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技术性附录
A.切肤之痛和尾部机率
本节将分析有委托─代理问题存在时，尾部风险与报酬的机率性不相称。
伤害移转：如果一名代理人的随机变量报偿有上文件利益，却没有下档损失，而且只根据过去的绩效评量他的表现，那么他会有诱因，使用负偏态（或者推而广之，不对称）的绩效分布，隐藏左尾的风险。这可以概化到一个人没有承担他的行动带来的全部风险和负面后果的任何报偿。
令 P(K, M) 为 M 诱因期间，操作者的报偿：
其中是独立且相同分布的随机变量，代表一段期间，的利润分布，而··是「最低障碍」（hurdle），是过去的绩效状况没有达成时，停止时间的指标（也就是，在之前若干年中，表现出某一绩效的状况，否则报偿流就会终止，游戏结束，正诱因子停止）。常数是一种「代理人报偿」，或者从绩效而来的薪酬流，但它不必是金钱（只要它能量化为「效益」）。数量指在时间的曝险规模（原因在于伊藤滞后［Ito lag］，因为在··期间的绩效，只由之前 <s 期间的··决定）。
令为机率簇（family of probability），衡量。每一个量数相对于一定的平均值／偏态特征，而且我们可以在「中心性」（centrality）参数K的两边，对半分割它们的特质，成为「上层」和「下层」分布。我们把写成，如此和，分别是「上层」和「下层」分布，各相当于一定的条件期望值和。
现在定义为一个··中心无母数不对称量数，，正不对称的值 >1 ，负不对称的值 <1 。直觉上，偏态的机率和期望值是反向而动：负报偿愈大，补偿的机率愈小。
我们不假设「公平游戏」（fair game），也就是报酬没有界限。，我们可以写成m+ + m- = m。
常数··和单一条件停止时间的简化假设
假设··为常数，q = 1，并且简化停止时间条件为前面几期没有亏损，，这带出
由于假设代理人的报偿独立且相同分布，停止时间的期望值相当于停止时间的期望值乘以代理人的期望薪酬。而且。
停止时间的期望值，可以写成以前没有损失的条件下，成功的机率：
我们可以用不间断的一连串成功运行来表示停止时间。令Σ为连续成功运行的有序集合Σ≡{{F }, {SF }, {SSF },…,{(M – 1) 连续性S, F< }}，其中··是期间Δt成功，··是失败，相关的对应机率是
当Ｍ是很大的数时，由于，我们可以视前者几乎为等式，因此：
最后，代理人的期望报偿为：
它会因为(i)增加，(ii)将损失的机率减到最低而增加，但核心要点是，即使牺牲从整个集合而来的总期望值m，只要发生(i)和(ii)，也是这样。
图八、次级贷款危机期间破产的公司英地美（Indy Mac；摘自Taleb 2009）。从这张图可以看出在没有亏损的情况下，风险不断升高，直到轰然一声爆炸。
让人担忧的是，由于，如果来自分布的左端···，代理人并不关心总期望报酬率··下降。在偏态空间中观察，期望代理人报偿在分布··的最低值（vj 最大负不对称）的情况下达到最大。没有切肤之痛的正诱因总期望值，取决于负偏态，而不是取决于··。
B.机率可持续性和遍历性
动态风险承担：如果你重复承担风险──任何风险──计算方法是每个寿期的曝险，或者以缩短剩余寿期的方式。
毁灭特质：毁灭机率是在单一代理人的时间领域，而且不对应于状态空间（或集群）尾部机率。也不是这两个领域之间的可取代期望。代理人从状态空间估计算得到，对于尾部事件「高估」（将导致毁灭）所说的话，因此有瑕疵。关于代理人「理性」的许多理论，是根据错误的估计运算子或机率量数。
这是杠铃策略背后的主要原因。
这是随机变量和时间相依、路径相依微分函数报偿之间混为一谈的特殊情况。
用比较少的技术语言翻译如下：
如果平均四呎深，不要过河1。
简化的一般情况
拿个极其简化的例子来说，有正实数支撑的独立随机变量序列。古典机率理论的收敛定理处理总和或平均值的行为：依（弱）大数法则（机率收敛），。如同第十九章的赌场故事所说的，··无限大之后，产生机率的收敛，得到真正的平均报酬率··。虽然大数法则适用于可以完全以时间分隔的··次抽取，但它假设（若干）独立性，当然还有路径相依性。
现在考虑，其中每一种状态变量····是与时间单位 0 < t < T 连动。假设「时间事件」是由完全相同的机率分布P(Xi ) = P(Xi ,t) 抽取。
我们定义时间机率为单一代理人··随着时间的演变。
在终端存在的情况下，那是不可逆的、毁灭的，每个观察值现在都以前一个观察值的某个属性为条件，也就是在期间··发生的事，取决于 t -1 ，在 t -1 发生的事，取决于t -2 ，依此类推。我们现在有路径相依。
接下来就是我们所说的遍历性失败：
定理１（状态空间─时间不等式）：假定及，静态初期期间··的状态空间期望值为，是任何代理人··的时间期望值，两者都得自弱大数法则。我们有
证明：
。
其中是需要在上一个期间存活的指针函数。因此，··的··极限表现出时间期望值递减的现象：
。
我们实际上可以证明分歧。
。
令T＜∞，我们可以看出，藉迭代期望法则的递归，我们得到了所有Ｔ的不等式。
我们可以看到任何期间··，风险承担者集群的期望报酬率 ，而每个单一风险承担者保证最后会一无所有。
其它方法：我们也可以用一种衡量理论方法（a measure-theoretic way），更正式地处理证明过程：指出虽然「非毁灭」空间集不相交，时间集却不然。这个方法依赖一个事实，也就是对量数ν来说：
透过选择权，讨论尾部风险精算「高估」的几乎所有的论文（见Barberis 2003中的评论），因为定理一的不等式而归于无效。它们显然假设单一的决策或曝险，才有代理人存在。简单的说，原始的论文记载的「偏差」，假定代理人永远不会在他们的余生中再做另一次决策。
这种路径相依──如果只取决于毁灭──的一般解法，是引进一个X的函数，使集群（路径独立）的平均值和时间（路径相依）的平均值──或者以存活为条件的平均数──有相同的特质。自然对数似乎是不错的选择。因此，和属于相同的机率类别；因此其中之一相对于另一的机率量数是不变的──即所谓的遍历性。从这个意义上讲，在毁灭的情况下，分析绩效和风险时，有必要使用变量或左尾的有界性（boundedness；Kelly 1956）的对数转换（Peters 2011），同时将右尾的机会或左尾的有界性（Geman et al· 2015）最大化（Gell-Mann 2016）。
我们在这里说明的是，除非进行对数转换 （或者在X = 0时，类似──平滑──的函数产生-∞的毁灭集），否则两个期望值会分歧。预防原则的整个要点，是藉降低毁灭机率，以避免必须依赖对数或转换。
Peters和Gell-Mann（2014）在他们的权威性论文指出，白努利使用对数，不是为了凹性「效用」函数（concave “utility” function），而是与凯利准则（Kelly criterion）一样，要恢复遍历性。我们稍微做一点历史回顾：
·白努利发现在「效用」的假象下有对数风险承担。
·凯利和索普重新找到最大成长标准的对数为最佳的赌博策略。凡事都与效用无关。
·萨缪逊贬斥对数具侵略性，不晓得半对数（或部分对数［partial logarithm］），即在部分财富（partial of wealth）便可以做到。从门格尔（Menger）到艾洛（Arrow），经过切尔诺夫和萨缪逊，许多决策理论被证明犯了遍历性的错误。
·皮特曼（Pitman）于一九七五年指出，布朗运动在○时，受制于一个吸收壁，加上截尾吸收路径（censored absorbing paths），成为一个三维的贝塞尔程序（Bessel process）。存活路径的偏移是，并整合到对数中。
·彼得斯和盖尔曼恢复了遍历性的对数，此外，将凯利──索普的结果置于严谨的物理基础上。
·本书作者和奇里洛（Taleb and Cirillo 2015）发现对数作为独特的平滑转换，产生一个双对的分布，以消除单尾紧支撑（compact support），允许使用极值理论。
·我们可以证明（Briys and Taleb，进行中，以及私人通讯）有必要利用对数转换，作为简单的毁灭避免方法，而这正好是HARA效用类别的特殊情况。
调整定理一以适用于布朗运动
简化的讨论带来的含义，不会改变一个人是否使用更丰富的模式，例如受制于吸收壁、完全随机的过程。当然了，在自然环境下，以前的生命有可能全部消灭（也就是说，····可以是极端的负值），而不只是一个停止条件。彼得斯和盖尔曼的论点也消除了如果你加进厚尾（因此，结果大为严峻，推动等同于毁灭的某种水平），以及缺乏时间和集群的可替代性之后，所谓的权益溢价（equity premium）之谜。我们不再有难题。
如果一个人使用布朗运动式、受制于吸收壁的随机程序，现实生活中的这个问题是不变的。为取代我们将有的简化表示，对于受制于··的一个程序，有个如下所示的算术版本吸收壁：
或者，对于几何程序来说：
其中··是一个随机变数。
至于连续性时间，且考虑几何情况，令为停止时间。这种方法的目的，是让停止时间的简单期望值与剩余寿期保持一致──或者维持在相同的阶层中。
我们将注意焦点，从机率转移到毁灭的停止时间τ和剩余寿期之间的不适配。
C.机率可持续性原则
原则：一个单位需要冒任何风险，就好像它要在剩余的寿期内，一再──以指定的频率──冒险那样。
对下列论点来说，可持续性原则是必要的。虽然实验是静态的（我们见过状态空间和时间之间被混为一谈），生命却是持续进行的。如果你遭遇「一次性」风险的小小毁灭性机率，活了下来，然后再做一次（另一次「一次性」交易），你最后会毁灭的机率是一。混淆的原因是「一次性」风险看起来可能合理，但这也意味着另一次风险是合理的（见图九）。好消息是，有些类别的风险可以被视为机率实际上等于零：地球在三十亿年的期间内，每天经历数兆次自然变化而存活下来，否则我们不会在这里。我们可以使用条件机率参数（经存活者偏差［survivorship bias］调整），以消除系统中的毁灭机率。
现在，我们不必使t → ∞，也不需要永久的可持续性。我们可以只延长存活时间。··愈长，期望值操作数愈分歧。
以离散和简化的模式中，无条件的毁灭期望停止时间来说：，其中λ是每个期间的曝险次数，··是整体的剩余寿期，··是毁灭机率，两者都是在固定··的同一期间。由于，我们可以校准重复情况下的风险。预期寿命··愈长（以期间表示），毁灭的问题愈严重。人类和植物的存活期间短，大自然则不然──··至少为 108 年──因此 O(10-8) 的年毁灭机率和（增量更加紧密的）局部性毁灭机率最多为O(10-50 )。在个别物种生态系统的阶层愈高，毁灭问题愈严重。这个二元性取决于t → ∞；因此，对于非永久性、存活期间有限的项目来说，这方面的要求是不必要的。
厚尾论点：一个系统愈能交付大偏差，毁灭问题愈糟糕。
我们将更广泛地讨论厚尾问题。程序的变异显然十分重要；但是没有超过毁灭门坎的总体偏差无关紧要。
对数转换
在可持续性的公理下，亦即「一个人应该承担风险，就像你要永远这样做」，只有对数（或类似的）转换适用。
厚尾现象（fattailedness）是一种特质，在随机变量缺少紧支撑的情况下，通常令人担忧，当变量有界时，就不那么叫人忧心。但由于我们见到需要使用对数转换，在[0, ∞)中得到支撑的随机变量，现在在（-∞, ∞）得到支撑，因此，从极值理论导出的特质，现在可以应用到我们的分析中。同样的，如果定义伤害为一个正数，上界Ｈ对应于毁灭，则有可能将它从[0, H] 转换为 [0, ∞)。
Cramér和Lundberg在保险分析中发现了困难；见Cramér 1930。
遍历性批注2：遍历性在统计上不能识别，无法观测，而且有遍历性的时间序列未经测试，类似Dickey-Fuller之于稳态（stationarity；或Phillips-Perron之于整合阶［integration order］）。更重要的是：
如果你的结果取自时间序列的观察值，你如何能对集群机率量数做出宣告？
答案类似于套利（arbitrage），它未经统计测试，但重要的是，有一个机率量数确定了事前（「天底下没有免费午餐」的论点）。此外，以透过（例如）动态避险动作（dynamic hedging）的「自筹资金」（self-financing）策略论点来说。在极限上，我们假设，大数法则将压缩报酬率，而且永远不会有损失和到达吸收壁。它满足了我们的遍历性标准，但没有得到统计上的量数。此外，几乎所有关于跨期投资／消费（intertemporal investments/consumption）的文献都要求没有毁灭。
我们并没有断言某种证券或随机过程有遍历性，但是，由于它的集群机率（假设透过主观机率，以横断面方法取得，或者简单地由套利参数确定），风险承担策略应符合这些特质。所以遍历性涉及随机变量或程序的函数，而不是程序本身。此外，函数不应该允许毁灭。
换句话说，假设标准普尔五百股价指数（S&P500）有一定的期望报酬率「阿尔发值」（alpha），遍历性策略将生成一个策略，如凯利准则，以捕获假设的阿尔发值。如果没有的话，因为吸收壁或其它的东西，它没有遍历性。
D.厚尾的技术性定义
极薄尾（Bernoulli）与极厚尾之间的机率分布范围。由于力矩（moments）的收敛特质，通常区分开来的分布类别包括：(1)具有不退化的紧支撑、(2)次高斯（Subgaussian）、(3)高斯（Gaussian）、(4)次指数（Subexponential）、(5)指数大于三的幂次法则、(6)指数小于或等于三，以及大于二的幂次法则、(7)指数小于或等于二的幂次法则。尤其是，幂次法则分布只有在指数大于一的情况下，才有有限的平均值，而且只有当指数超过二，才有有限的变异数。
我们感兴趣的是区分尾部事件主控冲击力量的状况，作为分布类别之间界限的正式定义，用以视之为平常世界和极端世界。这些之间的自然界限，发生在具有下述特质的次指数类别：
令为独立且相同分布的随机变量，在有支撑，累积分布函数为··。次指数类分布的定义是（见Teugels 1975, Pitman 1980）：
其中F*2＝F’＊F 是··的两个独立副本之和 X1 + X2 的累积分布。这表示 X1 + X2 之和超过··值的机率，是任一个别超过··的机率的两倍。因此，··值如果够大，每次和数超过··，和数的值不是因为其一，就是因为另一超过··──两个变量的极大值──而另一的贡献极微。
推而广之，可以证明··个变量之和，是以相同的方式，由这些变量的最大值主控。正式的说，以下两个特质相当于次指数条件（见Chistyakov 1964, Embrechts et al· 1979）。对于给定的n ≥ 2，令和
a)
b)
因此，和数····的大小和最大的样本····相同，这是说尾部扮演最重要角色的另一种方式。
直观的说，次指数分布的尾部事件应该下降得比大尾部事件不相关的指数分布要缓慢。事实上，我们可以证明，次指数分布没有指数矩（exponential moments）：
对大于ε的所有值而言，上式成立。但是反之则不然，因为分布可以没有指数矩，却不满足次指数条件。
我们注意到，如果我们选择将偏差表示为变量x的负值，由于极端负值的对称性，相同的结果会维持，以x → +∞取代x → -∞。对于双尾变量，我们可以分别考虑正负域。
1.本书作者与P. Jorion辩论，1997年，以及Taleb 2007年。·↑
2.感谢Andrew Lesniewski的提问，有助于定义我们所说的遍历性意义，因为这里的意义不同于统计物理学。·↑
