大了，而指数只需要用中等大小的数就能表示非常大的数。在第13章中
我们曾讨论过，要描述我们宇宙中这个共动区域的可能布局，所需要的
不同状态的总数大致为
1010120
这个数字太大了，大到超乎想象。如果不用指数，真不知道要描述
出这个数会有多难。
为了好好体会一下这个数字究竟有多大，我们来看看别的大数。十
亿是109，万亿是1012；在讨论经济学和财政预算时，这些数字都已经让
我们耳朵起茧子了。可观测宇宙中的粒子总数为1088，这也是早期宇宙
的熵。现在有了黑洞，可观测宇宙的熵变成了大约10101，但可以想象，
这个数最高能高到10120。（10120这个数也是预测的真空能量密度与观
测到的密度之间的比值。）
我们拿下面这些数来比较一下：宏观对象（比如一杯咖啡）的熵约
为1025。这个数跟阿伏伽德罗常量有关，即6.02×1023，1克氢原子所含
的原子数大致就是这个数。地球上所有沙滩上全部沙粒的总数约为
1020。通常一个星系中的恒星数量约为1011，而可观测宇宙中也有大约
1011个星系，因此可观测宇宙中的恒星约有1022颗——也就比地球上的
沙子多一点儿。
物理学家会用到的基本单位包括时间、长度和质量，或这些单位的
组合。最短的有意义的时间是普朗克时间，为10-43秒。据推测，暴胀持
续了大约10-30秒或更短，不过这个数字极不确定。大爆炸之后大约100
秒，宇宙用质子和中子创造了氦；到了38万年（1013秒）之后的复合时
期，宇宙就变透明了。（一年约有3×107秒。）可观测宇宙现在的年龄
是140亿年，大概是4×1017秒，而再过10100年左右，所有黑洞就都会基
本上蒸发殆尽，只剩下一个空寂、寒冷的宇宙。
最短的长度是普朗克长度，约为10-33厘米。质子的大小约为10-13厘
米，而人类的高度大约是102厘米。（这个人真够矮的，不过我们这里
只关心数量级。）从地球到太阳的距离约为1013厘米，到最近的恒星则
有1018厘米，可观测宇宙的大小则是1028厘米左右。
普朗克质量约为10-5克——对粒子来说这可是重于泰山，但是从宏
观标准来看又完全微不足道了。质量不为零的最轻的粒子是中微子，我
们无法确定其质量究竟是多少，但最轻的中微子似乎约为10-36克。质子
约为10-24克，人体重约有105克。太阳质量约为1033克，星系则是1045克
的样子，整个可观测宇宙中的总质量则为1056克左右。
对数
对数是天底下最简单的事情：只不过可以用来抵消指数函数而已。
也就是说，如果有个数能表示为10x的形式（所有正数都能这么表
示），那么其对数就是
lg10x=x
还能有什么比这更简单呢？同样地，指数也能抵消对数：
10lgx=x
另一种思路：如果一个数刚好是10的多少次方（比如10、100、
1000，等等），那么对数就是前面那个1的后面0的个数：
lg10=1，
lg100=2，
lg1000=3.
但是跟指数函数一样，对数也是平滑的，如图89所示。2.5的对数
约为0.3979，25的对数约为1.3979，250的对数约为2.3979，等等。唯一
的限制是我们无法取负数的对数，这也说得通，因为对数是指数函数的
反函数，而通过指数运算我们无论如何都不可能得到一个负数。粗略地
讲，对大数来说，对数就是“这个数字有多少位”。
图89 对数函数lg x的图像。负数没有对数，而随着x从右侧越来越接近0，对数值趋于负无穷
就像和的指数等于指数的乘积一样，对数也有个相应特性：乘积的
对数等于对数的和。即
lg（x·y）=lg x+lg y
正因为这个迷人的特性，对数在熵的研究中才如此重要。我们在第
8章中讨论过，熵的物理性质是两个系统合在一起的熵等于单独两个系
统的熵相加。但要想得到联合系统可能状态的总数，你得把这两个系统
的状态数相乘才行。因此玻尔兹曼得出结论，熵应该是状态数的对数，
