由于从速度叠加定理（第5节）可知，矢量（u ， ， ）恰恰是参.7
和空间[19]变化的引力场。这个场的性质当然依赖K′所具有的运动状态。
根据广义相对论，所有以这种方式得到的引力场都应满足引力场的普遍
定律。尽管绝不是所有引力场都能以这种方式产生，但是我们依然希望
引力的普遍定律能够从这种特殊的引力场中推导出来。这种希望已经十
分完美地实现了。但是，从认清这一目标到实际实现它之间，还必须克
服一个严重的困难。由于这一困难涉及问题的根基，我不敢向读者隐瞒
它。我们需要进一步拓展时空连续统的概念。
§23.在旋转参照物上时钟和量杆的行为
至此我一直有意闭口不谈时空数据在广义相对论下的物理解释。因
此，我有一定的处理得草率之罪。正如我们从狭义相对论所了解到的，
这种疏忽绝不是不重要和可原谅的。现在正是弥补这一缺陷的时候，但
是在开始之前，我愿指出，这个问题对读者的耐心和抽象能力的要求不
低。
我们还是从以前频频用过的很特殊的情况入手。让我们考虑一个时
空域，这个时空域中相对于运动状态适当选定的参照物K不存在引力
场。那么相对于所考虑的这个域而言，K属于伽利略参照物，狭义相对
论相对于K成立。设想这同一个域相对于另一个参照物K′的情况，K′相
对于K做匀速旋转运动。为了明确我们的想法，将K′想象为一个平面圆
盘，正在其平面上环绕其中心匀速旋转。在圆盘K′上离开中心的位置坐
着一位观察者，他能够感受到沿半径方向向外作用的力，对于相对于原
来的参照物K处于静止状态的观察者来说，这个力可以解释为惯性作用
（离心力）。但是圆盘上的观察者可以将所在的圆盘视为“静止”的参照
物，根据广义相对性原理，他这样做完全合理。他可以将作用在他身上
的力，事实上也是作用在其他所有相对于圆盘静止的物体上的力，视为
引力场的作用。然而该引力场的空间分布在牛顿的引力理论中是不可能
的[20]。但是因为观察者相信广义相对论，这对他没有影响；他完全有
理由相信，能够建立起引力的普遍定律——该定律不仅能够正确地解释
恒星的运动，而且还能够解释他自己感受到的力场。
该观察者在他的圆盘上用时钟和量杆开展实验。他这样做的目的是
想要为相对于圆盘K′的时空数据的意义找到准确的定义，这些定义以他
的观察为依据。在这项工作中他会经历些什么呢？
开始时，他将两个结构完全一样的时钟中的一个放在圆盘的中央，
另一个放在圆盘的边缘，这样这两个时钟都相对于圆盘静止。我们自
问：从非旋转的伽利略参照物K的角度来看，这两个时钟是否走得一样
快？从该参照物来看，圆盘中央的时钟没有速度，而圆盘边缘的时钟因
为旋转的缘故而相对于K在运动。根据§12获得的结果可知，后面这个
时钟走得永远比圆盘中央的时钟慢，即从K的角度观察。很明显，设想
有一位观察者和时钟一起坐在圆盘中央，那么他也会看到同样的效果。
于是在我们的圆盘上，或者为了使情形更一般，在每一个引力场中，时
钟走得快慢依赖它（静止地）所处的位置。因此，我们不可能借助于相
对于参照物静止安放的时钟获得时间的合理定义。当我们试图在这种情
况下应用先前关于同时性的定义时，也会遇到类似的困难，但是我不想
进一步讨论这个问题。
此外，在此阶段，空间坐标的定义也出现难以克服的困难。如果观
察者将他那标准的量杆（一种与圆盘半径相比之下很短的杆）与圆盘的
边缘呈切线方向摆放，那么从伽利略系统来看，该杆的长度将小于1，
因为按照§12的结论，运动中的物体在运动方向上会变短；另一方面，
如果量杆沿半径方向摆在圆盘上，那么从K来看，量杆的长度就不会变
短。如果观察者用量杆先测量圆盘的周长，然后测量圆盘的直径，那么
将结果相除后，他得到的商就不会是大家都熟悉的数π=3.14…，而是一
个更大的数[21]。当然，对于相对于K静止的圆盘，这一过程将精确地得
到π。这证明，欧几里得几何公式在旋转圆盘上不能完全成立，更一般
地，在引力场中也不能完全成立，至少是只要我们认为在所有位置和所
有方向上，量杆的长度都是1的话，就是这种情况。因此直线这个概念
也失去了意义。这样我们就不能依靠讨论狭义相对论时使用的方法来精
确地定义相对于圆盘的坐标x，y，z，而且只要事件的坐标和时间没被
定义，我们就无法对包含这些指标的自然定律赋予精确的意义。
因此，我们前面所有依据广义相对性的结论似乎都有问题。实际
上，为了能够准确地应用广义相对性假设，我们必须巧妙地迂回一下。
下文将使读者对此做好准备。
§24.欧几里得与非欧几里得连续统
一张大理石桌面铺展在我的面前。我可以这样从桌子上任何一点到
达另外任何一点，即连续地从一点移动到“邻近”的一点，重复这个过程
（很）多次，或者换句话说，不经过“跳跃”地从一点到达另一点。我确
信读者很清楚地知道我这里说的“邻近”和“跳跃”是什么意思（如果他不
是太迂腐的话）。我们通过将桌面描述为连续统来表达桌面的这个属
性。
现在设想我们已经做成了许多等长的小杆子，与大理石板的尺寸相
比，它们的长度很小。当我说它们等长时，意思是说任何一根杆子可以
放在另一根杆子上面而且杆端互相重叠。下一步，我们将四根这样的小
杆放在大理石板上，使它们构成一个对角线等长的四边形（正方形）。
为了保证对角线等长，我们使用一根小测试杆。我们添加类似的四边形
到这个正方形上，每个添加的四边形都与第一个正方形共用一根杆。对
于每一个正方形都如此进行下去，直到最后整个大理石板都铺满了正方
形。排列方式使得正方形的每个边都归属于两个正方形，每个角都归属
于四个正方形。
确实令人惊奇的是，我们能够完成这一切而没有遇到太大的困难。
只需要想一想下面的情况。在任何时刻，如果三个正方形在一个角相
遇，那么第四个正方形的两条边就已经摆放好了，因此该正方形的另外
两条边的摆法就已经完全确定。可是我现在不再能够调整这个四边形，
使它的对角线相等。如果它们自己主动相等，那么这是大理石板和小杆
子的恩惠，对此我只能表示感激和惊讶。如果这种构造能够成功，那么
我们必定会经历许多这样的惊讶。
如果凡事都确实进展顺利，那么我就说，该大理石板的点相对于小
杆子组成一个欧几里得连续统，小杆被用作“距离”（线距）。选择一个
正方形的一个角作为“原点”，我就可以相对于该原点用两个数来刻画正
方形的所有其他角。我只需要说明，为了到达正方形的某个角，我从原
点出发，向“右”然后向“上”，必须经过多少根杆子就可以了。这两个数
就是这个角相对于由小杆的排列所确定的“笛卡儿坐标系”的“笛卡儿坐
标”。
对这个抽象实验做如下的改变，我们就会认识到，肯定会存在使实
验不成功的情况。设想小杆会随着温度升高成比例地“膨胀”。我们对大
理石板的中央部分加热，但边缘部分不加热，在这种情况下，桌面的每
个位置仍能有两根小杆被重合地放置。但是在加热期间，由于桌面中央
区域的小杆膨胀，而外缘部分的小杆不膨胀，所以正方形的构建必然会
乱套。
相对于我们的小杆——定义为单位长度——大理石板不再是欧几里
得连续统，而且因为无法再进行上述的构建，我们也无法再直接借助于
小杆来定义卡笛儿坐标。但是既然还有其他一些因素并不像小杆那样受
到桌子温度的影响（或许完全不受影响），因而保留大理石板是个“欧
几里得连续统”的观点也许是很自然的。这个目的能够令人满意地得以
实现，办法是对长度的测量或比较制订更精妙的规则。
但是当各种（即各种材料的）小杆放在受热不均的大理石板上时，
如果它们在温度影响下的行为方式都一样，而且如果除了依靠在类似上
述实验中的小杆的几何行为以外，我们别无其他办法来探测温度效应，
那么最好的办法莫过于只要一根杆的两端能够与石板上两个点重合，就
规定这两个点的距离为1；我们还能怎样定义距离呢？其他任何方法都
会使我们的定义变得极其武断随意。这样我们就必须放弃笛卡儿坐标
法，代之以另一种不认为欧几里得几何学对刚性物体成立的方法[22]。
读者会注意到，这里所描述的情况相当于广义相对性假设所招致的那种
情况（§23）。
§25.高斯坐标
图4
根据高斯的研究，可以用下列方法得到这种分析与几何相结合的处
理问题的方法。想象在桌面上画有一组任意的曲线（图4）。我们称它
们为u曲线，并用数字标示各曲线。图上绘出了u=1，u=2和u=3三根曲
线。在曲线u=1和u=2之间，我们必须认为还可以画出无数的曲线，每一
条都对应于1和2之间的一个实数。这样我们就有了一个u曲线系统，而
且这个“无限稠密”的系统覆盖了整个桌面。这些曲线一定不能彼此相
交，而且穿过平面上的每一个点有且只有一条曲线。因此大理石板表面
上的每一个点都有一个非常明确的值u。同样地，我们想象在桌面上画
有一组v曲线。这些曲线满足的条件与u曲线相同，同样用数字编号，而
且同样具有任意的形状。由此可知，桌面上的每一个点既有u值也有v
值。我们将这两个数称为桌面的坐标（高斯坐标）。例如，图上P点的
高斯坐标为u=3，v=1。表面上两个相邻的P点和P′点对应于坐标：
P：u，v
P′：u+du，v+dv，
其中du和dv代表非常小的数。类似地，如同用小杆测量出来一样，
我们可以用非常小的数ds表示P和P′之间的距离（线距）。根据高斯的
理论，有：
ds2=g11du2+2g12dudv+g22dv2，
其中g ，
，
的值以完全明确的方式依赖
，
，
11
g12 g22
u和v。g11 g12 g22
的值决定了小杆相对于u曲线和v曲线的行为，因而也决定了小杆相对于
桌面的行为。在所考虑的桌面上的点相对于测量杆形成欧几里得连续统
的情况下，也只有在这种情况下，才有可能以这样的方式画出u曲线和v
曲线并给它们编号，使得下面的简单关系式成立：
ds2=du2+dv2。
在这种情况下，u曲线和v曲线是欧几里得几何意义上的直线，而且
彼此垂直。这里的高斯坐标就是笛卡儿坐标。很清楚，高斯坐标只不过
是两组数与所考虑的表面上的点的一种关联，使得彼此相差非常小的数
值和“空间中”相邻的点相关联。
迄今为止，这些讨论对于二维连续统成立，但是高斯的方法还适用
于三维、四维或更多维的连续统。例如，假设存在一个四维连续统，我
们就可以如下表示它。对于连续统上的每一个点，我们可以任意赋予四
个数字x ， ， ， 称为
1
x2 x3 x4
“坐标”，邻近的点对应于邻近的坐标值。如
果邻近的点P和P′的距离为ds，从物理的观点来看，该距离可以测量而
且定义明确，那么下面的公式成立：
其中g11等的数值随着点在连续统上的位置而变化。只有当连续统
是欧几里得连续统时，它上面的点所关联的坐标x ，
才可能有如
1
…，x4
下的简单关系式：
在这种情况下，四维连续统中成立的关系式与三维测量中成立的关
系式类似。
然而，高斯对上述ds2的分析并非永远可行。只有当所考虑的连续
统的充分小的区域可以视为欧几里得连续统时才可行。例如，在大理石
桌面局部温度变化的情况下，这显然是成立的。对于一小部分石板而
言，温度实际上是常数，因此小杆的几何行为非常接近遵循欧几里得几
何法则所要求的。这样，上一节中构造正方形的瑕疵问题，只有到构建
的区域扩展到桌面相当大面积上以后，才会明显地表现出来。
我们可以总结如下：高斯发明了对一般连续统进行数学分析的方
法，其中定义了“大小关系”（相邻点之间的“距离”）。给连续统的每一
个点都指定一些数字（高斯坐标），数字的个数等于连续统的维数。其
做法使得这种指定只有一个意义，而且彼此相差无穷小的数字（高斯坐
标）被指定给相邻的点。高斯坐标系是笛卡儿坐标系的逻辑推广。它也
适用于非欧几里得连续统，但是只有当相对于所定义的“大小”或“距
离”而言，所考虑的该连续统的小区域越小，其表现越接近欧几里得系
统时，它才适用。
§26.视为欧几里得连续统的狭义相对论时空连续统
我们现在可以更精确地表达闵可夫斯基的概念了，这个概念只在
§17中含糊地提到过。根据狭义相对论，在描述四维时空连续统时，某
些坐标系享有特殊的地位，我们称它们为“伽利略坐标系”。对于这些坐
标系，确定一个事件，或者换句话说，确定四维连续统的一个点的四个
坐标x，y，z，t在物理上具有简单的定义，详见本书第一部分。当从一
个伽利略坐标系变换到另一个相对于它做匀速运动的坐标系时，洛伦兹
变换方程成立。这些方程最终构成狭义相对论推论的基础，它们本身表
达的只不过是光传播定律对于所有伽利略参照系的普适正确性。
闵可夫斯基发现洛伦兹变换满足下列简单的条件。考虑两个相邻的
事件，相对于伽利略参照物K，它们在四维连续统中的相对位置由空间
坐标差dx，dy，dz和时间差dt给出。相对于另一个伽利略坐标系，假设
这两个事件相应的差为dx′，dy′，dz′，dt′。那么这些量满足下列条
件：[23]
dx2+dy2+dz2-c2dt2=dx′2+dy′2+dz′2-c2dt′2。
洛伦兹变换的正确性就是从这个条件导出的。我们可以将此表述如
下：属于四维时空连续统的两个相邻点的数值
ds2=dx2+dy2+dz2-c2dt2
对于所有选中的（伽利略）参照物具有相同的值。如果我们用x ，
1
x ， ， 来代替
2
x3 x4
x，y，z，
ct就会得到：
这个结果与参照物的选择无关。我们将数值ds称为这两个事件或四
维点之间的“距离”。
因此，如果我们选择虚数变量
ct，而不是实数t来作为时间变
量，那么我们就可以——根据狭义相对论——将时空连续统视为“欧几
里得”四维连续统，这个结果可以从前一节的讨论中推出。
§27.广义相对论的时空连续统不是欧几里得连续统
在本书的第一部分，我们能够利用容许对它进行简单直接的物理解
释的时空坐标，而且根据§26，这些坐标可以视为四维笛卡儿坐标。基
于光速不变定律，这样做是可以的。可是按照§21，广义相对论无法保
持这个定律。相反，我们得到的结果是，根据广义相对论，当存在引力
场时，光速肯定与坐标相关。联系到§23的一个具体例子，我们发现，
把我们引向狭义相对论中的目标的那种坐标和时间的定义，在存在引力
场的情况下失效了。
考虑到这些讨论结果，我们相信，根据广义相对性原理，时空连续
统不能被视为欧几里得连续统，而是一种更普遍的情形，相当于存在局
部温度变化的大理石板，它作为二维连续区的例子曾为我们所熟悉。正
如那时不可能用等长的小杆来建造笛卡儿坐标系一样，这里也不可能用
刚体和时钟来建立一个具有这种性质的坐标系（参照物），使得量杆和
时钟在彼此相对固定好之后，能够直接指示位置和时间。这就是我们在
§23碰到的困难的本质。
但是§25和§26的分析给我们指出了克服这一困难的道路。我们将四
维时空连续统随意地与高斯坐标联系起来。给连续统中每一个点（事
件）指派四个数x ， ， ， （坐标），它们没有任何直接的物理意
1
x2 x3 x4
义，只是为了明确而随意地用数字标示连续统的点而已。这种安排甚至
不需要我们必须将x ， ， 视为
视为
1
x2 x3
“空间”坐标，x4
“时间”坐标。
读者可能会认为，对世界进行这样的描述会很不充分。如果坐标
x ， ， ， ，本身没有意义，那么给一个事件指派这些坐标又有什
1
x2 x3 x4
么意义呢？然而更仔细地思考一下就会发现，这种担忧是没有根据的。
例如，考虑一个具有某种运动状态的质点。如果该点只是瞬间存在，没
有持续时间，那么在时空中它就由单独一组值x ， ， ， 来描述。
1
x2 x3 x4
因此，它的持续存在就必须由无限多这样的数值组来刻画，它们的坐标
值非常接近，表现出连续性；于是对应于这个质点，我们在四维连续统
中得到一条（一维的）线。同样地，在我们的连续统中任何一些这类的
线都对应于运动着的许多点。与这些点有关的、涉及物理存在性的陈述
实际上只有关于它们相遇的陈述。在我们的数学分析中，这种相遇被表
达为：代表这些点的运动的两条线具有共同的一组坐标值x ， ， ，
1
x2 x3
x 。经过深思熟虑之后，读者毫无疑问地会承认：事实上，这种相遇构
4
成了我们在物理描述中遇见的时空性质的唯一实际证据。
当我们描述一个质点相对于参照物的运动时，我们描述的只不过是
该点与参照物的某些特定点的相遇关系。通过观察物体与时钟的相遇，
以及观察时钟指针与钟面上特定点的相遇关系，我们也能确定相应的时
间值。稍做考虑就可以看出，这就如同用量杆进行空间测量的情况一
样。
下面的陈述一般都成立：每一个物理描述本身都可以分解为一系列
陈述，每一条陈述都涉及两个事件A和B的时空重合。用高斯坐标的术
语来说，每一条这种陈述都表达为这两个事件的四个坐标x ， ， ，
1
x2 x3
x 的相等关系。因此实际上，用高斯坐标对时空连续统的描述就完全代
4
替了借助于参照物的描述，避免了后一种描述方式具有的缺陷；它不受
所必须表述的连续统的欧几里得性质的束缚。
§28.广义相对性原理的精确表述
我们现在能够用精确的表述来替代§18关于广义相对性原理的临时
表述。§18所用的表述方式为“在描述自然现象（表述普遍自然定律）方
面，所有参照物K，K′等都是等价的，不管它们的运动状态如何”，这个
表述不再维持，因为在时空描述中，一般不可能使用在狭义相对论的方
法意义上的刚性参照物。必须用高斯坐标系来替代参照物。下面的陈述
反映了广义相对性原理的基本思想：“在描述普遍自然定律方面，所有
高斯坐标系都是完全等价的。”
我们也可以用另一种方式来阐述这个广义相对性原理，与使用狭义
相对性原理的自然推广形式相比，这种形式更容易理解。根据狭义相对
论，当使用洛伦兹变换，将（伽利略）参照物K的时空变量x，y，z，t
替换为新参照物K′的时空变量x′，y′，z′，t′时，表达普遍自然定律的方
程式的形式不变。另一方面，根据广义相对论，对高斯变量x ， ，
1
x2
x ， 进行任意代换，方程式的形式必须保持不变；因为每一个变换
3
x4
（不仅是洛伦兹变换）相当于从一个高斯坐标系转变为另一个高斯坐标
系。
如果我们想坚持“旧时代”的对事物的三维观点，那么我们可以将广
义相对论的基本思想目前发展的特点刻画为：狭义相对论涉及的是伽利
略域，即没有引力场存在的域。在这一点上，伽利略参照物被用作参照
物，即一个运动状态经过特别选择的刚体，使得“孤立”质点保持匀速直
线运动的伽利略定律相对于它成立。
经过考虑可以看出，我们也应该把同样的伽利略域去参照非伽利略
参照物。那么相对于这些参照物就会存在一种特殊的引力场（参见§20
和§23）。
在引力场中，不存在具有欧几里得性质的刚体这类东西，因此传统
的刚性参照物在广义相对论中就没有用了。时钟的运动也受到引力场的
影响，其影响方式使得直接靠时钟得到的时间的物理定义完全没有在狭
义相对论中那样程度的有道理。
为了这个原因，我们使用非刚性参照物。总体上它们不仅以任意的
方式在运动，而且在运动中它们的形状还不受限制地改变。时钟用来定
义时间，它可以遵循任何运动定律，无论有多么不规则。我们必须设想
每一个时钟固定在非刚性参照物上的一点上。这些时钟只满足一个条
件，即（空间中）相邻时钟被同时观察到的“读数”彼此相差无穷小量。
将这种非刚性参照物称为“参照软体”比较合适，它大体上相当于任意选
择的高斯四维坐标系。与高斯坐标系相比，该“软体”在某种程度上更容
易理解的地方是，它在形式上保留了空间坐标与时间坐标分别存在的状
态（这一点完全没有得到证明）。只要将软体当作参照物，那么软体上
的每一个点都被当作空间点，每一个相对于它静止的质点都被视为处在
静止状态。广义相对性原理要求，在表达普遍自然定律方面，所有这些
软体都可以作为参照物，它们享有同等的权利，能够取得同样的成功；
这些定律本身应当与软体的选择毫无关系。
广义相对性原理的巨大力量在于它给自然定律所做的全面限制，原
因我们在上面已经看到了。
§29.基于广义相对性原理解决引力问题
如果读者理解了前面的所有讨论，他就不难理解解决引力问题的方
法。
我们从考虑伽利略域开始，即相对于伽利略参照物K没有引力场的
域。从狭义相对论可以知道量杆和时钟相对于K的行为，同样可以知
道“孤立”的质点的行为，后者沿直线匀速运动。
现在让我们将这个域相对于任意的高斯坐标系或者“软体”参照物K′
来考虑。相对于K′，存在（某一种）引力场G。仅通过数学变换我们就
可以知道量杆和时钟以及自由运动的质点相对于K′的行为。我们将这一
行为解释为在引力场G的作用下量杆、时钟和质点的行为。这里我们引
入一个假设：即使当前的引力场不能简单地通过坐标变换从伽利略的特
殊情况下推导出来，它对量杆、时钟和自由运动的质点的作用仍然按照
同样的定律持续发生。
下一步是研究从伽利略的特殊情况简单地通过坐标变换推导出来的
引力场G的时空行为。这种行为表述为一条定律，不管如何选用描述中
所用的参照物（软体），这条定律永远成立。
因为所考虑的是一种特殊的引力场，所以该定律还不是引力场的普
遍定律。为了找到普遍引力场定律，我们还需要将上面找到的定律进行
推广。然而考虑到下列要求，无须奇思异想就可以得到这种推广：
（a）所需的推广必须也满足广义相对性假设。
（b）如果所考虑的域中存在物质，那么对于它激发一个场的效应
而言，只有其惯性质量，根据§15，也就是只有其能量才具有重要作
用。
（c）引力场和物质一起必须满足能量（及动量）守恒定律。
最后，对于所有那些当不存在引力场时按照已知定律发生的过程，
即那些已经纳入狭义相对论讨论范围的过程，广义相对性原理使我们能
够确定引力场对它们的进程的影响。在这方面，我们原则上采用已经对
量杆、时钟和自由运动的质点解释过的方法进行下去。
用这种方法从广义相对性假设推导出的引力理论不仅结构优美，同
时消除了§21揭示的经典力学的缺陷，它也不仅解释了惯性质量和引力
质量相等这一实验定律，而且还解释了经典力学无能为力的一个天文观
测结果。
如果我们将该理论的应用局限在下面这种情况：引力场可以认为很
弱，而且其中所有物体相对于坐标系的运动速度都远小于光速，那么作
为初次近似，我们就得到牛顿理论。这里不用做任何特殊假设就可以得
到牛顿理论，但是牛顿却不得不引入了这样的假设，即相互吸引的质点
之间的引力与它们的距离的平方成反比。如果我们提高计算的精度，那
么与牛顿理论的偏差就会显现出来，不过由于这些偏差太小，实际上它
们都肯定不能被检测出来。
这里我们必须注意到这些偏差中的一个。根据牛顿理论，行星沿椭
圆轨道绕太阳运行，如果我们可以忽略恒星本身的运动以及所考虑的其
他行星的影响，那么该椭圆轨道会永远保持它相对于恒星的位置不变。
因此，如果我们考虑到这两种影响，并据此修正了所观测到的行星运
动，而且牛顿的理论是严格正确的，那么我们所得到的行星轨道就应该
是一个相对于恒星固定不变的椭圆。这个推论能够以很高的精度进行检
验，除了一个例外，它已经在所有行星上以目前所能达到的最高观测精
度得以证实。唯一的例外是离太阳最近的行星——水星。自从勒维叶时
代以来，人们就已经知道，水星轨道的椭圆在经过消除上述影响修正之
后，相对于恒星并非固定不变，而是在轨道运动的意义上，在轨道平面
内极其缓慢地旋转。这一轨道椭圆的旋转运动的数值为每世纪43弧秒，
误差保证在几弧秒内。要通过经典力学来解释这个效应，只能引入可能
性很低的、专门为此设立的假设才行。
基于广义相对论，我们发现，每一个行星环绕太阳的椭圆轨道必须
按上述方式旋转；对于所有行星，除了水星以外，这种旋转太小，目前
的观测精度还无法检测出来；但是对于水星，它肯定达到每世纪43弧
秒，这与观测结果确实一致。
除此以外，迄今这个理论只可能做出两个推论能够通过观测得以检
验，即光线在太阳引力场作用下的弯曲[24]，以及从大恒星射到我们这
里的光谱线，与地面上以类似方式（即用同一种原子）产生的相应的光
谱线相比，有位移发生[25]。从理论得出的这两个推论都已得到证实。
第三部分 对宇宙的整体考虑
§30.牛顿理论的宇宙学困难
除了§21讨论的困难以外，经典天体力学还有另一个根本困难。就
我所知，天文学家泽利格第一个对它进行了详细讨论。如果思索这个问
题：宇宙作为一个整体，我们该如何看待它？首先想到的第一个答案肯
定是：在空间（及时间）方面，宇宙是无限的。到处都有星星，物质的
密度，虽然在细节处千变万化，但是平均来说处处都是一样的。换言
之：不论在空间中行走多远，我们会发现到处都有稀薄的恒星群，它们
有着大致一样的种类和密度。
这种观点不符合牛顿理论。后者要求，宇宙应该具有某种中心，中
心处恒星的密度最大，由中心向外，恒星的群密度逐渐变小，直到最
后，在很远的距离上，只剩下无穷无尽的真空区域。恒星的宇宙应该是
在无限的空间海洋中矗立的一块有限的海岛。[26]
这种观念本身并不十分令人满意。由于能导出下面的结果，它就更
加不令人满意了：由星系中的恒星发出的光以及恒星系统的个体恒星不
断地跑到无限空间中去，永不回头，永不再与自然界中的其他物体相互
作用。这样一个有限物质宇宙必定会逐渐地按部就班地枯竭掉。
为了避免这一困境，泽利格提出修改牛顿定律。他假设在很远的距
离上，两物体间的吸引力减弱的速度，比倒平方数定律[27]还快。这
样，物质的平均密度就有可能处处都是一样的，甚至在无限远处，不需
要产生无限大的引力场。于是，我们就把自己从这样一个讨厌的观念中
解脱出来，即物质宇宙应该占有自然界的中心。当然，我们从上文提及
的根本困难中得以解脱，其代价是修改并且复杂化了牛顿定律，而这种
修改既没有实验的基础也没有理论的基础。我们可以设想无数这样的定
律，它们都可以达到同一目的，却找不出理由说明为什么其中一个比其
他的定律更好，因为这些定律中任何一个都与牛顿定律一样，只有很少
基于更一般的理论原则。
§31.“有限”而“无界”宇宙的可能性
但是对宇宙结构的思索也在另一个不同的方向上进行。非欧几里得
几何的发展使我们认识到这一事实，即我们可以质疑空间的无限性，而
不会与思维法则和经验发生矛盾（黎曼，亥姆霍兹）。亥姆霍兹和庞加
莱已经以无与伦比的透彻性详细地论述过这些问题，我这里只能简略讨
论一下。
首先，想象在二维空间中的一个存在。扁平的生物，带着扁平的工
具，特别地带有扁平的刚性量杆，在平面上自由移动。对它们来讲，在
该平面以外，什么都不存在：它们观察到的发生在它们自己和它们的扁
平“东西”上的一切，就是它们的平面所有的全部实在。特别地，利用这
些杆子，可以完成平面欧几里得几何的结构构造，例如，§24讨论的格
子结构。与我们的宇宙不同，这些生物的宇宙是二维的；但与我们的宇
宙一样，它向无限伸展。在它们的宇宙中，有地方放无数根杆子做成的
相同的正方形，即（平面）体积是无限的。如果这些生物说它们的宇宙
是“平面”，这句话是有意义的，因为它们的意思是说它们可以用杆子完
成平面欧几里得几何的结构构造。在这方面，一根根杆子总是代表同样
的长度，与其位置无关。
现在考虑另一种二维存在，但这次是在球的表面，而非平面。扁平
生物带着量杆及其他东西，刚好贴在该表面上，无法离开。它们观察的
整个宇宙仅仅包括球的表面。这些生物能够把它们的宇宙的几何看作是
平面几何，同时把它们的杆子还看作是“距离”的实现吗？不能。因为当
它们企图实现一条直线时，会得到曲线，我们“三维生物”称之为大圈，
即有限长的自足的线，可以用量杆度量。类似地，该宇宙的面积是有限
的，可以与杆子构造的正方形面积相比较。这种思考的巨大魅力在于承
认这一事实：这些生物的宇宙是有限但无界的。
然而，球面上的生物无须周游世界，就能察觉它们没有生活在欧几
里得宇宙中。在它们的“世界”的任何部分，它们都能够使自己相信这一
点，只要它们所利用的那部分不是太小即可。从某一点出发，向所有方
向画等长的“直线”（从三维空间判断就是弧线）。它们把与这些线的自
由端相接的线称为“圆”。在平面上，用同一把尺子测量圆周长和直径，
根据平面欧几里得几何，二者之比，等于常数π，与圆的直径无关。在
球表面，扁平生物会发现，该比值为：
即一个比π小的值。圆的半径与“世界球”的半径R相比越大，则该比
值与π的差别就越大。利用这种关系，球体上的生物就可以确定它们的
宇宙（“世界”）的半径，即使只有一小部分世界球可供它们测量。但是
如果这一部分实在太小，它们就不再能证明它们是在一个球形的“世
界”上，而不在欧几里得平面上了，因为一小部分球面与同样大小的平
面只有微小的差别。
因此，如果球面生物生活在某太阳系的行星上，而此太阳系仅仅占
据球形宇宙的一丁点儿地方，那么它们就无法判定其生存的宇宙究竟是
有限的还是无限的，因为在这两种情况下，它们所了解的那“一小片儿
宇宙”几乎都是平面的，或欧几里得的。从该讨论直接可知，对球面生
物来说，圆的周长首先随着半径的增大而增大，直至达到“宇宙的周
长”，其后随着半径的进一步增大，圆周长逐渐减小到零。在这一过程
中，圆面积持续不断地增大，直到最后等于整个“世界球”的总面积。
读者也许想知道，为什么我们把那些“生物”放在球面上，而不是其
他的封闭表面上。这一选择有它的理由：在所有封闭表面中，球面拥有
这个独一无二的性质：它的所有点都是等价的。我承认，圆周长c与半
径r的比值依赖r，但是当给定r的值时，该比值对“世界球”的所有点都是
一样的。换言之，“世界球”是一个“曲率恒定的表面”。
相应于此二维球宇宙，有一个三维的类比物，即黎曼发现的三维球
空间。它的点也同样是等价的，它的体积是有限的（2π2R3），由其“半
径”所决定。有可能想象一个球空间吗？想象一个空间只不过意味着想
象一下我们的“空间”感受的要点，即那种在移动“刚体”时所拥有的感
受。在此意义上，我们可以想象球空间。
假设从一点出发，向所有方向画直线或拉绳子，并且用量杆为每条
线标示出距离γ。这些线的自由端都落在一个球面上。利用量杆做成的
正方形，我们可以特地度量出该球面的面积（F）。如果宇宙是欧几里
得的，那么F=4πγ2；如果宇宙是球形的，那么F总是小于4πγ2。随着γ的
增大，F从零增大到由“世界半径”决定的最大值，但是当γ的值进一步增
大时，面积会逐渐减小到零。首先，从起点出发的直线彼此渐行渐远，
但是后来，它们彼此靠近，最后重新汇聚在起点的“对立点”上。在此情
形下，它们已经穿越了整个球空间。容易看出，三维球空间十分类似于
二维球面，它是有限的（即体积有限），而且无界。
