由于从速度叠加定理（第5节）可知，矢量（u ， ， ）恰恰是参.8
可以提一下，还有另一种弯曲空间，即“椭圆空间”。可以把它看成
是这样一种弯曲空间：它的两个“对立点”是同一的（彼此不分）。于
是，在某种程度上，椭圆宇宙可以被看成是拥有中心对称性的弯曲宇
宙。
从上文可知，封闭无界的空间是可以想象的。在这些空间中，球形
空间（和椭圆空间）因其简单性而优于其他空间，因为它的所有点都是
等价的。作为这一讨论的结果，给天文学家和物理学家提出了一个最有
趣的问题，即我们生活的宇宙究竟是无限的，还是照球形宇宙那样是有
限的？我们的经验还远远不足以回答这一问题。但是广义相对论允许我
们得到相当确定的回答，在这点上，§30提到的困难有了答案。
§32.广义相对论描绘的空间结构
根据广义相对论，空间的几何性质并非独立的，而是由物质决定
的。所以，只有在已知物质状态的前提下进行思考，我们才能得出有关
宇宙几何结构的结论。从经验得知，适当地选择坐标系，恒星的速度与
光速相比非常小，因此，如果把物质看作静止的，我们可以大致粗略地
得出一个有关宇宙本质的总体上的结论。
从前面的讨论已知，量杆和时钟的行为受引力场，也就是物质分布
的影响。单凭这一点就足以证明，欧几里得几何在我们的宇宙中是不可
能完全准确的。但是我们的宇宙仍有可能只与欧几里得空间相差一点
点，这种想法似乎非常可能正确，因为计算表明，即使如太阳这么大质
量的物质，对我们周围空间度规的影响也是极其微小的。可以设想，就
几何而言，我们的宇宙近似一张平面，虽在个别地方凹凸不平，但无一
处与平面有显著的差别：有点像湖面的涟漪。这样一个宇宙可以恰当地
称为准欧几里得宇宙。就它的空间而言它是无限的。但是计算表明，在
准欧几里得宇宙中，物质的平均密度必定是零。所以这样的宇宙不可能
处处都有物质，它给我们呈现的是§30所描绘的那一幅不令人满意的图
画。如果我们想要在宇宙中具有不等于零的物质平均密度，不论这种差
别有多么微小，那么宇宙就不可能是准欧几里得的。相反，计算结果表
明，如果物质分布是均匀的，那么宇宙必定是球形的（或椭圆的）。因
为实际上物质的详细分布不是均匀的，所以真实的宇宙在个别地方会与
球形不同，即宇宙是准球形的。但它必定是有限的。实际上，这个理论
告诉我们，在宇宙的空间广度和其中的物质平均密度之间，有一个简单
的关系式。[28]
附录1 洛伦兹变换的简单推导
[§11补充]
就图2所示的那两个坐标系的相对取向而言，二者的x轴永远重合。
在目前情况下，我们可以把问题分解，首先只考虑局限在x轴上的事
件。任何这样的事件，相对于坐标系K，可以由横坐标x和时间t表示，
而相对于坐标系K′由横坐标x′和时间t′表示。当给定x和t时，我们需要找
出x′和t′来。
沿正x轴方向前进的光信号，其传播方程为
x=ct
或
x-ct=0。
（1）
因为该光信号相对于K′的传播速度必定是c，所以其相对于K′的传
播速度可以由类似的方程表示：
x′-ct′=0。
（2）
满足式（1）的那些时空点（事件）必定也满足式（2）。显然，一
般来讲，在这种情况当下面的关系式成立时才会出现：
（x′-ct′）=λ（x-ct），
（3）
其中λ是常数。原因是，根据（3），（x-ct）消失会使（x′-ct′）消
失。
如果对沿着负x轴传播的光线进行完全类似的讨论，则得到条件
式：
（x′+ct′）=μ（x+ct）。
（3）
把方程（3）和（4）相加（或相减），为方便起见，引入常数a和b
来代替常数λ和μ，其中
且
则得到方程：
如果常数a和b已知，那么我们就应该得到问题的答案了。从下面的
讨论可知a和b的值。
对于K′的原点，永远有x′=0，所以根据方程（5）的第一个等式：
如果设v为K′的原点相对于K运动的速度，则有：
如果计算K′中另外一点相对于K的速度，或者计算K的一点相对于K
′的速度（向负x轴方向运动），则从方程（5）会得到同样的值v。简言
之，我们可以认为v是这两个坐标系的相对速度。
进一步，相对性原理告诉我们，相对于K′静止的单位量杆的长度，
从K的角度判断，必定完全等于相对于K静止的单位量杆的长度从K′的
角度判断的值。为了看出x′轴上的点从K的角度看是个什么样子，只需
从K上取K′的一个“瞬相”，这意味着必须引入t的一个具体的值（K的时
间），如t=0。对于t的这个值，从方程（5）的第一个等式可得：
x′=ax。
在K′中测量，相隔距离为Δx′=1的x′轴上的两个点，在我们的瞬相中
的相隔距离就是：
但是如果是从K′取瞬相（t′=0），并且从方程（5）中消去t，考虑
到表达式（6），则有：
由此得知：x轴上相隔距离为1（相对于K）的两个点，在瞬相中的
相隔距离为：
但是根据前面说的，这两个瞬相必定是相同的，所以（7）中的Δx
肯定等于（7a）中的Δx′，于是得到：
方程（6）和（7b）决定了常数a和b。把这些常数值代入方程
（5），就得到§11所列方程的第一和第四个等式。
这样就得到了x轴上的事件的洛伦兹变换，它满足关系：
x′2-c2t′2=x2-c2t。
（8a）
为了包含在x轴以外发生的事件，推广该结果，保留方程（8），补
充以下的关系：
这样，对任意方向的光线，不论是在K中，还是在K′中，我们都保
证了真空中光速恒定这一假设。下面的讨论可以证明这一点。
假设在时间t=0，由K的原点发出一个光信号，其传播方程为：
或者把此方程两边平方，得：
x2+y2+z2-c2t2=0。
（10）
光传播定律，结合相对性假设，要求这里的信号传播——从K′的角
度判断——应当符合下面的公式：
r′=ct′，
或者
x′2+y′2+z′2-c2t′2=0。
（10a）
为使方程（10a）能从方程（10）导出，必须有：
x′2+y′2+z′2-c2t′2=σ（x2+y2+z2-c2t2）。
（11）
既然方程（8a）对x轴上的点必定成立，于是有σ=1。易见，洛伦兹
变换确实满足σ=1时的方程（11）。因为方程（11）是方程（8a）和
（9）的结果，也就是方程（8）和（9）的结果。于是导出了洛伦兹变
换。
由方程（8）和（9）表示的洛伦兹变换仍有待推广。显然，K′的轴
是否在空间上平行于K的轴是无关紧要的，K′相对于K的平移速度是否
应朝x轴的方向也是不重要的。简单考虑一下就可知，我们能够从两种
变换中构造这一广义的洛伦兹变换，即从狭义的洛伦兹变换和从纯粹的
空间变换。后者用一个新的坐标系替换直角坐标系，它的轴指向其他方
向。
在数学上，广义的洛伦兹变换可以刻画如下：
它把x′，y′，z′，t′表达为x，y，z，t的齐次线性函数，使得下面的
关系式恒等成立：
x′2+y′2+z′2-c2t′2=x2+y2+z2-c2t2。
（11a）
就是说：如果左边以x，y，z，t的表达式替换x′，y′，z′，t′，那么
（11a）的左边就等于右边。
附录2 闵可夫斯基四维空间（“世界”）
[§17补充]
若引入虚数
ct来代替t作为时间变量，则可以更加简单地刻画洛
伦兹变换。若据此引入：
x1=x，
x2=y，
x3=z，
对带撇的K′也类似处理，那么洛伦兹变换保证成立的条件可以表述
如下：
即通过上述选择的“坐标”，（11a）变成了这一等式。
由方程（12）可见，在变换条件式中，虚时坐标x 与空间坐标 ，
4
x1
x ， 以同样的方式出现。其原因在于这一事实：根据相对论，
2
x3
“时
间”x 在自然定律中出现的形式与空间坐标 ， ， 完全相同。
4
x1 x2 x3
由“坐标”x ， ， ， 描述的四维连续统被闵可夫斯基称为
1
x2 x3 x4
“世
界”，他还把点事件称为“世界点”。物理事件从三维空间中“发生的事
件”仿佛变成了四维“世界”中“存在的实物”。
该四维“世界”与（欧几里得）解析几何的三维“空间”非常相似。如
果给后者引入一个原点相同的新的笛卡儿坐标系（x1′，x2′，x3′），那
么x
， ， 的线性齐次函数，满足下面的恒等式：
1′，x2′，x3′是x1
x2 x3
与方程（12）完全相似。我们可以形式地把闵可夫斯基的“世界”看
成四维欧几里得空间（带有虚时坐标），洛伦兹变换对应于该四维“世
界”的坐标系的一次“旋转”。
附录3 广义相对论的实验验证
从系统的理论观点来看，我们可以把经验科学的发展过程想象成一
个不断的归纳过程。理论发展起来，以经验定律的形式简洁地概括了大
量具体观察资料，通过比较可以从中探知一般规律。以这种观点，科学
的发展类似于编纂分类目录，仿佛是一个纯粹的实验过程。
但是这种观点绝没有包含全部的实际过程，因为它忽略了直觉和演
绎思维在精密科学的发展过程中所扮演的重要角色。一旦科学从其原始
阶段脱胎出来，理论的进步就不再仅仅依靠排列整理来取得了。以实验
数据为指导，研究者发展起一套思想。一般地，这套思想是合乎逻辑地
建立在少量基本假设，即所谓的公理的基础之上。我们称这套思想为理
论。理论存在的意义在于这一事实：它把大量单个的观察资料联系起来
了。而理论的“真理性”就恰恰在于此。
对于同一组实验数据，可能有多个理论，彼此相当不同。但是就能
够被实验检验的理论的推论而言，理论间的一致性可能会非常完善，以
至于难以找到能够区分这两个理论的推论。例如，大家都感兴趣的一个
例子是在生物学领域，达尔文的物竞天择式的物种进化论，和基于获得
性特征遗传假设的进化论。
两理论的推论间具有广泛一致性的另一个例子发生在牛顿力学和广
义相对论之间。这种一致性如此深远，以至于直到现在，只能从广义相
对论中找到很少的可以考察的推论，使相对论以前的物理学不能导出它
们，尽管这两个理论的基本假设存在根本差别。下面，我们会再考察这
些重要推论，还要讨论迄今所获得的与它们有关的实验证据。
1.水星近日点的运动
根据牛顿力学和牛顿引力定律，绕日运行的行星轨迹是一个环绕太
阳的椭圆，或更准确一点说，是一个环绕太阳和该行星共同的重心的椭
圆。在这样一个系统中，太阳，或者说共同的重心，落在椭圆轨道的焦
点之一上，使得在一个行星周年中，日星距离从最小增到最大，然后又
变回最小。如果在计算中不用牛顿定律，而引入稍有不同的引力定律，
那么会发现，根据这新的定律，行星的运动方式仍然会使得日星距离呈
现出周期变化。但是此时，在这样一个周期中（从近日点——离太阳最
近的地方——到近日点），太阳与行星的连线所画的角度会不等于
360°。轨道曲线不会是封闭的，而是在这一过程中，填满了轨道平面的
环形区域，即由日星间的最小距离决定的圆与最大距离决定的圆之间的
环形区域。
根据广义相对论——当然是与牛顿理论不同的理论——行星在其轨
道上的运动应当与其开普勒-牛顿运动方式稍有不同，其方式使得在从
一个近日点到下一个近日点的周期中，日星半径所画的角度超过了一个
完整公转所画的角度，超出部分由下式给出：
（注意：按照物理学中绝对角度量惯例，一个完整公转对应的角度
是2π。上式给出的是，在从一个近日点到下一个近日点的时间间隔中，
日星半径超出这一角度的部分。）在该式中，a代表椭圆的长半轴，e代
表离心率，c代表光速，T代表行星公转周期。我们的结果还可以陈述如
下：根据广义相对论，椭圆长轴绕日转动和行星的轨道运动具有同样意
义。理论要求，对于水星，该转动应该等于每100年43弧秒，但是对于
太阳系的其他行星，其数值太小，肯定检测不到了。[29]事实上，天文
学家已经发现，用牛顿理论来计算的水星运动，达不到对应于目前能够
获得的观测灵敏度的精确观测的运动。在考虑到其他行星施加在水星上
的所有干扰因素之后，人们发现（勒维叶，1859；Newkomb，1895），
水星轨道近日点运动仍然存在无法解释的额外的份额，其数额与上文提
到的每100年+43弧秒没有明显的不同。实验结果的不确定性只有几个弧
秒。
2.光线在引力场中的偏折
§12已经提到，根据广义相对论，当光线穿过引力场时，其传播路
径是弯曲的，这曲线类似于投掷一个物体，使它穿过引力场时所走的路
线。根据这一理论，我们预期，在天体附近穿过的光线会偏向该天体。
对于在距离太阳中心Δ远处经过太阳的一束光线，其偏转角度（α）等于
另外，根据该理论，这一偏转角度中有一半是由太阳的牛顿引力场
引起的，另一半是由于太阳导致空间的几何变形（“曲率”）而引起的。
利用日全食期间对恒星的照相记录，可以检验这一结果。必须利用
日全食的唯一原因是，在其他任何时候，大气层被太阳光照得太亮了，
以至于无法看见太阳圆盘附近的恒星。从图5上可以清楚地看出预言的
效果。如果没有太阳（S），那么从地球上观察，距离几乎无限遥远的
恒星会出现在方位D 。但是因为恒星的光线被太阳偏转，结果是恒星出
1
现在方位D ，即出现在比其真实位置距离太阳中心更远一点的位置上。
2
图5
实际上，这个问题是用下面的方法检验的。在日食期间对太阳附近
的恒星照相。另外，当太阳位于天空中另一个位置，即早或晚几个月的
时候，对这些恒星再次照相。与正常的照片相比，日食照片上恒星的位
置应该呈放射状向外位移（远离太阳中心），位移的大小相当于角度
a。
我们要感谢英国皇家学会和皇家天文学会对这一重要推论的研究所
作出的贡献。为了获得1919年5月29日的日食照片，他们不惧战争，克
服战争带来的物质和精神两方面的困难，组织了两支远征队开赴
Sobral（巴西）和Principe岛（西非），并派去了英国最著名的天文学家
（爱丁顿，Cottingham，Crommelin，Davidson）。在日食期间的恒星照
片与相对照的恒星照片之间，所预期的相对差异仅有百分之几毫米，因
此，照相所需的校正以及随后的测量都必须非常精确。
测量的结果完全令人满意地证实了这个理论。下表中列出了观测和
计算的恒星偏差（以弧秒计）的直角分量：
3.光谱线的红端位移
§23已经证明，在相对于伽利略坐标系K做旋转运动的坐标系K′中，
相对旋转参照物静止的、结构相同的时钟，行走的快慢与其位置相关。
现在我们定量地考察这种关系。距离圆盘中心γ远处的时钟，其相对于K
的速度由下式给出：
v=ωγ。
其中ω代表圆盘K′相对于K旋转的角速度。若v 代表时钟静止时相对
于K的单位时间内的滴答数（时钟的“速率”），那么根据§12，当它相对
于K以速度v运动，但相对于圆盘静止时，它的“速率”（v）由下式给
出：
或者以足够的精度近似表示为：
该表达式还可以表述如下：
若用φ代表时钟所在的位置和圆盘中心之间离心力的势差，即将单
位质量的物体从旋转圆盘上时钟所在的位置处挪到圆盘中心处，克服离
心力所需要做的功，以负数形式表示，则有：
由此可得：
首先，由此式可见，两个结构相同的时钟，当与圆盘中心的距离不
同时，其行走的快慢也不同。从一个随圆盘一起旋转的观察者的角度来
看，这一结果也是成立的。
现在，从圆盘来判断，后者处在势为φ的引力场中，所以我们获得
的结果对引力场也十分普遍地成立。进一步，可以把发射光谱线的原子
看作时钟，使得下面的陈述成立：
原子吸收和发出的光的频率与原子所在的引力场的势有关。
在天体表面的原子的频率，与在自由空间中（或小一些的天体的表
面上）相同元素的原子频率相比，会稍小一些。现在
，其中K
是牛顿引力常数，M是天体的质量。所以，恒星表面产生的光谱线与地
球表面同一元素产生的光谱线相比，应该产生向红端的位移，位移量
为：
对于太阳，理论预言的向红端的位移大约等于波长的百万分之二。
对恒星来说，可靠的计算是不可能的，因为一般来讲，质量M和半径γ
都不知道。
到底是否存在这一效应仍是个悬而未决的问题，当代（1920年）天
文学家们正在满腔热情地寻找答案。由于在太阳上该效应很小，对于其
存在性很难下判断。但是格雷勃（Grebe）和巴合姆（Bachem）根据他
们自己的测量以及艾沃舍德（Evershed）和史瓦西（Schwarzschild）在
氰频带上的测量，已经几乎肯定了该效应的存在。另一些研究人员，特
别是圣约翰，由自己的测量却导出了相反的结论。
对静止的恒星的统计研究确实揭示出，光谱线存在向光谱上折射性
较弱一端的平均位移。但是至于该位移是否真的归因于引力效应，迄今
为止对可获得的数据的分析还不足以得出任何明确的结论。在一篇由弗
雷德里希（E.Freimdlich）撰写，题目为《广义相对论的验证》“Zur
Prüfung der allgemeinen Relativit?ts-Theorie ”（《自然科学》1919，No.
35，p. 520：Julius Springer，Berlin）的论文中，汇总了观测结果，并且
从我们这里一直关注的这个问题的观点对之进行了详细讨论。
无论如何，在未来几年内将会有明确的结论。如果不存在引力势引
起的光谱线向红端的位移，那么广义相对论是站不住的。另一方面，如
果光谱线位移的原因确实是引力势，那么对位移的研究将给我们提供关
于天体质量的重要信息。
注：1924年亚当斯明确地证实了存在光谱线向光谱红端的位移
效应。这是依靠观测天狼星的紧致伴星，它上面的位移效应大约比
太阳上的大30倍。——R.W.L.
附录4 广义相对论描绘的空间结构
[§32补充]
这本小册子的初版发表以来，我们对大尺度空间结构（“宇宙学问
题”）的认识已经有了重大的进展，即使在这一题目的通俗介绍中也应
该提及。
我原先对这一课题的思考基于两个假设：
（1）整个空间中，物质的平均密度处处相同，但不同于零。
（2）空间的大小（“半径”）与时间无关。
根据广义相对论，这两个假设都被证明是和谐的，但是必须在场方
程中加入一个假设项，而该项既不是理论本身所要求的，从理论的观点
看也显得不自然（“场方程的宇宙项”）。
那时候对我来说，假设（2）似乎是不可避免的，因为我觉得背离
它的话，会使思维陷入无休无止的猜测之中。
但是，在20年代，俄国数学家弗里德曼证明，从纯理论的观点看，
另一种不同的假设是自然的。他认识到，如果愿意放弃假设（2），那
么就有可能保留假设（1），而无须在引力场方程中引入不太自然的宇
宙项。最初的场方程有这样一个解，其中“世界半径”依赖时间（膨胀空
间）。在此意义上，可以说，根据弗里德曼，该理论要求空间是膨胀
的。
几年以后，通过对河外星云（各种“银河”）的专门研究，哈勃证
明，星云所发出的光谱线呈现出红移效应，而且随着星云距离的加大，
红移有规律地增加。就我们目前所知，这一现象只能用多普勒原理解释
为大尺度上恒星系统的膨胀运动——根据弗里德曼，这是引力场方程的
要求。因此，可以认为，哈勃的发现在一定程度上证实了该理论。
然而，的确存在一个很奇怪的困难。把哈勃所发现的银河光谱线红
移解释为膨胀（从理论的观点看很难质疑），由此导出该膨胀的起源时
间“仅仅”在大约109年以前，而物理天文学则表明，具体的恒星和恒星
系统的演化发展的时间很可能比这长得多。还不知道怎样克服这个矛
盾。
我还想进一步指出，膨胀空间理论以及天文学的观测数据，不能用
来判定（三维）空间的有限性或无限性，而原先关于空间的“静止”假设
导致了空间的闭合性（有限性）结果。
（黄雄、罗景琪译，黄雄校）
[1]狭义相对论的数学基础见Teubner的《相对论原理》，这本“数学的进展”专著，详尽
地收集了洛伦兹、爱因斯坦、闵可夫斯基和劳厄的论文原件（Braunschweig的Friedr. Vieweg
＆Sohn出版社出版）。广义相对论，包括其所涉及的张量理论的数学手段，见作者撰写的小册
子《广义相对论基础（Joh. Ambr. Barth，1916年）》。该小册子假定读者已对狭义相对论有
所了解。
[2]由此得出结论，自然界的物体也与直线相关。刚性物体上的三个点A，B，C，若A与C已
给定，且B的选择使得AB和BC两个距离的和尽可能短，则它们在一条直线上。这个不完整的建议
将足以满足我们现在的要求。
[3]这里我们假设没有任何剩余，即测量结果是整数。这一困难可以采用细分的测量杆加以
克服，引进这种测量杆不需要对测量方法作根本性改变。
[4]这里没必要深入研究“空间中重合”的意义。这个概念已十分明显，足以确保在其实际
适用性上很少会发生意见分歧。
[5]在我们进入本书第二部分讨论的广义相对论之前，没必要对这些观点进行细化和修改。
[6]即物体运动走过的曲线。
[7]我们进一步假设，当三个事件A、B和C发生于不同的地方时，若A与B同时，B与C同时
（就是在上述定义下的同时），则A和C这一对事件的同时性标准也就得到满足。这个假设是关
于光传播定律的物理假设，若要坚持真空中光速不变定律，这个假设就必须被满足。
[8]从路堤上判断！
