由于从速度叠加定理（第5节）可知，矢量（u ， ， ）恰恰是参.5
存。下面让我们对这个问题稍作考虑。
几何学的出发点包括某些概念，如“平面”、“点”和“直线”，我们能
够把它们与大体上明确的直观观念联系起来；还包括某些简单命题（公
理），有了这些直观观念，我们倾向于接受这些命题为“真理”。然后，
在逻辑推理的基础上（我们不得不承认逻辑的正确性），所有其他命题
都从这些公理推出，也就是得到证明。于是，若一个命题以公认的方式
从公理推导出，它便是正确的（“真实”的）。这样，一个几何命题是
否“真实”的问题就转化为了公理是否“真实”的问题。现在，人们早就知
道，最后这个问题不仅用几何方法无法回答，而且它本身根本毫无意
义。我们不能问，过两点是否只有一条直线。我们只能说，欧几里得几
何研究的是称为“直线”的东西，每条直线都具有这样的性质：其上的两
个点唯一决定了这条直线。“真实”这个概念不适合纯几何命题，因为
用“真实”这个词，我们在习惯上总是指与“实际”事物相符合；但是，几
何学并不关心它的概念与经验物体的关系，而只关心这些概念之间的逻
辑关系。
不难理解，为什么尽管这样，我们仍不得不称这些几何命题是“真
实”的。几何概念或多或少与自然界的实际物体相对应，这些物体毫无
疑问是那些概念的唯一渊源。为了使其结构具有最大限度的逻辑统一
性，几何学应当避免这样的方法。例如，在一定“距离”外观察实际是刚
性的物体上的两个带标记的位置，这个习惯是深植于我们的思维习惯中
的。此外，对于三个点，如果适当地选择观察角度，用一只眼观察若能
使它们出现的位置重叠，我们习惯于认为这三个点位于同一条直线上。
如果顺从我们的思维习惯，现用这样一个命题来补充欧几里得几何
学：在一个实际是刚性的物体上的两个点总是对应于同一距离（线间
距），与物体位置的变动无关。那么欧几里得几何命题本身就会转变为
关于实际刚性的物体的可能相对位置的命题[2]。经过这样扩充的几何学
可视为物理学的分支。现在我们可以合法地询问经过这样解释的几何命
题的“真实性”了，因为我们有正当的理由询问，与我们的几何观念相关
联的那些实际物体是否满足这些命题。用不太严格的术语，这句话可以
表达为：我们把几何命题在这种意义上的“真实性”理解为它在尺规作图
方面的正当性。
当然，几何命题在这种意义上的“真实性”的信仰单独地建立在相当
不完全的经验基础上。目前我们假设几何命题的“真实性”是成立的，以
后（在广义相对论中）我们将看到这个“真实性”是有限的，并讨论它的
受限制程度。
§2.坐标系
根据上述对距离的物理解释，我们还可以用测量的办法确立刚体上
两点间的距离。为此，需要有一个永远可以使用的“距离”（杆S）用作
测量标准。现在，若A和B是刚体上的两个点，则根据几何学法则，可
以作一直线连接这两点；然后，从A点开始，逐次量出距离S，直到达
到B点。所度量的次数就是距离AB的数字测量值。这是所有长度测量的
基本原则。[3]
对于空间中事件的发生地点或物体的位置的描述，都是基于指明该
事件或物体在刚体（参照物）上的位置而得到的。不仅科学描述是这
样，日常生活也是如此。如果我分析“柏林，波茨坦广场”的地理位置，
就会得到下列结果。地球是确定该位置所参照的刚体；“柏林的波茨坦
广场”是一个定义明确的一点，它被赋予一个名字，该事件在空间中与
之重合。[4]
这种确定位置的原始方法只能用于刚体表面的位置，而且该表面上
存在可以彼此区分的点。但是我们可以摆脱这两个限制条件，而且不会
改变我们的确定位置的本质。例如，如果一朵云飘浮在波茨坦广场上
空，那么我们就可以在广场上立一根垂直的杆，让杆够到云朵，从而确
定它相对于地球表面的位置。利用标准量尺测得的杆长，结合对杆的根
部位置的确定，我们就得到一个完整的位置情况。通过这个例子，我们
能够看出位置概念是如何得到改进的。
（a）我们想象以某种方式扩充确定位置所参照的刚体，使得扩充
后的刚体能够得着位置待定的那个物体。
（b）在确定该物体的位置时，我们使用的是一个数字（这里是用
量尺测得的杆长），而不是指定的参照点。
（c）即使触及云朵的杆子还没竖立起来，我们就谈论了云朵的高
度。方法是在地面上不同的地方对云朵进行光学观测，并考虑到光的传
播特性，就可以确定出用来够到云朵所需的杆的应有长度。
从这些讨论可以看出，在描述位置时，如果有可能利用数值量度，
使我们不依赖刚性参照物上带标记（有名字）的位置，那么事情就会更
有利。在物理测量中，利用笛卡儿坐标系达到了这个目的。
该坐标系由三个牢牢地固定在刚体上的、互相垂直的平面组成。相
对于坐标系，事件的发生地点（主要）由从事件发生地向那三个平面所
作的三条垂线的长度或坐标（x，y，z）来确定。这三条垂线的长度可
以用刚性量尺根据欧几里得几何所确立的法则和方法，进行一系列测量
来确定。
实际上，构成坐标系的刚性表面一般不存在；而且，坐标值实际上
也不是由刚性杆所确定，而是用间接方法获得。物理学和天文学的结果
如果要保持清晰，那么就必须按照上述的讨论去寻找位置描述的物理意
义。[5]
这样我们就得到下列结果：空间中事件的所有描述都涉及使用这些
事件所必须参照的刚体。所得的关系认为：欧几里得几何定律适用
于“距离”，这种“距离”在物理上习惯用刚体上的两个标记点来表示。
§3.经典力学中的空间与时间
力学的目的是描述物体的空间位置如何随“时间”改变。如果我不经
认真的反思和详细的解释，就把力学的目的描述成这样，那么我就违背
了力求清晰的神圣精神，我的良心会因这严重的过失而受到谴责。下面
让我们来揭示这些过失。
这里的“位置”和“空间”应该如何理解尚不明了。我站在一列匀速行
驶的火车车厢内的窗户旁，向路堤丢下一块石头，注意不是投掷。如果
忽略空气阻力的影响，那么我看到石头以直线下落。从人行道上观察这
种不良行为的行人会注意到，石头是以拋物线落到地上的。现在要问：
石头经过的“位置”在“实际中”呈直线还是呈拋物线？还有，“空间中”的
运动是什么含义？根据上一节的讨论，答案是显而易见的。首先我们完
全避开模糊不清的字眼“空间”，必须坦然地承认，我们无法为这个词形
成丝毫的概念，我们将它替换成“相对于实际上刚性的参照物的运动”。
上一节已经详细定义了相对于参照物（火车车厢或路堤）的位置。如果
不用“参照物”，而是用“坐标系”这个有利于数学描述的概念，那么我们
就能够说：相对于牢牢地固定在车厢上的坐标系来说，石头划过的是一
条直线；可是相对于牢牢地固定在地上（路堤）的坐标系来说，则是一
条拋物线。借助于这个例子，就能很清楚地看出，没有独自存在的轨迹
（字面意思是“路径-曲线”[6]）这种东西，只有相对于特殊参照物的轨
迹。
为了完整地描述运动，我们必须说明物体的位置如何随时间变化，
即对于轨迹上的每一点，必须指明物体到达那里的时间。这些数据还必
须辅以这样的时间定义，依据这种定义，这些时间值可以在本质上视为
能够观测到的量值（测量结果）。若从经典力学的角度来看，我们可以
用下列方式满足有关要求。我们想象有两个构造相同的时钟，站在车厢
窗户旁的那个人手中拿着其中一个时钟，人行道上的那个人拿着另一个
时钟。每个观察者在自己手中的时钟的每一次滴答声响时，测定石头在
自己的参照物上的位置。这里我们没有考虑光速有限性带来的误差。对
于这一点以及此处第二个突出的难点，我们将在后面另行细述。
§4.伽俐略坐标系
众所周知，被称为惯性定律的伽俐略-牛顿力学的基本定律可以这
样表述：一个离开其他物体充分远的物体将保持静止或匀速直线运动状
态。该定律不仅论述了物体的运动，而且还简述了力学上允许的、可以
用于力学描述的参照物或坐标系。在很大近似程度上，可见的固定不动
的恒星是惯性定律肯定适用的物体。如果我们使用一个牢牢地固定在地
球上的坐标系，那么相对于该坐标系，在一个天文日期间，每一个固定
不动的恒星都划过一个半径巨大的圆圈，这个结果与惯性定律的说法相
悖。因此，如果我们坚持该定律，那么在讨论这些运动时，就只能采用
那些固定的恒星不在其中做圆周运动的坐标系。如果一个坐标系的运动
状态使得惯性定律相对它能够成立，那么这个坐标系就被称为“伽俐略
坐标系”。
伽俐略-牛顿力学定律可视为仅对伽俐略坐标系成立。
§5.相对论原理（狭义）
为了尽量清楚地表达，我们先回到火车车厢的例子，假设火车在匀
速前进。我们将它的运动称为匀速平移（“匀速”是因为其速度和方向保
持恒定，“平移”是因为车厢尽管相对于路堤发生位置变化，但没有发生
旋转）。设想有一只乌鸦在空中飞过，在路堤上观察，乌鸦沿直线匀速
飞行。如果在行驶中的车厢上观察飞行的乌鸦，就会发现它以不同的速
度和方向在飞行，但仍然沿直线匀速飞行。抽象地说：如果一个质点m
相对于坐标系K沿直线匀速运动，只要第二个坐标系K′相对于K做匀速
平移，那么该质点相对于K′也沿直线匀速运动。根据上一节的讨论，可
以推出：
如果K为伽俐略坐标系，那么其他每一个相对于K做匀速平移运动
的坐标系K′也属于伽俐略坐标系。如同适用于K一样，伽俐略-牛顿力学
定律完全适用于K′。
当我们表述上述原理时，我们还可进一步地推广：如果坐标系K′相
对于K做匀速运动且没有旋转，那么相对于K′，自然现象的变化过程所
遵循的普遍规律与相对于K时完全一样。这一论述称为相对性原理（狭
义）。
只要你相信，借助于经典力学，所有自然现象都可表述，那就没有
必要怀疑相对性原理的正确性。但是由于电动力学和光学的最新发展，
越来越多的证据表明，在对所有自然现象进行物理描述方面，经典力学
提供的基础显然已不够用。在这时刻，讨论相对性原理的正确性问题的
时机已经成熟，而且看来不是没有可能，这个问题的答案可能是否定
的。
不过有两个普遍的事实，从一开始就强烈支持相对性原理的正确
性。虽然经典力学没有为所有物理现象的理论表述提供足够广泛的基
础，但是我们仍然必须承认它具有相当程度的“真理性”，因为它精细地
刻画了天体的极为精彩的实际运动情况。因此，在力学的领域内，相对
性原理肯定非常精确。可是，一个如此广泛普遍的原理，在一个现象领
域内能够这样精确地适用，而在另一个领域内却不成立，推测起来，这
是不太可能的事。
现在我们进入第二个论据，后面还会再次论述这个论据。如果相对
性原理（狭义）不成立，那么互相做匀速运动的伽俐略坐标系K，K′，
K″等在描述自然现象方面就不会等价。在这种情况下，我们将被迫认
为，自然定律能够以特别简单的形式表述，当然必要条件是：从所有可
能的伽利略坐标系中，我们选出了一个特别的运动状态的坐标系（K ）
作为参照物。这样我们就有理由（因为它在描述自然现象方面的优势）
称这个坐标系是“绝对静止的”，而所有其他伽俐略坐标系K是“运动
的”。例如，如果我们的路堤为坐标系K ，那么火车车厢就是坐标系
K，相对于K的自然定律就不如相对于K 的自然定律那样简单。这一简
单性被减弱是由于这样的事实：车厢K相对于K 在运动（即
“真正的运
动”）。在相对于K表示的一般自然定律中，车厢速度的大小和方向必然
发挥了作用。例如，可以预料到，当风琴管的轴向与车厢行驶方向平行
时，风琴发出的声调不同于风琴管的轴向与行驶方向垂直时发出的声
调。由于我们的地球沿轨道环绕太阳运动，它就相当于一列火车以每秒
约30km的速度行驶。如果相对性原理不成立，那么我们会预料到，地
球在任何时刻的运动方向会体现在自然定律中，而且物理系统的行为将
依赖它相对于地球的空间方位。由于一年中地球公转速度方向的变化，
它不可能在全年中相对于假想的坐标系K 保持静止状态。然而，即使非
常仔细地观测也从来不曾揭示出这种地球物理空间的各向异性，即不同
方向上的物理不等价性。这是对相对性原理非常有力的有利论据。
§6.经典力学的速度叠加定理
让我们设想老朋友火车车厢以恒定速度v沿铁轨行驶，有一个人以
速度w沿行驶方向穿过车厢。在这个过程中，这个人相对于路堤行走得
有多快？换句话说，他的速度W是多少？看来唯一可能的答案来自下面
的考虑：若这个人静立1秒钟，则他相对于路堤向前移动了距离v，数值
上等于车厢的速度。然而，因为他在行走，他相对于车厢又移动距离
w，所以在这1秒钟里，相对于路堤他也移动了距离w，数值上等于他的
行走速度。这样，在这1秒钟里，他相对于路堤的移动总距离为
W=v+w。后面我们会看到，表达了经典力学中的速度叠加定理的这一
结果不再正确；换句话说，我们刚才写下的定律实际上并不成立。但
是，目前我们姑且假设它是正确的。
§7.光传播定律与相对性原理的表面矛盾
在物理学中几乎没有什么定律比光在真空中的传播定律更简单。每
个学童都知道，或者以为自己知道，这种传播以直线方式发生，速度为
c=300000km/s。无论如何，我们非常精确地知道，所有颜色的光线都具
有这个速度，因为如果不是这样，那么当固定的恒星被它邻近的暗星遮
蔽时，不同颜色的光线的最低辐射就不会被同时观测到。根据对双星的
观测做类似的考虑，荷兰天文学家DeSitter还能够证明，光的传播速度
并不会依赖发光物体的运动速度。光的传播速度与“在空间中”的方向有
关的假设本身也是不可能的。
简言之，我们假设光速c（在真空中）恒定这一简单定律受到学童
信奉是无可非议的。谁会想到这个简单定律竟会使严谨细致的物理学家
陷入极大的智力困境中？让我们看一看这些困难是如何产生的。
当然，光的传播过程（以及每个其他过程）必须相对于一个刚性参
考物（坐标系）。让我们再次选取路堤作为这样一个坐标系。想象路堤
上方的空气已经抽空。如果沿着路堤发射一束光，那么从上面观察，我
们会看到光束的前端相对于路堤以速度c传播。现在假设车厢还是以速
度u沿着铁轨行驶，其方向与光束的方向相同，但速度当然低得多。我
们来探究一下光束相对于车厢的传播速度。很明显，这里可以像上节那
样考虑，因为光束充当了相对于车厢行走的人。这里人相对于路堤的速
度W被光相对于路堤的速度所替代。w是所求的光相对于车厢的速度。
有：
w=c-v。
结果光束相对于车厢的传播速度就来得比c小。
但是这个结果与§5节阐述的相对性原理相矛盾。因为像其他所有普
遍自然定律一样，按照相对性原理，不管取火车车厢为参照物还是取铁
轨为参照物，真空中光传播定律必须是一样的。可是，从上述的考虑来
看，这似乎是不可能的。如果所有光线相对于路堤的传播速度都是c，
那么相对于车厢，似乎就必须有另一条光传播定律成立——这个结果与
相对性原理相矛盾。
鉴于这种两难局面，我们要么放弃相对性原理，要么放弃简单的真
空中光传播定律，似乎没有别的选择。认真地理解了前述讨论的读者几
乎肯定会料想到，我们应当保留相对性原理，因为它是如此自然和简
单，在思想上的说服力又很强。那么，真空中光传播定律就必须被符合
相对性原理的更为复杂的定律所替代。然而，理论物理的发展表明，我
们不能走这条路。洛伦兹关于和运动物体有关的电动力学和光学现象的
划时代理论研究表明，该领域的经验无可辩驳地引导出关于电磁现象的
一个理论，真空中光速不变定律是它的必然结果。因此，著名的理论物
理学家更倾向于否定相对性原理，尽管还没有发现与该原理相矛盾的实
验数据。
在这个节骨眼上，相对论问世了。通过分析时间与空间的物理概
念，结果清楚地表明，实际上相对性原理和光传播定律之间没有一丁点
儿矛盾，系统而忠实地坚持这两个定律会得出一个逻辑严密的理论。这
个理论被称为狭义相对论，以区别于后面将要讨论的推广的理论。下面
我们将介绍狭义相对论的基本思想。
§8.物理学的时间概念
一道闪电击中铁路路堤上相距甚远的两个地方A和B。我再补充一
点，这两处雷击同时发生。如果我问你这句话有没有意义，你会很肯定
地回答“有”。但是如果现在我请你向我更准确地解释这句话的意思，你
考虑片刻后会发现，这个问题的答案不像它咋看起来那么容易。
过一会儿，你也许会这样回答：“这句话的意思本身是很清楚的，
不需要进一步解释；当然，如果要求我通过观测来判断这两个事件是否
实际上同时发生，那我就得考虑考虑了。”我对这种回答并不满意，理
由如下。假设经过巧妙的思索，一位能干的气象学家发现闪电总是会同
时击中A和B这两个地方，那么我们就会面临一个任务：检验这个理论
结果是否与实际相符。在所有涉及“同时性”概念的物理学陈述中，我们
都会面临同样的困难。对于物理学家来说，在他有可能确定一个概念是
否符合实际情况以前，这个概念是不存在的。因此，我们需要给同时性
下定义，使得这个定义给我们提供一种方法，这种方法使他能够在目前
情况下，通过实验判定这两个闪电是否同时发生。在我以为能够给同时
性陈述赋予意义的时候，只要上述要求满足不了，那么作为物理学家，
我就是自愿上当受骗（当然，如果我不是物理学家也是一样）（我建议
读者在完全信服这一点之后再继续读下去）。
在经过一段时间的仔细思考后，你提出下面的建议来检测同时性。
沿着铁轨测量就可以得到AB连线，指定一位观察者站在AB间的中点M
上。还应该给观察者一个设备（如两面呈90°的镜子），使他能够同时
用肉眼观察到A和B两地。如果观察者同时察觉到这两个闪电，那么它
们就是同时的。
这个建议令我很高兴，但尽管如此，我仍不认为问题已经完全解
决，因为我不得不提出下列反对意见：“你的定义肯定是对的，条件是
我知道，M处的观察者看到的闪电的光线沿A→M传播的速度与沿B→M
传播的速度一样。可是只有在我们已经有了测量时间的手段的情况下，
才有可能检验这个推测。这样看来，我们好像在逻辑上兜圈子。”
经过进一步思考后，你轻蔑地瞥了我一眼——这无可非议——声
明：“但是我依然坚持前述的定义，因为事实上这个定义对光根本没有
什么假设。同时性的这个定义只有一个要求，即：在所有实际情况中，
这个定义必须给我们提供关于判断所定义的概念是否符合实际的试验手
段。而我的定义满足这个要求是毫无疑问的。光线沿着A→M传播与沿
着B→M传播所需的时间相同，这一点实际上既不是对光的物理性质的
推测，也不是假设，而是我为了得到同时性的定义而可以随意制定的约
定。”
很清楚，不仅可以使用该定义给两个事件的同时性赋予精确的意
义，而且可以给我们想要选择的任意多个事件的同时性赋予精确的意
义，与这些事件的发生地点相对于参照物（这里是铁路路堤）的位置无
关[7]。这样我们还导出了物理学中的“时间”定义。为此，我们设想在铁
路线（坐标系）的A，B和C三个地方安放有结构相同的时钟，将它们的
指针同时（按以上的意义）调定在相同位置上。在这种条件下，我们把
事件的“时间”理解为（在空间中）紧邻该事件的那一个时钟的读数（指
针的位置）。这样，每一个本质上能够观测到的事件都有一个相关联的
时间值。
这种约定还包含另一个物理假设，若没有相反的实验证据，则其正
确性几乎不会被怀疑。即，如果这些时钟结构相同，那么它们行走的快
慢相同。更准确地讲：当两个时钟静止地放在参照物的两个不同地方的
时候，如果在一个时钟的指针指向某个特别位置的同时（按以上的意
义），另一个时钟的指针也指向同一个位置，那么相同的“指针位置”就
总是同时（在上述定义的意义下）出现。
§9.同时性的相对性
迄今为止，我们的描述都是参考一个特定的参照物，我们称之
为“铁路路堤”。假设有一列很长的火车沿着铁轨以恒速v行驶，方向如
图1所示。该列车上的乘客可以方便地将列车作为刚性的参照物（坐标
系）；他们相对于这列火车来考察一切事件。那么沿铁路线发生的每一
个事件也发生在列车的某个特定点上。而且也可以相对于火车给出同时
性定义，其方式与相对于路堤完全一样。然而，很自然地会出现下列问
题：
图1
相对于铁路路堤同时发生的两个事件（例如A和B两处的雷击）是
否相对于列车也是同时发生的？我们将直截了当地表明，答案肯定是否
定的。
当我们说A和B两处的雷击相对于路堤是同时发生时，我们的意思
是：发生雷击的A和B两处发出的光束在路堤A→B段的中点M处相遇。
可是事件A和B也与列车上的A和B两处对应。令M为行进中的列车上
A→B距离的中点。当闪电发生那一刻[8]，点M′当然与点M重合，但是
它在图中以火车的速度v向右运动。如果坐在列车M′处的观察者不具有
该速度，那么他就会一直停留在M处，A和B两处闪电发出的光线就会
同时到达他这里，即它们正好相遇在观察者的位置。而实际上（相对于
路堤来考虑）他正迎着来自B点的光线前进，同时又是赶在A点发出的
光线前头前进。所以观察者将首先看到来自B点的光线，然后才看见来
自A点的光线。因此以火车为参照物的观察者肯定会得出结论，认为闪
电B早于闪电A。这样我们就得到一个重要的结果：
相对于路堤同时发生的事件，相对于火车并不同时发生，反之亦然
（同时性的相对性）。每个参照物（坐标系）都拥有自己特定的时间；
除非陈述时间时指明参照物，否则有关事件时间的陈述将毫无意义。
在相对论问世之前，物理学总是默认，关于时间的陈述具有绝对意
义，即时间与参照物的运动状态无关。可是我们刚刚已经看到，这个假
设与最自然的同时性定义相矛盾；如果我们放弃这个假设，那么真空中
光传播定律与相对性原理（见§7）之间的矛盾便荡然无存。
是§6的讨论把我们引向这个矛盾，现在这些观点不再站得住脚了。
在§6，我们的结论是：车厢里的人相对于车厢每秒移动距离w，他相对
于路堤每秒移动距离相同。但是根据前述的讨论，一个特定事件相对于
车厢所持续的时间绝不应视为等同于从路堤（作为参照物）上判断它所
持续的时间。因此我们不能断言，行走的那个人相对于铁路线移动距离
w所需的时间等于从路堤上判断的1秒。
而且§6的讨论还基于另一个假设，严格说来，这个假设似乎太随
意，虽然在引入相对论之前，它一直是不言而喻的。
§10.距离概念的相对性
让我们来考虑沿路基以速度v行驶的火车上的两个特定的点[9]，研
究它们之间的距离。我们已经知道，测量距离必须有一个参照物，相对
于它的距离才能被测出。最简单的做法是将火车本身当作参照物（坐标
系）。火车上的观察者沿直线用量杆测量这段距离（例如，沿着车厢地
板测），从一个标记点到另一个标记点需要量多少下，他就量多少下。
量杆落下的次数就是所需的距离。
如果这段距离要从铁路线上来判断，就是另一回事了。这里是解决
这个问题的自然方法。如果我们将火车上有待求取距离的两个点称为A′
和B′，那么这两个点都以速度v沿着路堤移动。首先，我们需要确定在
某个时刻t——从路基上判断，刚刚被A′和B′这两点所经过的路堤上的点
A和点B。路堤上的点A和点B可以采用§8中给出的时间定义确定出来，
然后沿路堤反复使用量杆就可以测出它们的距离来。
推测起来，丝毫不能肯定，这后一次测量的结果会与第一次的相
同。所以从路堤上测得的火车长度可能不同于在火车上测得的结果。这
种情况使我们必须针对§6给出的表面上显然的观点提出第二个异议，即
如果车厢内的人在单位时间内移动距离w——在火车上测量，那么这段
距离——从路基上测量——不一定也等于w。
§11.洛伦兹变换
前面三节的结果表明，光传播定律与相对性原理（见§7）表面上的
矛盾，是由于我们借用了经典力学中的两个不合理的假设；它们是：
（1）两个事件之间的时间间隔（时间）与参照物的运动状态无
关；
（2）刚性物体上两个点之间的空间间隔（距离）与参照物的运动
状态无关。
如果我们舍弃这些假设，那么§7的困境就会消失，因为§6导出的速
度叠加定理不再成立。这就有可能，真空中光传播定律与相对性原理可
以相容，问题是：为了消除这两个基本实验结果之间的表面矛盾，应当
如何修改§6的观点呢？这个问题引出了一个一般性的问题。在§6的讨论
中，我们必须考虑相对于火车及路堤两者的地点和时间。当我们已知事
件相对于铁路路堤的地点和时间后，又如何找出它相对于火车的地点和
时间呢？对这个问题是否存在一个能想到的答案，使得真空中光传播定
律与相对性原理不矛盾？换句话说，我们能否想到各个事件相对于两个
参照物的时空之间的相互关系，使得每一光线相对于路堤和火车都具有
传播速度c？这个问题导致了一个非常明确的肯定答案，以及一个十分
明确的变换定律，把事件的时空量值从相对于一个参照物变为相对于另
一个参照物。
开始着手前，我们先引入以下附带的考虑。迄今我们只是考虑沿路
堤发生的事件，数学上必须认为路堤起到直线的作用。如§2那样考虑，
我们可以设想在该参照物的横向和纵向加装杆子组成的框架，从而任何
地方发生的事件均可以相对于该框架得到定位。类似地，我们可以设想
火车以速度u继续穿过整个空间，每个事件，不管它有多远，还可以相
对于这第二个框架来定位。在不犯根本性错误的条件下，我们可以忽略
这一事实：由于固体的不可入性，实际上这些框架会不断地相互干扰。
在每个这样的框架中，我们设想画出三个相互垂直的平面，称它们
为“坐标平面”（“坐标系”）。坐标系K对应于路堤，坐标系K′对应于火
车。一个事件，无论它发生在哪里，在空间中相对于K的位置都可以通
过坐标平面上的三条垂线x，y，z得以确定，而时间由时间值t得以确
定。同一个事件，相对于K′的空间与时间通过对应的值x′，y′，z′，t′来
确定，它们当然不和x，y，z，t一样。上文已经详细讲过如何通过物理
测量来求取它们的数值。
图2
我们的问题显然可以用下列方式精确地描述。当已知一个事件相对
于K的x，y，z，t数值时，该事件相对于K′的x′，y′，z′，t′数值为多少？
所选定的关系式必须使得同一光线（当然也是每一光线）在真空中的传
播定律相对于K和K′都成立。对于图2所示的坐标系的空间相对方位来
说，这个问题可用下列方程式解出：
这组方程组被称为“洛伦兹变换”。[10]
如果我们用旧力学默认的关于时间和长度的绝对性的假设作为讨论
的基础，而不是将光传播定律作为基础，那么我们得到的不是以上的方
程，而是下列方程：
x′=x-vt，
y′=y，
z′=z，
t′=t。
这组方程常被称为“伽利略变换”。将洛伦兹变换中的光速c代之以
一个无穷大量，就可以得到伽利略变换。
借助于下述解释，很容易看出，根据洛伦兹变换，真空中光传播定
律相对于参照物K和K′都成立。沿x正轴发射一个光信号，该光信号按下
式前进：
x=ct，
即以速度c前进。根据洛伦兹变换方程，x和t之间的这个简单关系
牵涉到x′和t′之间的关系。事实上，如果将洛伦兹变换的第一和第四个
方程中的x代之以ct就会得到：
两式相除，马上得到下式：
x′=ct′。
若以K′为参照系，则光按此公式传播。于是我们看到，相对于参照
系K′，光传播速度也等于c。不管光线沿哪个方向前进，都会得到同样
的结果。当然这并不奇怪，因为洛伦兹变换方程就是遵照这个观点推导
的。
§12.量杆和时钟在运动中的行为
我将一根米尺放在K′的x′轴上，使得它的一端（始端）对准点x
′=0，另一端（末端）对准点x′=1，那么米尺相对于坐标系K的长度为多
少呢？为了了解这一点，我们只需要搞清楚，在坐标系K的某个时刻t，
米尺的始端和末端在坐标系K的什么位置就行了。利用洛伦兹变换的第
一个方程，在t=0的时刻，这两个点的值可以表示为
这两点间的距离为
。可是米尺在以速度v相对于K运动。因此
结论是，沿着长度方向以速度v运动的刚性米尺的长度为
。这
样，刚性米尺在运动时比在静止时要短些，运动速度越快，尺子就越
短。速度v=c时，会有
=0，速度更大时，平方根变为虚数。由此我
们得出这样的结论，在相对论中，速度c起着极限速度的作用，任何实
际物体既不可能达到也不可能超越这个极限速度。
当然，速度c作为极限速度的这一特点从洛伦兹变换方程中也可以
清楚地推导出，因为如果令v的值大于c，这些方程就毫无意义了。
相反，如果我们考虑一根相对于K静止在x轴上的米尺，那么就会
发现，从K′的角度看，米尺的长度为
；这与作为我们讨论基础的
相对性原理完全一致。
推测起来，显然我们一定能够从这些变换方程中，了解量杆和时钟
的物理行为，因为x，y，z，t这些量恰恰是可以通过量杆和时钟获得的
测量结果。如果我们的讨论所依据的是伽利略变换，那么就不会得到量
杆因运动而缩短的结果。
现在让我们考虑永久地位于K′的原点（x′=0）处的一个秒表。t′=0
和t′=1是该秒表相继两下滴答声。对于这两次滴答，洛伦兹变换的第一
和第四个方程给出：
t=0
和
从K的角度判断，该秒表正在以速度v运动；从这个参照物来看，
秒表两次滴答之间的时间间隔并非1秒，而是
秒，稍长些。该秒表因
运动而比它静止时走得慢些。这里速度c也起着不可达到的极限速度的
作用。
§13.速度叠加定理斐索实验
在实际中，我们只能以远小于光速c的速度来移动时钟和量杆；因
此几乎不能将上一节的结果直接与实际情况相比较。但是另一方面，这
些结果因其非常奇特，必定会使你震惊。为此，我将从该理论推导出另
一个结论，这个结论从前面的描述中很容易就可得出，而且已经在实验
中得到完美验证。
在§6中，我们推导出沿一个方向的速度叠加定理，其形式由经典力
学假设得出。从伽利略变换（§11）也可以容易地推导出该定理。我们
引入一个按照下述方程相对于坐标系K′运动的点来代替车厢内行走的
人：
x=wt′
利用伽利略变换的第一和第四个方程，我们可以用x和t来表示x′和t
′，得到：
x=(v+w)t。
该等式表示的只不过是该点相对于坐标系K（该人相对于路堤）的
运动规律。我们用符号W来表示该速度，如同§6一样，得到：
W=v+w。(A)
可是，我们也可以基于相对论进行同样的考虑。在下式中
x′=wt′
我们必须利用洛伦兹变换的第一和第四个方程，用x和t来表示x′和t
′。这样得到的就不是方程（A），而是下述方程：
该式相当于基于相对论的沿一个方向的速度叠加定理。现在出现的
问题是，这两个定理中哪一个更符合实验。在这一点上，杰出的物理学
家斐索在半个多世纪以前完成的一个非常重要的实验给我们以启迪，该
实验后来被一些最好的实验物理学家重复多次证实，其结果确凿无疑。
该实验与下述问题有关。光在静止的液体中以速度w传播。当上述液体
以速度v流过管子T时，光在管子中沿箭头方向（见图3）的传播快慢如
何？
图3
根据相对性原理，我们当然会认为，光相对于液体的传播速度肯定
总是w，无论液体相对于其他物体是否在运动。已知光相对于液体的速
度以及液体相对于管子的速度，我们需要求出光相对于管子的速度。
显然，我们又面临与§6同样的问题。管子相当于铁路路堤或者坐标
