[88]基普·索恩（Kip
Thorne）指出，“祖父悖论”似乎有点儿小题大做，引入了额外的一代人不
说，还有点儿父系社会的意思。他建议我们可以试试“弑母”悖论。
[89]这条规则有时候会上升到原则的地位，讨论可参见Novikov（1983）或Horwich（1987）。
像是Hans Reichenbach（1958）和Hilary Putnam（1962）也曾强调，闭合类时曲线并非必然会引
出悖论，只要时空中的事件在内部前后一致就行。其实，这只不过是个常识罢了。很明显现实
世界没有悖论；自然界是如何成功避开悖论的，是个很有意思的问题。
[90]到第11章我们讨论量子力学时，还会稍微回顾一下这个陈述。在量子力学中，现实世界可
能包含不止一种传统的历史。David Deutsch（1997）提出我们或许能利用多重历史，可以让你
处于冰河世纪，也可以让你不在冰河世纪。（还有无数种其他历史。）
[91]《回到未来》很可能是有史以来最不合情理的时间旅行电影了。马蒂·麦克弗莱从20世纪80
年代穿越到50年代，开始翻云覆雨，改变过去。更糟糕的是，只要被他干涉的事件本应已经发
生，这些事件的后果就会“立即”传播到未来，甚至还会影响到马蒂随身携带的一张全家福。很
难想象这个“立即”要怎么定义才说得通。虽然，兴许不是完全不可能——你可能得假设存在一
个额外的维度，具备一般时间的很多特征，马蒂的个人意识就是在这个维度上通过他的行为造
成的影响来传递的。很可能什么地方就有一篇优秀博士论文在讲这个问题：《时间和记忆的一
致本体论，以〈回到未来〉等为例》。不过我不确定这样的文章会归在什么专业。
[92]罗伯特·海因莱因（Robert A.Heinlein）的短篇小说《你们这些还魂尸》（All You Zombies，
1959年；该小说已于2014年改编为电影《前目的地》。——译者注）多多少少算是对存在闭合
类时曲线时让历史前后一致的最后探索。经过一系列时间跳跃和一次变性手术，主人公成功变
身为他/她自己的父亲、母亲以及进入时间局的招募人。但是也请注意，这段人生故事并非自我
包含的闭环，主角在未来也变老了。
[93]关于这一点的讨论可参看Friedman et al.（1990）。
[94]实际上，我们确实是坚定不移的决定论者。人类由粒子和场组成，而粒子和场严格遵循物
理定律；原则上（尽管肯定不是实际上）我们甚至都能忘了我们是人类，而只是将我们自身看
作基本粒子的复杂集合。但这并不意味着，真的存在闭合类时曲线的话，我们应当回避自由意
志有多古怪这样的问题。
[95]比起物理学家真正能够证明的，这里听起来还可以更加板上钉钉一些。实际上，在某些极
端简化情形下我们能证明，就算存在闭合类时曲线，未来也可以通过过去预测；可参阅
Friedman和Higuchi（2006）。似乎很有可能（不管怎样，至少在我看来吧），在更真实、更复
杂的模型中就不再是这样的情形了；但眼下还没有明确的答案。
[96]即便存在闭合类时曲线，我们也仍有可能将时空切割为常数时间的时刻——例如在简单的
时间回环宇宙中我们就能做到。但这是个非常特殊的例子，在更典型的具有闭合类时曲线的时
空中，不可能找到任何切片，能连续不断覆盖整个宇宙。
[97]很明显，旋转黑洞是个例外。当然，我们可以想象由旋转恒星坍缩形成这样一个黑洞，但
这里还有另一个问题：闭合类时曲线藏在事件视界后面，我们只有离开外界并一去不复返，才
能真的抵达那里。稍后我们将在本章中讨论，这个例外是否能算作脱身之计。或许更重要的
是，克尔找到的这个解所描述的旋转黑洞，只有在时空中绝对没有任何物质的理想情况下才成
立；这个黑洞原本就在那里，不是由恒星坍缩而来。广义相对论领域的大部分专家都相信，现
实世界中坍缩恒星绝不会产生闭合类时曲线，就算事件视界后面也不会有。
[98]Abbott（1899）；亦可参阅Randall（2005）。——作者原注（英文书名为Flatland，原作首
次发表于1884年，有多个中译本，译名或作《平面国》，或作《二维国》。——译者注）
[99]原文见Gott（1991），就此主题他还写过一本科普书（2001）。关于这项工作，你能读到的
几乎所有描述都不会讨论“在平面国运动的重物”，而是会说到“在四维时空中运动的绝对平直、
完全平行的宇宙弦”。这是因为这两种情形完全等价。宇宙弦是早期宇宙留下的假想遗迹，在微
观层面可以非常纤细，但也能延伸到天文尺度的距离。理想化版本会绝对平直、无限延伸，但
现实世界中的宇宙弦会以很复杂的方式极尽曲折。但是，如果宇宙弦绝对平直，那就没有什么
会依赖于时空中这样的弦延伸的方向。用术语来说就是，整个时空对于在弦上的平移和放大来
说都是不变的。实际上这就意味着，弦的延伸方向完全没有关系，我们完全可以忽略。如果我
们只是去掉这个维度，那么三维空间中无限长的弦就变得跟二维空间中的点状粒子等价了。对
于多根弦的集合也是如此，只要这些弦都绝对平直并一直保持彼此平行。当然，摆弄绝对平
直、无限延伸的弦的想法几乎就跟想象我们生活在三维时空中一样荒诞不经。这也没什么，毕
竟我们只是不切实际地假设一下，因为想把我们的理论推到极致，看看究竟能想到什么，区分
哪些在原则上就不可能，哪些只是艰巨的技术挑战。
[100]戈特的文章问世后不久，柯特·卡特勒（Curt Cutler，1992）证明了闭合类时曲线会无限延
伸，同样标志着这个解并不能真正看成是建造时光机（因为我们将“建造”看成是能在局部区域
内完成的）。Deser、Jackiw和Gerard’t Hooft（1992）检验了戈特的解，发现总的动量相当于快
子的动量。我和法里、古思以及Olum（1992，1994）一起证明了开放的平面国宇宙永远不可能
具有足够的能量来从无到有制造出戈特时光机。杰拉德·特·胡夫特则证明，封闭的平面国宇宙
会在闭合类时曲线有机会形成之前就坍缩为奇点。
[101]Farhi,Guth and Guven（1990）。
[102]我们可以从某个特殊视点出发，将一个平面看成是一个360°的角向外延展。平面国发生的
事情就是，每一点能量都会让你周围总的角度减少；我们说每份质量都对应一个“角度亏损”，
这个亏损的角度因为这份质量的出现而被从空间中移除。质量越大，移除的角度就越大。结果
从几何上看就像是远远看去的一个锥体，而不是一张平坦的纸。但可供移除的角度一共只有
360°，因此在开放宇宙中我们能拥有的总能量有一个上限。
[103]说“有点儿像”是因为我们讨论的是空间的拓扑结构，而非几何结构。也就是说，我们不是
在讲空间的曲率要处处都刚好等于球面曲率，而是你可以顺畅地将其变形为球面。球面拓扑结
构对应的角度亏损刚好是720°，是开放宇宙中可供亏损的角度值上限的两倍。考虑一个立方体
（在拓扑学意义上与球面等价），有8个直角，而每个直角都相当于90°的亏损，因此总的角度
亏损就是720°。
[104]Sagan（1985）。Throne（1994）提到，萨根的问题如何启发了基普·索恩建立虫洞和时间
旅行方面的理论。
[105]从年份可以明显看出，关于虫洞时光机的工作实际上早在平面国的探索中就已经开始了。
但平面国涉及的物理学比戈特的思想还要奇特，因此按这个顺序来讨论提议是合乎逻辑的。“虫
洞作为时光机”的原始文献是Morris,Thorne and Yurtsever（1988）。Friedman etal.（1990）详细
研究了虫洞时空中时间旅行可能的一致性，Thorne（1994）则以科普的方式讲述了这个故事。
[106]我曾为引入罗伯特·杰勒西的一次演讲介绍过他，这种情形下找点跟演讲人有关的趣闻轶事
大有裨益。因此我上网搜了一下，发现了非常合适的内容：一个以我们银河系的地图为主打特
色的《星际迷航》网站突出显示了名为“杰勒西虫洞”的东西。（显然是这个虫洞将贝塔象限和
德尔塔象限连接起来，与罗慕伦人唇枪舌剑的源头也是这个虫洞。）于是我用透明胶片打印了
这张地图，在介绍他时做了展示，大家都挺喜闻乐见。后来罗伯特告诉我，他以为这张地图是
我弄出来的，也很高兴看到自己关于虫洞的工作对外面的世界产生了有益的也有实际意义的影
响。Geroch（1967）证明，如果想建造虫洞，你得先制造一条闭合类时曲线出来。
[107]Hawking（1991）。霍金也在其结论中宣称，有观测证据可以证明，在时间中倒退是不可
能的，理由是我们还从来没有被来自未来的历史学家打扰过。（我敢肯定）他在开玩笑。就算
有可能从零开始建造出闭合类时曲线，这些曲线也绝不可能用于穿越到闭合类时曲线建造出来
之前的时间。因此并没有观测证据推翻建造时光机的可能性，能证明的只是现在还没有人造出
来而已。
[108]参见O’Connor and Robertson（1999），Rouse Ball（1908）。你可以记住，拉普拉斯是在
广义相对论出现之前，很早就在猜想有黑洞存在的人。
[109]显然拿破仑觉得这个回答很有趣。他把拉普拉斯的这句俏皮话讲给当时另一位杰出的物理
学家、数学家约瑟夫·拉格朗日（Joseph Lagrange）听，拉格朗日回应道：“哦，但这个假设多棒
啊，能解释好多事情呢。”见Rouse Ball（1908），427。
[110]Laplace（2007）。
[111]不用担心宇宙当中会有个拉普拉斯妖，在那儿洋洋得意地预测着我们的一举一动。首先，
这样一个妖怪必须和宇宙一样大，计算能力也要和宇宙本身一样强才行。
[112]Stoppard（1999），103-104。有人推测，瓦伦丁说的是混沌现象会破坏决定论的观点。混
沌机制非常真实，初始条件中极微小的变化都会导致稍后的演化中出现极大的不同。实际上，
这种现象使得对混沌系统——在我们对系统现状的了解中，总会有那么一些小误差——来说，
预测未来变得极为困难（但并非所有系统都是混沌系统）。我不大确定这样的争议对拉普拉斯
妖能有多大影响。实事求是地讲，我们没有可能了解宇宙的整个状态，更不可能以此预测未
来；这个概念总归只是原则上的。混沌带来的可能性根本不会改变什么。
[113]的确，物理学家不可能真的住在我们任何一个棋盘中，原因本质上与人类有关：对也许可
以认定为智慧观察者的复杂结构体来说，这个设定太简化了，不允许这样的结构体形成和演
化。这种憋死人的简洁可以归因为在不同元素之间缺乏有趣的“相互作用”。在棋盘世界中我们
将考察整个描述只有一种事物类型（像是垂直线或斜线）延伸开来，没有变化。一个世界要有
趣，里边的事物就得多少能持续一段时间，同时也会因为跟世界上其他事物相互作用带来的影
响而逐渐改变。
[114]这里的“某一刻”并不完全准确，因为（就我们所知）现实世界并不能分割成互不相连的一
刻一刻的时间。时间是连续的，从一个时间均匀流向另一个时间，并会经历其中所有可能的时
刻。但这也无伤大雅。尽管时间本身是连续的，但微积分恰好提供了合适的数学工具，来让“一
顿一顿地一次前进一个时刻”讲得通。
[115]请注意，空间平移和空间翻转（左右之间镜像反射）也是非常好的对称。只是从图上看的
话这一点没有那么显而易见，但这只是因为状态本身（0和1的规律）在空间平移或反射下是不
变的。你可能会觉得这些陈述毫无意义，有些对称性也可以存在，但事实并非如此。比如说，
我们无法交换时间和空间的角色。一般来讲，拥有的对称性越多，情形就会变得越简单。
[116]棋盘世界的整个思想有时候会被叫作元胞自动机。元胞自动机只是一些离散的网格，根据
某种规则由前一行的状态来确定下一行。最早的研究是约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）于
20世纪40年代进行的，也是这位仁兄搞清楚了熵在量子力学中有何作用。元胞自动机十分迷
人，原因有很多，但基本上跟时间之箭关系不大；它能展现极为复杂的情形，还能当成通用计
算机使用。参见Poundstone（1984）及Shalizi（2009）。
我们不只是把元胞自动机生拉硬拽出来却仅仅用于展现时间反演和信息守恒的一些简单特征，
这简直是大材小用；而且我们也没有用元胞自动机领域行家里手的日常用语来讨论问题。原因
之一是，计算机科学家通常认为时间是从上往下运行的。简直脑子有毛病，人人都知道在图表
上时间明明都是从下往上运行。更加值得注意的是，尽管我们说得好像每个方格要么处于“白
色”状态要么处于“灰色”状态，我们也承认，在我们叫作棋盘B的例子中，必须追踪的信息比准
确地演进到未来所需要的还要多。没问题，这只不过意味着在我们要面对的自动机中，“细
胞”可以处于两个以上的不同状态。你还可以想象，不只是白色和灰色，还可以允许方格有四种
不同颜色之一。但就我们当前的目的来说，不需要详细介绍到这么复杂的程度。
[117]如果物理定律并非完全决定性的——如果会涉及某些随机的、有可能发生的因素——那
么“确定”未来演化就会涉及概率，而不是确定性。重点在于，根据我们所运用的物理定律，状
态既包括所有需要的信息，也包括所有可能用到的信息。
[118]有时候人们将相对论当成是一种独特的理论，并将“经典力学”和“相对论力学”区分开来，
但更多的时候人们不会这样区分。在大部分情况下，将相对论看成是经典力学的特殊形式而非
全新的思考方式，是有道理的。例如，我们确定系统状态的方式，在相对论中和牛顿力学中就
是完全一样的。但量子力学极为不同。因此我们用到经典这个表述时，除非另有说明，通常都
是与量子相对而言的。
[119]没有人知道（至少我是不知道）牛顿自己有没有玩过台球，虽说他那个时代的英国肯定是
有这种游戏的。不过，我们倒是知道康德（Immanuel Kant）在学生时代靠台球（以及纸牌）挣
过零花钱。
[120]因此，动量并非只是个数字。动量是向量，通常用一个小箭头表示。向量可以定义为数量
（长度）加上方向，或是沿着空间中所有坐标方向的子向量（组分）的结合。例如，你会听到
有人讲，“沿着x轴方向的向量”。
[121]这是个好问题，也困扰了我好多年。学习经典力学时，在不同阶段你都会不时听到老师漫
不经心地跟你讲，动量与系统的真实轨迹可以完全不一致。怎么回事？问题在于，我们第一次
引入“动量”概念时，通常是将其定义为质量乘以速度。但是随着你对经典力学的探索越来越深
入，从某个时候开始，这个概念不再是个定义，而成了可以从基础理论中得到的概念。也就是
说，我们开始认为，动量的实质就是“在粒子路径上的每一点所定义的某种向量（数量和方
向）”，随后可以得到要求动量等于质量乘以速度的运动方程。（这就是哈密顿力学表述。）这
也是我们如何思考、讨论时间反演的方法。动量是独立的量，是系统状态的一部分；只有在物
理定律成立时，才等于质量乘以速度。
[122]David Albert（2000）对所有这一切提出了截然不同的看法。他建议，我们应该将“状态”定
义为只包含粒子的位置，而不是位置和动量（他管动量叫作“动态条件”）。他的论点是，状态
对每个时刻在逻辑上都应该是独立的——未来的状态不得依赖于现在的状态；但我们对状态的
定义完全不是这样，这就是艾伯特（Albert）的整个要点。但通过以这种方式重新定义，艾伯特
就能得出时间反演不变的最直接定义：“时间上逆序运行的状态序列遵循同样的物理定律”，而
不必援引任何听起来像是顺手随意选取的转换。他付出的代价是，尽管牛顿力学在该定义下是
时间反演不变的，但几乎再没有别的理论满足这一点，经典的电磁理论也折戟沉沙。艾伯特也
承认这一点。他宣称，传统理解认为电磁学在时间反演下不变，这种认识从麦克斯韦一直传到
现代教科书，但其实都是错的。你大概能猜到，这种立场招致了连珠炮似的谴责，例子可参见
Earman（2002），Arntzenius（2004），或Malament（2004）。
多数物理学家会说其实没什么关系。时间反演不变没有什么唯一正确的含义在世界上待着，等
着我们去摘取其实质。有的只是各种各样的概念，我们在思考世界如何运转时，可能会也可能
不会发现这些概念很有帮助。至于电子在磁场中如何运动，没有谁会有不同意见；他们不能达
成一致的，只不过是描述这个情景时该用什么样的措辞。物理学家喜欢说，哲学家总是小心翼
翼字斟句酌，好让人困惑；哲学家这边则喜欢说物理学家总是用一些自己也不知道到底是什么
意思的言语，真让人恼火。
[123]基本粒子有两种形式：一种是“物质粒子”，又叫“费米子”；另一种是“作用力粒子”，又
叫“玻色子”。已知的玻色子包括传递电磁相互作用的光子，传递强相互作用（核力）的胶子，
及传递弱相互作用的W玻色子和Z玻色子。已知的费米子可以规规矩矩地分成两类：六种不同
的“夸克”，受强相互作用影响结合在一起，形成复合子，例如质子和中子；六种不同的“轻
子”，不受强相互作用影响，可以自由移动。这两组各六种的粒子还可以进一步分成各三种粒子
的集合。有三种夸克的电荷数为+2/3（上夸克、粲夸克和顶夸克），剩下的三种夸克电荷数则
为-1/3（下夸克、奇夸克和底夸克）；有三种轻子的电荷数为-1（电子、μ子和τ子），剩下三种
轻子的电荷数则为0（电中微子、μ中微子和τ中微子）。还可以进一步添乱：所有夸克和轻子都
有相应的反粒子，所带电荷数相反，比如说反上夸克的电荷数是-2/3，等等。
借此我们能将中子（两个下夸克加一个上夸克）的衰变描述得更加具体：衰变实际上产生了一
个中子（两个上夸克加一个下夸克）、一个电子，还有一个反中微子。有个反中微子非常重
要，因为这样一来，轻子的总体数目没有变化：电子算是一个轻子，但反中微子算是负一个轻
子，因此互相抵消了。物理学家从未观测到有轻子总数或夸克总数变了的物理过程，尽管他们
认为这样的过程一定存在。毕竟，现实世界中似乎夸克比反夸克要多得多。（我们还不大了解
轻子的总数，因为宇宙中绝大部分中微子都很难探测到，而反中微子的数目应该也会非常
大。）
[124]“最简单”的意思是“质量最小”，因为要形成质量更高的粒子需要更多能量，而且就算形
成，这样的粒子也容易衰变得更快。最轻的两种夸克是上夸克（电荷数+2/3）和下夸克（电荷
数-1/3），但将上夸克和反下夸克组合起来得不到中性粒子，因此我们得去质量更大的夸克中
去找。接下来最轻的是奇夸克，电荷数为-1/3，因此可以与下夸克结合，形成K介子。
[125]Angelopoulos et al.（1998）。还有一项相关的实验由芝加哥郊外费米实验室的KTeV合作组
进行，是用一种稍微有些不同的方式通过中性K介子测量时间反演的不对称性（Alavi-Harati et
al.，2000）。
[126]引自Maglich（1973）。原始文献为Lee and Yang（1956）及Wu et al.（1957）。吴健雄怀
疑，其他物理学家也能很快重复这个结果；实际上，哥伦比亚另一个小组做了快速确认实验，
并与吴健雄等人各自独立地发表了实验结果（Garwin,Lederman and Weinrich，1957）。
[127]Christenson et al.（1964）。在粒子物理标准模型中，有一种既定方法可以解释CP不守恒。
这种方法由小林诚（Makoto Kobayashi）和益川敏英（Toshihide Maskawa）开发（1973年），
是将尼古拉·卡比博（Nicola Cabbibo）提出的想法一般化了。小林诚和益川敏英获得了2008年
的诺贝尔物理学奖。
[128]这里我们做了两个假设：其一，这些物理定律是时间平移不变的（不会随着时间的变化而
变化）；其二，这些定律是决定论的（未来可以绝对预测，而非只是推出一些可能性）。如果
任何一个假设不成立，那么某组定律是否是时间反演不变的定义就会变得有些微妙了。
[129]Wheeler（1994）中讨论了几乎一样的例子，但他将这个例子归功于保罗·埃伦费斯特
（Paul Ehrenfest）。在惠勒称为“埃伦费斯特瓮”的容器中，刚好有一个粒子每一步换一次边，
而不是每个粒子都有很小的机会换边。
[130]我们要有2个分子在右侧时，第一个分子可以是2000个中的任何一个，第二个可以是剩下
的1999个中的任何一个。所以你可能会觉得，有1999×2000=3998000种不同方式来实现。但这
样算肯定是有点儿算多了，因为右侧的两个分子肯定不需要区分先来后到的顺序。（比如
说，“723号分子和1198号分子在右侧”，就跟“1198号分子和723号分子在右侧”是完全一样的陈
述。）因此我们还要除以2来得到正确答案，也就是有1999000种不同方式让2个分子在右侧，
1998个在左侧。如果有3个分子在右侧，我们取1998×1999×2000然后除以3×2种不同的顺序。你
应该能看到规律了，对4个粒子就是用4×3×2去除1997×1998×1999×2000，以此类推。这些数字
有个名字，叫“二项式系数”，代表着我们从一大组物品中选取特定数量的物品出来可以有多少
种方式。
[131]这里我们假定对数是以10为底的，尽管任何数字都可以当成底数来用。8=23，所以8以2为
底的对数就是3；2048=211，所以2048以2为底的对数就是11。更多引人入胜的细节请参阅附
录。
[132]k的数值约为3.2×10-16尔格/开尔文。尔格是能量的一种单位，开尔文度量的当然是温度。
（这个数值在绝大部分参考文献中都找不到，因为我们用的是以10为底的对数，而这个方程更
常见的写法是用自然对数。）我们说“温度测量物体中运动分子的平均能量”时，意思是“每自由
度的平均能量是二分之一乘以温度乘以玻尔兹曼常数”。
[133]真实的物理学史要比基本概念的光鲜亮丽杂乱得多。玻尔兹曼提出了“S=k
lgW”的想法，
但他那时候用的不是这些符号。这个方程是由马克斯·普朗克写成这个形式的，也是普朗克建议
将这个方程刻在玻尔兹曼的墓碑上；第一个引入我们现在叫作“玻尔兹曼常数”的人，也是普朗
克。还可以更乱一点：墓碑上这个方程并不是通常所称的“玻尔兹曼方程”——后者是玻尔兹曼
发现的另一个方程，决定着大量粒子的分布如何在状态空间中演化。
[134]要让这个定义有意义，有一个条件就是我们实际上知道怎么数不同的微观态，这样我们才
能量化各种各样的宏观态都包含多少微观态。如果微观态形成一个离散的集合（就像在盒子的
这一半或另一半中的粒子分布），那上面的条件听起来还挺容易，但如果状态空间是连续的
（就像有特定位置和动量的真实粒子，或者几乎任何其他真实情形都是），那就会变得很棘手
了。好在动力学的两大主要框架（经典力学和量子力学）之内都有完美定义的状态空间的“度
量”，这就允许我们至少可以从原则上计算数量W。在某些特例中，我们对状态空间的理解也许
还有些不清不楚，这时候我们就得小心了。
[135]Feynman（1964），119-120。（本书中文版已由湖南科学技术出版社出版。——译者注）
[136]我知道你在想什么。“我不知道你怎么样，但是我擦干自己的时候，大部分水都去毛巾上
面了；可不是一半一半。”这倒是真的，但之所以会这样，是因为毛茸茸的毛巾有纤维结构，跟
你光滑的皮肤相比，能给水分子提供的地方要多得多。这也是为什么你的头发不那么好干以及
为什么你没办法用纸很好地擦干自己。
[137]至少在某些特定情形下是如此，但并非总是如此。比方说我们有一盒气体，其中位于左侧
的所有分子都是“黄的”，位于右侧的都是“绿的”，除此之外这些分子全都一样。这种排列的熵
会很低，如果允许这两种颜色混合，熵会倾向于急剧增加。但我们无法从中得到任何有用功。
[138]当然了，现实世界中摩擦和声音无处不在是因为第二定律。两个台球相撞时，每个球的所
有分子都能精确响应，使得互相弹开时不会以任何方式影响外界的排列方式；而这些分子能消
消停停地与周围的空气相互作用，从而产生两球相撞的响声的方式就要多得多了。我们日常生
活中所有形式的耗散——摩擦、空气阻力、声音，等等——都是熵增加趋势的表现。
[139]还是换一个方式来思考：强力球彩票要从1到59之间选5个数字，并希望这些数字看起来是
随机抓取的。下回你想买彩票的时候，就选数字“1、2、3、4、5”。这个序列跟其他任何“貌似
随机”的序列中奖概率都完全一样。（当然要是你真中了，全国范围的抗议声浪是免不了的，因
为人们会怀疑肯定有人暗箱操作。所以就算你真的走了狗屎运，也最好千万别去兑奖。）
[140]严格来讲，由于每个粒子可能的位置都有无穷多个，可能的动量也有无穷多个，因此每个
宏观态对应的微观态的数量也是无穷的。但是对左侧粒子来说可能的位置和动量可以跟右侧粒
子可能的位置和动量一一对应，尽管两者都是无穷大，但也是“同样的无穷大”。所以，每个粒
子在盒子中每一侧的可能状态数相等，这样说是完全合理的。我们真正在做的是计算与特定宏
观态对应的“状态空间的体积”。
[141]我们来稍微扩展一下，不过可能会变得极为抽象：上面我们是在空间中的小块区域做平
均，现在我们换个方式，在动量空间的小块区域内做平均。也就是说，我们可以讨论具有特定
动量的粒子的平均位置，而不是反过来看在特定位置的粒子的平均动量。但这样干有点儿不可
理喻，这些信息可没法通过宏观层面的观察得到。这是因为现实世界中的粒子在空间中相邻时
会相互作用（彼此撞在一起），但如果两个相距遥远的粒子动量相同，就不会发生什么特别的
事情。位置靠得很近的两个粒子，无论相对速度如何都会相互作用，但反过来说就不成立了。
（相距好几光年的两个粒子，无论两者的动量是多大，都不会有显著的相互作用。）因此，物
理定律选出了“在空间的小块区域中测量平均特征”，诚为明智之举。
[142]数学家诺伯特·维纳（Norbert
Wiener）在《控制论》中也有相关讨论，见
Cybernetics（1961），34。
[143]这儿有个空子。我们不去从精心设置的能让熵降低的初始条件出发，并让这个系统与外界
相互作用；我们可以问这样的问题：“假定这个系统会跟外界有相互作用，那么现在需要什么样
的初始状态才能使系统的熵在未来减少？”这种未来边界条件并非不可思议，但还是跟我们现在
脑子里想的略有不同。在这种情况下，我们有的不是什么带有自然反演的时间之箭的自主系
统，而是宇宙中所有粒子的共同作用来允许某个子系统的熵降低。这个子系统看起来不会是宇
宙中哪个普通物体的时间反演，而是整个外界都在合谋将它捣鼓进一个低熵状态。
[144]请注意，这里有条注意事项是“在室温下”。在足够高的温度下，单个分子的速度足够高，
水分子不再黏附在油分子上，因此充分混合的布局又一次有了最高的熵。（这个温度下的混合
物是蒸汽。）现实世界一团乱麻，统计力学太复杂，还是留给专业人士好了。——作者原注
[145]公式在此：对每个可能的微观态x，令px等于系统处于该微观态的概率，那么熵就是对所
有可能的微观态x的-kpxlgpx之和，其中k为玻尔兹曼常数。
[146]玻尔兹曼计算的实际上是数量H，代表熵的最大值与真实值之差，这个定理也因此而得
名。但H定理这个名字是后来才加上的，实际上玻尔兹曼自己甚至都没用过H字母，他管这个数
量叫E，更加让人觉得扑朔迷离。玻尔兹曼关于H理论最早的文章发表于1872年，更新版考虑了
洛施密特等人的一些批评，发表于1877年。我们不打算准确再现这些思想引人入胜的历史发
展；欲了解更多观点，可参看Von Baeyer（1998），Lindley（2001）及Cercignani（1998），更
加技术层面的内容则可参看Ufflink（2004）及Brush（2003）。特别是，任何耶鲁学生都可能会
为吉布斯的贡献有些受到冷落而惋惜，那么可参看Rukeyser（1942）补一下。
[147]请注意，洛施密特并没有说从同一个初始条件出发，熵增加的演变和熵降低的演变数量相
等。我们考察时间反演时，会将初始条件跟最终条件交换；洛施密特指出的只是，如果我们考
虑所有可能的初始条件，那么总体来看，熵增加的演变和熵降低的演变数量相等。如果我们将
自己局限在低熵初始条件中，当然可以成功证明熵通常都会增加；但要注意到我们是将低熵用
于初始条件而不是最终条件，这就掺进来了时间不对称。
[148]Albert（2000）；亦可参见Price（2004）。尽管我已经指出对过去假说的需求可以说是一
目了然，但其重要性也并非毫无争议。部分争议可参看Callender（2004）或Earman（2006）。
[149]学过一些统计力学的读者大概会想，为什么他们不记得真的这样做过。答案很简单：只要
我们是在试着预测未来，那就无关紧要。如果我们用统计力学预测系统的未来行为，那么我们
基于无差别原则加上过去假说得出的预测就会跟单凭无差别原则得到的预测没什么两样。只要
没有哪个假设需要特殊的未来边界条件，就都还好。
[150]引自Tribus and McIrvine（1971）。——作者原注（两人在此讨论的是在信息论中引入熵的
概念来作为不确定性的量度。克劳修斯最早在热力学中引入entropy这个概念时，希腊语源意
为“内向”，亦即“一个系统不受外部干扰时往内部最稳定状态发展的特性”，并定义热量变化值
除以温度等于熵变化值，也就是说是一个商数。1923年，德国科学家普朗克来中国讲学用到
entropy这个词，胡刚复教授翻译时灵机一动，用“商”字加火旁来意译“entropy”，创造
了“熵”字。——译者注）
[151]Proust（2004），47。——作者原注（此处译文参考译林出版社许均、李恒基等人译本。
——译者注）
[152]不过我们对大脑的了解也越来越多了。神经科学最新进展的综述可参阅Schacter,Addis and
Buckner（2007），该书揭示了真实的大脑重构记忆的方式与想象未来的方式惊人相似。
[153]Albert（2000）。
[154]Rowling（2005）。
[155]Callender（2004）。在卡伦德的版本中，结局不是你一命呜呼，而是宇宙终结，但是我不
希望这个结局跟大挤压场景混为一谈。不过说真的，多看看以“你坠入爱河”或“你中了彩票”为
未来边界条件的思想实验也挺好。
[156]Davis（1985，11）写道：“我会提出四条规则，但每一条都只是伟大的因果顺序原则的特
殊应用：在后的不能影响在前的……没有什么办法能改变过去……时间中流淌着单向箭头。”
[157]有很多参考资料对麦克斯韦妖的故事给出的内容比我们这里更加详细。Leff
and
Rex（2003）收集了大量原始论文，von Baeyer（1998）以这个小妖精为主题追溯了热力学发展
史，Seife（2006）对信息论及其在解开这个难题中发挥的作用作了精彩介绍。本尼特和兰道尔
也在《科学美国人》上撰文介绍了自己的工作（Bennett
and
Landauer，1985；Bennett，
1987）。
[158]这种情况还可以进一步详细说明。假设这个盒子浸在某个温度T下的热气体中，盒壁可以
传热，因此盒子里的分子可以跟外面的气体保持热平衡。如果我们能持续更新这个分子在盒子
哪一边的信息，我们就总是能明智地将活塞插进合适的一侧，一直从盒子里提取能量。等到分
子将能量传给活塞之后，又能从热气体中重新获得能量。这样就构造了一部永动机，仅仅靠着
我们假设的无限提供的信息就能驱动。（这样一来，“信息永远不会免费提供”的事实就很清楚
了。）西拉德甚至精确量化了从一比特信息中能提取出多少能量：kTlg2，其中k是玻尔兹曼常
数。
[159]19世纪初，在热力学领域有大量的开创性工作是由那些对建造更好的蒸汽机感兴趣也有切
实可行的想法的人做出的；有趣的是，20世纪在信息论领域，也有同样多的开创性工作是由那
些对建造更好的通信系统和计算机感兴趣也有切实可行想法的人做出的。
[160]我们还可以更进一步。就像吉布斯提出的熵的定义，涉及系统处于各式不同状态的概率，
我们也可以根据消息采取各种形式的概率来定义一个可能消息空间的“信息熵”。吉布斯熵的公
式和信息熵的公式结果证明是一样的，尽管公式中的符号意义略有不同。
[161]近期概述可参阅Morange（2008）或Regis（2009）。
