间的表观差别。做这件事情最简单的方法是利用我们在第一卷第34章
[14]有关多普勒问题中得出的结果。在那里，我们发现[参见原《物理学
讲义》公式（34.14）]，假如 v是发射源与接收器之间的相对速度，那
么，接收频率 ω通过以下公式与发射频率 ω 相联系
现在，假如我们考虑图6-17中正在加速的火箭动力飞船，发射器和接收
器在任意瞬间都以相等的速度运动。但是，在光信号从时钟 A传播到时
钟 B这段时间内，飞船已经加大了速度。事实上，它已经获得了 gt大小
的附加速度，其中 g是加速度， t是光从 A传播到 B这段距离 H所需要的时
间。这段时间非常接近 H/c。因此，当信号到达 B时，飞船的速度已经增
加了 gH/c。在信号到达接收器的一瞬间，接收器相对于发射器总是具有
这个速度。因此，这个速度就是我们将要用在多普勒频移公式（6.4）
中的速度。假定飞船的加速度和长度都足够小，使得这个速度比 c小得
多，于是就可以忽略平方项 v 2/ c 2。由此得到
这样，对于放置在飞船上的这两个时钟就得到如下关系：
其中 H是发射器高出接收器的高度。
利用等效原理可以得出，在自由下落加速度等于 g的引力场中，由
高度 H分隔开的两个时钟必定具有相同的结果。
这是一个如此重要的观念，因此，我们愿意证明它也是根据物理学
的另一条定律即能量守恒定律得出的。我们知道，作用在一个物体上的
万有引力正比于它的质量 M，质量通过公式 M=E/ c
2与其总内能 E相联
系。例如，由核反应的能量确定下来的原子核的质量，以及由原子的重
量得到的质量，两者是相一致的。核反应使一个原子核蜕变成另一个原
子核。
下面，考虑这样一个原子，它具有一个总能量为 E
的最低的能态
和一个较高的能态 E ，它能够通过发光而从
态跳到
态。发出的光
1
E 1
E 0
的频率 ω由下式给出：
现在，假设有这样一个处于 E
态的原子，它静止在地板上，我们
1
把它从地板的位置带到高度为 H的位置。为了做到这一点，我们在把质
量 m 1= E 1/ c 2往上提时，必须克服万有引力做一些功。所做的功的数值
是
接着，让这个原子发射一个光子并跳到较低的能态 E
。随后，把这个
原子带回地板上。在回程中质量等于 E 0/ c 2；我们取回了以下数值的能
量
这样，我们就做了等于以下数值的净功
这个原子在发射光子时要释放出能量 E
。现在，假设释放出的
1- E 0
光子正好向下传播到地板处并被吸收。这个光子在那里会交出多少能量
呢？初看起来大家也许会认为，它将交出正好 E
那么多的能量。可
1- E 0
是，如果能量守恒的话，就不可能这样，看一看下面的讨论大家就会明
白了。我们以在地板处具有能量 E
开始。整个过程结束时，地板处具
1
有的能量是原子处于其较低能态时的能量 E 加上从光子中得到的能量
E
。其间我们必须提供由公式（
ph
6.10）给出的附加能量Δ U。如果能量是
守恒的，那么，结束时地板处的能量必定大于开始时的能量，多出的能
量值正好是我们所做的功。即必定有如下结果
或者
事情必定是这样的，这个光子不会带着正好等于被发射时具有的能量 E
到达地板处，而是带着更多一些能量。不然的话，就会有一些能量
1- E 0
丢失了。如果将由公式（6.10）算出的Δ U代入公式（6.11）中，就得出
光子带着以下数值的能量到达地板处
可是，一个能量等于 E 的光子的频率
。用
表示被发射的光子的
ph
ω 0
频率——根据公式（6.7），它等于
——公式（6.12）的结果再次
给出光子在地板处被吸收时的频率与被发射时的频率之间的关系式
（6.5）。
还可以用另一种方法得出相同的结果。一个频率为 ω 的光子具有能
量 E
。由于能量
具有引力质量
0=
ω 0
E 0
E 0/ c 2，因此，光子具有质量
（不是静质量） ω 0/ c 2，要被地球“吸引”。在下落距离 H的过程中，它
将获得附加的能量（ ω 0/ c 2） gH，因此，它到达地板时具有如下的能量
然而，在下落之后它的频率是 E/ ，这又一次给出公式（6.5）中的结
果。只有当爱因斯坦有关引力场中的时钟的预言正确无误时，有关相对
论、量子物理学和能量守恒的观念才会全部吻合。在一般情况下，我们
正在讨论的频率改变是非常小的。比如说，在地球表面上，20米的高度
差引起的频率差异只有大约2×10 -15。然而，就是这样一个改变，最近
已经利用穆斯堡尔效应从实验上探测到。[15]爱因斯坦完全正确。
6-7 时空的曲率
下面，我们要把刚刚讨论过的问题与弯曲时空的观念联系起来。我
们已经指出，假如在不同的地点时间以不同的速率演进，那么，它就类
似于热板那样的弯曲空间。不过，这不仅是一个类比；它意味着时空确
实是弯曲的。让我们尝试考虑时空中的某些几何学问题吧。乍一听这可
能有点特别，不过，我们曾经多次画过时空图，图中距离沿着一根轴
画，时间则沿着另一根轴画。设想我们尝试在时空中画一个矩形。首先
按照图6-18（a）的样子绘制一个高度 H对时间的关系图。为了画出矩形
的底部，找一个静止于高度 H 处的物体，沿着它的世界线画出
1
100秒。
我们得到图6-18（b）中的BD线，它平行于 t轴。接着，找另一个在 t=0
时刻位于第一个物体上方100英尺处的物体。它在图6-18（c）中开始于
A点。接着，沿着它的世界线根据 A处的时钟画出100秒。这个物体从 A
一直画到 C，如图6-18（d）所示。但是，注意到由于在两个高度处时间
走得快慢不一样（假定存在一个引力场）， C和 D这两点并不同时。假
如我们如图6-18（e）所示那样，向同一时刻位于 D点上方100英尺处的 C
′点画一条线，试图这样来把正方形画好，这个正方形就不会闭合。这
就是我们说“时空是弯曲的”这句话所要表达的意思。
图6-18 在时空中尝试画一个矩形
6-8 在弯曲的时空中运动
我们来考虑一个有趣的智力小游戏。有两个同样的时钟 A和 B，它
们如图6-19那样一起被放置在地球的表面上。现在，我们把时钟 A提到
某个高度 H，在那里停留片刻，再把它放回地面，使得它刚好在时钟 B
走过100秒时回到原来的位置。这时，时钟 A将走过大约107秒，原因
是，它在被提到空中时要走得更快。下面就是我们要考虑的难题了。我
们应该怎样移动时钟 A才能使它尽可能走过最长的时间——始终假定它
在时钟 B走过100秒时返回？大家会认为，“这很简单。只要把它举得尽
可能地高就行了。结果，它就会走得尽可能地快，这样，当你回来的时
候，这个时钟就会走过最长的时间。”不对。你忘记了某些东西，我们
只有100秒的往返时间。假如我们上升得非常高，那么，为了在100秒内
到达那里并返回，就必须上升得非常快。但不要忘记狭义相对论效应，
它导致运动的时钟按照因子
的倍数走慢了。这个相对论效应趋向
于使时钟 A的读数小于时钟 B的读数。大家看到了，这有点像玩某种策
略游戏。假如我们带着时钟 A站着不动，就经历100秒。假如我们慢慢地
升高一点点再慢慢地下来，就会经历比100秒更长一些的时间。假如我
们上升得更高一些，也许就会经历更长一些的时间。可是，假如我们上
升得太高了，那么，为了到达那里，就必须快速地上升，这就有可能使
时钟变慢得足以在小于100秒时回到出发点。高度与时间成怎样的函数
关系——即上升多大的高度，用多大的速度到达那里，把这些因素仔细
调节好，使得我们在时钟 B走过100秒时回到出发点——才会使时钟 A的
时间读数尽可能达到最大呢？
图6-19 在一个均匀的引力场中，对一段确定的持续时间，具有最大原时的轨迹是一条抛物线
答案是：计算一下需要多大的速度把一个球扔到空中，使得它刚好
在经过了100秒时回落到地面上。这个球的运动过程——快速上升，减
慢，停下来，往回下落——正好就是所要求的运动过程，它使固定在球
上的手表显示的时间达到最大。
下面考虑一个稍微不一样的游戏。在地球的表面有两个相互隔开一
段距离的点 A和 B。我们来玩一个前面玩过的游戏，找出我们称之为直
线的线段。我们要问，从 A到 B应该怎样走才能使我们随身带着的手表
走过最长的时间——假定出现一个给定的信号时我们就在 A点动身，而
当 B点出现另一个信号时就到达 B点，这第二个信号在一个固定的时钟
走过，比如说，100秒时出现。大家马上会说“唔，我们以前就得出，要
做的事情就是沿着一条直线以一个选定的均匀速度惯性滑行，以便正好
在100秒后到达 B点。假如我们不沿着一条直线运动，就需要更高的速
度，而我们的手表就会慢下来。”可是先别着急！这是还没有考虑引力
时的情况。把轨迹往上弯一点点，然后再把它弯下来不是更好吗？于
是，在某一段时间内，我们不就会上升得高一点，而我们的手表不就会
走得快一点吗？确实是这样的。假如你去求解这个数学问题，即调整运
动曲线以便使运动手表所经历的时间尽可能达到最大，就会发现，这个
运动是一个抛物线运动——在引力场中沿着无阻力弹道轨道运动的物体
具有相同的曲线，如图6-19所示。因此，在引力场中的运动定律也可以
这样陈述：一个物体总是按照这样的方式从一个地点运动到另一个地
点，使得一个固定在它上面的时钟所走过的时间，比按照任何其他可能
的轨迹运动时走过的时间更长——当然是在相同的起始条件和结束条件
下进行。由一个运动的时钟所测得的时间常常叫做“原时”。在自由下落
中，这条轨迹使一个物体的原时达到最大。
我们来看一看这一切是如何进行的。我们从公式（6.5）开始，这
个公式给出运动时钟的超出率为
除此之外，我们还必须记住，运动速度还会引起一个符号相反的改正。
我们知道这个效应的形式是
虽然这个规则适用于任意的速率，不过，我们取一个速率始终远小于 c
的例子。于是可以将这个公式写成
而时钟的计时速率的亏损量就等于
将（6.13）和（6.14）这两项做比较就得出
运动时钟的这种频率变化意味着，假如我们用一个固定不动的时钟测量
一段时间间隔 dt，那么，运动时钟将记录到这样一个时间间隔
沿着整条轨迹的时间超出总量等于上式中多出的两项对时间做积分，即
这应该就是一个最大值。
gH这一项正好就是引力势 φ。我们把整个公式乘上一个常数因子-
mc 2看看会有什么结果，其中 m是物体的质量。乘上一个常数并不会改
变取最大值的条件，而负号只是把最大值变成最小值而已。于是，公式
（6.16）表示物体将按照如下条件运动
上式中被积函数只不过是动能与势能之差。如果大家翻阅一下第二卷第
19章[16]，就会看到，在讨论最小作用量原理时证明过，在任意势场
中，一个物体满足的牛顿定律完全可以按照公式（6.18）的形式写出。
6-9 爱因斯坦的引力理论
运动方程的爱因斯坦形式——在弯曲空间中原时应该达到最大——
在低速状态下给出与牛顿定律相同的结果。与卫星沿着大家能够想象出
的任何其他路径运动的情形比较，当戈登·库珀做环球航行时，他的手
表走得更慢。[17]
因此，引力定律可以用时空几何学的概念以这种不寻常的方式陈述
出来。粒子总是取最长的原时——一个在时空中类似于“最短距离”的物
理量。这就是在引力场中的运动定律。把这个定律写成这种形式的主要
优点是，它不依赖于任何坐标系，也不依赖于确定位置的任何其他方
式。
下面来总结一下我们都做了些什么。我给各位讲述了两条引力定
律：
（1）有物质存在时，时空的几何结构怎样变化——明确地说就
是，用半径超出量表示的曲率正比于球内的质量，参见（6.3）式。
（2）假如只存在引力，物体怎样运动——明确地说就是，物体要
按照这样的方式运动，使得它们在两个边界条件之间的原时是最大的。
这两条定律对应于我们早些时候讨论过的两条熟悉的定律。我们原
先用牛顿有关万有引力的平方反比律和他的运动定律来描写在引力场中
的运动。现在它们被前面写出的定律（1）和定律（2）取代了。这两条
新的定律还对应于我们在电动力学中讨论过的定律。我们在那里讨论了
由电荷产生的场所满足的规律——麦克斯韦方程组。它描述“空间”的性
质如何因带电物质的出现而改变，在引力场的情况下，这是定律（1）
所要解决的问题。此外，我们还讨论了有关粒子在给定的场中如何运动
的规律—— d（ mv）/ dt= q（ E+ v× B）。在引力场的情况下，这个任务由
定律（2）来负责。
大家从定律（1）和定律（2）中知道了爱因斯坦的引力理论的准确
的陈述方式——尽管大家通常都会发现，这个理论用一种更复杂的数学
形式来陈述。不过，我们还是要做进一步的补充。正如时间的标度在引
力场中随着位置而改变那样，长度的标尺也是这样的。当你到处漫游
时，尺子就要改变长度。由于空间与时间结合得如此密切，因此，随着
时间而发生的事情不可能不以某种方式反映到空间中来。举一个最简单
的例子吧：你正飞越地球。在你看来的所谓“时间”，有一部分对我们来
说是空间。因此，空间也必定起了变化。其实是整个时空由于物质的存
在而被扭曲了，这个变化比只有时间标度的变化要复杂得多。不过，公
式（6.3）给出的规则足以完全确定有关引力的所有规律，条件是，关
于空间曲率的这个规则理所当然地不仅适用于某一个观测者，而且在所
有观测者看来都是正确的。某个飞越一团物质的观测者观测到不同的质
量，原因就是他所观测到的该物体掠他而过时的动能，他必须把对应于
这个能量的质量算进去。这个理论必须按照这样的方式构造，使得每一
个观测者——不管他如何运动——在画出一个球时就会发觉，其半径超
出量是 G/3 c 2乘球内的总质量（或者更确切地说是 G/3 c 4乘球内的总能
量）。这条定律，即定律（1）在任意运动的参考系中都应该成立，是
重要的引力定律之一，叫做爱因斯坦的场方程。另一条重要的定律就是
定律（2），即物体必须按照这样的方式运动，使得原时达到最大，叫
做爱因斯坦的运动方程。
要把这些定律用完整的代数式写出来，要把它们与牛顿定律做比
较，或者要把它们与电动力学联系起来，在数学上是很难的。不过，这
正是今天有关引力物理学方面的最完整的定律所要寻找的发展方向。
尽管这些定律在我们考虑过的简单的例子中给出了一个与牛顿力学
相一致的结果，但它们并不总是这样的。由爱因斯坦首先推导出的三个
偏差值已经在实验上得到证实，它们是：水星的轨道并不是一个固定的
椭圆；掠过太阳附近的星光要发生偏折，偏折量等于各位大概会预料到
的值的两倍；时钟的快慢依赖于它们在引力场中所处的位置。每当人们
发现爱因斯坦的预言与牛顿力学的观念不一致时，大自然就选择了爱因
斯坦的预言。
下面总结一下我们讲述过的问题。首先，时间的快慢和距离的大小
依赖于进行测量时所处的位置和时刻。这与时空弯曲的说法是等价的。
用一个球的实测面积能够确定一个预期的半径
但是，实测半径将
会有一个超出量，它正比于球内所含的质量（比例常数是 G/ c 2）。这个
超出量确定了时空弯曲的确切程度。不管谁在观测空间中的物质，也不
管这些物质怎样运动，曲率的数值必定是一样的。其次，粒子在这个弯
曲的时空中沿“直线”（最大原时的轨迹）运动。这就是爱因斯坦的引力
定律的真正含义。
理查德·费曼生平
理查德·费曼于1918年出生于布鲁克林[18]，1942年在普林斯顿获得
博士学位。在第二次世界大战期间，尽管他年纪轻轻，就在洛斯阿拉莫
斯的曼哈顿计划中起了重要的作用。战后，他在康奈尔大学和加州理工
学院任教。于1965年与朝永振一郎和朱利安·施温格一起获得诺贝尔物
理学奖。
费曼博士由于成功地解决了量子电动力学理论方面的问题而获得了
诺贝尔奖。他还创立了一个解释液氦中的超流现象的数学理论。此后，
又与默里·盖尔曼一起在诸如β衰变等弱相互作用领域从事开创性的工
作。在随后的岁月里，费曼提出了高能质子碰撞过程的部分子模型，在
夸克理论的发展中起了关键的作用。
除了这些成就之外，费曼博士还在物理学中引入了基础性的新的计
算方法和符号，特别是无处不在的费曼图，它也许比近代科学史上任何
其他的形式体系更多地改变了人们对基本物理过程进行概念化和计算的
方式。
费曼是一位卓有成效的教育家。在他所获得的众多的奖项中，他特
别欣赏1972年获得的奥斯特教学勋章。1963年初版的费曼《物理学讲
义》被《科学美国人》杂志的评论家誉为“难啃的但却营养丰富的美味
佳肴。25年之后，它成为教师和大学新生中佼佼者的指南”。为了使广
大非专业人士更多地了解物理学，费曼博士还写了《物理定律的本性》
与《QED：光与物质的奇妙理论》。他还写过许多高深的论著，这些都
成了研究者和学生的经典参考文献和教科书。
理查德·费曼是一位建设性的公共人物。他在“挑战者”号事故调查
委员会中的工作是街知巷闻的，尤其是他证明O形环对寒冷的敏感性的
出色演示，这个精彩的演示需要的只不过是一杯冰水而已。比较鲜为人
知的是费曼博士在20世纪60年代为加州的课程委员会劳心费神所做的事
情，当时，他对教科书的平庸无奇提出了质疑。
列举理查德·费曼在科学和教育方面的无数成就并不能充分反映他
的本性。甚至他专业论著的读者也知道，费曼活泼和多面的个性闪耀在
他全部的工作中。他不仅是一位物理学家，在不同的时期，他还是收音
机修理工、开锁匠、艺术家、舞蹈家、手鼓表演者，甚至还是玛雅象形
文字的翻译。他是一个模范的经验主义者，永远对身边的世界感到好
奇。
理查德·费曼于1988年2月15日在洛杉矶去世。
[1]戴森的引文可以分别从他的著作 From Eros to Gaia（Pantheon books, New York，1992）第325
页和第314页中找到。
[2]引自相对论领域的开创性文献，由爱因斯坦、洛伦兹、外尔和明可夫斯基合写的《相对论原
理》（Methuen and Co.1923年初版）的多佛重印本。
[3]吉本（Edward
Gibbon），1737～1794，18世纪英国著名历史学家，《罗马帝国衰亡史》作
者。
[4]在排版中，矢量用黑体表示；在手写时则用一个箭头表示： 。
[5]参见原《物理学讲义》第一卷。
[6]参见原《物理学讲义》第一卷。
[7]参见原《物理学讲义》第一卷。
[8]实际上，由于空气对光的折射率，电子会赢得这场与可见光的比赛。伽马射线则可能会胜
出。
[9]参见原《物理学讲义》第一卷。
[10]参见原《物理学讲义》第一卷。
[11]我们应该提一下关于完整性的另外一个要点。假如你想把有关弯曲空间的热板模型扩展到
三维，就必须想象，尺子的长度不仅依赖于它所处的位置，而且还依赖于把它放下时它所指的
方向。这是尺子的长度依赖于所处的位置这种简单情形的一个推广，不过当指向南北、东西和
上下时是相同的。假如你想用具有这种模型的任意几何体系来表示一个三维空间，那么，把它
推广是必需的，尽管对于二维而言碰巧没有这种需要。
[12]没有任何人（包括爱因斯坦）知道，如果物质集中在多个点上应该如何处理。
[13]是近似的，原因是密度并非像我们设想的那样与半径无关。
[14]参见原《物理学讲义》。
[15] R.V.Pound and G.A.Rebka, Jr. ， Physical Review Letters Vol.4，p.337（1960）.
[16]见原《物理学讲义》。
[17]严格地说，这只是一个局部的最大。我们应该这样来表述：这个原时比任何邻近的路径的
原时大。例如，在射得非常高并向下回落的物体的抛物线轨道上的原时，与之相比，在围绕地
球的椭圆轨道上，原时就无需更长。
[18]美国纽约市西南部的一个区。——译者注
