[10]洛伦兹变换的简单推导见附录1。
[11]斐索发现W=w+v
，其中n=
是液体的折射系数。另一方面，由于
与1相比
非常小，_我们可以首先用W=（w+v）
替代（B），或以相同的近似度用w+v
来
替代，这就与斐索的结果一致了。
[12]原文此公式有误，这里已经更正过。——译者注
[13]E0是从一个与物体一起运动的坐标系上来判断所吸收的能量。
[14]从与物体一起运动的坐标系上来判断。
[15]广义相对论可能认为，电子的带电物质是靠引力聚集在一起的。
[16]详见附录2。
[17]当参照物的运动状态不需要任何外部力量维持时，例如当参照物匀速旋转时，这一缺
陷就尤为重要了。
[18]理论所要求的光线的偏折，通过皇家学会和皇家天文学会组成的联合委员会所装备的
两支远征队在1919年5月29日日食期间所拍摄的恒星照片，首次得以证实（参见附录3）。
[19]这个论断从§20讨论的推广中得出。
[20]这个场在圆盘的中心消失，当我们向外移动时，它随着离开中心的距离增加成比例地
增大。
[21]在整个讨论中，我们必须采用伽利略（非旋转）系统尺作为参照物，因为我们只能假
设狭义相对论的结论相对于K是正确的（相对于K′力场占上风）。
[22]我们的问题已经以下列形式提到数学家面前。如果在欧几里得三维空间中给定一个表
面（例如椭球面），那么对于这个表面，如同对于一个平面一样，存在一个二维几何学。高斯
从基本原理出发来探讨这个二维几何学，而不利用该表面属于三维欧几里得连续统这一事实。
如果我们想象用刚性小杆在该表面上做些结构）类似于上文在大理石板上的构造），我们就会
发现，这些构造遵循的定律不同于依据欧几里得平面几何学所得出的定律。对于小杆来说，该
表面不是欧几里得连续统，在该表面上我们无法定义笛卡儿坐标。高斯指出了使我们能够据以
处理该表面上的几何关系的原则，从而指明了通向处理多维非欧几里得连续统的黎曼法的道
路。因此，广义相对性假设带给我们的形式问题很久以前就被数学家们解决了。
[23]参考附录1和附录2，在那里对于各坐标本身所推导出的关系对于坐标差也成立，因而
对于坐标微分（无限小的差）也成立。
[24]首次由爱丁顿和其他人在1919年观测到（参见附录3）。
[25]由亚当斯在1924年证实。
[26]证明：根据牛顿理论，从无限远处来，到一个物体止的所有“力线”的数量，与该物
体的质量m成正比。如果平均说来，宇宙中的物质密度是常数ρ0，那么体积为V的球体包含的平
均质量为ρ0V则穿过该球体的表面F进入其内部的引力线的数量与ρ0V成正比。所以在该球体表
面的单位面积上，进入球体的引力线的数量与ρ0
，或ρ0R成正比。随着球体半径R的增大，
球体表面的引力场强度最终会变得无限大，这是不可能的。
[27]指牛顿的万有引力定律：两物体间的引力与距离的平方成反比。——译者注
[28]对于宇宙“半径”R，我们有方程：
把厘米·克·秒制应用于该方程，得
=1.08×1027；ρ是物质的平均密度，κ是与牛顿
引力常数有关的常数。
[29]尤其是下一个行星，金星，其轨道几乎恰好是个圆，要精确地确定其近日点就变得更
难了。
第三部分
相对论的附加知识
导言
当一个台球撞击另一个台球时究竟发生了什么呢？在20世纪之前大
家是这么理解的，母球和靶球只在它们相互相触的短暂时间相互作用，
正如常识所告知的。对于台球而言这毫无问题，但对于似乎是超距作用
的引力和电磁力的情形又如何呢？科学家假定过，那些力必须通过某种
称为“传光的以太”的可量度的媒介来传播，和冲击波通过空气来传播非
常类似。
然而，以太经受不住严格的科学审查。1887年阿尔伯特，迈克耳孙
和爱德华·莫雷证明，不管以太会是何物，其行为不像正常物质。例
如，在沿流动河流行进的水波，其在水运动方向的传播比在反方向上较
快。然而，在光的情况下，迈克耳孙和莫雷证明，不管光如何相对于观
察者以及假定的以太运动，其传播速率总是一样。
爱因斯坦在《以太和相对论》中指出，对于所有观察者而言，光都
以常速率行进，这样不管以太是什么东西，都不像通常的物质，在这个
事实的基础上预言了狭义相对论。他的广义相对论又使情况进一步复
杂，他提出引力导致空间本身的结构。直白地讲，甚至在“空虚的”空间
定义引力，这样必须存在某物。
那个“某物”是以太，或者用现代语言讲，是一个场。广义相对论和
麦克斯韦电磁论代表最早的场论：它们描述世界如何按照无所不在的
场，而非微小的粒子而运行。在许多方面，这正是相对论对物理学的最
重要贡献之一。以现代观点看，所有的力都是由场引起的。上面描述的
台球根本不碰撞，只是它们的电磁场在非常小的尺度下相互排斥。量子
场论是在20世纪中叶，也就是这个研究的大约40年后发展的。在量子场
论中不仅力，而且粒子本身也是由场引起的。在现代图像中，宇宙在根
本上是由场构成的。这项工作可以看成从艾萨克·牛顿的经典粒子图像
向现代场论图像过渡的评论。
（吴忠超译）
以太和相对论
爱因斯坦
1920年10月27日在莱顿大学任特邀教授时的就职演讲
物理学家在那个从日常生活抽象出来的有重物质观念之外，为什么
还要建立起存在另一种物质——以太的观念呢？其理由无疑在于引起超
距作用力理论的那些现象，以及导致波动论的光的那些性质。我们想要
对这两件事作一番简略的考察。
不用物理学的思想就不能理解什么是超距作用力。当我们试图以因
果关系来深入理解我们在物体上形成的经验时，初看起来，似乎除了由
直接的接触所产生的那些相互作用，比如由碰、压和拉来传递运动，用
火焰加热或引起燃烧，等等，此外就没有别的相互作用了。固然，重力
这样一种超距作用力，在日常经验中已经起着重大的作用。但是，由于
物体的重力在日常生活中是作为某种不变的量呈现在我们的面前，它与
任何时间上或空间上的变化无关，所以我们在日常生活中通常就想不到
重力还有什么根由，因而也意识不到它有像超距作用力那样的特征。直
到牛顿的引力理论把引力解释为由物质所产生的一种超距作用力，才给
它提出了一种原因。虽然牛顿的理论标志着把自然现象因果地联系起来
而进行的努力中所取得的最大的进步，然而这个理论在他的同时代人那
里却产生了强烈的不满，因为它似乎同从其他经验推导出来的原理相矛
盾，这就是相互作用只能通过接触而不能通过无媒介的超距作用来产
生。
人类的求知欲只好勉强接受这样一种二元论。怎样才能拯救自然力
概念的一致性呢？要么人们可以把那些作为接触力呈现在我们面前的
力，也当作只在很微小的距离中确实可以察觉到的超距作用力来理解，
这是牛顿的后继者们大多所偏爱的道路，因为他们完全迷醉于牛顿的学
说；要么人们可以假定，牛顿的超距作用力只是虚构的无媒介的超距作
用力，其实它们却是靠一种充满空间的媒质来传递的，不论是靠这种媒
质的运动，还是靠它的弹性形变。这样，为了使我们对于这些力的本性
有一个统一的看法，便导致了以太假说。首先，以太假说对引力理论和
物理学的确完全没有带来任何一点进步，以致人们养成了一种习惯，把
牛顿的引力定律当作不可再简约的公理来对待。但是以太假说势必要在
物理学家的思想中继续不断地起作用，即使最初只是一种潜在的作用。
19世纪上半叶，当光的性质与有重物质的弹性波的性质之间存在着
广泛的相似性已经变得明显的时候，以太假说就获得了新的支持。光必
须解释为充满宇宙空间的一种具有弹性的惰性媒质的振动过程，这看起
来似乎是无可怀疑的了。从光的偏振性也好像必然要得出这样的结论：
以太这种媒质必须具有一种固体特性。因为横波只可能在固体中，而不
可能在流体中存在。这就势必导致“准刚性”的光以太理论，这种光以太
的各部分，除了同光波相应的微小形变运动以外，相互之间就不可能有
任何别的运动。
这种理论也称为静态光以太理论，它由那个也作为狭义相对论基础
的斐索实验，进一步得到了有力的支持，人们从这个实验必能推断出，
光以太不参与物体的运动。光行差现象也支持准刚性的以太理论。
电学理论沿着麦克斯韦和洛伦兹所指示的道路向前发展，在我们关
于以太观念的发展中引起了一次最独特、最意外的转变。在麦克斯韦本
人看来，以太固然还是一种具有纯粹机械性质的实体，尽管它的机械性
质比起可捉摸的固体的性质要复杂很多。但是麦克斯韦和他的后继者都
没有做到给以太想出一种机械模型，为麦克斯韦电磁场定律提供一种令
人满意的力学解释。这些定律既清楚又简单，而那些力学解释却既笨拙
又充满矛盾。这种情况从理论物理学家的力学纲领的观点来看是最令人
沮丧的，但是他们都几乎不知不觉地适应了这种情况，这特别是由于受
到海因里希·赫兹关于电动力学的研究的影响。以前他们曾经要求一种
终极理论，要求它必须以那些纯粹属于力学的基本概念（比如物质密
度、速度、形变、压力）为基础，以后他们就逐渐习惯于承认电场强度
和磁场强度都是与力学基本概念并列的基本概念，而不要求对它们作力
学的解释了。这样，纯粹机械的自然观就逐渐被拋弃了。但是这一变化
却导致一种无法长期容忍的理论基础上的二元论。为了摆脱它，人们采
取相反的路线，试图把力学的基本概念归结为电学的基本概念，当时在
β射线和高速阴极射线方面的实验，动摇了对牛顿力学方程的严格有效
性的信赖。
在H.赫兹那里，这种二元论仍未得到缓和。他把物质不仅看成是速
度、动能和机械压力的载体，而且也是电磁场的载体。既然在真空（即
自由的以太）中也出现这种场，那么以太也就好像是电磁场的载体。它
好像同有重物质完全是同类的和并列的。在物质中，它参与物质的运
动；在空虚空间中它到处都有速度，这种以太速度在整个空间中都是连
续分布的。赫兹的以太原则上同（部分由以太组成的）有重物质没有任
何区别。
赫兹的理论不仅有这样的缺点，即它赋予物质和以太一方面以力学
状态，另一方面以电学状态，而两者之间却没有任何想象的联系；而且
这个理论也不符合斐索关于光在运动流体中传播速度的重要实验的结
果，以及其他可靠的经验事实。
当H.A.洛伦兹上场时，情况成了这样：他使理论同经验协调起来，
那是用一种对理论基础加以奇妙简化的办法来做到的。他取消了以太的
力学性质，取消了物质的电磁性质，从而取得了麦克斯韦以来电学最重
要的进步。物体内部也同空虚空间一样，只有以太，而不是原子论者所
设想的物质，才是电磁场的载体。依照洛伦兹的意见，物质的基本粒子
只能运动；它们之所以有电磁效应，完全在于它们载有电荷。洛伦兹由
此成功地把一切电磁现象都归结为麦克斯韦的真空_场方程。
至于洛伦兹以太的力学性质，人们可以带点诙谐地说，洛伦兹给它
留下的唯一力学性质就是不动性。不妨补充一句，狭义相对论带给以太
概念的全部变革，就在于它取消了以太概念的这个最后的力学性质，即
不动性。至于该怎样来理解这句话，应当立即加以说明。
麦克斯韦-洛伦兹的电磁场理论已经为狭义相对论的空间-时间理论
和运动学提供了一个雏形。所以，这个理论满足狭义相对论的各项条
件；但是从狭义相对论的观点来看，它就得到了一种新的面貌。假定K
是这样一个坐标系，洛伦兹以太对于它是静止的，那么麦克斯韦-洛伦
兹方程首先对于K是有效的。然而根据狭义相对论，这些方程对于任何
一个相对K做匀速平移运动的新的坐标系K′也同样有效。现在就发生了
这样一个令人不安的问题：坐标系K同坐标系K′既然在物理上是完全等
效的，我为什么在狭义相对论中要用以太对K是静止的这个假定来把K
突出在K′之上呢？这样一种理论结构的不对称性，若是没有任何经验体
系的不对称性与之对应，理论家对此是无法容忍的。依我看来，在以太
对于K是静止而对于K′却是运动的这种假定下，K和K′在物理上的等效
性，就逻辑观点来说虽然不是绝对错误，但无论如何也是无法接受的。
面对这种情况，人们可以采取的最近便的观点，似乎是认为以太根
本不存在。认为电磁场不是一种媒质的状态，而是一种独立的实在，正
如有重物质的原子那样，不能归结为任何别的东西，也不依附在任何载
体之上。这种见解之所以显得更为自然，是因为根据洛伦兹理论，电磁
辐射像有重物质那样具有动量和能量，而且还因为，根据狭义相对论，
在有重物质失去它的特殊地位，而仅仅表现为能量的特殊形式时，物质
和辐射两者都不过是所分配的能量的特殊形式。
然而，更加精确的考察表明，狭义相对论并不一定要求否定以太。
可以假定有以太存在；只是必须不再认为它有确定的运动状态，也就是
说，必须抽掉洛伦兹给它留下的那个最后的力学特征。我们以后会看
到，这种想法已经为广义相对论的结果所证实。我打算立即通过一种不
很恰当的对比，使这种想法在想象上的可能性显得更加清楚。
设想一个水面上的波。关于这种过程，可以有两种完全不同的描
述。我们要么可以观察水同空气之间的波形界面如何随时间变化，也可
以（比方说，借助一些小的浮体）观察各个水粒的位置如何随时间变
化。要是物理上没有这种小浮体可用来追踪液体粒子的运动，要是在整
个过程中果真除了随时间变化的那些被水所占据的空间位置以外，根本
没有什么别的东西可以察觉，那么我们就没有理由假定水是由运动的粒
子所组成的。但是我们仍然可以称它为媒质。
电磁场存在着某种类似的情况。可以设想这种场是由力线组成的。
如果要把这种力线解释为通常意义下的某种物质的东西，那就是试图把
动力学过程解释为这种力线的这样一种运动过程，每条力线始终可以随
着时间追踪下去。可是大家都很了解，这种想法会导致矛盾。
我们必须概括地说：可以设想某些有广延意义的物理客体，对于它
们，任何运动概念都是不能应用的。不容许把它们设想成是由各个可以
随时间追踪下去的粒子所组成。这用闵可夫斯基的话来说就是：并不是
每一个在四维世界中有广延的实体都可以理解为是由世界线所构成的。
狭义相对论不容许我们假定，以太是由那些可以随时间追踪下去的粒子
组成的，但是以太假说本身同狭义相对论并不抵触，只要我们当心不要
把运动状态强加给以太就行了。
当然，从狭义相对论的观点来看，以太假说首先是一种无用的假
说。在电磁场方程中，除了电荷密度外，只出现场的强度。真空中电磁
过程的进程看起来好像完全取决于那条内在的定律，丝毫不受其他物理
量的影响。电磁场是以最终的、不能再归结为别的东西的实在的身份而
出现的，再假定一种均匀的、各相同性的以太媒质，而那些电磁场必须
理解为是它的状态，这就尤其显得是画蛇添足了。
但是，另一方面却可以提出一个有利于以太假说的重要论据。否认
以太的存在，最后总是意味着承认空虚空间绝对没有任何物理性质。这
种见解不符合力学的基本事实。一个在空虚空间中自由飘浮的物质体系
的力学行为，不仅取决于相对位置（距离）和相对速度，而且也取决于
它的转动状态，这种转动状态在物理上不能理解为属于这种体系本身的
一种特征。为了至少能够在形式上把体系的转动看成某种实在的东西，
牛顿就把空间客观化了。既然他认为他的绝对空间是实在的东西，那么
在他看来，相对于一个绝对空间的转动也就该是某种实在的东西了。牛
顿同样也可以恰当地把他的绝对空间叫作“以太”；问题的实质就在于，
为了能够把加速度和转动都看作是某种实在的东西，除了可观察到的客
体之外，还必须把另一种不可察觉的东西也看作是实在的。
马赫固然曾经尝试过，在力学中用一种对世界上所有物体的平均加
速度来代替相对于绝对空间的加速度，以避免去假设有某种观察不到的
实在东西的必要性。但是一种对于遥远物体相对加速度的惯性阻力，却
得预先假定有一种直接的超距作用。既然现代物理学家认为不应当作这
样的假定，那么在这种见解下，他也就重新回到了能作为惯性作用的媒
质的以太上来。但是马赫的思考方法所引进的这种以太概念，与牛顿，
菲涅尔以及洛伦兹的以太概念在本质上是有区别的。这种马赫的以太不
仅决定着惯性物体的行为，而且就其状态来说，也取决于这些惯性物
体。
马赫的思想在广义相对论的以太中得到了充分的发展。根据这种理
论，在各个分开的时空点附近，时空连续统的度规性质是各不相同的，
并且也取决于该区域之外存在的全部物质。量杆和时钟在相互关系上的
这种空间-时间上的变化，也就是认为“空虚空间”在物理关系上既不是
均匀的也不是各相同性的这种知识，迫使我们不得不用10个函数（即引
力势g ）来描述空虚空间的状态，这无疑最终取消了空间在物理上是
μν
空虚的这个见解。但是以太由此也就又有了一种确定的内容，这种内容
当然同光的机械波动说的以太的内容大不相同。广义相对论的以太是这
样的一种媒质，它本身完全没有一切力学的和运动学的性质，但它却参
与对力学（和电磁学）事件的决定。
这种在原则上新的广义相对论以太与洛伦兹以太的对立就在于：广
义相对论以太在每一点的状态，都取决于它同物质以及它同邻近各点的
以太状态之间的关系，这种关系表现为一些用微分方程的形式来表示的
定律；可是在没有电磁场的情况下，洛伦兹以太的状态却不取决于在它
之外的任何东西，而且到处都是相同的。如果用常数来代替那些描述广
义相对论以太的函数，同时不考虑任何决定以太的原因，那么广义相对
论以太就可以在想象中转变为洛伦兹以太。因此人们也的确可以说，广
义相对论以太是把洛伦兹以太加以相对论化而得出的。
至于这种新的以太在未来物理学的世界图像中注定要起的作用，我
们现在还不清楚。我们知道，它确定空间-时间连续统中的度规关系，
比如确定固体各种可能的排列以及引力场；但是我们不知道，它在构成
物质的荷电基本粒子的结构中究竟是不是一种重要的部分。我们也不知
道，究竟是不是只在有重物质附近，它的结构才同洛伦兹以太的结构大
不相同，以及宇宙范围的空间几何究竟是不是近于欧几里得的。但是我
们根据相对论的引力方程却可以断言，只要宇宙中存在一个哪怕很小的
正的物质平均密度，宇宙数量级的空间的性状，就必定存在着对欧几里
得几何的偏离。在这种情况下，宇宙在空间上必定是闭合的和大小有限
的，其大小则取决于那个（物质的）平均密度的数值。
如果我们从以太假说的观点来考察引力场和电磁场，那么两者之间
就存在着一个值得注意的原则性的差别。没有任何一种空间，而且也没
有空间的任何一部分，是没有引力势的；因为这些引力势赋予它以空间
的度规性质，要是没有这些度规性质，空间就根本无法想象。引力场的
存在是与空间的存在直接联系在一起的。反之，空间一个部分没有电磁
场却是完全可以想象的。因此，电磁场看来同引力场相反，似乎与以太
只有间接的关系，这是由于电磁场的形式性质完全不是由引力以太确定
的。从理论的现状看来，电磁场同引力场相比，它好像是以一种完全新
的形式动因为基础的，好像自然界能够不赋予以太以电磁类型的场，而
赋予它另一种完全不同类型的场，比如一种标量势的场，也会是同样适
合的。
既然依照我们今天的见解，物质的基本粒子按其本质来说，不过是
电磁场的凝聚，而绝非别的什么，那么就得承认，我们今天的世界图像
有两种在概念上彼此完全独立的（尽管在因果关系上是相互联系的）实
在，即引力场和电磁场，或者，人们还可以称它们为空间和物质。
如果引力场和电磁场合并为一个统一的实体，那当然是一个巨大的
进步。那时，由法拉第和麦克斯韦所开创的理论物理学的新纪元才会获
得令人满意的结论。那时，以太-物质这种对立就会逐渐消失，整个物
理学通过广义相对论而成为类似几何学、运动学和引力理论那样的一种
完备的思想体系。数学家外尔（H.Weyl）在这个方向上作了极富独创性
的研究，但我并不认为他的理论在现实面前会站得住脚。而且，我们在
展望理论物理学最近的将来时，不应当无条件地忘却量子论所概括的事
实，有可能会给场论设下无法逾越的界限。
我们可以总结如下：依照广义相对论，空间已经被赋予物理性质；
因此，在这种意义上说，存在着一种以太。依照广义相对论，一个没有
以太的空间是不可思议的；因为在这样一种空间里，不但光不能传播，
而且量杆和时钟也不可能存在，因此也就没有物理意义上的空间-时间
间隔。但是又不可认为这种以太会具有那些为有重物质所特有的性质，
也不可认为它是由那些能够随时间追踪下去的粒子所组成的；而且也不
可把运动概念用于以太。
（许良英译，邹振隆校）
第四部分
几何学和经验
导言
数学和物理被认为是同一枚硬币的两面。然而，它们是完全不同
的。物理和其他自然科学的真理只能通过观察和实验来建立。即使那
样，我们最大的奢望只是说一个理论还未被证明是错误的，或者用卡尔
·波普的术语，还未被“证伪”，而不是说被证明为正确的。另一方面，
数学甚至可由对物理世界没有直接经验的人发展并建立。
几何学似乎处于物理科学和纯粹数学中间的位置。爱因斯坦在《几
何学和经验》（1921）中指出，在几何中从陈述的公理可以证明命题，
而公理本身不能被证明。如果有人要研究“实用几何”，其假定必须基于
实在宇宙的物理性质之上。
爱因斯坦作为年轻思想家的最早的灵感之一来自欧几里得的《几何
原本》。这部著作立下一族从所有经验看来似乎明显的几何假设，例
如，两条直线最多只能有一个交点，平行线不会相交等。在人类的尺度
下，欧几里得几何仿佛如此完美地描述我们的世界，并和我们的直觉如
此一致，似乎牛顿力学直接起源于欧几里得几何。
然而，在19世纪中期，一些思想家开始探讨非欧几何。非欧几何由
和欧几里得的非常不同的公理出发，而且刻画曲面。例如，画在球面上
的线可以不止一次地相交。考虑在一个球面上，经线在北极和南极都相
遇。爱因斯坦对物理学的最伟大贡献之一就是，他认识到，非欧几何可
能基本上正确地描写了宇宙的形状。
这样，广义相对论是一种描写宇宙几何的方式。正如约翰·阿契巴
尔德·惠勒说的：“物质指示时空如何弯曲，而时空指示物质如何运
动。”宇宙曲率的含义是什么呢？它在小尺度上描述行星围绕太阳的公
转，以及你和地球之间的引力拉力。
在大尺度上，或许也存在宇宙的总体曲率。这可用地球来作比拟，
它既具有整体的球状，又具有小的起伏（山脉）。宇宙的形状描述了它
是有限还是无限，以及其最终命运如何。
我们仍然在对付爱因斯坦在《几何学和经验》中提出的问题。威尔
金孙微波各向异性探测器和其他实验的最新测量显示，宇宙在大尺度上
是平坦的，而诸如激光干涉引力波观测站（LIGO）和预定在2015年发
射的激光干涉空间天线（LISA）的引力波实验目标是测量在最小尺度
下时空的涟渏。尽管我们的直觉在所有尺度下都没有多大用处，而只有
通过直接观察我们才可以测量到时空形状的“实在几何”。
（吴忠超译）
几何学和经验
爱因斯坦
1921年1月27日在普鲁士科学院公开会议上演讲的扩展版
为什么数学比其他一切科学受到特殊的尊重，一个理由是它的命题
是绝对可靠的和无可争辩的，而其他一切科学的命题在某种程度上都是
可争辩的，并且经常处于会被新发现的事实推翻的危险之中。尽管如
此，要是数学命题所涉及的只是我们想象中的对象而不是实在的客体，
那么别的科学部门的研究者还是没有必要去羡慕数学家。因为，如果人
们已经同意了基本命题（公理），以及由此导出其他命题的方法，那么
毫不奇怪，不同的人必定会得出同样的逻辑结论。但是数学之所以有崇
高声誉，还有另一个理由，那就是数学给予精密自然科学以某种程度的
可靠性，没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的。
在这里，有一个历来都激起探索者兴趣的谜。数学既然是一种同经
验无关的人类思维的产物，它怎么能够如此美妙地适合实在的客体呢？
那么，是不是不要经验而只靠思维，人类的理性就能够推测出实在事物
的性质呢？
照我的见解，这问题的答案扼要说来是：只要数学的命题是涉及实
在的，它们就不是可靠的；只要它们是可靠的，它们就不涉及实在。我
觉得，只有通过那个在数学中称为“公理学”的趋向，这种情况的完全明
晰性才会成为共识。公理学所取得的进步，在于把逻辑-形式同它的客
观的或直觉的内容截然划分开来；依照公理学，只有逻辑-形式才构成
数学的题材，而不涉及直觉的或者别的同逻辑形式有关的内容。
我们暂且从这个观点来考察几何学的任何一条公理，比如：通过空
间里的两个点，总有且只有一条直线。这条公理，在古老的和近代的意
义上是怎样解释的呢？
古老的解释：大家都知道什么是直线，什么是点。这种知识究竟是
来自人类的一种精神能力还是来自经验，是来自这两者的某种结合还是
来自其他来源，这不是由数学家来决定的。他把这问题留给哲学家。上
述这条公理，是以一种先于数学的知识为依据的，它像别的公理一样，
是自明的，就是说，它是这种先验知识的一部分的表述。
近代的解释：几何学所处理的对象是以直线、点等这类字眼来表示
的。对于这些对象并不需要假定有任何知识或直觉，而只是以公理（如
上述那样一条公理）的有效性为前提，这些公理是在纯粹形式的意义上
来理解的，即丝毫没有任何直觉的或经验的内容。这些公理是人的思想
的自由创造。几何学的其他一切命题都是公理的逻辑推论（这里，公理
只是从唯名论的意义上来理解的）。几何学所处理的对象是由公理来定
义的。石里克因此在他的一本关于认识论的著作中，非常恰当地把公理
称为“隐定义”。
现代公理学所提倡的这种公理观点，洗掉了数学中一切外附的因
素，因而也驱散了以前笼罩着数学基础的那团神秘的疑云。但是这样一
种修正了的对数学的解释也让人明白：对于我们的直觉对象或者客体，
这样的数学不能做出任何断言。在公理学的几何中，“点”“直线”等词只
不过代表概念的空架子。至于给它们以什么内容，那是同数学无关的。
然而另一方面也是确定无疑的，一般说来，数学，特别是几何学，
它之所以存在，是由于人们需要了解实在客体行为的某些方面。几何这
个词本来的意思是指大地测量，就证明了这一点。因为大地测量必须处
理某些自然对象（即地球的某些部分、量绳、量杆等）彼此之间各种排
列的可能性。仅有公理学的几何概念体系，显然不能对这种实在客体
（以后我们称之为实际刚体）的行为做出任何断言。为了做出这种断
言，几何学必须去掉它的纯逻辑形式的特征，应当把经验的实在客体同
公理学的几何概念的空架子对应起来。要做到这一点，我们只要加上这
样一条命题：固体之间可能的排列关系，就像三维欧几里得几何里形体
的关系一样。这样，欧几里得的命题就包含了关于实际刚体行为的论
断。
这样建立的几何学显然是一种自然科学；事实上我们可以把它看作
是一门最古老的物理学。它的论断根据实质上是经验的归纳，而不仅仅
是逻辑推理。我们应当把这样建立的几何学叫作“实际几何”，下面还要
把它同“纯粹公理学的几何”区分开来。宇宙的实际几何究竟是不是欧几
里得几何，这个问题有明白的意义，其答案只能由经验来提供。如果人
们运用光是沿直线传播的这条经验定律，而且事实上光是以实际几何意
义上的直线在传播的，那么物理学中一切长度的量度就构成了这种意义
上的实际几何，测地学和天文学上的长度量度也是如此。
我特别强调刚才所讲的这种几何学的观点，因为要是没有它，我就
不能建立相对论。要是没有它，下面的考虑就不可能：在相对于一个惯
性系转动的参考系中，由于洛伦兹收缩，刚体的排列定律不符合欧几里
得几何的规则；因此，如果我们承认非惯性系也有同等地位，我们就必
须放弃欧几里得几何。要是没有上述解释，就一定作不出向广义协变方
程过渡的决定性的一步。如果我们不承认公理学的欧几里得几何的形体
同实在的实际刚体之间的关系，那么我们就容易得出如下的观点，这就
是那位敏锐的、深刻的思想家H.庞加莱所主张的观点：欧几里得几何以
其简单性突出地优于其他一切可想象的公理学几何。现在，因为公理学
的几何本身并不包含关于能被经验到的实在的断言，而只有在与物理定
律结合时才能做到这一点，所以不管实在的本性如何，要保留欧几里得
几何，应当是可能的，而且也是合理的。因为，要是理论与经验之间出
现了矛盾，我们宁愿改变物理定律，也不愿改变公理学的欧几里得几
何。如果我们拒不承认实际刚体与几何之间的关系，那么我们就确实难
以摆脱这样的约定，即欧几里得几何应当作为最简单的几何而被保留下
来。
庞加莱和别的研究者为什么拒不承认实际刚体同几何体之间的等效
性（这种等效性是很容易想到的）呢？那只是因为经过进一步的考察之
后，知道自然界中实在的固体并不是刚性的，因为它们的几何性状（即
它们相对排列的各种可能性）是取决于温度、外力等的。这样，几何同
物理实在之间原始的、直接的关系显然被破坏了，我们不得不倾向于下
面这个更一般的观点，这是庞加莱观点的特征。几何（G）并不断言实
在事物的性状，而只有几何加上全部物理定律（P）才能做到这一点。
用符号来表示，我们可以说：只有（G）+（P）的和才能得到实验的验
证。因此，（G）可以任意选取，（P）的某些部分也可以任意选取；
所有这些定律都是约定。为了避免矛盾，必须注意的只是怎样来选取
（P）的其余部分，使得（G）和全部的（P）合起来能够同经验相符
合。从这个角度来考虑，公理学的几何与已经获得公认地位的那部分自
然定律，在认识论上看来是等价的。
我认为，从永恒的观点来看（sub specie aeteni），庞加莱是正确
的。相对论中量杆这个概念，以及同它搭配的时钟这个概念，在实在世
界里找不到它们的确切对应物。也很明显，固体和时钟在物理学的概念
大厦里扮演的并不是不可简约的元素，而是复合的结构，它们不能在理
论物理学中扮演任何独立的角色。但我相信，在理论物理学目前的发展
阶段中，这些概念仍然必须作为独立的概念来使用；因为我们还远没有
得到一种关于原子结构理论原理的可靠知识，使我们在理论上能由基本
概念构成固体和时钟。
此外，有这样一种反对意见，认为自然界中没有真正的刚体，因
此，所说的刚体性质不能用到物理实在上去，这种反对意见决不像乍看
起来那么重要。因为要准确地测定量具的物理状态，使它对于别的量具
来说，它的性状足以毫无歧义地允许它去代替“刚”体，那并不是困难的
事。而这种量具，正是那些关于刚体的陈述所必须参照的。
全部实际几何都是基于一条为经验所能及的原理，我们现在试着来
了解这条原理。假设在一个实际刚体上标出两个记号，我们称这样一对
记号为一个截段：我们设想两个实际刚体，每个上面都标出一个截段，
如果一个截段的两个记号能与另一个截段的两个记号永远重合，那么我
们说这两个截段是“彼此相等”的。我们现在假定：
如果两个截段在某时某地是相等的，那么不论在何时何地它们永远
都是相等的。
不仅欧几里得的实际几何，就是它最接近的推广，即黎曼的实际几
何，及其随后的广义相对论，也都以这一假定为基础。在证明这一假定
的实验根据中，我想只讲一个。空虚空间里光的传播现象对每一段当地
时间都定出一个截段，即相应的光的路程，反之亦然。由此可知，上述
关于截段的假定必定也适用于相对论中时钟的时间间隔。因此可以作如
下表述：如果两只理想的钟在任何时刻和任何地点（那时它们是紧靠在
一起的）走速相同，那么当它们再在一起比较时，不管是在什么地点和
