由于从速度叠加定理（第5节）可知，矢量（u ， ， ）恰恰是参.2
为只要改变坐标系我们就能够“制造”一个引力场。同样明显的是在真空
中光速不变的原理也必须加以改变，因为我们很容易认识到，如果相对
于K，光线以恒定的速度沿一条直线传播的话，那么相对于K'来说，光
线的路径一般来说必然是一条曲线。
§3.时空连续统表现自然界普遍规律的方程的普遍协变性要求
在经典力学中，在狭义相对论中也是一样，空间和时间坐标有着直
接的物理意义。说一个点事件的X 坐标为 ，那就意味着这个事件在四
1
x1
维坐标的X 轴上的投影，用欧几里得几何学的刚性直尺沿
轴来测量
1
X1
时，它离坐标原点的距离是这个直尺（长度单位）长度的x 倍。说这个
1
事件的X 坐标为
4
x4=t，那就是说一个与坐标系相对静止，并与事件在同
一空间位置的[2]，具有确定的时间间隔单位的标准时钟，在事件发生时
所读出的时间是确定时间间隔的x4=t倍。
关于空间和时间的这种看法早已深入到物理学家的心中，尽管通常
他们并未意识到这一点。从这些概念在物理测量中起的作用可把这一点
看得更加清楚。这也必然深入到读者的意识深处，因为他会把在上一节
（§2）中读到的联系到某种意义。我们现在要指出，如果狭义相对论是
广义相对论在不存在引力场时的特殊情况，我们必须放弃上述看法而代
之以更为普遍的看法，以便能够把广义相对论的公设建立起来。
在不存在引力场的空间中，我们引入一个伽利略坐标系K（x、y，
z，t），再引入一个与K相对做匀速转动的坐标系K'（x'，y'，z'，t'），
令两者的原点和Z轴一直保持重合。我们将要证明，对于K'系，上述关
于长度和时间的物理意义就不能再维持下去。根据对称性，显然K系的
XY平面上以原点为心的一个圆，也是K'系中X'Y'平面上的一个圆。假设
我们用一个与半径相比为无穷小的尺去测量了圆的圆周和半径并取两者
的商。如果这一实验是用一把相对于伽利略系K静止的尺进行的，那么
圆周与半径之比将为2π。而用相对于K'静止的尺去测量，得到的圆周半
径比要比2π大一点。如果我们设想两次测量过程都是在“静止的”K系上
进行的，这就不难理解了。考虑到尺子随K'系运动测量圆周时要受到洛
伦兹收缩，而测量半径时却并不如此。因此，欧几里得几何学对于K'系
并不成立。而上面根据欧几里得几何学定义的坐标系的概念因而对K'系
也就不成立了。同样，我们也不能引入用与K系相对静止的时钟表示的
与K'系中物理要求相对应的时间。为了确信这是不可能的，让我们设想
有两个结构完全相同的时钟，一个放在坐标原点，另一个放在圆周上，
都从“静止系”K来设想这两个时钟。根据我们熟知的狭义相对论，由K
系来看，在圆周上的那个时钟走得要比在原点的慢一点，因为前者在运
动而后者是静止的。一个处在坐标的共同原点处的观察者通过光线去观
察在圆周上的钟，他发现这个钟要比在他身旁的钟慢一点。由于他不打
算设想在相应路径上让光速明显地依赖时间，他将他观察的结果解释为
圆周上的钟“真的”比原点处的钟走得慢。这就使他不得不这样定义时
间，即时钟的快慢与它所在的地方有关。
于是，我们得到这样的结论：在广义相对论中，空间和时间不能用
如下的方式定义，即空间坐标之差可用单位测量棒（直尺）来测量；时
间坐标之差可用标准时钟来测量。
这样一来，我们一直使用的，在时空连续统中用一定的方式建立坐
标的方法就垮掉了，而且看来没有其他的方法对这个四维世界采用坐标
系，使得我们采用这种坐标系来把自然界的定律用非常简单的方式表现
出来。因此，没有别的办法，只有认为在原则上一切可以想到的各种坐
标系在描述自然界都同等适用的一条路了。于是，产生了下述要求：
自然界的普遍定律由一些方程来描写，这些方程对所有坐标系都
同等适用，这就是说，这些方程对于不管什么样的任意坐标代换都是
协变的（普遍协变的）。
显然，满足这个公设的物理理论也一定会满足广义相对论公设。因
为，在任何情况下，全部代换的总和一定包含着三维坐标系的各种相对
运动所引起的代换。从空间和时间中取走了最后一点物理客观性的这一
广义协变性要求确是一个自然的要求，这从下面的讨论中即可看出。所
有的时空验证都不外乎是确定时空的重合。例如，若事件仅由质点的运
动构成，那么，最终能看到的只是两个或更多质点的相遇。测量的结果
无非是验证我们测量仪器上的质点同别的质点的这种相遇，时钟的指针
同度盘上某点的重合，以及观察到的两个事件在相同地点相同时间发
生。
引入参考系的作用没有别的，只是为了便于描述这些重合的总和。
我们分配给宇宙4个时空变量x ， ， ， 使得每一个事件对应于一组
1
x2 x3 x4
四个数值。对于两个重合的事件，它们都对应于相同的一组数值x1…
x 。这就是说，重合的特点就是一组坐标的全部相同。如果替代坐标
4
x
，我们引入一组它们的函数
，
，
，
作为新的坐标系，使
1…x4
x'1 x'2 x'3 x'4
得双方的一一对应没有含混之处，那么，新坐标系中的四个新坐标的全
部相同就表示两个事件在时空中的重合。由于所有的物理事件最后都可
以归结为这种重合，所以没有直接的理由认为这种坐标系比那种好一
些。这就是说，我们达到了普遍协变性的要求。
§4.四个坐标与时空中测量的关系
我并不想在本文中把广义相对论表述成一种含有最少数目的公理的
尽可能简单的逻辑体系，我的主要目的是以这样的方法来发展这个理
论，即使读者感到我们走的这条路线是在心理上最自然的，而且感到作
为基础的那些假设具有最高程度的安全性。考虑到这一目的，让我们用
下面的原则作为出发点：
在无穷小的四维区域中，如果坐标选择得适当，狭义相对论成立。
为此目的，我们必须选择无穷小（局域）坐标系的加速度，使得不
产生引力场，这对于无穷小区域是可能的。令X ，
，
为空间坐
1
X2 X3
标，X 为以适当单位[4]度量的时间坐标。如果一个刚性杆被选定作为长
4
度单位，那么当给定此坐标系以固定方位时，则四个坐标将在狭义相对
论中有直接的物理意义。这时，根据狭义相对论，表达式
的值与局域坐标系的取向无关，并且可以通过空间及时间的测量定
出。我们称四维连续统中无限接近的两个点的线元的大小为ds。如果属
于微元dX
的
1…dX4
ds2为正，称为类时的，如果为负，则称为类空的，
这是由闵可夫斯基规定的。
对于上述“线元”，或者说对于无限靠近的两个事件，在任意选定的
四维参考系中，还可以对应于确定的微分dx
。如果这个坐标系
1…dx4
和“局域”坐标系都是在所研究的区域里给出的，那么dX 可以通过一个
ν
dx 的确定的线性齐次表达式表示成：
σ
将此式代入式（1）得
式中g 是 的函数。这些不再依赖
στ
xσ
“局域”坐标系的方位和运动状
态，因为ds2是可以对时空中无限靠近的两个事件用钟尺测量决定的
量，而且已明确与特别选定的坐标系无关。此处的g 应选定使得
στ
g
，求和应遍及所有的
στ=gτσ
σ和τ的值，因此求和式共有4×4项，其中12
项是成对相等的。
狭义相对论的情况是这里的一个特殊情况，由于在有限区域内gστ
的特殊关系，有可能在有限区域内选择一种参考系使得g 在狭义相对
στ
论的意义下成为常数：
稍后我们将发现，对于有限区域，这种坐标的选择一般说来是不可
能的。
从§2和§3的考虑可以得出，g 这个量从物理的立场来看，是一个
στ
描写引力场和所选坐标系的关系的量。因为，如果我们现在设想狭义相
对论适用于适当选定坐标系的某一四维区域，则g 具有（
στ
4）给出的
值。从而一个自由质点相对于这一坐标系的运动就是匀速直线运动。然
后我们通过任意选定的坐标代换引入一个新的坐标x ， ， ， ，在
1
x2 x3 x4
这一新坐标系中g 将不再是常数，而是空间和时间的函数。同时，那
στ
个自由质点的运动，对于这个选定的坐标系将表现为非匀速、非直线的
曲线运动，而这一运动的规律将与运动的质点的性质无关。因而我们将
把这一运动解释为质点在一种引力场影响下的运动。于是，我们找到了
引力场的产生与g 的时空可变性的关系。于是，在一般情况下，当我
στ
们无法选出坐标系将狭义相对论应用于有限区域时，我们也坚信这种观
点，即g 是描写引力场的。
στ
于是，根据广义相对论，与别的力，特别是电磁力相比，引力占有
一个特殊的地位，因为表现引力场的g 中的
στ
10个函数同时还定义了四
维量度空间的度规性质。
B.建立广义协变方程的数学工具
我们在前文中看到了，广义相对论要求物理的方程都需要对任意坐
标x
的代换满足协变性，我们必须来考虑怎样去找到这样的协变方
1…x4
程。我们现在将转入纯数学的讨论，我们将发现在解决这一问题的过程
中式（3）给出的不变量ds将起根本的作用。这个量我们称之为“线
元”，这是从高斯的曲面理论中借用来的。
这一协变量的一般理论的基本思想如下：设某些东西（“张量”）是
用对于任意坐标系的许多坐标函数来定义的，这些函数称为张量的分
量。然后有一些规则，当新旧两个坐标系之间的变换关系已知时，如果
张量对原坐标系的分量已知时，可以利用这些规则算出张量对新坐标系
的分量。这些以后称为张量的东西还有进一步的特点，即它对新旧坐标
系的分量的变换方程是线性的和齐次的。因而，如果一个张量对于原坐
标系的分量全部为零，则它对于新坐标系也全部为零。因此，一个自然
规律如能表示为一个全部分量为零的一个张量，那么这个自然规律就是
协变的。考察构成张量的规律，我们就获得描述一般协变定律的手段。
§5.反变四矢量和协变四矢量
反变四矢量 线元由4个“分量”dx 来确定，其变换规律可以表示为
ν
下式
dx
的线性齐次函数。因此我们可以把这
σ'可以表示为dxν
4个坐标的
微分看成一种特定“张量”的4个分量，我们称这种张量为反变四矢量。
任何相对于坐标系用4个分量Aν来定义的，而且是根据相同规律
变换的东西我们也称之为反变四矢量。从（5a）立刻得知，若Aσ和
Bσ都是反变四矢量的分量，则它们的和与差Aσ±Bσ也是反变四矢量。相
应的规律也适用于今后陆续引进的所有张量（张量的加法和减法规
律）。
协变四矢量 如果4个量A 对于任意选定的反变四矢量
ν
Bν满足
那么我们称之为协变四矢量。协变四矢量的变化规律可以从它的定
义得出。因为我们如果在方程
的右边将Bν用（5a）的反演式
代替，即可得出
由于此式对于任意的B'σ值均成立，由此得出Aσ的变换规律是
关于表达式的书写简化方法的注释 注意一下本节公式可以看
出，所有求和的指标在求和号后面都出现两次，[例如（5）中的ν]，而
且只对出现两次的指标求和。因此，可以略去求和号而不致造成不清
楚。为此，我们引进下面的惯例：除非另有声明，凡公式中某一项一个
指标出现两次的，就意味着对这个指标求和。协变和反变的四矢量的区
别在于它们的变换规律[分别见式（7）和式（5）]。在前述一般讨论的
意义上，两种形式都是张量。它们的重要性也就在这里。按照里奇和列
维-索维塔的意见，我们把指标写在上面表示反变性质，写在下面表示
协变性质。
§6.二秩和高秩张量
反变张量 若用两个反变矢量Aμ和Bν的分量构成全部16个乘积
Aμν：
Aμν=AμBν，
（8）
则根据式（8）和（5a），Aμν满足下列变换规律：
我们把由相对于任意坐标系的16个量构成的东西，并且服从式
（9）的变换规律的，称为二秩反变张量。并不是每个二秩反变张量都
必须由两个反变四矢量按照式（8）构成。可以很容易地证明，任意满
足变换规律式（9）的16个量都可以表示为适当选定的4对反变四矢量构
成的AμBν之和。因此，我们为了证明满足式（9）的二秩反变张量应服
从几乎所有的规律，只要用最简单的方式，即证明它们对特殊的张量式
（8）成立就可以了。
任意秩的反变张量 显然，遵循式（8）和式（9）的路线，也可以
定义三秩或更高秩的反变张量，它们有43或更多的分量。同样，根据式
（8）和式（9）也可以说，在这个意义上反变四矢量是一秩反变张量。
协变张量 另一方面，如果用两个协变四矢量A 和 构成
μ
Bν
16个乘
积A ：
μν
Aμν=AμBν，
（10）
它们的变换规律为
这一变换规律定义了二秩协变张量，前面所说的关于反变张量的各
点，也同样适用于协变张量。
注 把标量（即不变量）看成是零秩反变张量或零秩协变张量是很
方便的。
混合张量 我们也可以定义下列形式的二秩张量：
这种张量对于指标μ是协变的，对于指标ν是反变的，它的变换规律
是
自然，可以有带任意多协变指标和任意多反变指标的混合张量。协
变张量和反变张量可以看成是混合张量的特殊情况。
对称张量二秩的协变张量或反变张量，如果对调两个指标的分量彼
此相等，称为对称张量。于是，张量Aμν或A 若对于任何一对
μν
μ，ν满足
Aμν=Aνμ，
（14）
或者
Aμν=Aνμ，
（14a）
就是对称张量。
必须证明这样定义的对称性质与所选的坐标系无关。事实上，如果
考虑到式（14），由式（9）可得
在上式中，我们对调了求和的指标μ和ν，这只是记号的改变。
反对称张量一个二秩、三秩或四秩的反变张量或协变张量，如果对
调其分量中的任意两个指标所得的分量与原分量等值反号，则称为反对
称张量。例如张量Aμν或A 若对任意
μν
μ，ν有
Aμν=-Aνμ，
（15）
或者
Aμν=-Aνμ，
（15a）
则此二秩张量是反对称的。
在反对称二秩张量Aμν的16个分量中，有4个Aμμ为零，其余的成对
地相等而反号，因此实质上只有6个数（六矢量）。与此类似，反对称
三秩张量Aμνσ中，实质上只有4个数，而反对称的四秩张量Aμνστ只剩下
一个数。而大于四秩的反对称张量在四维连续统中是不存在的。
§7.张量的乘法
张量的外乘有一个n秩张量和一个m秩张量，将前者的每一个分量
乘以后者的每一个分量，就得到了二者的外积，一个n+m秩的张量的所
有分量。例如，不同种类的两个张量A和B可以产生外积T：
T的张量性质可以由表达式（8）、（10）、（12）或变换规律
（9）、（11）、（13）直接证明。式（8）、（10）和（12）本身就是
几个一秩张量的外积的例子。
混合张量的“缩并” 对于任意一个混合张量，我们可以令其一个反
变指标与一个协变指标相等，并对这个指标求和，这就是缩并，结果得
出一个秩数少2的张量。例如一个四秩的混合张量
，可以缩并成一个
二秩张量：
由此再有一次缩并，可以得到一个零秩张量：
缩并的结果确实具有张量性质，既可以由张量以法则（12）的推广
来表达，再辅以式（6）来证明，也可以用式（13）的推广来证明。
张量的内乘和混合乘法 这是外乘的缩并的结合。
举例 有一个二秩协变张量A 和一个一秩反变张量
μν
Bσ、先作它们
的外积，得到一个混合张量
然后再对ν和σ两个指标作缩并，可以得出一个协变的四矢量：
这称为两个张量A 和
μν
Bσ的内积。类似地，我们可以由两个张量Aμν
和Bστ通过外积和两次缩并得到内积AμνBμν。我们还可以从两个张量Aμν
和Bστ得出一个二秩混合张量
，这一操作可以适当地认为是
一个混合操作，先对指标μ和τ作外积，再对指标ν和σ作内积。
我们现在来证明一个命题。这个命题常常用来证明张量特征。前已
提到，若A 和
μν
Bστ是张量，则AμνBμν就是一个标量。而我们也能作出下
面的论断：对于任意选定的张量Bμν，如果AμνBμν都是一个标量，则Aμν
具有张量的特性。因为，根据假设，对于任意的坐标代换有
但是，根据式（9）的反式有：
将此式代入上式，得
只有括号中的式子为零，此式才能对任意的B'στ成立，于是得到式
（11）。
上述命题对于任意秩、任意性质的张量都成立，在所有情况下，证
明都是类似的。
这一规则还可以下述形式出现：如果Bμ和Cν是任意矢量，而对于它
们的任何取值，内积A
就是一个协变张量。甚
μνBμCν都是标量，那么Aμν
至在条件更特殊一点的情况下，上述命题也能很好地成立。即，对于任
意选定的四矢量Bμ，内积A
满足对称条
μνBμBν是一个标量，同时已知Aμν
件A
，这时，我们可以用上面给出的方法证明（
）的张量
μν=Aνμ
Aμν=Aνμ
性质，然后利用对称的性质证明A 具有张量性质。
μν
最后，由以上的证明可知，这一定律还可以推广到任意张量。如果
对于任意选定的四矢量Bν，乘积A
是一个
μνBν构成一个一秩张量，则Aμν
二秩张量。因为，如果Cμ是任意四矢量，根据AμνBν的张量性质，内积
AμνCμBν不论Bν和Cμ如何选择一定是一个标量，由此命题得证。
§8.基本张量gμν的某些性质
协变基本张量在线元平方的不变量表达式
ds2=gμνdxμdxν
中，dx 这一部分所起的作用是一个可任意选取的反变矢量的作
μ
用。又由于g
，根据上一节的考虑知，
是一个二秩协变张量，
μν=gνμ
gμν
我们称之为“基本张量”。下面我们将导出这个基本张量的一些性质，诚
然，这些性质是任何二秩张量都有的，但是由于基本张量在我们的理论
中起着特殊的作用，是独特的引力效应的物理基础，所以我们将要推导
的关系只有论及基本张量，对我们才是重要的。
反变基本限量如果在由g 的各元构成的行列式中，取每个
的余
μν
gμν
子式并除以行列式g=|gμν|，则得到一些量gμν=（gνμ），这些量构成一个
反变张量。下面我们就来证明。
根据行列式的一个已知性质：
（式中的 当μ=ν时等于1，μ≠ν时等于零）我们可以把上述ds2的公
式改写成
利用式（16）得
但是，根据上一节的乘法规律，这个量
是一个协变四矢量，而且事实上是一个任意矢量，因为dx 就是任
μ
意的。将这个量引入我们的公式中，得
ds2=gστdξσdξτ。
由于此式是一个标量。而矢量dξ 已是可任意选定的矢量，又根据
σ
定义，gστ对于指标σ和τ是对称的，所以根据上一节的结果，gστ是一个
反变张量。
由式（16）进一步得出 也是一个张量，我们将称之为混合基本张
量。
基本张量的行列式 根据行列式的乘法规则，有
|gμαgαν|=|gμα|×|gαν|。
另一方面
|gμαgαν|=| |=1，
因此得
|gμν|×|gμν|=1。
（17）
体积标量 我们首先寻找行列式g=|gμν|的变换规律，根据式（11）
有
应用两次行列式的乘法，得
或者
另一方面，体积
的变换规律，根据雅可比定理为
将最后二式相乘，得
我们在以后引入
来代替g，根据时空连续统的双曲性质，前者
永远是实的。不变量
dτ在数值上等于在局域坐标系中，在狭义相
对论的意义下，用刚性尺和时钟测量出来的四维体元。
关于时空连续统的性质的注释 我们关于狭义相对论永远可适用
于无穷小区域这一假设，直接导致ds2永远可以通过4个实的量dX1…dX4
变为式（1）。如果我们用dτ 表示自然体元
，则有
dX1dX2dX3dX4
如果在四维连续统中某一点
等于零，那就意味着在这一点上
无穷小的“自然”体元对应于坐标中的零体积。我们假设这种情况永不发
生，于是g就不能改变符号。我们将假设，在狭义相对论的意义上，g永
远取有限的负值。这是对我们所讨论的连续统的物理性质的一个假设，
同时也是一个选用坐标的一种约定。
但是，如果-g永远取正的有限值，那就自然地会后验地对坐标作这
样的选取，使得这个量永远等于1。我们在后面将看到，在这样的选择
坐标限制之下，有可能使自然界规律的表述得到重要的简化。
于是，代替（18），我们可以用简单的dτ'=dτ。利用雅可比定理，
由此得
于是，在这种坐标选定之下，只有那些在变换时行列式为1的坐标
才是允许的。
然而，若相信这一步是表明要部分地放弃广义相对性的公设，那就
错了。我们要问的不是“哪些是对于该行列式为1的所有代换协变的自然
定律”？而是“哪些是一般协变的自然定律”？我们将在后面看到，由于
对坐标选择的这类限制，才可能大大简化自然定律。
用基本张量构成的一些新张量 用基本张量对一个张量进行内
乘、外乘或混合乘，可以得到一些不同性质和不同秩的张量。例如
Aμ=gνσAσ，
A=gμνAμν。
还应特别注意下列形式：
Aμν=gμαgνβAαβ，
Aμν=gμαgνβAαβ，
它们分别是协变张量和反变张量的“余张量”。还有
Bμν=gμνgαβAαβ，
B 称为
的约化张量。类似地有
μν
Aμν
Bμν=gμνgαβAαβ。
应当指出，gμν不是别的，正是g 的余张量，因为
μν
§9.测地线方程 质点的运动
由于线元ds的定义与坐标系无关，连接四维连续统中两点P和P'并满
足
为极值的线，即测地线，具有与坐标的选择无关的意义。测地线
的方程是
用通常的方法进行变分，可以由此方程得出4个定义测地线的微分
方程。为了完整起见，我们把这一过程补在这里。令x 是一个
ν
λ的函
数，并令它定义一个曲面族，族中各曲面都包含着测地线以及所有与测
地线靠得极近的由P到P'的曲线。于是，任何这种曲线都可以假设其坐
标x 为
ν
λ的函数而给出。令符号δ表示由所要的测地线上一点到对应于相
同λ的邻近线上一点的过渡。于是，我们可以用下式代替式（20）：
但是，因为
以及
在分部积分之后由（20a）得
式中
由于δx 的值是任意的，由此得出
σ
κσ=0。
（20c）
如果沿着测地线ds不为零，我们就可以选择测地线的“弧长”s来代替
参数λ，这时ω=l，而式（20c）可以改写成
或者，只改变一些记法，成为
在式中，按克里斯托费尔的意见，我们用了下列记号
最后，将（20d）乘以gστ（对指标τ作外乘，对指标σ作内乘），我
们得测地线的方程为
式中，根据克里斯托费尔的意见，我们取
{μν，τ}=gτα[μν，α]。
（23）
§10.用微分构成张量
借助于测地线方程，现在我们可以很容易地用微分的方法从旧理论
推导出新理论中的自然界定律。这意味着我们首次能够写出普遍协变的
微分方程。我们达到这一目的是由于反复运用下列简单的定律：
如果在我们的连续统中给定了一个曲线，曲线上各点用从曲线上某
一定点出发实际测出的距离s来表征，又设φ是空间的不变函数，那么
dφ/ds也是一个不变量。证明的关键是ds和dφ都是不变量。
由于有
所以
也是一个不变量，而且对这连续统中由一点出发的所有曲线都是不
变量，也就是说，对于矢量dx 的任意选择都是不变量。因此立刻可以
μ
得出：
是一个协变四矢量，即φ的“梯度”。
根据我们的规则，在一个曲线上所取的微商
同样也是一个不变量。将Ψ的值代λ，我们首先得到
从这里不能立刻推出一个张量的存在，但是我们可以把我们沿之作
微分的曲线取为测地线，那么由式（22）将d2xν/ds2/代入，得
因为我们可以改变微分的次序，又因为根据式（23）和（21），
{μν，τ}对于μ和ν都是对称的，所以括号中的式子对μ和ν都是对称的。
由于在连续统中从一点出发的测地线可以沿任意方向来画，所以dxμ/ds
是一个四矢量，其分量之比可以是任意的。由§7的结果得出，
是一个二秩协变张量。于是我们得到下列结果：我们通过微分，从
一个一秩协变张量
得到一个二秩协变张量
我们称A 为
的扩张（协变导数）。首先我们可以立即证明，即
μν
Aμ
使矢量A 不能表为梯度，这一操作也会导致一个张量。为看出这一点，
μ
我们首先注意到，如果Ψ和φ都是标量，则
就是一个协变矢量。如果Ψ(1)，φ(1)，…，Ψ(4)，φ(4)都是标量的话，
4个这一类的项之和，
也是协变矢量。因为，如果A 是矢量，它的各分量都是 的任意函
μ
xν
数，为了保证S 等于
，只须令（用选定的坐标系表示）
μ
Aμ
Ψ(1)=A1，φ(1)=x1，
Ψ(2)=A2，φ(2)=x2，
Ψ(3)=A3，φ(3)=x3，
Ψ(4)=A4，φ(4)=x4，
即可。
因此，为了证明A 是张量，如果用任何协变矢量取代
放入右
μν
Aμ
边，只须证明对矢量S 有这样的性质即可。可是式（
μ
26）的右边告诉我
们，为了完成这后一任务，只需证明下述情况
即可。现在，将式（25）的右边乘以Ψ，
这是一个张量，同样，两个矢量的外积
也是一个张量。两者相加，就证明了下式
的张量性质。注意到式（26），我们将看到，到此就完成了对矢量
为矢量的证明，从而，也就完成了对任何矢量A 的证明。
μ
借助于矢量的扩张，我们很容易定义任意秩的协变张量的“扩张”。
这是矢量扩张的推广，我们只就二秩张量的情况作一讨论，因为这就足
以给出形成法则的清楚的概念。
正如已经提到过的那样，任意二秩协变张量都可以表为A
类型的
μBν
张量之和[5]。只要导出这种特殊类型的张量的扩张就足够了。根据式
（26），下列两式
都是张量，将第一式用B 外乘，将第二式用
外乘，我们可得到两
ν
Aμ
个三秩张量。将这两个三秩张量相加，并令A
，即得到一个三秩
μν=AμBν
张量：
由于式（27）对于A 及其一阶导数是线性和齐次的，所以，这种
μν
构造张量的规律不仅对于A
类型的情况有效，而且对于这种类型的和
μBν
也有效，这就是说，也对任意二秩协变张量有效，我们称A
为张量
μνσ
A 的扩张。
μν
显然，式（26）和（24）只是张量扩张的两个特殊情况（分别是一
秩张量和零秩张量的扩张）。
一般说来，所有构造张量的特殊规律都包含在式（27）和张量的乘
法结合之中。
§11.一些特别重要的情况
基本张量我们首先证明几个以后有用的引理。根据行列式的微分规
则有
dg=gμνgdgμν=-gμνgdgμν。
（28）
最后的结果是由中间的结果推出的，如果我们记得
，就
有gμνgμν=4，因而
gμνdgμν+gμνdgμν=0。
由式（28）得
再有，从
，经过微分得
由此，分别混合乘以gστ和g ，然后改变指标，得
νλ
以及
由式（31）可得出一个我们以后常用的公式，根据式（21），有
将此式代入式（31）的第二式，再考虑到式（23）得
将式（34）的右边代入（29），得
反变矢量的散度 如果我们取式（26）与反变基本张量gμν的内
积，并对其第一项作一变换之后，右边就取如下形式
根据（31）、（29）两式，上式的最后一项可以改写成
由于求和式的指标是不重要的，此式的头两项互相抵消，如果我们
写gμνA
一样是一个任意矢量，最后得
μ=Aν，于是，Aν与Aμ
这个标量就是反变矢量Aν的散度。
协变矢量的旋度 式（26）中的第二项对于指标μ和ν是对称的，因
此A
是一个构造特别简单的反对称张量。我们得
μν-Aνμ
六矢量的反对称扩张 将式（27）应用于反对称二秩张量A ，再
μν
依次轮换此式的指标得出两个公式，将三式相加，就得到一个三秩张
量：
很容易证明，这个张量是反对称的。
六矢量的散度 将式（27）与gμαgνβ作混合乘积，我们也能得到一
个张量。式（27）右边第一项可以写成
如果我们把gμαgνβA
写成
，把
写成
μνσ
gμαgνβAμν
Aαβ，再在改写后
的第一项中，用式（34）的右边代替
结果得到式（27）的右边共有7项，其中有4项互相抵消掉，得
这是一个二秩反变张量的扩张的表达式，同样也可以构成更高秩或
更低秩反变张量的扩张。
我们注意到，用类似方法也可以构成混合张量的扩张：
当对式（38）进行关于二指标β和σ的缩并（就是与 作内积）时，
我们得到矢量
考虑到{βγ，α}对于β和γ二指标的对称性，若Aαβ正如我们所假设的
那样是一个反对称张量，则右边第三项成为零。而第二项可按式
（29a）进行变换，于是得
这是一个反变六矢量的散度的表达式。
二秩混合张量的散度 将式（39）对指标进行缩并、并考虑到式
（29a），得
如果在最后一项中引入一个反变张量
，则这一项可化
为
进一步，如果Aρσ是对称的，则简化为
我们曾经引入过一个协变张量Aρσ=gραgσβAαβ来代替Aρσ，这个张量
也是对称的，根据式（31），这最后一项成为
在对称的情况下，式（41）也可以用下面两式来代替：
