对数在这儿挺管用，玻尔兹曼的公式也就得出了我们觉得叫
作“熵”的东西应当有的那种特性——具体而言，就是将两个系统合并
时，总的熵正是一开始两个系统熵的总和。这个貌似简单的方程使微观
原子世界和我们观察到的宏观世界之间产生了定量联系[134]。
气体盒子又回来了
作为例子，我们可以计算一下图42所示的隔板上有个孔的气体盒子
的熵。宏观上可观测的只有左侧或右侧的分子总数。（我们不知道具体
都是哪些分子，也不知道这些分子精确的坐标和动量。）这个例子中的
数量W就是在不改变左侧和右侧分子数的情况下我们可以有多少种方式
分配这一共2000个分子。如果有2000个粒子在左侧，那么W等于1，lgW
等于0。部分其他情况见表1。
在图43中我们会看到，根据玻尔兹曼的定义，我们这个气体盒子中
的熵会如何变化。我把比例调整了一下，让盒子可能的熵的最大值等于
1。盒子中的熵开始时相对较低，对应于图42中的第一部分，即有1600
个分子在左侧，400个分子在右侧的情况。随着分子逐渐溜过中间隔板
上的孔，熵倾向于增加。这是演化的一个特例，因为我们的“物理定
律”（每个粒子每秒有0.5%的机会换边）涉及概率，每个特例的细节会
略有不同。但在绝大多数情况下熵都会增加，而系统会倾向于变成对应
的微观重排数量更大的宏观布局。热力学第二定律在行动。
表1 隔开的盒子中有2000个粒子，一些粒子在左侧，另一些在右侧，
对应的重排方式数量W及其对数
根据玻尔兹曼和他的朋友们的说法，这就是时间之箭的缘起。我们
开始时的这组微观物理定律是时间反演不变的：过去和未来之间没有区
别。但我们要处理的系统有大量粒子，我们不会追踪所需要的所有细节
来完全指定系统所处的状态；相反，我们追踪的只是一些可观测的宏观
特征。熵代表的是宏观上不可区分的微观态的数目（这里的意思是“与
该数字的对数成正比”）。合理的假设是系统会倾向于向对应的可能状
态更多的宏观布局演化，在这个假设下熵自然会随着时间增加。特别是
如果熵自发降低，那就相当令人惊讶了。出现时间之箭是因为随着时间
流逝，系统（或宇宙）自然而然就会从少见的布局演变为更常见的布
局。
图43 隔开的气体盒子中熵的演变。一开始大部分气体分子都在左侧，但正如我们在图42中已
经看到的，随着时间流逝，气体分子的分布逐渐变得平均。熵也相应增加了，因为分子平均分
布的方式比大部分都分布在某一侧更多。为方便起见，此图是根据熵的最大值来绘制的，因此
这张图上熵能达到的最大值就是1
所有这些表面看起来都貌似合理，事实证明也基本都是对的。但在
这个过程中我们有一些“合理的”逻辑跳跃，值得仔细研究。本章剩下的
部分我们会揭露玻尔兹曼对熵的思考中那些各种各样的假设，并尝试厘
清这些假设有多合理。
有用的能量和没用的能量
这个气体盒子的例子有个特征很有趣，就是时间之箭只是暂时的。
在气体找到机会让自己平均分布之后（图43中时间坐标值150左右的地
方），就不会再发生什么大事了。个别分子还是会在盒子的左右两边弹
来弹去，但这些变动总倾向于自己平均掉，系统绝大部分时间都会处于
两侧的分子数大致相等的状态。这些布局对应的就是个别分子的重排数
量最大的情况，相应地也就有系统可能拥有的最大的熵。
熵为最大值的系统处于平衡态。一旦达到平衡态，系统基本上就哪
里都不会去了；系统所处的布局是它能找到的最自然的状态。这样的系
统没有时间之箭，因为熵不会增加（也不会减少）。对宏观的观察者来
说，处于平衡态的系统看起来是静止的，不会有任何变化。
理查德·费曼（Richard Feynman）在《物理定律的本性》中讲了一
个故事来说明平衡态的概念[135]。假设你坐在沙滩上，突然遭遇了一场
瓢泼大雨。你随身带了一条毛巾，但在你冲进躲雨的地方之前还是会弄
湿。你找到了一个躲雨的地方，于是开始用这条毛巾把自己擦干。有那
么一阵儿毛巾还管用，因为它比你还是要干燥一些的，但很快你就发现
毛巾变得太湿了，拿它擦身子只会是一擦干马上又湿了。你和毛巾达到
了“湿平衡态”，没办法让你变得更干。你的情形让水分子能在你和毛巾
上面排列自己的方式达到了最大数值[136]。你们一旦达到平衡态，毛巾
就其本来的目的（让你变干）来说就不再有用了。请注意，你擦干自己
的时候总的水量并没有变，这些水只是从你身上转移到了毛巾上面。与
此类似，在一盒与外界隔绝的气体中，总能量也不会变。能量是守恒
的，至少在我们可以忽略空间扩张的情况下如此。但能量可以被安排成
更有用或更没用的形式。如果能量被安排在低熵布局下，就可以被利用
做一些有用功，比如推动一辆汽车。但同样大小的能量如果是处于平衡
态的布局，那就完全没用了，就好像跟你处于湿平衡状态的毛巾一样。
熵衡量了能量布局有多有用[137]。
再想一想我们那个隔断了的盒子。但这次的隔断不是中间一块固定
的隔板，上面还带个孔，只能被动地让分子来来回回运动；这次的隔板
可以运动，还在上面装了个柄，可以连到盒子外面。这样我们构造出来
的就是一个活塞，在合适的条件下可以用来做功。
图44描述了我们这个活塞所处的两种不同情形。上面两幅图所显示
的活塞处于气体的低熵布局——所有分子都在隔板的同一侧；而底下那
两幅图显示的是高熵布局——两侧气体分子数量相等。假设这两种情形
下的总分子数、总能量都相等，唯一的不同就是熵。但是很清楚，两种
情形下会发生什么大相径庭。在上面两幅图中，所有气体都在活塞左
侧，分子撞击活塞的力量会形成压力，将活塞推向右侧，直到气体充满
整个容器。活塞运动的柄就可以用来做有用功——驱动飞轮或是类似的
东西，至少能坚持一会儿。这个过程从气体中提取了能量，到结束时气
体的温度会降低。（汽车发动机里的活塞就是这么工作的：点燃气化的
汽油，产生炽热的蒸汽，再通过膨胀和冷却来做有用功，推动汽车。）
图44 隔断的盒子中的气体，用于推动汽缸。上方气体处于低熵状态，可以将活塞推向右侧做
有用功。下方气体处于高熵状态，无法向任何方向推动活塞
同时在下面两幅图中，我们假设一开始气体中蕴含的能量是一样
的，但初始状态的熵要高得多——隔板两边的粒子数是一样的。高熵意
味着平衡态，同样也意味着能量是没用的，我们也确实看到活塞哪儿都
没去。来自隔板一侧的气体压力刚好被来自另一侧的压力抵消了。这个
盒子里气体的总能量跟左上角盒子里的一样，但在左下角这种情况下，
我们无法利用这些能量让活塞动起来，做点有用的事情。
这样有助于我们理解玻尔兹曼关于熵的观点和鲁道夫·克劳修斯关
于熵的观点之间有什么关系，而最早系统阐述第二定律的就是克劳修
斯。请记住，克劳修斯和那些先贤完全没有从原子论的角度考虑熵的问
题，他们觉得熵是一种自主的物质，有其自身的运动机制。克劳修斯版
第二定律的原始版本甚至压根儿就没提到熵，只是简单陈述为：“热量
绝不会自发从低温物体流向高温物体。”如果把两个温度不同的物体放
在一起互相接触，两者就会趋向一个共同的中间温度；如果把两个温度
一样的物体放在一起互相接触，两者就只会保持这个状态。（这两个物
体处于热平衡。）
从原子论的角度来看，这些全都说得通。考虑两个温度不同的物体
互相接触的经典例子：一杯温水中的冰块，上一章结尾的时候我们就讨
论过。冰块和液体都是由完全一样的分子构成的，即H2O。唯一的区别
是，冰块的温度要低得多。我们也讨论过，温度衡量运动中的物质分子
的平均能量，因此液态水中的分子相对来说运动得很快，冰块中的分子
则运动得很慢。
但这种情形——一组分子运动得很快，另一组运动得很慢——在概
念上跟两组分子限制在盒子两侧的情形没有什么不同。两种情形对我们
如何重排那些粒子都有一个粗略的限制。如果我们的杯子里只有水而且
温度恒定，那么我们可以将杯子里某一部分的分子跟另外某部分的分子
互换，从宏观上也看不出有任何差别。但如果杯子里有个冰块，就没法
简简单单将冰块里的分子跟杯子里其他地方的水分子交换一下了——冰
块会换地方，就算是从日常的宏观视角，我们也肯定会注意到这一点。
将水分子分为“液体”和“冰”会对我们能重排的次数带来严格限制，因此
这个布局的熵很低。随着冰块与杯子里别的水分子逐渐平衡，水分子的
温度趋于均匀，熵也增加了。克劳修斯的法则说的是温度倾向于平均，
而不是自发从低温流向高温，跟玻尔兹曼所定义的熵在封闭系统中绝对
不会下降的陈述完全等价。
当然，这并不意味着不可能给物体降温。但在日常生活中，我们周
围的东西几乎都处于类似的温度，要给物体降温就需要比升温更复杂的
技巧。冰箱就比烤炉要来得复杂。（冰箱工作的基本原理跟图44中的活
塞一样，通过气体扩张提取出能量，并让气体降温。）格兰特·阿卡兹
（Grant
Achatz）是芝加哥阿利尼亚餐厅的大厨，他希望能有一种装
置，可以像平底锅快速加热食物一样把食物快速冷冻，就不得不跟烹饪
技术专家菲利普·普雷斯顿（Philip Preston）合作自己造一个。结果就是
微波炉大小的“反扒炉”，金属顶部可以达到零下34摄氏度。热糊糊和酱
汁倒在反扒炉上面，底部就会快速冻结，而顶上还是软的。现在我们跟
热力学基本原理已经是老相识了，但为了好好利用这些原理，我们还在
不断发明新的方法。
莫为细节担忧
星期五晚上你跟几个朋友在外面一起打台球。这回我们说的是现实
世界里的台球，不是那种能忽略摩擦和声音的“物理学家的台球”了
[138]。你们当中有个哥们儿刚刚打了一杆漂亮的开球，那些球在整个桌
面上四散开来。它们停了下来，你正在考虑你的下一杆怎么打，这时候
有个陌生人走过来，惊叹道：“哇！没法相信啊！”
你有点儿懵圈，于是问她这里面到底有什么是没法相信的。“看看
这些球，刚好处于桌子上的那些位置！你能把所有这些球都很精确地打
到这些点上的机会有多大？给你一百万年，你也不可能重复得出来！”
这位神秘陌生人真有点儿疯癫——可能是在统计力学的基础上读了
太多哲学小册子，被搞得有点儿癫狂。但她确实说对了一点。桌面上有
几个球时，这些球的任意特定布局都极不可能。这个问题可以这么想：
如果你把母球打进一堆随机放置的花球，然后这些花球乒乒乓乓到处游
走，到停下来的时候刚好完美地排列成好像刚刚用三角框排起来的样
子，你肯定会大吃一惊。但这种特定排列（所有球正好排在起始位置
上）跟其他任何精确排列相比，不寻常的程度既不会更多也不会更
少[139]。我们有什么权力单拎出台球的某些布局，就说这些布局“太惊人
了”或“不大可能”，而别的似乎就“平淡无奇”或是“随机”？
这个例子指出了玻尔兹曼熵的定义中的核心问题，及对热力学第二
定律的相关理解：谁来决定系统的两个特定微观态什么时候从宏观视角
看起来一样？
玻尔兹曼熵的公式有赖于数量W的概念，我们将其定义为“我们能
重排系统微观组分而不改变其宏观表现的方式有多少种”。上一章我们
将物理系统的“状态”定义为该系统在时间中唯一演化所需全部信息的完
整描述，在经典力学中，就是所有单个组分粒子的位置和动量。现在我
们考虑的是统计力学，用微观态这个词来指称系统的精确状态很有用，
相对的就是宏观态这个词，用来表示仅从宏观上可以观测到的那些特
征。那么，W的定义简略表达就是“对应于特定宏观态的微观态的数
量”。
对于用隔板一分为二的盒子来说，任一时刻的微观态就是盒子里所
有单个分子的位置和动量。但我们在追踪的全部信息只是有多少分子在
左侧，有多少在右侧。毫无疑问，将分子分为一定数量在左侧一定数量
在右侧的每种分法，就定义了盒子的一个个“宏观态”。而我们对W的计
算就只是数一下每个宏观态有多少微观态[140]。
选择只追踪盒子每一半当中有多少分子，这时来看似乎太幼稚了。
不过我们也可以假设追踪更多信息。实际上，如果我们要面对的是真实
房间里的空气，我们要跟踪的信息就比有多少分子在房间的哪一侧要多
得多。比如说，我们可能得追踪空气中每一点（或至少是数量有限的一
些位置）的温度、密度和压力。如果空气中有不止一种气体，我们可能
还得分别追踪每种气体的密度等信息。当然，这跟房间里所有分子的位
置和动量比起来，信息还是少多了，但选择哪些信息作为宏观可观测量
来“记录”，而哪些信息又是可以“忘掉”的无关信息，似乎并没有特别明
确的定义。
将某特定物理系统（盒子中的气体，一杯水，宇宙）的微观态空间
分组并标记为“宏观上不可区分”的过程，叫作粗粒化。这个过程有点儿
像是黑魔法，在我们对熵的思考中有至关重要的作用。在图45中我们描
述了粗粒化是怎么起作用的，就是系统所有状态的空间分成多个区域
（宏观态），同一区域之内的微观态从宏观视角来看都无法区分。区域
中的每一点都对应不同的微观态，而给定微观态的熵与其所属宏观态区
域的面积（其实是体积，因为这是维数非常高的空间）的对数成正比。
有了这样的图像，为什么熵倾向于增加就非常清楚了：低熵状态对应的
只是状态空间中非常小的一块区域，从低熵状态出发，只能预期一个普
通系统会向位于大体积、高熵区域的状态演化。
图45 粗粒化过程就是将所有可能的微观态的空间划分成从宏观上来看不可区分的区域，也就
是宏观态。每个宏观态都有相应的熵，与该状态在状态空间所占体积的对数成正比。为清晰起
见，低熵区域的尺寸被放大了。现实中的低熵区域跟高熵区域相比，有如一粟之于沧海
图45未按比例绘制。真实的例子中，跟高熵宏观态相比，低熵宏观
态要小得多。我们在隔断盒子的例子中已经看到，对应于高熵宏观态的
微观态的数量，跟低熵宏观态的相关数字比起来就是天文数字。从低熵
状态出发，一点儿都不用奇怪系统会步入状态空间中更宽敞的高熵区
域；但如果一开始就是高熵状态，典型系统会在高熵区域闲庭信步好
久，碰都不会碰一下低熵区域。平衡态就是这样，并不是微观态真的是
静态的，而是微观态绝不会离开它所处的高熵宏观态。
整个过程应该会让你觉得有点儿好玩。两个微观态如果在宏观上无
法区分，就属于同一个宏观态。但这只不过是“如果我们无法在宏观视
角上看出两者之间的区别”的高级说法。这个陈述中应该是“我们”的出
现让你觉得不对劲儿。不管以什么方式，为什么得涉及我们的观察能
力？我们宁愿将熵看成是这个世界的特征，而不是我们感知世界的能力
的特征。两杯水如果整杯都温度相同，就算水分子位置和动量的确切分
布不一样，那也处于同一个宏观态，因为我们没法直接测量所有这些信
息。但是如果我们碰到一群观察力超级敏锐的外星人，能盯着一杯液体
看出所有分子的位置和动量，那又怎样呢？这群外星人会觉得压根儿就
没有熵这么个东西吗？
这些问题有几个不同的答案，但没有哪一个得到了统计力学领域所
有人的广泛认可。（如果有一个得到广泛认可的，我们也就只需要这一
个答案了。）我们来看看其中两个。
第一个答案是，真的没关系。也就是说，如果是为了你面前的特定
物理情形，怎样将微观态捆绑为宏观态可能是有很大关系的，但如果我
们只想辩论一番像是第二定律之类的有效性，那么最后怎么捆绑并不重
要。从图45可以很清楚地看到，为什么第二定律应该成立：跟高熵状态
对应的空间比低熵状态的要大得多，因此如果我们从后者出发，很自然
地就会向前者靠拢。但无论我们实际上是怎么粗粒化的，上述结论都始
终成立。第二定律坚如磐石，尽管依赖于熵的定义（状态空间中区域体
积的对数），但并不依赖于我们选择哪部分体积的确切方式。然而，在
实践中我们确实做了某些选择而没有选择别的，因此这次尝试尽管很明
显是想避免这个问题，但并不能完全令人满意。
第二个答案是，选择如何粗粒化并非完全武断，而是由广大人民群
众构想出来的，即使有些人的选择确实关系很大。事实上，我们粗粒化
的方式从物理上看起来很自然，而不仅仅靠心血来潮。比如说，我们追
踪一杯水中的温度和压力时，真正要做的是去除所有只能通过查看微观
态才能测量到的信息。我们观察的是空间中相对较小的区域的平均特
征，因为我们的感官也就能做到这样子。我们选择这样做的时候，就会
得到一组定义得相当完善的宏观观测数据。
在空间中较小区域内的平均，不是我们随机进行的过程，也不是我
们人类的感官因为跟假想的外星人的感官截然不同而产生的独特之处。
考虑到物理定律是怎么起作用的，这个过程非常自然[141]。当我去看一
杯咖啡，并打算区分一勺牛奶刚刚加进去和这勺牛奶已经充分混合这两
种情形时，我不会变戏法一样随随便便就掏出一种将咖啡状态粗粒化的
方法；咖啡在我看来是什么样子，这是我直接看到的现象。因此，尽管
原则上我们选择如何将微观态粗粒化为宏观态似乎完全是随心所欲，但
在实践中自然界给了我们一种非常明智的方法。
熵反向运行
玻尔兹曼对熵做出的统计定义带来了一个意想不到的结果：第二定
律并非绝对成立——定律所描述的只是有极大可能的行为。如果我们从
中等熵的宏观态出发，那么该宏观态的几乎所有微观态都会在未来朝着
熵更高的状态演化，但实际上也会有极小一部分微观态向低熵演化。
很容易构造一个清晰的例子。考虑一盒子气体，其中所有的气体分
子刚好全都聚在盒子中央，处于低熵布局。如果我们放手让它演化，分
子就会四下运动，彼此互相碰撞或与盒子内壁碰撞，最终（以极大概
率）变成一个熵高得多的布局。
现在考虑上面这盒气体在变成高熵状态之后某时刻的特定微观态。
从这个状态出发构建一个新状态，让所有分子都待在完全相同的位置，
但精确地反转所有分子的速度。新状态的熵仍然非常高——跟原来那个
状态属于同一个宏观态。（如果有人突然让你周围所有空气分子的运动
速度全都反向，你绝对注意不到；平均而言所有方向上的运动分子数量
都一样。）从这个新状态出发，分子的运动就会是刚好原路返回先前的
低熵状态。对外部观察者来说，就好像是熵自发降低了（图46）。具备
这一特性的那一小部分高熵状态占的比例微不足道，但肯定是存在的。
图46 上面两幅图所示为盒子中的分子从低熵初始状态向高熵最终状态的一般演化。在下面两
幅图中，我们仔细反转了所有粒子在上面两幅图的最终状态的动量，从而得到时间反转的演
化，熵在这个演化过程中降低了
如果相信基本定律是可逆的，我们甚至可以假想整个宇宙都是这个
样子。看看我们今天的宇宙：由一些特定的我们并不知道的微观态描
述，但我们知道这些微观态所属宏观态的一些特征。现在我们让全宇宙
所有粒子的动量都反向，此外如果还需要做什么额外的转换（例如将粒
子都换成反粒子）才能让时间反演不变严格成立，那也就统统做了。然
后放手不管。我们将看到的就会是朝向宇宙坍缩的“未来”，恒星和行星
消散，熵普遍降低。只是我们这个真实宇宙的历史在时间上倒着放而
已。
然而，整个宇宙的时间之箭都是反的，这样的思想实验跟只是宇宙
的某些子系统有反向的时间之箭比起来要无趣得多。原因很简单：没有
人会注意到前者。
