在时刻τ0，从参照系k的原点出发沿着X轴发射一束光，于时刻τ1
到达x'并被反射，于时刻τ2回到坐标原点。我们必有1/2（τ0+τ2）=τ1'
或者插入函数τ的自变量并应用静止系中光速不变原理得到：
因此，若x'取无穷小，则有
或
注意到：除了坐标原点，我们也可以取任何点作为光线的起点，因
此上面刚得到的方程对于所有x'，y，z的值都成立。
类似的考虑应用于Y轴和Z轴，记住从静止系看，光线总是沿着这
些轴传播，其速度为
，这样就有：
因为τ是线性函数，由这些方程可得：
其中a是目前尚未知的函数?（v），为简要起见，假设在坐标系k的
原点处，当t=0时τ=0。
借助于这些结果，可以很容易确定ξ，η，ζ的值，方法是：在方程
中表示出，即使从运动系中测量，光（正如光速不变原理以及相对性原
理所要求的那样）仍然以速度c传播。对于在时刻τ=0发射出沿着使ξ增
加的方向行进的一束光，
但是若从静止系中测量，这束光相对于k的起点以速度c-v行进，所
以
将该t值代入ξ的方程中，得到
我们采用类同的方法，考虑光线沿着另外两轴行进，发现
于是
用x'的值来替换它，我们得到：
τ=?（v）β（t-vx/c2），
ξ=?（v）β（x-vt），
η=?（v）y，
ξ=?（v）z，
其中
而且?是一个尚未知的v的函数。如果对运动系的起点和τ的零点没
做任何假设，那么以上这些方程的右边都应该加一个常数。
现在我们必须证明：如果光线在静止系中以速度c传播（正如我们
以前假设的），那么它在运动系中是否也是如此；因为我们还没有完全
证明光速不变原理与相对性原理是相容的。
在时刻t=τ=0，此时两个坐标系有共同的坐标原点，假设有一个球
面波从原点出发，在坐标系K中以速度c传播。假设该波刚刚到达点
（x，y，z），则
x2+y2+z2=c2t2。
借助于我们的变换方程，经过简单计算，该等式被变换为：
ξ2+η2+ζ2=c2τ2。
因此，从运动系看来，所讨论的波恰恰是以速度c传播的球面波。
这证明我们的两个基本原理是相容的。[2]
在上面导出的变换方程中有一个未知的v的函数?，现在我们来确定
它。
为此我们引人第三个坐标系K'，它相对于坐标系k平行于X轴平移运
动，使得坐标系k的原点以速度-v在X轴上运动。假设所有三个坐标原点
在时刻t=0重合，并且当t=x=y=z=0时假设坐标系K'的时间t'为零。设坐标
系K'中度量的坐标为x'，y'，z'，通过双重应用我们的变换方程得到
t'=?（-v）β（-v）（τ+vξ/c2）=?（v）?（-v）t，
x'=?（-v）β（-v）（ξ+vτ）=?（v）?（-v）x，
y'=?（-v）η=?（v）?（-v）y，
z'=?（-v）ζ=?（v）?（-v）z。
因为x'，y'，z'和x，y，z之间的关系不含有时间t，所以坐标系K和
K'彼此相对静止，显然从K到K'的变换必定是全等变换，于是
?（v）?（-v）=1。
现在来探究公式?（v）的含义。我们把注意力放在坐标系k的Y轴
上从ξ=0，η=0，ζ=0到ξ=0，η=l，ζ=0的部分。这部分Y轴是一节量杆，
相对于坐标系K以速度v垂直于它的轴运动，其两端在K中的坐标为
和
x2=vt，y2=0，z2=0。
故此杆在K中测量的长度为l/?（v），这告诉我们函数?（v）的意
义。因为对称性的缘故，很明显，在静止系中测量，垂直于轴运动的给
定杆的长度必定只依赖速度，而不依赖运动的方向。因此，若交换v和-
v，则运动杆在静止系中度量的长度不变，于是有l/?（v）=l/?（-v），
或
?（v）=?（-v）。
由此关系式和前面找到的关系式得出?（v）=1，所以前面建立的变
换方程就变为：
τ=β（t-vx/c2），
ξ=β（x-vt），
η=y，
ζ=z，
其中
4.就运动刚体和运动时钟而获得的方程的物理意义
想象一个半径为R的刚球[3]，相对于运动系k静止，其中心位于k的
坐标原点。该球表面相对于坐标系K以速度v运动，其运动方程为：
ξ2+η2+ζ2=R2。
在时刻t=0以x，y，z表示的该表面方程为
因此，一个静止状态下形状为球形的刚体，在运动状态下——从静
止系中看——形状为旋转椭球，它的轴的长度分别为：
因此，虽然运动似乎不改变球体（以及不论形状如何的所有刚体）
的Y维和Z维，X维似乎以比例1：
缩短了，即v值越大，缩
短得越多。当v=c时所有运动物体——从“静止”系看来——都萎缩成平
面图形了。当速度大于光速时我们的讨论就变得无意义了。然而，从下
面的讨论我们会发现，在我们的理论中，光速在物理上扮演着无穷大速
度的角色。
显然，从匀速运动的坐标系看，同样的结论对于在“静止”系中静止
的物体成立。
进一步，我们想象那些相对于静止系静止时能够标示时间t，而且
相对于运动系静止时能够标示时间τ的时钟中的一个，它位于k的坐标原
点，并且校准它使得它标示时间τ。那么从静止系看来，该时钟走得快
慢如何？
在指示时钟位置的量x、t和τ之间，显然有x=vt以及
因此
由此可知，该时钟标示的时间（从静止系中看）每秒钟慢了
，或者——若忽略四阶和更高阶的项——慢了
。
由此得到以下独特的结果。如果在K中的点A和B处放有静止时钟，
从静止系中看来是同步的；若在A处的时钟以速度v沿着直线AB向B运
动，那么当它到达B时这两个时钟就不再同步了，从A移动到B的时钟要
比留在B处的时钟慢
（不算四阶和更高阶的项），其中t是从A
移动到B所花的时间。
很显然，如果时钟沿着任何折线从A运动到B时，该结果还成立，
当A，B两点重合时仍然成立。
若承认对于折线成立的结论对于连续曲线也成立，则我们得到下面
的结果：如果两个位于A点的同步时钟之一沿着闭合曲线以恒速运动并
返回A处，旅程持续t秒，那么当运动的时钟返回A时，它会比留在原地
静止的时钟慢 tv2/c2。由此我们得出结论：在其他条件相同的情况下，
赤道处的平衡钟（不是摆钟，其在物理上是地球所属的系统。这种情况
必须排除）必定比位于两极的完全相似的时钟走得慢一点点。
5.速度的合成
假设在沿着坐标系K的X轴以速度v运动坐标系k中，有一点按照如
下方程运动
ξ=wξτ，η=ωητ，ζ=0，
其中w 和 表示常数。
ξ
ωη
