由于从速度叠加定理（第5节）可知，矢量（u ， ， ）恰恰是参.3
我们以后还要用到这两个式子。
§12.黎曼-克里斯托费尔张量
现在我们寻找一种单独从基本张量用微分方法获得的张量。初看起
来，解答是很明显的，在式（27）中用基本张量g 去代替式中的任意
μν
张量A 即可，这样就得出一个新的张量，即基本张量的扩张。然而，
μν
人们很容易验证，这样得出的基本张量的扩张恒等于零。我们用下列方
法达到这一目的。在式（27）中，取
即求这个四矢量A 的扩张。于是（在经过某些指标的名称改动之
μ
后）得到一个三秩张量
此式提示了A
的构建。因为如果我们这样做，
中的下列
μστ-Aμτσ
Aμστ
各项将同A
中的相应项抵消：第
μτσ
1项、第4项和方括号中的末项，因为
它们对σ和τ都是对称的；第2项和第3项之和也是如此。于是我们得到
式中
这一结果的主要特点是式（42）的右边只有A ，而没有它的导数。
ρ
根据A
的张量性质以及
是任意矢量的事实，由
μστ-Aμτσ
Aρ
§7的论证得知，
是一个张量，此即黎曼-克里斯托费尔张量。
这个张量在数学上的重要性如下：如果连续统具有下列性质，即存
在一个坐标系而相对于此坐标系g 为常数，则所有的
都等于零。
μν
如果我们选取另一新坐标系来取代原来那个坐标系，而对于新坐标系
g 不是常数的话，由于其张量性质，变换到新坐标系去的
的各分
μν
量仍然等于零。因此，黎曼张量为零，是下列事实的必要条件：选择适
当的坐标系可以使g ，成为常数[6]。在我们所讨论的问题中，这一点相
μν
当于：选择适当的坐标系，使得在连续统的有限区域中狭义相对论能很
好地成立。
将式（43）对于指标τ和ρ进行缩并，得一个二秩协变张量
式中
关于选择坐标系的注释从§8的方程（18a）中已经明显看到，通过
选取坐标系以使
=1较为有利。观察一下在前两节中所得到的方程
可以看出，在这种选择之下，构造张量的规律将会大大简化。这对我们
刚刚得到的张量G 也同样适用。这个张量在下面将要提出的理论中将
μν
起着基础的作用。因为坐标系的这种选择能够带来Sμν=0的结果，从而
使G 简化为
。
μν
Rμν
因此，在以后的讨论中，对所有的关系式我都将给出在坐标系这样
的特殊选定情况下的简化形式。如果在特殊的情况下有需要把某些公式
改回到普遍的协变形式，那也是很容易的事。
C.引力场理论
§13.质点在引力场中的运动方程 引力场分量的表达式
在狭义相对论中，一个不受外力的自由质点做匀速直线运动，而根
据广义相对论，对于四维空间的一部分，其中坐标系可以被选为，而且
实际上确被选为其g 具有式（
时，情况也和
μν
4）给出的特殊常数值的K0
狭义相对论一样。
如果我们从任意一个坐标系K 来考察这一运动。根据
1
§2的讨论，从
K 看来，质点是在引力场中运动。质点对于
的运动规律不难从下面的
1
K1
讨论中得出。对于K 来说，运动规律相当于一个四维的直线，即相当于
一条测地线。现在，由于测地线是与坐标系无关的，测地线对于K 的方
1
程也就是质点对于K 的运动规律。如果我们令
1
则质点对于K 的运动方程就是
1
现在我们作一个很自然的假设：即使没有K0，即不存在有限空间
中狭义相对论很好成立的坐标系，质点在引力场中的运动也服从协变的
方程组（46）。我们作这个假设还有更多的依据，因为式（46）中只包
含g 的一级导数，在它们之间没有任何联系[7]，即使在
存在的特殊
μν
K0
情况下也是如此。
如果
=0，则质点做匀速直线运动。所以这些量规定了运动对于
匀速直线的偏离，它们是引力场的分量。
§14.无物质的引力场方程
今后，我们将对“引力场”和“物质”作一区分，我们称引力场以外的
一切东西为“物质”因此“物质”一词不仅包括通常意义下的物质，也包括
电磁场。
我们下一个任务是寻求在无物质存在情况下的引力场方程。在这
里，我们依然使用上一节写出质点运动方程时所用的方法。所求的方程
无论如何必须满足的一个特殊情况是g 具有某些常数值的狭义相对论
μν
的情况。考虑在某一确定的坐标系K 中的某一有限空间。相对于这个坐
标系，式（43）所定义的黎曼张量的所有分量
都等于零。对于所考
虑的空间，它们为零，所以对于任意其他的坐标系，也应该等于零。
因此，如果所有的
分量都为零的话，则所求的无物质引力场方
程一定在任何情况下都满足。然而，这一条件太苛刻了。因为很明显，
例如质点在其附近所产生的引力场肯定不会被变换掉，无论选择什么坐
标系都不行。这就是说，它不会被变换到g 等于常数的情况。
μν
这一点促使我们转而要求由张量
导出的对称张量G 对无物质
μν
引力场为零。
这样一来，我们对于10个量g 得到了
μν
10个方程，所有
都等于
零的特殊情况满足这些方程。在坐标系这样的选定之下，并考虑到式
（44），无物质引力场的方程成为
必须指出，在这一组方程的选择中，仅有最低的任意性。因为由
g 及其不高于二阶的导数构成的二秩张量，而且这张量又是这些二阶
μν
导数的线性式，则这张量只能是G 。[8]
μν
根据广义相对论的要求，通过纯数学方法得到的这些方程，和运动
方程（46）一起，在一级近似下给出了牛顿万有引力定律，在二级近似
下给出了由勒维叶发现的水星近日点的移动的解释（这种移动在作了摄
动校正后仍然存在）。这些，在我看来必然是这一理论正确性的令人信
服的证明。
§15.引力场的哈密顿函数 能量动量定律
为了证明引力场方程与能量动量定律相对应，最方便的办法是把它
们写成下列哈密顿形式：
在上式中，在我们所考虑的四维区域的边界上，变分为零。
首先我们必须证明，式（47a）的形式与方程（47）等价。为此，
我们把H看成g 和
的函数。
μν
但是
式中圆括号内最后两项的符号相反，而且通过交换指标μ和β可以由
一个得到另一个（因为求和的指标是无关紧要的），它们在δH的式子中
所乘的又是对于指标μ和β为对称的量
，所以这两项互相抵消，只剩
下圆括号中的第一项，再考虑到式（31），我们得到
于是
对式（47a）变分，我们首先得到
考虑到式（48），此式与式（47）—致，这正是我们要证明的。
将式（47b）乘以
，得到
从而有
我们得到方程
或者[9]
考虑到式（48），（47）的第二式和（34），有
值得注意的是， 并不是张量，另一方面，（49）适用于所有
=1的坐标系。这一方程表示了引力场的能量动量守恒定律。事实
上，这一方程对于三维体积V的积分得出下列4个方程
式中α ， ， 表示边界表面的面元
1
α2 α3
dS上向内的法线的方向余弦
（在欧几里得几何的意义上）。这是通常形式的能量动量守恒定律。我
们把 称为引力场的“能量分量”。
我现在想给式（47）以第三种形式，这种形式对于生动地掌握本文
内容特别有用。将场方程（47）乘以gνσ，得到“混合”形式的方程
根据式（34），这个量等于
或者（把求和指标改成另外的指标）
此式的第三项与从场方程（47）的第二项中产生的一项抵消了，利
用式（50），第二项可以写成
式中
。于是我们代替式（47），得到
§16.场方程的普遍形式
将在§15得到的无物质空间的引力场方程与牛顿理论的场方程
进行比较，我们希望得到一个与泊松方程对应的方程：
式中ρ为物质的密度。
狭义相对论已经得出结论：惯性质量恰恰就是能量，它的数学表示
是一个二秩对称张量，即能量张量。因此在广义相对论中也必须引入一
个相对应的物质的能量张量
，这个张量与引力场的能量分量 [见式
（49）、（50）]相类似，将具有混合张量的特性，并且应是对称的协
变张量[10]。
方程组（51）告诉我们，能量张量（对应于泊松方程中的密度ρ）
是怎样引入引力场方程的。因为，如果我们考虑一个完整的系统（例如
太阳系），这一系统的总质量，因而也包括它的引力作用，将取决于系
统的总能量，即取决于有质能量和引力能量。这将导致在式（51）中引
入
，即物质的能量分量和引力场的能量分量之和，以取代单独的
引力场的能量分量。
这样，我们得到代替式（51）的张量方程：
式中我们已令T=
（Laue标量）。这就是我们所要找的混合形式
的普遍的引力场方程。由此倒推回去，得到代替式（47）的方程为
必须承认，这种引入物质的能量张量的方法不能单独由相对性公设
来证实。由于这个原因，我们在这里的推理是从下列要求出发的，即引
力场的能量和其他的能量一样在引力方面起作用。然而选用这些方程的
最强的理由是，与式（49）和（49a）严格对应的，关于动量和能量守
恒的推论对于总能量张量很好地成立。这将在§17中讨论。
§17.普遍情况下的守恒定律
很容易对式（52）进行变换，使其右边第二项为零。将此式对指标
μ和σ进行缩并，将所得结果乘以
，并将所得结果与式（52）相减，
可得
对此式作?/?x 的运算，得到
σ
右边圆括号中的第一项和第三项互相抵消，将第三项中的求和指标
α和σ对调，β和λ对调即可看出。其第二项可利用式（31）改写，从而得
到
（52a）左边第二项给出
或者
对于我们已经选定的坐标系，从圆括号最后一项所导出的式子根据
式（29）等于零。另外两项可以根据式（31）结合在一起给出
再考虑到式（54），我们得到下列恒等式：
由式（55）和（52a），最后得
这样，我们从引力场方程导出了能量动量守恒定律。这一点可从导
出式（49a）时的考虑中最容易看出。这里与那里不同的是，这里用的
是物质和引力场的能量分量，而不是那里的引力场的能量分量。
§18.作为场方程推论的物质的能量动量定律
将式（53）乘以?gμν/?x ，按照
σ
§15中所用的方法，并考虑到下式为
零：
得到下列方程
或者考虑到式（56），
此式与式（41b）的比较表明，在我们已经选定的坐标系中，此式
正好是物质能量的散度为零的预言。在物理上，上式左边第二项的出现
表明，能量动量守恒定律在严格意义上并不单独对物质成立，或者说只
在g 为常数时，即引力场强处处为零时成立。这第二项表示在单位体
μν
积、单位时间内引力场传给物质的能量和动量。利用式（41）将式
（57）改写成
这一点将看得更加清楚。式中右边表示引力场对于物质在能量方面
的影响。
因此，引力场方程中包含着4个支配物质现象过程的条件。这4个条
件完全地给出了物质现象过程的方程，只要这后者能够写成4个互相独
立的微分方程即可。[11]
D.物质现象
在B部分中所阐述的数学工具，能使我们立即对于在狭义相对论中
所表述的那些物理定律（流体力学，麦克斯韦的电动力学）进行推广，
使它们适合于广义相对论。这样做了之后，广义相对性原理确实没有对
于我们的可能性进一步加以任何限制，但却使我们不必引入任何新的假
设而认识到引力对所有过程的作用。
于是，不必再引入关于物质（狭义时）的物理本性的确定的假设。
特别是可以把电磁场理论和引力场理论结合起来能否成为物质理论的充
分的基础这一问题留待以后解决。关于这一点广义相对性原理不能告诉
我们什么。电磁场理论和引力学说结合起来能否解决前者单独解决不了
的问题，还要由理论发展的进程来决定。
§19.无摩擦绝热流体的欧拉方程
假设p和ρ为两个标量，我们称前者是流体的“压力”，后者是流体
的“密度”，并且假设它们之间存在一个方程。假设一个反变对称张量
是此流体的反变能量张量。附属于这个张量，还有协变张量
和混合张量[12]
将式（58b）的右边代入（57a），我们得到广义相对论中的欧拉流
体动力学方程。既然我们有4个方程（57a）加上已知的p和ρ之间的方
程，以及方程
当g 已知时，上述这几个方程对于决定
μν
6个未知量
就是充分的，这些方程在理论上给出了运动问题的一个完整的解。
当g 也是未知时，还需要用到式（
的
μν
53）。存在确定gμν 10个函数的11
个方程，这些函数似乎被过分限定了。然而应当记住，式（57a）中已
经被包含在式（53）中，这样实际上后者只代表7个独立方程。这种不
确定性的很好的理由就是坐标选择的充分的自由，其留下的数学上的不
确定性的问题到了这种程度，以至可以任意选择3个空间函数。[13]
§20.自由空间的麦克斯韦电磁场方程
设φ 为一个协变矢量，即电磁势矢量的分量。根据式（
ν
36），可由
此构成电磁场协变六矢量F 。它们满足下列方程组
ρσ
根据式（59），下列方程组将被满足
根据式（37），上式的左边是一个三秩反对称张量。因此式（60）
实质上含有4个方程，具体如下
上式相当于麦克斯韦第二方程组，作如下设定
就立刻可以看出这一点。于是，我们可以用通常的三维矢量分析的
符号设
来代替（60a）。
我们将由闵可夫斯基给出的方程形式来进行推广，就获得麦克斯韦
的第一方程组。我们引入一个与F 有关的反变六矢量
αβ
Fμν=gμαgνβFαβ
（62）
以及一个反变矢量电流密度Jμ。于是，考虑到式（40），下列方程
对于任何行列式为1的坐标变换（与我们选取的坐标一致）将是不变的
令
它们的值与狭义相对论中的量Hx…Ex相同，再取
J1=jx，J2=jy，J3=jz，J4=ρ，
则式（63）变为
于是，方程（60）、方程（62）和方程（63）在我们选择坐标的惯
例之下构成自由空间中麦克斯韦方程的推广。
电磁场的能量分量 我们构成一个内积
κσ=FσμJμ。
（65）
根据式（61），此式的各分量写成三维形式为
κ 是一个协变矢量，其分量依次为在单位体积、单位时间内带电物
σ
质传给电磁场的动量和能量的负值。如果没有物质，即单独在电磁场的
影响下，协变矢量κ 将等于零。
σ
为了得出电磁场的能量分量
，我们只需要给方程κσ=0以式
（57）的形式。
首先由式（63）和式（65）有
根据式（60），上式右边第二项可以变为
根据对称性，上式中最后一式又可以写成
此式又可写成
此式的第一项可以写成较简单的形式
其第二项在进行微分运算和整理之后成为
将全部三项写到一起，我们有
式中
如果κ 等于零，则考虑到式（
σ
30），方程（66）将等价于方程
（57）或（57a）。因此，
是电磁场的能量分量。借助于（61）和
（64）二式很容易证明，这个电磁场的能量分量就是狭义相对论中的著
名的麦克斯韦-坡印廷表达式。
我们在一直使用
=1的坐标系情况之下，已经推导出引力场和
物质所满足的普遍规律，我们用这种使用特定坐标系的方法达到了对公
式和计算的可观的简化，没有堕入处处协变要求的束缚。
尽管如此，提出下列问题是有意义的：不用特殊的坐标系，能否从
引力场和物质的能量分量的普遍定义出发，去构成式（56）形式的能量
守恒定律和式（52）或（52a）形式的引力场方程，使得左边是（通常
意义下的）散度而右边是物质和引力场的能量分量之和。我已经找到
了，上述两点确实都是可能的。但是我不认为将我的这些进一步的想法
发表出来是值得的，因为这些没有给出任何实质上的新东西。
E
§21.作为一级近似的牛顿理论
我们已经说过不止一次，狭义相对论是广义相对论的特殊情况，其
特点是g 取式（
μν
4）给出的常数值。我们也已说过，这样就意味着完全
忽略引力的效应。如果我们考虑到g 与式（
μν
4）给出的值的差值与1相
比较小的情形，而且忽略二级或更高级小量时，我们就达到了与现实较
近的近似（第一阶近似观点）。
还可以进一步假设，如果在我们考虑的时空领域中，在适当选择坐
标系的情况下，在空间趋向无限远处g 趋于式（
μν
4）给出的值，这时我
们所考虑的引力场，可以认为是完全由有限区域内的物质所产生的。
也许会想到这些近似必然会导致牛顿理论。但是，为了达到牛顿理
论，我们还必须对基本方程作第二阶观点的近似。我们来注意一个质点
按照方程（16）的运动。在狭义相对论的情况下，下列分量
可以取任意值，这就意味着小于真空光速（ν＜1）的任意的速度
都可以发生。如果我们仅限于讨论那些几乎所有的经验提供给我们
的情况，即速度v与光速相比是很小的。这表明下列分量
应该作为小量来处理，而dx4/ds在精确到二阶小量的情况下应等于
1（第二阶近似观点）。
现在我们注意到，根据第一阶近似观点，
中的各值至少是一阶
小量，看一下式（46）就知道：从第二阶近似观点来看，我们必须考虑
μ=ν=4的那些项。我们限于仅取最低阶的项，首先获得了代替（46）的
在此我们已经令ds=dx4=dt，或者根据第一阶近似观点只保留那些一
阶项：
此外，如果我们假设引力场是准静态的，即限于讨论产生引力场的
物质的运动是很慢的（与光速相比），我们可以在右边，与对空间坐标
的微分相比，忽略掉对时间的微分。于是我们得到
就是牛顿理论中的质点的运动方程，其中
起着引力势的作
用。在这一结果中值得注意的是，在第一阶近似下只有这个分量单独地
决定了质点的运动。
现在我们讨论场方程（53）。这里我们必须考虑到，“物质”的能量
密度几乎全部由较狭义的“物质”的密度，即由式（58）[或者（58a）或
（58b）]的右边第二项决定。如果我们作这样的近似，除了一个分量
T44=ρ=T之外，所有的分量都等于零。在式（53）的左边的第二项是一
个二阶小量，而第一项在我们的近似下为
对于μ=ν=4，忽略对时间微分的各项后，此式给出
于是，式（53）的最后一个方程给出
式（67）和（68）—起等价于牛顿万有引力定律。
根据（67）和（68）两式，引力势的表达式成为
而对于我们所选定的时间单位牛顿理论给出
式中K表示常数6.7×10-8，通常称为万有引力常数。与此比较，我们
得到
§22.静引力场中的尺和钟 光线的行为 行星近日点的运动
为了获得作为一级近似的牛顿理论，我们在引力场的10个g 中只
μν
计算了一个分量g ，因为只有这一个分量进入了质点在引力场中的运
44
动方程的一阶近似式（67）中。由此亦可看出，g 的别的分量必然比
μν
式（4）给出的值差一个一阶小量。这是条件g=-1所要求的。
对于一个位于坐标原点的点质量所产生的场，在一级近似之下，其
径向对称的解为
式中δ 当
ρσ
ρ=σ时为1，当ρ≠σ时为零，r是
。考虑到式
（68a），令M表示产生引力场的质量，有
很容易验证，在一阶小量的情况下，质点M的场方程（在质点之
外）是满足的。
现在我们来考虑质点M所产生的场对于空间的度规性质的影响。
在“局域”测量（§4）的长度和时间ds与坐标差dx 之间的关系式
ν
ds2=gμνdxμdxν。
是永远成立的。
例如，一个单位直尺与x轴“平行地”放置，我们应当令ds2=-1，而
dx2=dx3=dx4=0。因此
。如果再加上单位直尺在x轴上，式
（70）的第一个方程给出
在第一阶近似下由这两个关系得出：
因此，由于引力场的存在，如果单位直尺沿着半径方向放置，单位
直尺相对于该坐标系来说，显得被稍微缩短。
用类似方法可以得出在切线方向坐标的长度。例如，令
ds2=-1；dx1=dx3=dx4=0；x1=r，x2=x3=0。
所得结果是
因此，点质量的引力场在切线方向上对于直尺的长度没有影响。
如果我们想用同一个直尺，在不同地点和不同方向上实现同样的间
距，那么在引力场存在的情况下，欧几里得几何学即使在一阶近似的情
况下也是不成立的。尽管如此，但从（70a）和（69）可以看出，对地
面上的测量来说，这种偏差是太小了，根本无法察觉。
现在我们来看静止于一个静态引力场中的时钟快慢。此处令单位时
钟周期ds=1；另外，dx1=dx2=dx3=0，因此得
或者
因此，时钟若放在有质量物体的附近，它走得要慢一些。由此可以
得出，由大恒星表面发出到地球的光线的光谱，要向光谱的红端移动
[14]。
现在我们考察光线在静引力场中的过程。根据狭义相对论，光的速
度由下式给出
因此，在广义相对论中由下式给出
ds2=gμνdxμdxν=0。
（73）
如果方向已知，即比例dx
已知，式（
1:dx2:dx3
73）将给出下列时量
因而也就给出在欧几里得几何学意义下的速度：
我们很容易相信，如果g 不是常数，光线将相对于坐标系发生弯
μν
曲。如果n是垂直于光传播的方向，则惠更斯原理指出，在（γ，n）平
面中看来，光线将具有曲率-?γ/?n。
图1
我们看一下光线在质量M旁边经过距离为Δ时的曲率。如果我们采
用附图所示的坐标系，光线的总的弯曲（若弯向原点作为正值）在足够
的近似下为
而式（73）及（70）给出
完成计算，得
根据此式，光线经过太阳邻近时的弯曲为1.7″；经过木星邻近的弯
曲约为0.02″。
如果我们以更高的近似去计算引力场，而以同样的精度去计算一个
相对无穷小质量的物质的轨道运动，我们将发现其运动与行星运动的开
普勒-牛顿定律的差异如下，即其轨道椭圆将在运动方向上有一个缓慢
的进动，其每一圈的进动大小为
在上式中a为半长轴，c为通常意义下的光速，e为偏心率，T为以秒
为单位的公转周期[15]。
计算表明水星轨道的转动为每世纪43″，与天文观测（Leverrier）完
全一致，因为天文学家们观测到了水星近日点的转动，在去除了其他行
星的摄动之后，还剩下这么多。
（高尚惠译，吴忠超校）
[1]当然，如果一个答案在认识论上是令人满意的，可是与另外的实验事实相矛盾，这个答
案在物理上还是靠不住的。
[2]E?tv?s以极大的精确度用事实证明了引力场具有这样的性质。
[3]我们假设可以确认在空间中瞬时贴近的两个事件，或者更精确一点说，在时空中贴近或
重合的两个事件的“同时性”，而不对这个基本概念下定义。
[4]时间的单位应如此选择，使得在此“局域”坐标系中测量的真空中的光速为1。
[5]将一个具有任意分量A11，A12，A13，A14的矢量与一个分量为1，0，0，0的矢量作外
积，即可得出一个分量为
A11 A12 A13 A14
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
的张量。将类似形式的4个张量加起来，就可以得到具有任意给定分量的张量Aμν。
[6]数学家已经证明，这也是充分条件。
[7]根据§12，只有在二级导数（以及一级导数）之间才有
=0的关系。
[8]确切地说，只有对于张量Gμν+λgμνgαβGαβ，才能这样断言（λ为一常数）。
然而，我们如果令这个张量为零，则又回到方程Gμν=0。
[9]引入因子-2κ的原因见后。
[10]
和
都是对称张量。
[11]关于这个问题，参见H.Hilbert，《格丁根经典学会经典数学物理信息》1915，p.3。
[12]在无穷小区域中的狭义相对论意义下的参考系中，对于随其运动的观察者来说，能量
密度
等于ρ-p，这是ρ的定义，因此在不可压缩流体中，ρ并不是常数。
[13]当选择坐标放弃g=-1的条件时，还剩4个自由选择的空间函数，相当于我们在安排坐标
选择时的4个任意函数。
[14]根据E.Freundlich，对某些类型恒星的光谱观测，表明有这一类效应存在，但尚未对
这个结论做出决定性的核实。
[15]关于计算，将参考原始论文：爱因斯坦《普鲁士科学院学报》47（1915），
p.831;K.Schwarzschild， ibid ，（1916），p.189。
哈密顿原理和广义相对论
爱因斯坦
英文版译自“Hamiltonsches Princip wnd allgemeine
Relativit?tstheorie”, Sitzungsberichte der Preussischen Akad.
d. Wissenschaften, 1916
H.A.洛伦兹和希尔伯特最近成功地将广义相对论表述为一种特别全
面的形式[1]，他们单纯由变分原理导出了广义相对论的基本方程。本文
也将作同样的事情。我的目的是，在广义相对性原理允许的范围内将二
者的基本联系表述得尽可能透明和全面。与希尔伯特不同的是，我将对
物质结构使用尽可能少的假设。另一方面也与我本人最近对这方面有关
工作不同，对坐标系的选择仍将是完全自由的。
§1.变分原理和引力及物质的场方程
引力场像通常那样用张量[2]g （或
μν
gμν）描写，物质（包括电磁
场）则用任意数目的时空函数q 描写，我们忽略其不变性理论特点。
(p)
令 为下列各量的函数：
这时，变分原理
可提供与函数g 和
的数目总和一样多的微分方程，而这些函数
μν
q(ρ)
正是要被确定的，假定我们同意在变分时要求这些函数gμν和q 彼此互
(ρ)
相独立地变化，而且在积分边界上δq ，
(ρ)
δgμν以及
均为零。
我们现在假设 是
的线性函数，而
的系数只依赖gμν。这时，
变分原理（1）可用对我们更方便的形式取代。利用合适的分部积分，
我们得：
式中F是一个积分，其积分区域是我们所研究的整个区域的边界，
而
则只依赖gμν，
，q ，
而与
无关。对于我们所需要的变
(ρ)
q(ρ）α
分，由式（2）得
根据此式，我们可以将变分原理（1）式改为更为方便的形式
进行对gμν以及q 的变分，得到引力和物质的场方程[3]
(ρ)
§2.引力场单独存在的情况
能量分量不能分成两部分，使得一部分属于引力场，另一部分属于
物质。除非我们做出关于 如何依赖gμν，
，q ，
的特殊的假
(ρ)
q(ρ)α
设。为了达到这一目的，我们假设
式中 只依赖gμν，
，
，而
只依赖gμν，q ，
。
(ρ)
q(ρ)α
于是方程（4），（5）变为
式中
与 的关系和
与 的关系相同。
必须指出，如果我们假设
或 依赖q 的一阶以上的高阶导数，则
(ρ)
方程（8）或（5）将成为另一种形式。与此同样，如果我们认为q 不
(p)
是彼此独立，而是彼此根据某些条件互相联系的话，方程（8）和（5）
也将成为另一种形式。所有这些都与下面的讨论无关，因为下面的讨论
只根据式（7），而式（7）是对gμv变分而得出的。
§3.基于不变量理论的引力场方程的性质
现在我们引入一个假设，即
是一个不变量。这个假设确定了g 的变换性质。我们对描写物质
μν
的q 不做任何预先假设。但是认为在任意时空坐标变换之下，
(p)
都是不变量。由这些假设可以得出，由（1）式推出的方程（7）和
（8）具有普遍的不变性。由此进一步得出，G等于（相差一个常数因
子）黎曼曲率张量的标量，因为再没有别的不变量具有G所需要的性
质[4]。由此
以及方程（7）的左边也就完全确定了[5]。
由广义相对性的假说产生函数
的一些性质，我们现在就来推
导。为此目的，我们进行一个无限小的坐标变换，令
式中Δx 是任意符合条件的无限小的坐标的函数。 是世界点在新
ν
x′ν
坐标系中的坐标，此点在原坐标中的坐标为x 。与坐标的变换一样，任
ν
意量Ψ也有下列形式的变换规律
式中的ΔΨ必须永远可以用Δx 表示出。由
ν
gμν的协变性质，我们可以
很容易地导出gμν和
的变换规律：
可以利用（11）和（12）式算出，因为
只依赖gμν和
。这
样一来，我们可以得到下列方程
在上式中我们使用了下列缩写：
由这两个方程我们可以得出对于下文很重要的两个结论。我们知道
对于任意代换，
是不变量而
不是。然而可以很容易地证明，后者
对于坐标的线性变换是一个不变量。因而当所有的
都为零时，
（13）的右边必然总是等于零。由此得出，
必然满足下列恒等式
如果我们进一步选择Δx ，使它们在所考虑的区域内不为零，而在
ν
无穷接近边界处为零。则方程（2）中的直到边界上的积分之值不因坐
标变换而改变，因此我们有
Δ(F)=0，
因而[6]
但是，此式的左边必须为零，因为
和
都是不变量，从而此
式的右边亦必为零。其次，我们由式（13）、（14）和（15）得到
进行两次分部积分并重新整理，并考虑到Δx 是可以随意选择的，
σ
可得下列恒等式
现在我们应该由两个恒等式（15）和（17）得出结论，而此二式是
由
的不变性得出的，也就是由广义相对论的公设得出的。
引力场方程（7）首先与g 混合相乘加以变换，我们得到（并交换
uν
指标σ和ν）一个与场方程（7）等价的方程
式中已令
后一 的表式可以由式（14）和（15）证实。（18）式对x 微分之
ν
后，再对ν求和，并考虑到式（17），得
