弯曲空间
6-1 二维弯曲空间
牛顿认为，每个物体都吸引别的物体，吸引力的大小与两者之间的
距离的平方成反比，而物体则以正比于力的加速度回应力的作用。以上
说法就是牛顿的万有引力定律和运动定律。正如大家所知道的，这些定
律解释了球体、行星、人造卫星、星系等物体的运动。
爱因斯坦对万有引力有一种不同的解释。他认为，重物附近的空间
与时间（它们必须被组合起来形成时空）是弯曲的。物体在这个弯曲的
时空中极力要沿着“直线”运动，这种趋势令它们以这样的方式运动。这
是一个很难理解的概念——非常难以理解。这就是我们在本章中要做出
解释的概念。
我们这个主题有三部分内容。一部分涉及引力效应；另一部分涉及
已经讨论过的时空概念；第三部分涉及弯曲时空的概念。在开始时我们
将简化要讨论的主题，不去过多地考虑引力的问题，并且不考虑时间变
量——仅仅讨论弯曲的空间。稍后我们将讨论另外两个主题，但目前将
集中讨论弯曲空间的观念——弯曲空间是什么意思，或者更准确地说，
在爱因斯坦的理论中，弯曲空间是什么意思。结果表明，在三维空间
中，甚至这样的问题目前也是有点难以理解的。因此，我们将首先更进
一步简化这个问题，在二维的情况下讨论“弯曲空间”这个词的含义。
为了理解二维弯曲空间这个概念，你确实必须去体会一下一个生活
在这种空间中的生物那带有局限性的观点。假如我们想象一只生活在一
个平面上的没有眼睛的虫子，如图6-1所示。它只能在这个平面上运
动，它没有认识“外部世界”的方法。（它并没有大家所具有的想像
力。）我们当然要通过类比的方法来讨论。我们生活在一个三维的世界
中，我们没有任何想像力去想象一个新的方向跳离我们这个三维世界；
因此，我们不得不通过类比的方法来解决问题。这就好像我们是生活在
一个平面上的虫子，在另一个方向存在着一个空间。这就是我们将首先
通过虫子进行讨论的原因，记住，它必须生活在它的表面上，并且不能
跳出去。
图6-1 一只在平面上的虫子
再举一个例子来说明一只生活在二维中的虫子，我们来想象一只生
活在一个球面上的虫子。想象它能够如图6-2所示那样在球面上到处漫
游，但它不能朝“上”，或者朝“下”，或者朝“外”看。
下面我们还要看一看第三种生物。它像别的两种生物一样也是一只
虫子，也像我们的第一只虫子那样生活在一个平面上，但这个平面是特
殊的。温度在不同的地方并不一样。还有，这只虫子以及它所使用的任
何尺子都由遇热膨胀的相同的材料构成。每当它在某个地方放上一把尺
子来测量某个东西时，这把尺子就立刻膨胀到该处温度下的固有长度。
无论它把什么东西放在哪里——它自己、一把尺子、一个三角形，或者
什么别的东西——这件东西自然就会因热膨胀而伸长。所有的东西在热
的地方都比在冷的地方长，所有的东西都具有相同的膨胀系数。我们特
别要考虑一种特殊的热板，它在中心处是冷的，随着我们往边上走，它
变得越来越热（图6-3），尽管如此，我们还是要把我们这第三种虫子
的家园叫做“热板”。
图6-2 一只在球面上的虫子
图6-3 一只在热板上的虫子
下面我们将想象这些虫子开始研究几何学。尽管我们把它们想象成
是瞎子，这样它们就看不到任何“外部的”世界，但是，它们还是能够用
它们的腿和触角干许多事情。它们能够画线、做尺子、测量长度。首
先，设想它们从几何学中最简单的概念开始。它们学会怎样画一条直线
——定义为两点之间最短的线。我们的第一种虫子（图6-4）会画非常
直的线。可是生活在球面上的虫子怎样呢？它沿着两点之间——对它而
言——的最短距离画出它的直线，如图6-5所示。这条线在我们看来也
许像一条曲线，可是它没有任何办法跳离球面并发现“真的”有一条更短
的线。它只知道，假如它在它的世界中尝试任何别的路线，它们都比它
的直线长。因此，我们将让它把它的直线作为两点之间最短的弧线。
（这当然是一个大圆上的一条弧线。）
图6-4 在一个平面上画一条“直线”
图6-5 在一个球面上画一条“直线”
最后，我们的第三种虫子（图6-3中的那种）也将画出一条在我们
看来像曲线的“直线”。比如说，在图6-6中 A和 B之间的最短距离应该在
一条如图所示的曲线上。为什么会这样呢？原因就是，当它的线朝外向
着热板的较温暖的部分弯曲时，尺子（从我们那无所不知的观点来看）
就逐渐地变得更长，而从 A到 B需要首尾相接地放置的“码尺”就更少。因
此，对它来说，这条线是笔直的——它没有任何办法知道，在外部的一
个陌生的三维世界中会存在某种生物，这种生物将把一条不同的线叫
做“笔直的”。
图6-6 在热板上画一条“直线”
我想，大家现在得到了这样一个概念，因此，余下的全部分析都将
总是从生活在特定的表面上的生物的观点出发而不是从我们的观点出
发。记住这个要求，我们来看一看它们的几何学的余下部分是个什么样
子。让我们假定这些虫子全都学会了怎样画两条相交成直角的线。（你
能够想象出它们会怎样做这件事。）于是，我们的第一种虫子（生活在
普通平面上的那种）发现了一个有趣的事实。如果它从 A点开始画一条
100英寸长的线，然后转过一个直角并画另一条100英寸的直线，然后再
转过一个直角并再画一条100英寸的直线，然后第三次转过一个直角并
画第四条100英寸长的直线，它就会如图6-7（a）所示的那样，最后刚
好画到开始的那一点上。这是它的世界的一个性质——它的“几何学”中
的一个事实。
接着，它发现另一件有趣的事情。如果它画出一个三角形（一个由
三条直线组成的图形），那么，三个角度之和就等于180°，即等于两个
直角之和。参见图6-7（b）。
图6-7 在一个平直的空间中的正方形、三角形和圆
接下来，它画了一个圆。一个圆是什么东西呢？一个圆是这样画出
来的：你从某个点出发向四面八方画直线，并标上许多与这个点距离相
同的点。参见图6-7（c）。（我们必须小心在意我们是如何定义这些东
西的，因为我们必须让另外两个家伙能够做类比。）当然，这个图形等
价于这样一条曲线，你可以通过让一把尺子绕着一个点旋转来画出它。
不管怎么样，我们这些虫子学会了怎样画圆。接着有一天，它想测量一
个圆的周长。它测量了几个圆，并发现了一条简洁的关系：圆周的长度
总是等于同一个数字乘半径r（这当然就是从中心向外到曲线的距
离）。周长与半径总是具有相同的比例——近似等于6.283——与圆的
大小无关。
下面，我们来看一看别的两种虫子在它们的几何学中找到些什么东
西。首先，当生活在球面上的虫子尝试画一个“正方形”时会出现什么事
情呢？如果它遵循我们在前面描述的方法去做，它大概会认为结果几乎
不会有什么麻烦。它得到了一个如图6-8所示那样的图形。它的终点 B并
不在起点 A上，根本就画不出一个闭合的图形。拿一个球来试一试看。
类似的情况出现在我们那生活在热板上的朋友那里。如果它画四条由直
角连接起来的（用它的膨胀的尺子测量时）长度相等的直线，它就得到
一个像图6-9那样的图形。
图6-8 尝试在一个球面上画“正方形”
图6-9 尝试在热板上画“正方形”
下面假设我们的每一种虫子都有它们自己的欧几里得，它已经告诉
它们，几何学“应该”是个什么样子，而它们已经在一个小的范围内通过
进行粗略的测量大致上验证了它的结论。接着，当它们尝试在一个大的
范围内画精确的正方形时，就会发现出错了。问题就在于，仅仅通过几
何学的测量，它们就会发现，麻烦出在它们的空间中。我们定义弯曲的
空间是这样一个空间，在这个空间中，几何学并不是我们在平面上预期
的那个样子。生活在球面上或者生活在热板上的虫子的几何学是弯曲空
间中的几何学。欧几里得几何学的法则失效了。于是，为了认识到你生
活于其中的世界是弯曲的，并不需要你能够使自己从表面上跳出来。为
了认识到世界是一个球面，并不需要做环球航行。通过画一个正方形，
你就能够认识到，你生活在一个球面上。如果画出来的正方形很小，你
将需要很高的精确度，不过，如果这个正方形很大，测量就能够比较粗
略地进行。
让我们以平面上的三角形为例子。3个内角之和等于180°。我们在
球面上的朋友能够找到非常奇特的三角形。例如，它能够找到具有3个
直角的三角形。千真万确！图6-10画出了一个。想象我们的虫子从北极
开始画一条直线，一直往下画到赤道上。接着，它转过一个直角，并画
出另一条长度一样的精确的直线。接着重复上面的步骤。用这个它挑选
出来的非常特别的长度，正好回到开始的那一点，而且也是以一个直角
与第一条线相交。因此，毫无疑问，对于它来说，这个三角形有3个直
角，或者说内角之和是270°。结果，三角形的内角之和总是大于180°。
事实上，多出的度数（对于图示的那种特殊的情形，就是多出的90°）
与该三角形的面积成正比。如果一个在球面上的三角形非常小，它的内
角之和就非常接近180°，仅仅大一点点。随着三角形不断增大，偏差就
不断增加。生活在热板上的虫子从三角形中会发现相似的困难。
图6-10 在球面上一个“三角形”可以有3个90°的内角
下面来看一看我们那些虫子在圆这个问题上找到些什么东西。它们
画出圆周并测量其周长。比如说，生活在球面上的虫子可以画一个如图
6-11所示那样的圆。它将发现圆的周长小于2π乘半径。（你能够明白这
个结果，因为根据我们的三维视图的常识，它所谓的“半径”显然是一条
比这个圆的真实半径更长的曲线。）设想生活在球面上的虫子学过欧几
里得几何学，并决定用周长除2π来预言半径：
图6-11 在球面上画一个圆
于是，它就会发现，实测半径大于预期半径。继续研究这个问题，它可
以把这个差额定义为“多出的半径”，写成
并研究这种多出半径的效应怎样依赖于圆的大小。
我们那生活在热板上的虫子将发现相似的现象。想象它准备画一个
如图6-12所示那样的圆，圆心在板上冷的部位。假如我们打算看着它画
这个圆，就会注意到，它的尺子在靠近圆心处是短的，并随着尺子往外
移动逐渐变长——尽管这只虫子无疑并不知道这一点。当它测量周长
时，尺子自始至终是长的，因此，它也发现实测半径比预期半径C/2π
长。热板虫也发现一种“多出半径的效应”。这种效应的大小还是依赖于
圆的半径。
图6-12 在热板上画一个圆
我们将把这样一个空间定义为一个“弯曲空间”：在这个空间中，存
在以下类型的几何误差：一个三角形的内角之和不是180°；一个圆的周
长被2π除不等于半径；画一个正方形的规则并不给出一个闭合的图形。
你还可以想出其他的事情。
我们已经举出了弯曲空间的两个不同的例子：球面和热板。不过，
如果我们选择热板上的温度变量是距离的适当的函数，那就有意思了，
两种几何学将会一模一样。这个结果相当有趣。我们能够令生活在热板
上的虫子与生活在球面上的虫子得到完全相同的答案。对于那些喜欢几
何学及几何学问题的人，我将告诉你们这如何能够办得到。如果你假定
尺子的长度（当由温度决定时）正比于1加上某个常数乘以与原点的距
离的平方，那么，你就会发现，那块热板上的几何学在所有细节上（无
穷远点除外）与球面上的几何学一模一样。
当然，存在别的种类的几何学。我们可能会向一只生活在一个梨形
面上的虫子请教几何学，所谓的梨形面就是这样一种曲面，在某些地方
具有较大的弯曲程度，而在别的地方具有较小的弯曲程度，而在别的地
方具有较小的弯曲程度，这样，在它的世界中，在某个区域画出的小三
角形与在另一个区域画出的相比，内角的超出就会更加严重。换句话
说，空间的弯曲程度有可能处处不一样。这正是上述观念的一个推广。
它也可以用热板上一个适当的温度分布来模拟。
我们还可以指出，有可能出现负的偏差这种结果。比如说，我们会
发现，所有被画得非常大的三角形都具有小于180°的内角和。这看上去
也许不可能，但情况确实如此。首先，我们可以做一个温度随着远离板
心而降低的热板，于是，所有的效应都将反过来。不过，我们也可以考
察鞍形面的二维几何学，用单纯的几何方法实现这种结果。想象一个如
图6-13所示的鞍形面。接下来在这个面上画一个“圆”，它被定义为中心
距相同的所有的点的轨迹。这个圆是一条具有起伏效应的振荡的曲线。
这样，它的周长就比用2π r算出的预期值要长。因此，在这里 C/2π就比 r
大。“多出的半径”是负的。
球面和梨形面等曲面都是正曲率的表面；而其他的面叫做负曲率的
表面。一般说来，一个二维的世界将具有处处不一样的曲率，并且有可
能在某些地方曲率为正，而在别的地方曲率为负。概括地说，弯曲空间
指的就是这样一种空间，在这些空间中，由于出现正的或负的偏差而使
欧几里得几何学失效。曲率的大小（比如说由多出的半径来定义）可以
处处不一样。
图6-13 鞍形面上的一个“圆”
应该指出的是，从我们对曲率的定义来看，一个圆柱面不是弯曲
的，这相当令人惊讶。如果一只虫子生活在一个如图6-14所示那样的圆
柱面上，它就会发现三角形、正方形和圆全都具有平面上相应图形所具
有的性质。只要考虑一下，假如圆柱面被展开成平面，所有这些图形看
起来会怎样，就很容易明白这一点。于是，可以用完全与平面相对应的
方法画出所有的几何图形。因此，一只生活在一个圆柱面上的虫子（假
定它不会一直走下去，而只是做局部的测量）没有任何办法察觉它的空
间是弯曲的。在我们的理论直觉中，我们认为它的空间不是弯曲的。我
们要谈论的东西更确切地叫做内部曲率：即只在局部区域进行测量就能
够得出的曲率（一个圆柱面没有内部曲率）。爱因斯坦说我们的空间是
弯曲的，他所指的就是这个意思。不过，到目前为止，我们仍然只是在
二维的情况下定义了弯曲空间的概念；我们必须接着看一看，这个概念
在三维的情况下可能会有什么意义。
图6-14 一个内部曲率等于零的二维空间
6-2 三维空间的曲率
我们生活在三维空间中，我们准备去考察三维空间是弯曲的这样一
种观念。大家会说，“可是你怎么能够想象它向任意方向弯过去
呢？”唔，我们不能想象空间向任意方向弯过去，因为我们的想像力并
不够（也许正因为我们不能想象得太多，所以从这个真实的世界中得不
到太多的自由）。不过，我们无须跳离这个三维世界而仍然能够确定曲
率。我们在二维的情况下一直在讨论的问题只不过是一种练习，显示我
们怎么能够得到曲率的定义，它并不需要我们能够从外部“往里看”。
我们能够用某种方法来确定我们的世界是否是弯曲的，这种方法与
那些生活在球面上或者热板上的绅士们所使用的方法非常相似。我们也
许不能把这两种情形区分开，但是，我们肯定能够把这些情形与平直的
空间即普通的平面区分开。怎样区分呢？太容易了：画一个三角形并测
量各个内角。或者画一个大的圆周并测量其周长和半径。或者尝试画一
个精确的正方形，或者构造一个立方体。对每一种情形都检验一下几何
学的法则是否有效。如果这些法则失效，就认为我们的空间是弯曲的。
如果画一个大的三角形而它的内角之和超过180°，就可以认为我们的空
间是弯曲的。或者如果一个圆的实测半径并不等于它的周长除以2π，也
可以认为我们的空间是弯曲的。
你将会注意到，在三维中情况要比在二维中复杂得多。在二维中，
任何一个位置都有一个确定的曲率值。可是在三维中，曲率可以有若干
个分量。如果我们在某个平面上画一个三角形，如果把这个三角形所在
的平面指向一个不同的方向，就可以得到一个不同的答案。或者举一个
圆的例子，设想我们画一个圆并测量其半径，结果与 C/2π不一致，于是
半径有一定的超出量。接着如图6-15所示在垂直方向再画一个圆。两个
圆的半径超出量不一定精确相同。事实上，在某个面上的圆可以有正的
超出，而另一个面上的圆则有缺失（负的超出量）。
图6-15 不同指向的圆的半径超出量可以不一样
也许你正在考虑一个更好的主意：难道我们不能利用一个三维的球
来回避这些分量吗？我们可以通过画出与空间中某个点的距离相同的所
有的点来确定一个球。接着，我们可以通过在球面上划分细小的矩形网
格，并将所有的面积元相加来测量球面的面积。根据欧几里得几何学，
我们认为，总面积 A就是4π乘半径的平方；于是，可以定义一个“预期的
半径”
。不过，我们也可以通过挖一个通向球心的洞并测量这个洞
的深度来直接测量半径。像前面一样，我们可以用实测半径减去预期半
径，并把这个差值叫做半径的超出量。
这将是曲率的一个完全合适的度量。这种方法有明显的优点，它不依赖
于一个三角形或一个圆怎样指向。
不过，一个球面的半径超出量也有不利的一面；它并没有完整地说
明空间的特性。它给出的量叫做三维世界的平均曲率，因为其中存在一
个对所有曲率的平均效应。然而，由于它是一个平均量，因此并没有完
全解决确定几何结构这个问题。假如你只知道这个数字，你就不能预言
空间几何结构的所有性质，因为你不可能知道不同指向的圆会发生什么
变化。完整的定义需要在每一个点上用到6个“曲率数值”。数学家当然
知道怎样写下所有这些数值。总有一天你可以在一本数学书中读到怎样
以一种高级的和精巧的形式把它们全部写下来，不过，最好还是先粗略
地了解一下你试图写出的是什么东西。就我们的大多数目的而言，平均
曲率应该是够用的。[11]
6-3 我们的空间是弯曲的
下面讨论主要的问题。上一节所说的有没有道理呢？更确切地说，
我们生活于其中的现实的三维空间是弯曲的吗？人类一旦有了足够的想
像力去认识这样一种可能性，即空间有可能是弯曲的，头脑中自然就会
产生好奇心，渴望知道真实世界是否是弯曲的。为了尝试找到答案，人
们做过直接的几何测量，但并未发现对平直的任何偏离。另一方面，通
过对引力问题的讨论，爱因斯坦发现，空间确实是弯曲的，不过，我倒
是愿意向各位讲一讲有关曲率数值的爱因斯坦定律讲的是什么，还要讲
一讲有关他如何发现这个定律的一些故事。
爱因斯坦认为，空间是弯曲的，物质是弯曲的起因（物质也是引力
的起因，因此引力与弯曲相对应——不过，这一点将在本章稍后再做介
绍）。为了使事情更容易一点，我们设想，物质以某种密度连续分布，
不过，物质的密度是可以随你所愿而到处不一样的，[12]爱因斯坦给出
的有关曲率的规则如下：如果存在一个有物质分布于其中的空间区域，
我们取一个足够小的球面，使其中的物质密度ρ近似为常数，那么，这
个球面的半径超出量正比于球面内的质量。利用半径超出量的定义得到
式中 G是（牛顿理论中的）万有引力常数， c是光速， M=4π ρr 3/3是球面
内的物质的质量。这就是空间平均曲率的爱因斯坦定律。
假定取地球做例子，并忽略密度处处不一样这个实际情形——这样
就不需要做积分了。假定我们打算非常仔细地测量地球的表面，然后挖
一个通向地心的洞并测量它的半径。利用表面积可以计算出预期的半
径，这个半径可以通过令面积等于4π r 2而得到。如果把预期半径与实测
半径做比较，就会发现，实测半径比预期半径大，超出的数值由公式
（6.3）给出。常数 G/3 c 2大约等于2.5×10-29厘米/克，因此，对于每克物
质来说，实测半径偏离预期值2.5×10-29厘米。把地球的质量（大约等于
6×10 27克）代入公式，结果是，地球的实测半径比根据其表面积预期应
该具有的半径值大1.5毫米。[13]对太阳做同样的计算就会得到，太阳的
半径大500米。
大家可能注意到，这条定律说，地球表面上方的平均曲率等于零。
但是，这并不表示曲率的全部分量是零。地球上方仍然有可能存在（实
际上就是存在）某种曲率。就平面上的一个圆来说，在某个指向上，它
具有正或负的半径超出量，而在另一个指向上，它却具有正负号相反的
半径超出量。这条定律只不过给出这样一个结果，如果球面内部没有质
量，那么，对球面做平均就等于零。顺便提一下，这条定律给出，在各
个曲率分量与平均曲率随位置的变化之间存在某种关系。因此，假如知
道了每一点的平均曲率，就能够计算出每一点上曲率的细节。地球上方
的平均曲率随高度而改变，因此，空间是弯曲的。正是这种弯曲，我们
把它视为引力。
设想在一个平面上有一只虫子，并假设这个“平面”上几乎没有什么
疙瘩。无论在哪里有一个疙瘩，这只虫子就会断定，它的空间有少许弯
曲的局部区域。在三维中，我们有相同的推断。无论在哪里有物质团
块，我们的三维空间就有局部的弯曲——一种三维的疙瘩。
假如我们在一个平面上弄上许多肿块，那么，除了所有的疙瘩之
外，还有可能存在一种整体的弯曲——表面可能会变得像一个球面。由
于存在像地球和太阳这样的物质团块，我们的空间是否就不但具有局部
的疙瘩，而且还具有某种净余的平均弯曲，探究一下这个问题是很有意
思的。天体物理学家一直在尝试通过测量极其遥远的星系来回答这个问
题。例如，我们在一个遥远的球形壳层内看到的星系的数目，不同于从
有关这个壳层的半径方面的知识出发预期到的数目，那么，就会得到一
个非常巨大的球的半径超出量的实测值。利用这种测量可望探明，我们
的整个宇宙到底是弯曲的，还是平均来说平直的——到底是像一个球那
样“封闭的”，还是像一个平面那样“开放的”。大家也许听说过有关这个
课题的仍然在继续着的争论。存在争论是因为天文测量的结果仍然是完
全不确定的；实验数据并没有精确到足以给出一个明确的答案。遗憾的
是，有关我们的宇宙在大尺度上整体弯曲的状况，我们一点都不知道。
6-4 时空中的几何学
下面得来谈一谈时间了。我们在狭义相对论中讲到，空间的度量和
时间的度量是互相关联的。要在空间中做某件事情而又不把时间包括进
去，这有点不切实际。大家应该还记得，时间的度量依赖于观测者的运
动速度。例如，我们观察一个乘坐宇宙飞船从旁边经过的家伙，就会发
现，事情的发生对他来讲比对我们来讲更慢。打个比方吧，他迈着轻捷
的步伐走开了，当我们的手表正好走过100秒的时候就返回来，他的手
表可能显示他只出去了95秒。与我们的手表比较起来，他的手表（以及
所有其他的过程）一直都走慢了。
下面来考虑一个有趣的问题。设想你是乘坐在宇宙飞船中的人。我
们要求你在收到一个特定的信号时就动身，并正好在收到下一个信号
——我们的时钟正好走过了，比如说，100秒时——回到你出发的地
点。还要求你以这样的方式做这次漫步，你的手表应该显示出尽可能长
的时间间隔。你应该怎样行动呢？你应该站着不动。假如你一直在走
动，那么，当你回来的时候，你的手表走过的时间就会小于100秒。
另一方面，设想把问题做一点改变。假定我们要求你在收到一个特
定的信号时就从 A点出发走到 B点（这两个点相对于我们是固定的），
并且要做到正好在收到下一个信号（我们那固定的时钟走过了，比如
说，100秒）时回到出发点。还是要求你以这样的方式做这次漫步，使
得在到达终点时，你的手表显示出尽可能长的时间间隔。你应该怎样行
动呢？走哪一条路以及如何安排这次漫步才能使得当你到达终点时你的
手表显示出最长的时间间隔呢？答案是，如果你以均匀的速度沿着直线
做这次漫步，那么，在你看来你就会花费最长的时间。理由是：任何附
加的运动和极高的速度都会使你的时钟走得更慢。（由于时间的偏差依
赖于速度的平方，你在某个地方因急速运动所丢失的时间，要通过在另
一个地方缓慢移动来弥补，这永远办不到。）
以上所述的要点是，我们可以利用这个观念来定义时空中的“一条
直线”。空间中的一条直线的类比是，在时空中以均匀的速度沿着一个
恒定的方向的运动。
在空间中距离最短的曲线，在时空中并不是对应于时间最短的那条
路径，而是对应于时间最长的那条路径，原因就是相对论中时间项的符
号这件古怪的事情。于是，“直线”运动（“匀速直线运动”的类比）就是
这样一种运动，在某个时刻从一个地点拿起一只手表，以这样一种方式
在另一个时刻走到另一个地点，使得这只手表显示出最长的时间。这就
是我们给时空中类似于直线的东西所下的定义。
6-5 引力和等效原理
下面我们准备讨论引力定律。爱因斯坦尝试创立一个与狭义相对论
相容的引力理论，狭义相对论是他在早些时候创立的理论。他苦思冥
想，最终悟出了一条重要的原理，这条原理引导他得出正确的定律。这
条原理是根据失重的概念提出来的，当一件物体自由下落时，它内部的
所有东西似乎没有重量。比如说，一颗在轨道上运行的人造卫星就在地
球的引力中自由下落，它里边的宇航员就感觉到失重。更严格地陈述
时，这个概念就叫做爱因斯坦的等效原理。它来自这样一个事实，所有
的物体以完全相同的加速度下落，不管这些物体的质量有多大，也不管
它们由什么东西构成。假如我们有一艘“依靠惯性飞行的”宇宙飞船（因
此它就处于惯性运动状态），并有一位宇航员在里边，那么，支配着宇
航员和飞船下落的定律是一样的。因此，如果他站在飞船的中央，他就
会停留在那里。他并不相对于飞船下落。这就是我们说他“失重了”所表
示的意思。
下面，假设你乘坐在一艘正在加速的火箭动力飞船中。相对于什么
在加速呢？我们就只是这么说吧，它的发动机在开动，并且产生一个推
力，因此，它并不是依靠惯性飞行而处于惯性运动状态。此外，还想象
你在空无一物的太空中航行，因此，实际上没有一点引力作用在飞船
上。假如飞船以“1g”的加速度加速前进，你就能够站在“地板”上，并感
受到正常的体重。还有，如果你松手放开一个球，这个球就会朝着地
板“落下去”。为什么会这样呢？因为飞船正在“朝上”加速，但是，却没
有力作用到球上，因此，这个球就不会加速；它将被留在后面。在飞船
的里边，这个球就会显得好像具有一个朝下的、数值等于“1g”的加速
度。
下面，我们把上述情形与在地球表面上静止不动的宇宙飞船中的情
形做个比较。所有的事情都是一样的！你将受到朝向地板的力的作用，
一个球将会以1g的加速度下落，如此等等。总之，在飞船的里边，你如
何能够判断出，自己到底是停靠在地球的表面上，还是正在真空中加速
前进呢？根据爱因斯坦的等效原理，假如你只是测量飞船里边发生的事
情，那么，没有任何办法做出判断！
严格地说，上述说法只在飞船里边的一个点上是正确的。地球的引
力场并不是绝对均匀的，因此，一个自由下落的球在不同的地点具有稍
微不同的加速度——方向和大小都会改变。不过，假如我们想象一个严
格均匀的引力场，那么，它在每一个细节上都完全由一个具有恒定加速
度的系统来模拟。这就是等效原理的基本依据。
6-6 引力场中时钟的快慢
下面，我们打算利用等效原理来搞清楚在引力场中发生的一件古怪
的事情。我将向大家说明在一艘火箭动力飞船中发生的一些事情，各位
大概不曾预期过这些事情会在引力场中发生。设想我们把一个时钟放置
在火箭动力飞船的“船头”（即放置在“前”端），并把另一个同样的时钟
放置在“船尾”，如图6-16所示，我们就把这两个时钟叫做 A和 B吧。如果
我们在飞船正在加速时比较这两个时钟，放置在船头的时钟相对于放置
在船尾的时钟来说，看起来就要走得快一些。为了理解这一点，想象前
面的时钟每隔1秒发射一束闪光，而你则坐在船尾对时钟 B的滴答声与闪
光的到达做比较。假定当时钟 A发射一束闪光时，飞船在图6-17的 a处，
当这束闪光到达时钟 B时，飞船在 b处。稍后，当时钟 A发射下一束闪光
时，飞船将在 c处，而当你看到这束闪光到达时钟 B时，飞船将在 d处。
图6-16 一艘带着两个时钟的正在加速的火箭动力飞船
第一束闪光走过一段距离 L ，而第二束闪光则走过一段较短的距离
1
L 。距离较短的原因是飞船正在加速，因而在第二束闪光发射时具有较
2
高的速度。于是，大家就能够明白，假如这两束闪光是从时钟 A处相隔1
秒发射出来的，那么，它们就会以稍微小于1秒的间隔到达时钟 B处，因
为第二束闪光在传播途中并没有花那么长的时间。对于所有随后的闪
光，也都会出现同样的情况。因此，假如你正坐在船尾，那么，你就会
断定，时钟 A走得比时钟 B更快。假如你打算反方向做同样的事情，即
让时钟 B发射闪光而在时钟 A处观测，那么，你将会断定 B走得比 A更
慢。所有的事情都吻合得天衣无缝，完全没有什么不可思议的事情发
生。
图6-17 在一艘加速前进的火箭动力飞船中，放置在船头的时钟看起来比放置在船尾的时钟走
得更快
现在，我们来考虑静止在地球的引力场中的火箭动力飞船。同样的
事情发生了。假如你带着一个时钟坐在地板上，并留意着另一个放置在
高高的架子上的时钟，就会看到这个时钟比放置在地板上的时钟走得更
快！你会说，“可这是不对的。两个时钟走过的时间应该一样。没有加
速度，时钟看上去步调不一致，这没有任何理由。”不过，如果等效原
理是正确的，情况就必定是这样的。爱因斯坦坚持认为这条原理本来就
是正确的，并且大胆而恰如其分地干下去。他指出，放置在引力场中不
同地点的时钟看起来必定走得快慢不一样。可是，如果一个时钟看起来
总是与另一个时钟走得快慢不一样，那么，就第一个时钟而言，另一个
时钟就会以不同的计时速率运转。
现在大家看到了吧，我们得到了与前述的热尺子时钟类似的东西，
当时，我们让一只虫子呆在一块热板上。我们想象那些尺子和虫子等在
各种温度下以相同的方式改变长度，这样，当它们在热板上四处活动
时，根本不会知道它们的量尺在不断改变。处于引力场中的时钟具有同
样的特性。我们放置在较高处的每一个时钟看起来都走得更快。心跳更
快，所有的过程都进展得更快。
假如不是这样的话，我们就能够区分一个引力场与一个加速参考系
之间的差别了。时间能够在各点不一样是一个非常难以理解的观念，不
过，它是爱因斯坦所用过的观念，而且是正确的观念——信还是不信，
悉听尊便。
利用等效原理能够搞清楚，一个时钟的快慢在引力场中如何随着高
度而改变。我们只计算在一艘正在加速的火箭动力飞船中，两个时钟之
