琴弹奏成不成功取决于每一周练习的时数。
?体重跟吃的冰淇淋有关。
?冰淇淋的消耗量跟每周弹多少小时钢琴无关。
现在，用排序（或统计学家喜欢的标准分数 standard score），我们写出下列的公式：
体重＝年龄＋冰淇淋的消耗量
弹钢琴＝年龄＋每周练习的时数
我们可以看到当我们用体重去预测钢琴弹奏时，会有回归的现象发生，用钢琴弹奏去预测体重时，也是一样。假如你对汤姆的全部所知只是他在体重上排序是20（这是在平均值之上），你可以推论（统计上）他可能比一般孩子年纪大一点，同时也吃了比别人多的冰淇淋。假如你对芭芭拉全部所知是她在钢琴弹奏是排序85（比平均值低很多），你可以推论她可能年纪比较小，她比一般儿童练习的少。
这两个测量之间的相关系数 (correlation coefficient) 在0和1之间变动，是他们共有因素之间的相关分量的测量。例如我们都跟我们的父母共享一半的基因，所以在身高上，环境因素的影响就很小，父母和子女在身高上的相关大约是0.50，要了解相关的测量，下面是相关系数的一些例子：
?物体大小的测量在英制和公制的相关是1，任何影响一个测量的因素也同样影响另一个测量。他们共享100%的决定因素 (determinants)。
?美国男性自我报告的身高和体重的相关是0.41，假如你把妇女和小孩包括进去，这个相关就高很多，因为每个人的性别和年龄会影响他们的身高和体重，把他们共享因素的分量提高了。
?美国SAT测验分数和大学GPA（平均分数）分数之间的相关大约是0.60，然而，性向测验和研究所的成功表现之间的相关低了很多。很大一个原因是性向的测量在这个特别选定的团体中，差异性很小。假如每一个人都有类似的性向，这个测量的差异就不太可能在测量成功上扮演大的角色。
?美国人收入和教育程度的相关大约是0.40。
?家庭收入和他们家电话号码的最后四个数字的相关是零。
高顿花了好几年才了解相关和回归不是两个概念，而是同一概念和两个不同层面。一般的规则是非常简单明了，但是却有令人惊奇的结果：当两个分数之间的相关是不完美时，就会有向平均值回归的现象发生。要说明高顿的真知卓见，请看一下大部分人觉得很有趣的命题：
很聪明的女人常会嫁给没有她们那么聪明的男人。
你在宴会中可以用这个去开始一个好的谈话，请你的朋友解释为什么，他一定会跟你聊下去。即使懂统计的人也常会很自动地从因果去解释这句话。有的人甚至认为很聪明的女人为了要避免和跟她一样聪明的男人竞争，或是被迫妥协去嫁不及她聪明的男人，因为聪明的男人不想要跟聪明的女人竞争。在一个好的宴会中，还会有很多你想不到的各种解释出现。现在来看下面这个句子：
配偶之间智慧的相关不是完美的。
这句话显然是真，只是很无趣。谁会期待夫妻两个人的智慧都一样？这里没有什么值得解释，但是你觉得有趣的事实和你觉得无趣的数字是相同的。假如配偶之间智慧的相关是不完美（假如男人和女人在智慧的平均值上没有差别），那么在数学上，高智慧的女人嫁给比她们智慧低的男人就是不可避免（反之亦然）。这个回归到平均值的观察就不可能比不完美相关更有趣或更有解释力。
