什么时刻，它们的走速永远相同。如果这定律对于自然的时钟不成立，
那么对于许多分开的属于同一化学元素的原子来说，它们的本征频率就
应当不会如经验显示的那样严格一致。明晰光谱线的存在，是上述实际
几何原理的一个令人信服的实验证明。分析到最后，这就是我们所以能
够有意义地来谈论四维空间-时间连续统的黎曼度规的理由。
按照这里所主张的观点，这个连续统的结构究竟是欧几里得的，还
是黎曼的，或者任何别的，那是一个必须由经验来回答的物理学本身的
问题，而不是只根据方便与否来选择的约定的问题。如果所考察的空
间-时间区域越小，实际刚体的排列定律越接近欧几里得几何体的定
律，那么黎曼几何是会站得住脚的。
固然，所提出的这个几何学的物理解释，直接用到小于分子数量级
的空间是失败了。但是，即使在那些有关基本粒子组成的问题中，它还
是有部分的意义。因为即使在描述组成物质的荷电基元粒子这样一个问
题上，仍然可以尝试赋予场的概念以物理意义，这些场概念原来是为描
述比分子大得多的物体的几何性状而给以物理定义的。要求黎曼几何的
基本原理在它们的物理定义范围以外仍然有物理实在的意义，这种企图
是否正确，那只有靠它试用后成功与否来判明。结果可能会是：这种外
推并不见得比把温度概念外推到分子数量级的物体上去会更有根据。
把实际几何的概念推广到宇宙数量级的空间上去，表面上看来，问
题较少。当然，它会遭到这样的反对意见：由固体杆组成的结构当其空
间范围越来越大时，离理想的刚性也就越来越远。但是，我认为这种反
驳不大会有什么根本性的意义。因此，我认为宇宙在空间上是否有限这
个问题，从实际几何的意义来看，是十分有意义的。我甚至认为，天文
学不久后回答这个问题并非不可能。让我们回顾一下广义相对论在这方
面的说法。它提出两种可能性：
1.宇宙在空间上是无限的。这只有当宇宙里集中于星体内物质的平
均空间密度等于0时才可能，那就是说，只有当所考察的空间体积越来
越大，星体的总质量与其所散布的空间体积之比无限趋于0时，才有可
能。
2.宇宙在空间上是有限的。如果宇宙里有重物质的平均密度不等于
0，那就必然如此。平均密度越小，宇宙的体积就越大。
我不能不提一下，我们能够举出一个理论论证来支持有限宇宙的假
说。广义相对论指出，一个既定物体的惯性随着它附近有重物质的增加
而增大；因此，把一个物体的总惯性归结为它同宇宙中其他物体之间的
相互作用，那似乎是很自然的，这正如从牛顿时代以来，重力也确已完
全归结为物体之间的相互作用一样。从广义相对论的方程可以推出：把
惯性完全归结为物体之间的相互作用（如E.马赫所要求的），只有当宇
宙在空间上有限时才可能。
许多物理学家和天文学家对这种论证没有印象。分析到最后，唯有
经验才能决定这两种可能性中究竟哪一种在自然界中是现实的。经验怎
样能够提供答案呢？首先，似乎可以从我们观察到的部分宇宙来测定物
质的平均密度。这种希望是不能实现的。可见星体的分布是极其不规则
的，我们没有理由可以冒昧地把宇宙中星体物质的平均密度看作是等于
（比如说）银河系里的平均密度。总之，不管所考察的空间有多大，我
们总不能相信，在那个空间的外面就没有更多星体了。这样，要估计平
均密度似乎是不可能的。
但是还有一条道路我觉得是可行的，尽管它也有很大的困难。因
为，如果我们探究那些为经验所能及的广义相对论的结论与牛顿理论结
论的偏离时，我们首先发现的一种偏离是出现在引力物质的近旁的，这
已在水星的例子中得到了证实。但是如果宇宙在空间上是有限的，那就
有第二种对于牛顿理论的偏离，用牛顿理论的语言，它可以这样来表
述：引力场好像不仅是由有重物质产生，而且还由分布在整个空间里的
带负号的质量密度所产生。由于这虚设的质量密度必然是极小的，它只
有在非常广大的引力体系中才能被觉察到。
假定我们已知银河系中恒星的统计分布和质量，然后利用牛顿定
律，我们就能算出引力场以及这些恒星必须具有的平均速度，这个速度
使得银河系在它的各个恒星的相互吸引下不会坍缩，而得以保持其实际
的大小。如果恒星的实际速度（这是可以测量的）小于计算出来的速
度，我们就能证明：在远距离处的实际吸引力比牛顿定律所定的要小。
从这样一种偏离就能间接证明宇宙是有限的。甚至还能估计出它的空间
尺度。
我们能够设想一个有限但无边界的三维宇宙吗？
通常的回答是“不能”，但这不是正确的答案。下面的评述是为了证
明，这个问题的答案应当是“能”。我要指出，我们能够毫无特殊困难地
用想象的图像来说明有限宇宙的理论，经过一些实践，我们不久将会对
这种图像习惯起来。
首先是关于认识论性质的考察。几何-物理理论本身是不能直接描
绘的，因为它只是一种概念体系。但是这些概念能用来把各种各样实在
的或想象的感觉经验在头脑里联系起来。因此，使理论“形象化”，就意
味着想起那些被理论给以系统排列的许多可感觉的经验。在当前的情况
下我们应当自问，要怎样表示固体相互排列（接触）的性状，才能与有
限宇宙对应起来。我对于这个问题要说的话，其实并没有什么新鲜之
处；但是向我提出的许多疑问，证明对这些问题感兴趣的人的好奇心还
没有得到完全满足。因此，对于我将要讲到的早已为大家熟悉的部分，
内行人能否原谅呢？
当我们说我们的空间是无限的，我们要表达的意思是什么？那不过
是说，我们可以一个挨着一个地放置任意个同样大小的物体而永远填不
满空间。假设我们有很多个同样大小的立方盒。依照欧几里得几何，我
们可以把它们在彼此的上下、前后、左右堆放起来，以填满空间的一个
任意大的部分；但这样的构造会永无止境；我们能够加上越来越多的方
盒，而永远不会没有余地。这就是我们说空间是无限的意思。比较恰当
的说法是：假定刚体的排列定律是按照欧几里得几何所规定的，那么空
间对于实际刚体来说是无限的。
另一个无限连续统的例子是平面。我们可以在一个平面上放许多方
卡片，使任何一张卡片的每一边同另外一张卡片的边接在一起。这种构
造永无止境；我们总能继续放上卡片——只要它们的排列定律符合欧几
里得几何中平面图形的排列定律。因此，对于这些方卡片来说，这个平
面是无限的。所以，我们说平面是二维的无限连续统，而空间则是三维
的无限连续统。这里所指的维数的意义，我想可以假定是大家都知道了
的。
现在我们举一个有限但无边界的二维连续统的例子。我们设想有一
个大球的表面和一些大小相同的小圆纸片。我们把其中一块纸片放在球
面的任何地方。如果我们在球面上任意移动该纸片，在此过程中我们就
碰不到边界。所以我们说这球的表面是一个没有边界的连续统。同时，
这球面又是一个有限的连续统。因为我们如果把所有纸片都贴在球上，
使得各个纸片互不重叠，这球的表面最后会被贴满，而没有容纳另外纸
片的余地。这正是意味着这球的表面对于这些纸片是有限的。再者，球
面是一个二维非欧几里得连续统，那就是说，这些刚性图形所依据的排
列定律并不符合欧几里得平面的定律。这能用如下方法来证明。在一块
纸片周围用6块纸片围起来，在其中每一块的周围再用6块纸片围起来，
这样继续下去。如果这个构造是作在平面上，我们就得到一个连绵不断
的排列，在那里，每一块纸片，除了那些放在边上的，都同6块纸片接
触。在球面上，这种构造起初似乎也有成功希望，纸片半径对球半径的
比率越小，这种希望似乎就越大。但是当构造继续下去时，越来越明显
的是，要纸片照上述方式不间断地排列下去，那是不可能的。可是按照
欧几里得平面几何则应当是可能的。这样，那些不能离开这个球面，甚
至也不能从球面上看出三维空间的人们，只要凭纸片来做实验，就会发
现他们的二维“空间”不是欧几里得空间而是球面空间。
从相对论的最近结果来看，很可能我们的三维空间也近似于球面空
间，那就是说，在这空间里刚体的排列定律不是照欧几里得几何所规定
的，而是近似地由球面几何所规定，只要我们所考察的那部分空间足够
大的话。到这里，读者的想象会犹豫起来。他会愤慨地叫喊：“没有谁
能想象这种东西。”“可以这样说，但不能这样想。我能很好地想象一个
球面，但想不出它的三维类比”。
图1
我们必须试图克服这种心理障碍，而有耐心的读者会明白，这绝不
是一件特别困难的事情。为了这个目的，我们首先要再来看一下二维球
面几何。在附图中，设K是球面，它在S处与平面E接触，为了便于表
示，把这平面画成一个有边界的面。设L是球面上的一块圆纸片。现在
让我们设想：在球面上同S径向相对的N点有一发光点，它在平面E上投
下纸片L的影L′。球上的每一点在平面上都有它的影。如果球K上的纸片
移动了，平面E上的L′也要移动。当纸片L在S时，它就几乎完全同它的
影重合。如果它在球面上从S向上移动，平面上纸片的影L′也从S向外移
动，同时变得越来越大。当纸片L接近发光点N时，这影就移向无穷远
处，而且变成无穷大了。
现在我们提出这样的问题：在平面E上的纸片的影L′的排列定律是
怎样的呢？显然它们是同球面上纸片L的排列定律完全一样。因为对于
K上的每个图形，E上都有一个对应的图形。如果K上两个纸片相接触，
它们在E上的影也相接触。平面上投影的几何同球面上纸片的几何是一
致的。如果我们把这些投影叫作刚性图形，那么对于这些刚性图形，球
面几何适用于平面E上。特别是，这平面对于纸片的影是有限的，因为
在平面上只有有限个数的纸片的影能占到位置。
图2
在这里，有人会说：“那是胡说。纸片的影不是刚性图形。我们只
要拿一把尺在平面E上移动，就能使我们深信，影在平面上从S移向无穷
远处的过程中，影的大小就在不断增长。”但是，如果这把尺在平面上
也像纸片的影L′一样地有伸缩，那又将怎样呢？那时就不可能看出这些
影在离开S时会增长；这种断言因而不再有任何意义。事实上，关于纸
片的影所能提出的唯一客观判断也正是这样：纸片的影的相互关系，完
全与欧几里得几何意义上的球面上的刚性纸片的关系一样。
我们必须留心记住，只要我们不能把纸片的影与那些能在平面E上
运动的欧几里得刚体作比较，关于纸片的影向无穷远处移动时增大的陈
述本身是没有客观意义的。对于影L′的排列定律来说，点S在平面上和
在球面上都一样。
上述球面几何在平面上的表示对我们是重要的，因为容易把它搬到
三维的情况。
让我们设想我们空间里的一点S和很多小球L′，所有这些小球都能
彼此重合在一起。但这些球不是欧几里得几何意义上的刚性球；当它们
从S向无穷远处运动时，其半径（在欧几里得几何意义上）要增长；这
种增长所遵循的定律，与平面上纸片的影L′半径增长的定律一样。
在对我们的这些L′球的几何性状获得生动的心理映象后，让我们假
定，在我们的空间里根本不存在欧几里得几何意义上的刚体，而只有我
们的L′球性状的物体。这样，我们将得到一幅关于三维球面空间的清晰
图像，或更恰当地说，是一幅三维球面几何的图像。这里，我们的这些
球必须叫作“刚性”球。当它们离开S时，其大小的增长不能通过量杆的
量度检测出来，正如纸片的影在E平面上的情形一样，因为量度标准的
性状同这些球的性状是一样的。空间是均匀的，就是说，在每一点的附
近可以有同样情形的球排列[1]。我们的空间是有限的，因为，由于
球“增大”的结果，只有有限数目的球能够在空间中占到位置。
这样，以欧几里得几何给予我们的思维和想象的实践作为支柱，我
们获得了球面几何的心理图像。通过特殊的想象构造，我们可以毫无困
难地给这些观念以更大的深度和活力。用类似的方式，在所谓椭球面几
何的情况中也不会有困难。我今天唯一的目的是想指出，人的形象思维
对于非欧几里得几何绝不注定是无能为力的。
（许良英译，邹振隆校）
[1]如果我们再一次回到球面上纸片的情形，这一点无须计算就可以理解（不过只是对于二
维情况）。
第五部分
《相对论的意义》摘选
导言
伽利略·伽利雷比爱因斯坦早300年发展了相对论。他的相对论最终
成为艾萨克·牛顿爵士力学的支柱之一。爱因斯坦在《相对论的意义》
中不仅把伽利略相对论当作牛顿工作，也当作他自己工作的先躯。
伽利略相对论是基于简单的直观的思想，对于所有观察者而言，时
间始终如一地流逝，而不管他们运动的状态如何。伽利略因而预期了牛
顿的运动第一定律：运动物体除非被施以外力，它将保持其不变的速率
和方向。
尽管在《相对论的意义》中，数学在表面上显得非常复杂，但是爱
因斯坦的目标却是非常谦虚的。他只是展现了不管在静止还是运动的参
考系中的测量结果都满足牛顿运动定律。他在这一章的结尾进一步证
明，为了在运动的参考系中使麦克斯韦的电磁学方程成立，需要亨德利
克·洛伦兹提出的不同的变换集合。
伽利略变换和洛伦兹变换之间的差别，是从前者引出对于所有观察
者时间的恒常流动，而从后者得出对于不同运动状态的观察者时间具有
不同的速率。
但是，我们说的“时间的恒常流动”的含义是什么？很容易讲，一个
事件在另一个事件之前发生，或者它们同时发生，但是除了通过时间自
身，我们如何测量时间呢？爱因斯坦建议利用发射光束的反射作为时
钟，假定不管观察者的运动状态如何，光总是以相同速率旅行。这个简
单的理想实验得到了某些非常令人惊讶的结果。
例如，他发现，一个观察者测量在通过他身边运动的火车上的事
件，将会看到它的栖载物动作迟缓：心跳迟缓，挂钟迟缓，而且其他所
有的节律都迟缓。类似地，在火车上的人认为自己完全正常，但是看到
车站上的钟走得较慢。但是因为光应该总以常速率行进，如果时间和行
进速率相关联，那么沿着运动方向的长度也应该与之相关。这些效应在
日常生活中不明显，只有当有关的速率接近光速时才变得显而易见。这
样，在通常速率下，爱因斯坦和伽利略的相对论的行为完全相同。
爱因斯坦在这篇论文中有效地论证，尽管实际上我们几乎一切经验
都表明，伽利略和牛顿是正确的，但是，为了统一物理学不同分支，需
要一个新的理论：狭义相对论。
（吴忠超译）
相对论前物理学中的空间与时间
相对论和空间与时间的理论有密切的联系，因此我要在开始的时候
先简明扼要地考究一下我们的空间-时间概念的起源，虽然我知道这样
做是在提出一个引起争论的问题。一切科学，不论自然科学还是心理
学，其目的都在于使我们的经验互相协调并将它们纳入逻辑体系。我们
习惯上的空间与时间概念和我们经验的特性又是怎样联系着的呢？
我们看来，个人的经验是排成了序列的事件；我们所记得的各个事
件在个序列里看来是按照“早”和“迟”的标准排列的，而对于这个标准则
不能再作进一步的分析了，所以，对于个人来说，就存在着“我”的时
间，也就是主观的时间，其本身是不可测度的，其实我可以用数去和事
件如此联系起来，使较迟的事件和较早的事件相比，对应于较大的数；
然而这种联系的性质却可以是十分随意的。将一只时计所指出的事件顺
序和既定事件序列的顺序相比较，我就能用这只时计来确定这种联系的
意义。我们将时计理解为供给一连串可以计数的事件的东西，它并且还
具有一些我们以后会说到的其他性质。
各人在一定的程度上能用语言来比较彼此的经验。于是就出现各个
人的某些感觉是彼此一致的，而对于另一些感觉，却不能建立起这样的
一致性。我们惯于把各人共同的因而多少是非个人特有的感觉当作真实
的感觉。自然科学，特别是其中最基本的物理学，就是研究这样的感
觉。物理物体的概念，尤其是刚体的概念，便是这类感觉的一种相对恒
定的复合。在同样的意义下，一个时计也是一个物体或体系，它还具有
一个附加的性质，就是它所计数的一连串事件是由都可以当作相等的元
素构成的。
我们的概念和概念体系之所以能得到承认，其唯一理由就是它们是
适合于表示我们的经验的复合；除此以外，它们并无别的关于理性的根
据。我深信哲学家[1]会对科学思想的进展起过一种有害的影响，在于他
们把某些基本概念从经验论的领域里（在那里它们是受人们制约的）取
出来，提到先验论的不可捉摸的顶峰。因为即使看起来观念世界不能借
助于逻辑方法从经验推导出来，但就一定的意义而言，却是人类理智的
创造，没有人类的理智便无科学可言；尽管如此，这个观念世界之依赖
我们经验的性质，就像衣裳之依赖人体的形状一样。这对于我们的时间
与空间的概念是特别确实的；迫于事实，为了整理这些概念并使它们适
于合用的条件，物理学家只好使它们从先验论的奥林帕斯山
（Olympus）[2]降落到人间的实地上来。
现在谈谈我们对于空间的概念和判断。这里主要的也在于密切注意
经验对于概念的关系，在我看来，彭加莱（Poincare）在他的“科学与假
设”（ La Science et I'Hypothese）一书中所作的论述是认识了真理的。在
我们所能感觉到的一切刚体变化中间，那些能被我们身体任意的运动抵
消的变化是以其简单性为标志的；彭加莱称之为位置的变化。凭简单的
位置变化能使两个物体相接触。在几何学里有根本意义的全等定理便和
处理这类位置变化的定律有关。下面的讨论看来对于空间概念是重要
的。将物体B，C，…附加到物体A上能够形成新的物体；就说我们延伸
物体A。我们能延伸物体A，使之与任何其他物体X相接触。物体A的所
有延伸的总体可称为“物体A的空间”。于是，说一切物体都在“（随意选
择的）物体A的空间”里，是正确的。在这个意义下我们不能抽象地谈论
空间，而只能说“属于物体A的空间”。在日常生活中确定物体相对位置
时，地壳处在如此主要的地位，由此而形成的抽象的空间概念，当然是
无可置喙的。为了使我们自己免于这项极严重的错误，我们将只提“参
照物体”或“参照空间”。以后会看到，只是由于广义相对论才使得这些
概念的精细推究成为必要。
我不打算详细考究参照空间的某些性质，这些性质导致我们将点设
想为空间的元素，将空间设想为连续区域。我也不企图进一步分析一些
表明连续点列或线的概念为合理的空间性质。如果假定了这些概念以及
它们和经验的固体的关系，那就容易说出空间的三维性是指什么而言；
对于每个点，可以使它与三个数x ， ， （坐标）相联系，办法是要
1
x2 x3
使这种联系成为唯一地相互的，而且当这个点描画一个连续的点系列
（一条线）时，它们就作连续的变化。
在相对论前的物理学里，假定理想刚体位形的定律是符合欧几里得
几何学的。这个意义可以表示如下：标志在刚体上的两点构成一个间
隔。这样的间隔可取多种方向和我们的参照空间处于相对的表止。如果
现在能用坐标x ， ， 表示这个空间里的点，使得间隔两端的坐标差
1
x2 x3
Δx ，
，
，对于间隔所取的每种方向，都有相同的平方和：
1
Δx2 Δx3
则这样的参照空间称为欧几里得空间，而这样的坐标便称为笛卡儿
坐标[3]。其实，就以把间隔推到无限小的极限而论，作这样的假定就够
了。还有些不很特殊的假设包含在这个假设里；由于这些假设具有根本
的意义，必须唤起注意。首先，假设了可以随意移动理想刚体。其次，
假设了理想刚体对于取向所表现的行为与物体的材料以及其位置的改变
无关，这意味着只要能使两个间隔重合，则随时随处都能使其重合。对
于几何学，特别是对于物理量度有根本重要性的这两个假设，自然是由
经验得来的；在广义相对论里，须假定这两个假设只对于那结合天文的
尺度相比是无限小的物体与参照空间才是有效的。
量s称为间隔的长度。为了能唯一地确定这样的量，需要随意地规
定一个指定间隔的长度；例如，令它等于1（长度单位）。于是就可以
确定所有其他间隔的长度。如果使x 线性地依赖参量
ν
λ，
xν=aν+λbν，
便得到一条线，它具有欧几里得几何学里直线的一切性质。具体地
说，容易推知，将间隔s沿直线相继平放n次，就获得长度为n·s的间隔。
所以长度所指的是使用单位量杆沿直线量度的结果。下面会看出：它就
像直线一样，具有和坐标系无关的意义。
现在考虑这样一种思路，它在狭义相对论和在广义相对论里处在相
类似的地位。我们提出问题：除掉曾经用过的笛卡儿坐标之外，是否还
有其他等效的坐标？间隔具有和坐标选择无关的物理意义；于是从我们
的参照空间里任一点作出相等的间隔，则所有间隔端点的轨迹为一球
面，这个球面也同样具有和坐标选择无关的物理意义。如果x 和 （
ν
x′ν ν
从1到3）都是参照空间的笛卡儿坐标，则按两个坐标系表示球面的方程
将为
必须怎样用x 表示 才能使方程（
ν
2）与（2a）彼此等效呢？关于将
表示成x 的函数，根据泰勒（
的值，可
ν
Taylor）定理，对于微小的Δxν
以写出
如果将式（2a）代入这个方程并和（1）比较，便看出x′ 必须是
ν
xν
的线性函数，因此，如果令
而
则方程（2）与（2a）的等效性可表示成下列形式：
所以由此知道λ必定是常数，如果令λ=1，式（2b）与（3a）便供给
条件
其中按照α=β或α≠β有δαβ=1或δαβ=0。条件（4）称为正交条件，而
变换（3），（4）称为线性正交变换，如果要求
在每个坐标系
里都等于长度的平方，并且总用同一单位标尺来量度，则λ须等于1。因
为线性正交变换是我们能用来从参照空间里一个笛卡儿坐标系变到另一
个的唯一的变换。我们看到，在应用这样的变换时，直线方程仍化为直
线方程。将方程（3a）两边乘以b 并对于所有的
νβ
ν求和，便逆演而得
同样的系数b也决定着Δx 的反代换。在几何意义上，
是
轴与
ν
bνα x′ν
xα
轴间夹角的余弦。
总之，可以说在欧几里得几何学里（在既定的参照空间里）存在优
先使用的坐标系，即笛卡儿系，它们彼此用线性正交变换来作变换。参
照空间里两点间用量杆测得的距离s，以这种坐标来表示就特别简单。
全部几何学可以建立在这个距离概念的基础上。在目前的论述里，几何
学和实在的东西（刚体）有联系，它的定理是关于这些东西的行为的陈
述，可以证明这类陈述是正确的还是错误的。
人们寻常习惯于离开几何概念与经验间的任何关系来研究几何学。
将纯粹逻辑性的而且与在原则上不完全的与经验无关的东西分离出来是
有好处的。这样能使纯粹的数学家满意。如果他能从公理正确地即没有
逻辑错误地推导出他的定理，他就满足了。至于欧几里得几何学究竟是
否真确的问题，他是不关心的。但是按我们的目的，就必须将几何学的
基本概念和自然对象联系起来；没有这样的联系，几何学对于物理学家
是没有价值的。物理学家关心几何学定理究竟是否真确的问题。从下述
简单的考虑可以看出：根据这个观点，欧几里得几何学肯定了某些东
西，这些东西不仅是从定义按逻辑推导来的结论。
空间里n个点之间有
个距离s ；在这些距离和
μν
3n个坐标之间
有关系式
从这
个方程里可以消去3n个坐标，由这样的消去法，至少
会获得
个有关s 的方程[4]。因为
是可测度的量，而根据定
μν
sμν
义，它们是彼此无关的，所以s 之间的这些关系并非本来是必要的。
μν
从前面显然知道，变换方程（3）、（4）在欧几里得几何学里具有
根本的意义，在于这些方程决定着由一个笛卡儿坐标系到另一个的变
换，在笛卡儿坐标系里，两点间可测度的距离s是用方程
表示的，这个性质表示着笛卡儿坐标系的特性。
如果K（ ）与
）的两个笛卡儿坐标系，则
xν
K′（xν
右边由于线性正交变换的方程而恒等于左边，右边和左边的区别只
在于x 换成了 。这可以用这样的陈述来表示：
对于线性正交变换
ν
是不变量。在欧几里得几何学里，显然只有能用对于线性正交变换的不
变量表示的量才具有客观意义，而和笛卡儿坐标的特殊选择无关，并且
所有这样的量都是如此。这就是有关处理不变量形式的定律的不变量理
论对于解析几何学十分重要的理由。
考虑体积，作为几何不变量的第二个例子。这是用
表示的，根据雅可比定理，可以写出
其中最后积分里的被积函数是 对x 的函数行列式，而同上式
ν
（3），这就等于代换系数b 的行列式
的
να
|bμν|。如果由方程（4）组成δμα
行列式，则根据行列式的乘法定理，有
如果只限于具有行列式+1的变换[5]（只有这类变换是由坐标系的连
续变化而来的），则V是不变量。
然而不变量并非是表示和笛卡儿系的特殊选择无关的唯一形式。矢
量与张量是其他的表示形式。让我们表示这样的事实：具有流动坐标xν
的点位于一条直线上。于是有
xν-Aν=λBν（ν由1到3）
可以令
而并不限制普遍性。
如果将方程乘以bβν[比较式（3a）与（5）]并对于所有的ν求和，便
得到
其中
这些是参照第二个笛卡儿坐标系K′的直线方程。它们和参照原来坐
标系的方程有相同的形式。因此显然直线具有和坐标系无关的意义。就
形式而论，这有赖于一个事实，即（x
）
这些量变换得和间隔的
ν-Aν
-λBν
分量Δx 一样。设对于每个笛卡儿坐标系所确定的三个量像间隔的分量
ν
一样变换，这三个量的总和便称为矢量。如果矢量对于某一笛卡儿坐标
系的三个分量都等于零，则对于所有的坐标系的分量都会等于零，因为
变换方程是齐次性的。于是可以不须倚靠几何表示法而获得矢量概念的
意义。直线方程的这种性质可以这样表示：直线方程对于线性正交变换
是协变的。
现在要简略地指出有些几何对象导致张量的概念。设P 为二次曲面
的中心，P为曲面上的任意点，而ξ 为间隔
ν
P0P在坐标轴上的投影。于是
曲面方程是
在这里以及类似的情况下，我们要略去累加号，并且了解求和是按
出现两次的指标进行的。这样就将曲面方程写成
aμνξμξν=1。
对于既定的中心位置和选定的笛卡儿坐标系，a 这些量完全决定曲
μν
面。由ξ 对于线性正交变换的已知变换率（
的变换律
ν
3a），容易求得aμν
[6]：
这个变换对于a 是齐次的，而且是一次的。由于这样的变换，这些
μν
a 更称为二秩张量的分量（因为有两个指标，所以说是二秩的）。如果
μν
张量对于任何一个笛卡儿坐标系的所有分量a 等于零，则对于其他任何
μν
笛卡儿系的所有分量也都等于零。二次曲面的开头和位置是以a这个张
量描述的。
可以定出高秩（指标个数较多的）张量的解析定义。将矢量当作一
秩张量，并将不变（标量）当作零秩张量，这是可能和有益的。在这一
点上，可以这样提出不变量理论的问题：按照什么规律可以给定的张量
组成新张量？为了以后能够应用，现在考虑这些规律。首先只就同一参
照空间里用线性正交变换从一个笛卡儿系变换到另一个的情况来讨论张
量的性质。由于这些规律完全和维数无关，我们先不确定维数n。
定义 设对象对于n维参照空间里的每个笛卡儿坐标系是用nα个数
Aμνρ…（α=指标的个数）规定的，如果变换律是
则这些数就是α秩的张量的分量。
附识 只要（B），（C），（D）…是矢量，则由这个定义可知
Aμνρ…BμCνDρ…
（8）
是不变量。反之，如果知道对于任意选择的（B），（C）等矢
量，（8）式总能导致不变量，则可推断（A）的张量特性。
加法与减法 将同秩的张量的相应分量相加和相减，便得等秩的张
量：
Aμνρ…±Bμνρ…=Cμνρ…。
（9）
由上述张量的定义可得到证明。
乘法 将第一个张量的所有分量乘以第二个张量的所有分量，就能
从秩数为α的张量和秩数为β的张量得到秩数为α+β的张量：
Tμνρ…αβγ=Aμνρ…Bαβγ…。
（10）
降秩 令两个确定的指标彼此相等，然后按这个单独的指标求和，
可从秩数为α的张量得到秩数为α-2的张量：
证明是
A′μμρ…=bμαbμβbργ…Aαβγ…=δαβbργ…Aαβγ…=bργ…
Aααγ…。
除了这些初等的运算规则，还有微分法的张量形成法（扩充）：
对于线性正交变换，可以按照这些运算规则由张量构成新的张量。
张量的对称性质 如果从互换张量的指标μ与ν所得到的两个分量彼
此相等或相等而反号，则这样的张量便称为对于这两个指标的对称或反
称张量。
对称条件：A
。
μνρ=Aνμρ
反称条件：A
。
μνρ=-Aνμρ
定理 对称或反称特性的存在和坐标的选择无关，其重要性就在于
此。由张量的定义方程可得到证明。
特殊张量
Ⅰ.量δ （
ρσ
4）是张量的分量（基本张量）。
证明 如果在变换方程A′
的右边用量
（它按
μν=bμαbνβAαβ
δαβ
α=β或
α≠β而等于1或0）代替A ，便得
αβ
A′μν=bμαbνα=δμν。
如果将（4）用于反代换（5），就显然会有最后等号的证明。
Ⅱ.有一个对于所有各对指标都是反称的张量（δμνρ…），其秩数等
于维数n，而其分量按照μνρ…是123…的偶排列或奇排列而等于+1
或-1。
证明可借助于前面证明过的定理|bρσ|=1。
这些少数的简单定理构成了从不变量理论建立相对论前物理学和狭
义相对论的方程的工具。
我们看到：在相对论前的物理学里，为了确定空间关系，需要参照
物体或参照空间；此外，还需要笛卡儿坐标系。设想笛卡儿坐标系是单
位长的杆子所构成的立方构架，就能将这两个概念融为一体。这个构架
的格子交点的坐标是整数。由基本关系
可知这种空间格子的构杆都是单位长度。为了确定时间关系，还需
要一只标准时计，例如放在笛卡儿坐标系或参照构架的原点上。如果在
任何地点发生一个事件，我们立即就能给它指三个坐标x 和一个时间
ν
t，
只要确定了在原点上的时计和该事件同时的时义，而先前只涉及个人对
于两处经验的同时性。这样确定的时间在一切情况下和坐标系在参照空
间中的位置无关，所以它是对于变换（3）的不变量。
我们假设表示相对论前物理学定律的方程组，和欧几里得几何学的
关系式一样，对于变换（3）是协变的。空间的各向同性与均匀性就是
这样表示的[7]。现在按这个观点来考虑几个较重要的物理方程。
质点的运动方程是
dx 是矢量；
ν
dt是不变量，所以
也是不变量；因此
是矢量；同
样可以证明
是矢量。一般地说，对时间取微商的运算不改变张量的
特性。因为m是不变量（零秩张量），所以
