由于从速度叠加定理（第5节）可知，矢量（u ， ， ）恰恰是参.4
（21）表示能量和动量守恒。我们称 为物质的能量分量， 为引
力场的能量分量。
由引力场方程（7）得到[在乘以
后，对μ和ν求和，并考虑到
（20）]
或者，考虑到（19）和（21），得
（22）式中
表示
。这些是物质的能量分量必须满足的四个
方程。
必须强调，（普遍协变的）守恒定理（21）和（22）已经单独从引
力场方程（7）导出过——还使用广义协变性（广义相对论）的公设
——而没有使用物质过程的场方程（8）。
（喀兴林译）
[1]H.A.洛伦兹的4篇论文发表在《阿姆斯特丹皇家科学院通报》的1915和1916两卷；
D.Hilbert的论文在《格丁根通讯》1915，Heft.3。
[2]在目前情况下，还未用到gμv的张量性质。
[3]作为一种简写，公式中的求和号均已省去，在一项中一个指标出现两次的，就应对此指
标求和，例如在（4）式中
即表示
。
[4]这也就是为什么广义相对论的要求导致一个截然不同的引力理论的原因。
[5]进行分部积分可得
[6]引入 和
来代替 和
。
广义相对论中的宇宙学研究
爱因斯坦
英文版译自“Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen
Relativit?tstheorie”, Sitzungsberichte der Preussischen Akad.
d. Wissenschaften; 1917
众所周知，泊松方程
和质点运动方程相结合仍然未能完美地取代牛顿的超距作用理论。
在空间无限处势φ趋向于一个固定的极限值这一条件仍然必须考虑在
内。在广义相对论的引力论中情形也很相似。如果我们真的必须把宇宙
认为是空间无限的，那就必须对微分方程附加上在空间无限处的限制条
件。
我在处理行星问题时，以如下假设形式来选择这些限制条件：可能
选择到一个参考系，使得所有引力势g 在空间无限处变成常数。但是
μv
在我们希望研究物理宇宙的更大部分时，以为我们可以设下相同的限制
条件，绝非理所当然。我将在下面几页，叙述自己迄今对这个重要的基
本问题所进行的思索。
§1.牛顿理论
众所周知，牛顿关于φ在空间无限处趋向于常数的限制条件导致在
无限处物质密度为零的观点。我们想象在宇宙空间中也许有一处，围绕
该处的物质引力场，以大尺度的观点看，具有球对称。那么从泊松方程
推出，为了使φ在无限处趋于一个极限，随着离开中心距离r的增加，平
均密度p趋向零的减小速度应该比 还要快[1]。因此，在这个意义上，
按照牛顿的说法，宇宙是有限的，尽管它可能具有无限大的总质量。
由此，首先可以推论，由天体发射出的辐射一部分径向往外离开宇
宙的牛顿系统，变得微弱并在无限处消失。难道所有天体的全部可有不
同的行为吗？对这个问题很难给出负面的答案。因为从在空间无限远处
φ具有有限极限的假设可以推出：一个具有有限动能的天体，能够克服
牛顿的吸引力，而到达空间无限远的地方。只要恒星系统转移到一个单
一恒星的总能量大到足以将它送上无限之旅，它就永不返回原处，根据
统计力学，这种情形随时可能发生。
我们也许可以假定，在无限远的极限势具有非常高的值，以避免这
种特殊困难。如果引力势的值本身不以天体作为先决条件，那也许是一
种办法。真实的情形是，我们不得不认为，引力场势的任何巨大差值的
发生和事实相抵触。这些差值的数量级必须这么低，使得由它们产生的
恒星速度，不超过实际观测到的速度。
如果我们把星系和一团处于热平衡的气体相比较，将关于气体分子
分布的（玻尔兹曼）定律应用到恒星上，我们就发现牛顿恒星系统根本
不能存在。这是因为对应于在中心和空间无限处之间的势的有限差值，
存在一个有限的密度比率。这样在无限处密度为零意味着在中心的密度
为零。
看来根据牛顿理论克服这些困难几乎是不可能的。我们可以反躬自
问，对牛顿理论进行修正可否避免这些困难。我们首先提出一个方法，
对这个方法本身不必予以认真对待；它只不过是作为以后发展的陪衬。
我们利用以下方程来取代泊松方程：
此处λ表示一个普适常数。如果ρ 是物质分布的均匀密度，那么
是方程（2）的一个解。这个解对应于固定恒星的物质在整个空间
均匀分布的情形，如果密度ρ 等于宇宙中物质的实际平均密度的话。这
个解对应于均匀地充满物质的中心空间的无限伸展。如果我们想象物质
在局部分布不均匀，而不使平均密度有任何改变，那么在上述的方程
（3）的具有常数值的φ之上，叠加上一个附加的φ。只要λ 在更密集的
φ
物质附近比4πκρ小，附加的φ就和牛顿场非常相似。
一个这样构成的宇宙，就其引力场而言，不具有中心。没有必要假
定密度在空间无限处减小，相反地，无论是平均势还是平均密度在趋向
无限远时都保持常数。我们在牛顿理论情形中发现的和统计力学的冲突
就不再重现。具有一定的但是极端微小的密度，不需要任何内部的物质
力（压力）去维持平衡，物质就处于平衡状态。
§2.广义相对论的边界条件
在本段落我将带领读者重走我自己旅行过的路途，这是一条相当崎
岖和弯曲的路途。否则的话，我认为他们不会对这一行程的终端的结果
有太大兴趣。我们将要得到的结论是，我奋斗迄今所得到的引力场方程
仍然需要做微小的修正。这样在广义相对论的基础上，才能避免在§1中
提到的牛顿理论所遭遇到的基本困难。这一修正和在§1中从泊松方程
（1）向方程（2）的转变完美地对应。我们最后推论出，在空间无限处
的边界条件干脆不存在，这是因为宇宙的连续统，就它的空间维度而
言，可被看成具有有限空间（三维）体积的一个自足的流形。
关于在空间无限处设限制条件，直到最近我还接受的看法是基于以
下的考虑。在一个协调的相对性理论中，不可能存在相对于“空间”的惯
性，只有质量的相对之间的惯性。因此，如果我有一个和宇宙中的其他
所有质量相距足够远的质量，它的惯性必须减小为零。我们将试图在数
学上表述这个条件。
根据广义相对论，协变张量乘以
的前三个分量给出负动量，
乘以最后一个分量给出能量
此处，正如一直这么做的，我们令
ds2=gμνdxμdxν。
（5）
特别清楚的情形是，在可能选取一种坐标系，使得在每一点的引力
场为空间各向同性的情形下，我们可有更简单的度规
如果同时还要求
在小速度的一阶近似下，我们从式（4）中得到动量分量
以及能量分量（在静止情形下）
从动量表达式可知，
起静质量的角色。由于m是质点特定的常
数，与其位置无关，如果我们在空间无限处保持
=1的条件，只有当
A减小至零而B增大到无限时，
才会为零。因此，所有惯性的相对性
假设似乎要求系数g 的这种退化。这一要求意味着在无限处势能
μv
变成无穷大。这样一个质点将永远不能离开这个系统；而且更细微的研
究表明，这也适合于光线。因此，其引力势在无限处具有这种行为的宇
宙系统不会有消亡的危机，刚才我们把它和牛顿理论结合起来进行了讨
论。
我想指出的是，作为这个论证基础的有关引力势的简化假设，仅仅
是因为清晰明了才被引进的。为了表达这个问题的本质，不用进一步的
限制假设，就可以找到g 在无限处行为的一般表述。
μv
在目前阶段，由于数学家J.格罗梅的好心帮助，我研究了中心对称
的，在无限处以前面提到的方式退化的稳恒的引力场。先给出引力势
g ，由此在引力场方程基础上计算出物质的能量张量
。但是我们在
μν
Tμν
这里证明了，一个固定恒星的系统根本不需要这类边界条件，正如天文
学家德西特最近也正确地强调过的。
有质物体的反变能量张量Tμν可表达成
此处ρ是自然单位下的物质密度。在适当选取的坐标系中，恒星的
速度和光速相比非常微小。因此，我们可以用
dx 来取代
4
ds。这表明
Tμν的所有分量和最后的分量T44相比较必须非常小。但是要把这个条件
和选取的边界条件相调和根本不可能。回顾一下这个结果并不令人吃
惊。从恒星具有微小速度的事实可以推出，在任何存在固定恒星之处，
引力势（在我们的情形下为
）永远不可能比在地球上的大太多。这
和在牛顿理论的情形完全一样，可由统计理论推出。无论如何，我们的
计算使我信服，不能假设g 在空间无限处的这种退化条件。
μν
这种企图失败之后，出现了下面两种可能性。
（a）正如在行星问题中那样，我们可以要求g 在适当选择的坐标
μν
系中，在空间无限处的值被近似地表达成
（b）我们可以完全避免为空间无限处设下普遍成立的边界条件；
取而代之对于所考虑的区域的空间极限，在每一种单独的情形下分别给
出g ，这正如迄今为止我们已经习惯的对于时间分别给出初始条件那
μν
样。
可能性（b）无望解决这一问题，只好放弃。这是当前德西特[2]采
用的无可争辩的立场。但是，我必须承认，在这个基本问题上全面投降
是我无法接受的。在我尽了一切努力而未找到满意的观点之前，我不应
该作任何结论。
可能性（a）在许多方面不令人满意。首先，在那些边界条件中预
先假定了一个确定的坐标系选取，这和相对论原理相违背。其次，如果
我们采取这个观点，我们就不能和惯性的相对性要求相协调。质量为
m（在自然单位下）的质点的惯性依赖g ；但是这些和上面给出的在空
μν
间无限处的它们的假设值的差别很小。这样，惯性的确受（在有限空间
中的）物体的影响，但不以后者为条件。根据这个观点，如果只存在一
个单独的质点，它将具有惯性，而且事实上其惯性和它被实际宇宙中的
其他质量环绕时的惯性几乎一样大。最后，在牛顿理论框架中提到的，
可能仍然会产生对这一观点的统计力学的反驳意见。
从上面的论述可见，我还未能成功地表述空间无限处的边界条件。
尽管如此，仍然存在一种出路，而不必像在（b）的可能性暗示下取放
弃态度。因为如果可能把宇宙认为是一个在空间维数上有限的（闭合
的）连续统，我们就根本不需要任何边界条件。我们将进一步指出，无
论是相对论的一般假设，还是小的恒星速度的事实都和空间有限宇宙假
设相协调；虽然，为了实现这个思想，我们肯定要对引力场方程作一个
推广的修正。
§3.具有均匀分布物质的空间有限的宇宙
根据广义相对论，每一处的物质以及该物质的状态确定了四维时空
连续统在该点的度规特征（曲率）。因此，鉴于物质分布之不均匀，这
个连续统的度规结构必然是极端复杂的。但是，如果我们只关心大尺度
结构，我们可以认为在巨大的空间中物质是均匀分布的，这样它的分布
密度是一个变化极其缓慢的可变函数。这样，我们的步骤就和测地学家
有些相似，他们利用一个旋转椭圆面来近似地球表面的形状，地球表面
的小尺度是异常复杂的。
我们从关于物质分布的经验得到的最重要事实是，恒星的相对速度
和光速相比是非常小的。所以，我认为我们现在可以把我们的论证基于
如下的近似假设之上。存在一个参考系，相对于它物质可认为处于永恒
的静止状态。因此，相对于这个系统，物体的反变能量张量T ，由于
μν
式（5）的原因，具有如下简单形式
分布的（平均）密度标量ρ想当然地为空间坐标的函数。但是如果
我们假定宇宙是空间有限的，我们会想到假定ρ与位置无关。在这个假
设的基础上我们进行如下论证。
就引力场而言，从质点的运动方程
推出，在一个稳恒引力场中一个质点只有当g 和位置无关时才能
44
保持静止。由于，如果我们进一步预先假定所有的量都和时间坐标x 无
4
关，我们可以要求需要的解对所有x 有
v
g44=1。
（7）
正如在处理静态问题中一直那样做的，我们还进一步必须令
g14=g24=g34=0。
（8）
现在余下的任务仅是确定我们连续统的纯粹空间几何关系的引力势
分量（g ，
）。从我们有关产生场的质量分布均匀性的假设推
11
g12…g33
出，所需空间的曲率一定是常数。因此，具有这样的质量分布，具有常
数x 的所需的 、 、 的有限连续统将是一个球空间。
4
x1 x2 x3
例如，我们可用下面的方法得到这样的空间。我们从四维的欧几里
得空间出发，其坐标为ξ ， ， ， ，线元为
1
ξ2 ξ3 ξ4
dσ；因此令
我们在这个空间中考虑超面
此处R表示一个常数。这个超面的点形成一个三维的连续统，具有
曲率半径R的球空间。
我们由其出发的四维欧几里得空间只是为了定义我们超面的方便。
只有其度规性质和具有均匀分布物质的物理空间的度规性质相同的超面
上的那些点，我们才感兴趣。我们可以利用坐标ξ ， ， （在超平面
1
ξ2 ξ3
ξ4=0上的投影）来描述这个三维连续统，这是因为从式（10）我们得
知，ξ 可以按照 ， ， 来表达。从式（
，我们得到了空
4
ξ1 ξ2 ξ3
9）中消去ξ4
间球的线元的表达式
此处δμν=1，如果μ=ν；δμν=0，如果μ≠ν以及
。在考察两
点之一ξ1=ξ2=ξ3=0的邻域时，所选择的坐标很方便。
现在，我们还得到了所需要的四维时空的线元。对于两个下标都不
是4的势g 可以表示成
μν
这个方程结合式（7）和（8）完美地定义了尺子、钟表和光线的行
为。
§4.关于引力场方程的一个附加项
我提出的引力场方程在任意选取的坐标系下写成
当我们把式（7）、（8）和（12）中的g 的值以及在式（
μν
6）中的
物质的能量（反变）张量代入方程组（13）时，发现根本不满足。在下
一段我们会看到如何简便地进行这个计算。如果能断定，我迄今所使用
的场方程（13）是仅有的和广义相对论假设相符合的方程，也许我们就
只好得出结论，广义相对论不允许空间有限宇宙的假设。
然而，很容易将方程组（13）进行和广义相对论相和谐的推广，这
和方程（2）给出的泊松方程的推广完全相似。我们可以在场方程
（13）的左边加上一个基本张量g 乘以当前还未知的普适常数
μv
-λ，而不
破坏其一般协变性。我们用如下方程取代场方程（13）
这个具有足够小λ的场方程，无论如何也和从太阳系推导的经验事
实相协调。它还满足动量和能量守恒定律。这是因为从黎曼张量的标量
利用哈密顿原理可以推出方程组（13），如果这个标量增加了一个普适
常数，就可以同样地推出场方程（13a）；而且哈密顿原理理所当然地
保证守恒律成立。我们将会在§5看到，场方程（13a）和我们对场和物
质的猜测相一致。
§5.计算和结果
由于我们连续统中的所有点都是平等的，只要对一点进行计算即已
足够，例如考虑具有坐标
x1=x2=x3=x4=0。
的两点之一。那么对式（13a）中的g 求导一次或不求导的
都应
μv
gμν
代入下值
这样，我们首先得到
由此以及方程（7）、（8）和（13）容易发现，只要满足下面两个
关系，（13a）的所有方程都能满足
或者
这样，新引进的普适常数λ不仅确定了可能保持平衡的平均分布密
度ρ，而且确定了球空间的半径R和体积2π2R3。根据我们的观点，宇宙
的总质量M是有限的，并且事实上为
这样，如果实际宇宙和我们的论证相对应，那么关于它的理论观点
如下所述。根据物质的分布，空间的曲率随时间和空间而变化，但是我
们可以用一个球空间对它作粗略近似。无论如何，这种观点在逻辑上是
自洽的，从广义相对论的观点看也是最显然的；而从当代天文知识的观
点看，它是否站得住脚不在此讨论。为了得到这个自洽的观点，我们必
须断然对还未被实际证实的引力场方程进行推广。然而，应该强调的
是，即使不引进补充的项，我们的结果也给出了空间的正曲率。那一项
仅仅是为了能使物质处于准静态分布才引进的，正如恒星的小速度这一
事实要求的那样。
（吴忠超译）
[1]p是平均的物质密度，它是对一个比邻近恒星之间的距离更大的，但和整个恒星系统尺
度相比较小的区域来计算的。
[2]德西特：阿姆斯特丹科学院，1916年11月8日。
引力场在物质的基本粒子结构中起重要作用吗
爱因斯坦
英文版译自“Spielen Gravitationsfelder im Aufber der
materiellen Elewentarteilchen eine wesentliche
Rolle?”Sitzungsberichte der Preussischen Akad.
d.Wissenschaften, 1919
到目前为止，无论是牛顿的引力论还是相对论性的引力论，对物质
组成的理论都未能有所推进。鉴于这一事实，下面要说明，已经有线索
可以设想，那些构成原子的基石的荷电基元实体是由引力结合起来的。
§1.目前的理解的缺点
为了建立一个可以说明组成电子的电平衡的理论，理论家们已是煞
费苦心。G.迈尤其专心致志地深入研究了这个问题。他的理论在理论物
理学家中已经得到了相当的支持，这理论主要根据的是在能量张量中，
除了麦克斯韦-洛伦兹电磁场理论的能量项，还引进了那些依赖电动势
分量的附加项，这些项在真空里并不重要，可是在荷电基本粒子里反抗
电斥力维持平衡是起作用的。尽管由希尔伯特和外尔建立起来的这个理
论在形式结构上非常美，可是它的物理结果至今仍然很不令人满意。一
方面，它的各种可能性多得令人沮丧；另一方面，那些附加项还未能以
这样一种简单的形式建立起来，使它的解可以令人满意。
到目前为止，广义相对论对问题的这种状态未能有所改变。如果我
们暂且不管附加的宇宙项，则场方程取形式
此处G 表示缩并后的黎曼曲率张量，
μν
G表示再次缩并后形成的曲率
标量，T 表示
并不依赖
的导数，以
μν
“物质”的能量张量。这里假定Tμν
gμν
便同这些方程的历史发展一致。因为这些量在狭义相对论的意义上当然
就是能量分量，在那里不出现可变的g 。这个方程左边第二项如此选
μν
取，使（1）式左边的散度恒等于零；于是通过取（1）式的散度，我们
就得到方程
在狭义相对论的极限情况下，它就化为完备的守恒方程
这里存在着（1）式左边第二项的物理基础。绝非先验地规定这种
向不变g 过渡的极限情况都具有任何可能的意义。因为，如果引力场
μν
在物质粒子的构造中起着主要作用，那么过渡到不变g 的极限情况对
μν
于它们就会失去根据；因为在g 不变的情况下实在不可能有任何物质
μν
粒子。因此，如果我们要设想引力有可能在那些组成微小粒子的场的结
构中起作用，我们就不能认为方程（1）是得到保证了的。
我们在（1）中放入麦克斯韦-洛伦兹电磁场能量分量? ，
μν
那么，取式（2）的散度，并经运算[1]后，我们就得到
此处为简洁起见，我们置
在计算中，我们用到了麦克斯韦方程组的第二个方程
我们从式（4）可以看出，电流密度 必定处处为零。因此，由方
程（1），我们就得不到一个局限于麦克斯韦-洛伦兹理论的电磁分量的
电子理论，正如早就知道的那样。于是，如果我们坚持式（1），我们
就不得不走上迈理论的道路[2]。
不仅物质问题，而且宇宙学问题也导致了对方程（1）的怀疑。正
如我在前一篇文章中指出过，广义相对论要求宇宙在空间上是闭合的。
但是这种观点使得有必要扩充方程（1），在其中引入一个新的普适常
数λ，它同宇宙的总质量（或者物质的平衡密度）保持固定关系。这对
于理论的形式美来说是一个严重的缺陷。
§2.无标量的场方程
我们用下列方程
代替场方程（1），上述困难就可以除去，此处T 表示由（
iκ
3）所给
出的电磁场的能量张量。
这个方程的第二项中的因子
的形式根据，在于它使左边的标量
恒等于零，就像右边的标量
gμνTμν
由于（3）而恒等于零一样。若是根据方程（1）而不是（1a）来推
导，那么我们相反应当得到条件R=0，这无论在哪里对于g 都必定成
μv
立，而同电场无关。显然，方程组[（1a），（3）]是方程组[（1），
（3）]的结果，而不是反过来。
乍一看我们会怀疑，（1a）连同（6）一起是否足以确定整个场。
在广义相对论性的理论中，为了确定n个相依变量，我们需要n-4个彼此
独立的微分方程，因为在这个解中，考虑到坐标的自由选择，必定会自
然出现4个关于所有坐标的完全任意的函数。因此，要确定16个相依变
量g 和
，我们需要
μν
?μν
12个彼此独立的方程。但恰好方程组（1a）中的9
个方程和方程组（6）中的3个方程是彼此独立的。
如果我们构成（1a）的散度，考虑到
的散度等于零，于
是得到
从这里我们首先认出，在电密度等于零的四维区域里，曲率标量G
是常数。如果我们假定空间的所有这些部分都是相连的，从而电密度只
有在分开的世界线束中才不等于零，这样，曲率标量在这些世界线束外
面的任何地方都具有常数值G。但是，关于G在电密度不等于零的区域
里的性质，方程（4a）也允许作出一个重要结论。如果我们像通常那样
把电看作是运动着的电荷密度，当我们置
从（4a）通过用
内乘，并考虑到? 的反对称性，我们就得到关
μν
系式
因此，曲率标量在电荷运动的每一条世界线上都是常数。方程
（4a）可以直观地以下列陈述来解释：曲率标量G起着一种负压力的作
用，在电粒子的外面它具有常数值G 。在每一个粒子里面都存在着一个
负压力（正的G-G ），这个压力的下降就保持了电动力的平衡。这个压
力的极小值，或者曲率标量的极大值，在粒子内部不随时间改变。
我们现在把场方程（1a）写成形式
另一方面，我们改变先前的场方程，加上宇宙项后为
减去乘以1/2的标量方程，立刻得到
现在，在只有电场和引力场存在的区域内，这个方程的右边等于
零。对于这样的区域，通过构成标量我们得到
-G+4λ=0。
于是在这样的区域内，曲率标量为常数，因而可以用R0/4来代替
λ。因此，我们可以把先前的场方程（1）写成形式
比较式（9）和（10），我们可以看出，新的场方程同先前场方程
的区别在于，现在出现了与曲率标量无关的
以代替作
为“引力质量”的张量T 。但是，这个新表述形式比之先前的表述形式
μν
有这样一大优点：量λ作为一个积分常数出现在理论的基本方程中，而
不再作为基本定律所特有的普适常数了。
§3.关于宇宙学问题
最后这个结果已经允许作这样的猜测：根据我们新的表述方式，可
以把宇宙看作是空间上闭合的，而无须任何附加的假设。像以前那篇论
文那样，我们再一次指明，在物质均匀分布的条件下，球形宇宙是同这
些方程相容的。
首先我们置
于是，如果P 和
ik
P分别是三维空间中的二秩曲率张量和曲率标量，
我们有
Gik=Pik（i，k=1，2，3）
Gi4=G4i=G44=0
G=-P
-g=γ。
因此，对于我们的情况，得到
为了进一步思考，我们以两种方式进行。首先我们借助方程
（1a）。在这个方程组中，T 表示由组成物质的电粒子所产生的电磁
μν
场的能量张量。对于这种场，
到处都成立。各个
都是随位置迅速变化的量；但是对于我们的任
务来说，无疑可以用其平均值来代替它们。因而我们必须选取
因此
考虑到迄今已经证明的结果，我们得到下列方程以代替（1a）：
（13）的标量方程与（14）相符。正因为如此，我们的基本方程允
许球形宇宙。因为从式（13）和（14）可得
并且我们已经知道[3]，一个（三维）球形宇宙是满足这个方程组
的。
但是，我们也可以根据方程（9）来思考。在方程（9）的右边是这
样一些项，从现象学的观点看来，它们应该代之以物质的能量张量；因
此，它们应该代之以
此处ρ表示假定处于静止的物质的平均密度。我们于是得到方程
由（16）的标量方程和方程（17），我们得到
从而由方程（16），得到
Pik-κργik=0，
（19）
这个方程，直到关于系数的表示式，是同式（15）相符的。通过比
较，我们得到
这个方程意味着，构成物质能量的3/4属于电磁场，1/4属于引力
场。
§4.结束语
上述思考显示了仅仅由引力场和电磁场从理论上构建物质的可能
性，而无须按迈的理论路线去引进一些假设的附加项。由于在解宇宙学
问题时，它使我们避免了引入一个特殊常数λ的必要性，这种可能性就
显得特别可取。另一方面，也会遇到一个特殊的困难。因为，如果我们
把式（1）限定为球对称静止的情形，那么我们就得到一个方程，这对
于确定g 和
来说是太少了，其结果是，电的任何球对称分布看来都
μv
?μv
似乎能够维持在平衡中。因此，根据已有的场方程，还是远远不能解决
元量子的构成问题。
（许良英译，邹振隆校）
[1]例如，参见A. Einstein， Sitzungsber. d. Preuss, Akad. d. Wiss. ,1916,pp. 187-
188。
[2]参见D.希尔伯特， G ? ttinger Nachr. ,20 Nov., 1915。
[3]参见H.外尔，“Raum，Zeit，Materie”, §33。
第二部分
狭义相对论和广义相对论
导言
地球是一个稍微扁平的球体，而从地面上看，它显得是平坦的，而
且在几千年的时间里一直被认为是平坦的。同理，在欧几里得公理似乎
显然正确的意义上来讲，我们眼中的宇宙是“平坦的”；这些公理中的重
要一条是两条直线或者光束最多只能相交一次。空间的这个“平坦”图像
是最简单，也是被爱因斯坦之前所有物理学家接受的图像。
爱因斯坦并没有立即推翻宇宙的平坦模型，而只不过在高度、宽度
和长度之外加上另一维：时间。爱因斯坦在《狭义相对论和广义相对
论》中描述了平直空间中的物理学，即狭义相对论的领域。他的假设十
分简单：首先，对所有以常速度运动的观察者物理定律是相同的；其
次，所有这类观察者都测量到同样的光速。艾萨克·牛顿爵士肯定会承
认第一点，但他肯定会认为第二点不可能。爱因斯坦之所以得到这个结
果是由于注意到，物理定律不仅在空间方向之间旋转下，而且在空间和
时间之间“旋转”下不变。
爱因斯坦承认该理论不包括引力，因此必然是不完备的。正如在第
二部分讨论的，为了修补这个，他论断宇宙也可能是弯曲的。空间和时
间的曲率有一些根本的含义：光线在围绕大质量物体时不是沿着直线，
而是沿着曲线行进。钟表处在大质量物体邻近比在远处走得较慢。换言
之，爱因斯坦注意到，不仅空间而且时间也是弯曲的。爱因斯坦利用一
套简单的“场方程组”不仅推导出牛顿提出的运动定律和引力定律，而且
为解释一些直到那时还莫名其妙的现象铺平了道路。
在1915年爱因斯坦发表其广义相对论之后，卡尔·施瓦茨席尔德几
乎立即指出，在单个有质量物体的情形下，可以解出爱因斯坦场方程。
尽管当时爱因斯坦没有意识到，也从未承认过，这个解描述了一个紧致
的物体，甚至连光都不能从该物体逃逸出来：这就是我们现在称为“黑
洞”的东西。现在我们相信，一些恒星以黑洞来终结其生命，而且在大
多数（若不是所有的）星系中心存在超大质量的黑洞。最近的证据暗
示，在我们自己的银河系中存在一个大约300万倍太阳质量的黑洞。
由于光线在围绕大质量物体时被偏折，遥远星系的像在它们到达地
球这里观察者的路途上被畸变或者甚至变成多个。这个称作“引力透
镜”的效应和弯曲的玻璃片不无相似。阿瑟·爱丁顿在1919年日食时看到
的透镜效应是广义相对论最早的观测验证之一。爱丁顿注意到一个恒星
在天空的位置相对于它的正常位置似乎被移动了。这个移动和给定太阳
质量下由爱因斯坦预言的结果相一致。这种空间的弯曲不一定是局域
的。许多当代天体物理学家关注宇宙整体的“形状”是什么样子，它是否
是“平坦的”，像球那样是“闭合的”（因此有限），或者像鞍面那样
是“开放的”（因此是无限的）。从威尔金孙微波各向异性探测器
（WMAP）卫星最近的测量暗示，宇宙是平坦的，或者巨大到还无法和
完全平坦区分开来。
爱因斯坦首次提出广义相对论时承认，他的理论预言，宇宙整体不
能像过去一直以为的那样是静止的：引力的吸引意味着，宇宙必须要么
正在膨胀，要么正在收缩。因此，他加上一个“宇宙常数”去平衡引力的
吸引，并保持宇宙静止。1922年天文学家埃德温·哈勃通过观测测量宇
宙的膨胀，这个膨胀和爱因斯坦原先的理论全然一致，而和他的宇宙常
数的值不一致。在本书的附录4中，爱因斯坦对于这最新的发现进行了
回应，并在别处表示：他人为地引进宇宙常数是他“最大的错误”。然
而，作为有趣的尾声，在1990年代中期对遥远超新星的测量表明，也许
终究存在一个宇宙常数，虽然不是爱因斯坦提出的那个数值。
（吴忠超译）
狭义与广义相对论浅说
前言
本书面向的是从一般科学和哲学的观点出发对相对论感兴趣，但是
对理论物理的数学工具并不熟悉的读者[1]，并尽可能使他们能够准确深
入地了解相对论。本书假定读者具备大学入学考试所要求的教育水准。
尽管篇幅短，但仍要求读者具有相当的耐心和毅力。作者不遗余力地以
深入浅出的方式表达该理论的精髓，并从总体上保持它们原先创始过程
中的顺序和关系。为了表达清晰，看来我必须不断有所重复，而丝毫不
能顾及文体的优雅。我谨遵卓越的理论物理学家玻尔兹曼的教诲，他说
优雅性应该留给裁缝和鞋匠去考虑。我完全没有刻意向读者隐瞒这个理
论的固有困难。另一方面，我有意以“继母般”的方式论述该理论的经验
物理基础，以使对物理学不熟悉的读者不至于感到像个迷路人，只见树
木不见森林。但愿本书给你带来浮想联翩的快乐时光。
爱因斯坦
1916年12月
第一部分 狭义相对论
§1.几何命题的物理意义
本书的大部分读者在学校里的时候就已经熟悉了欧几里得几何的宏
伟大厦，你还记得——也许心里的崇敬多于爱戴——那个富丽堂皇的体
系，在其高耸的阶梯上，你被尽责的老师催赶了数不清的时间。凭你过
去的经验，如果有人否定该学科中的任何一个命题，哪怕是最冷僻的命
题，你都必定会嗤之以鼻。可是如果有人问你：“那么，断言这些命题
成立的意思又是什么呢？”你的这种妄自尊大的感觉便会立即荡然无
