矢量
1-1 物理学中的对称性
在这一章中，我们将介绍一个问题，这个问题在物理学的术语中叫
做物理定律的对称性。在这里，“对称性”这个词是在一种特别的含义下
被使用的，因此需要对它做出界定。一件事物什么时候是对称的——我
们该如何定义它呢？当我们拿起一幅对称的图画时，它的一边总是与另
一边相同。赫尔曼·外尔教授曾经给对称性下过这样的定义：如果能够
让一件事物经历某个操作，而且它在经历了这个操作之后看上去没有任
何变化，就说这件事物是对称的。比如说，如果我们观赏一个左右对称
的花瓶，那么，让它绕垂直轴转过180°，它看上去就与原来一模一样。
关于对称性，我们将采用外尔这种较为普遍的定义，我们将用这种定义
讨论物理定律的对称性。
设想我们在某个地方建造一台机器，它由许多不同的部件组成，各
个部件之间有大量错综复杂的相互作用，还有相互之间有作用力的活蹦
乱跳的小球，如此等等。接下来设想我们在另外某个地方建造完全同类
型的装置，每个部件都与原来的一模一样，相同的尺寸和取向，除了水
平地移动了一段距离外，一切相同。然后，如果我们在严格一致的相同
的初始状态下开动两台机器，我们要问：某台机器与另外一台机器会完
全一样地运转吗？它们会严格对应地实现所有动作吗？有充分的理由认
为答案是否定的，原因是，如果我们建造机器的地点选择不当，它就会
有可能被安装在某个围墙中，来自围墙的干扰就有可能使机器的运转失
灵。
物理学中所有的观念都需要我们懂得应用它们的常识；它们并不是
纯粹的数学观念或者抽象概念。当我们说将机器移到新的地点后现象相
同这句话时，必须明白自己在说什么。这句话表示移动各种我们认为是
相互关联的物体；假如现象不一样，就认为某些相关的东西没有被移过
去，那就得再把它找出来。假如我们一直都找不到这种东西，那就得断
言物理定律不具有这种对称性；另一方面，假如物理定律确实具有这种
对称性，我们就可以找到它（我们预料能找到它）；环顾四周，我们就
会发现，比如说，围墙正在影响着我们的机器。根本的问题在于，假如
我们把事物确定得足够明确，假如所有必不可少的力都包括在机器中，
假如所有相关的部件都从一个地点移到另一个地点，那么，这些规律是
否会一样呢？机器是否会以相同的方式运转呢？
显然，我们想要做的事情是移动所有的设备和基本影响，但并不是
世界上所有的物体——行星、恒星等，因为如果我们这样做了，我们就
会由于显而易见的理由重现相同的现象，这个理由就是，我们正好回到
开始时的状态。不，我们不能移动所有的物体。不过，实践表明，只要
我们对所要移动的事物有一定的了解，机器就会运转。换句话说，假如
我们不把机器安装在围墙里面，假如我们知道外力的起因，并设法把这
些力也移走，那么，这部机器在某个地点就会像在另一个地点一样以相
同的方式运转。
1-2 平移
我们将把分析局限在力学范围，关于这个领域我们现在有足够的知
识。在前面的章节中我们已经看到，对于每一个粒子，力学定律能够用
三个方程构成的方程组来概括：
这就意味着有办法在三个相互垂直的轴上测量 x, y和 z，以及沿着这些方
向的力，以便使上述定律成立。这些测量必须从某个原点开始，可是我
们把原点放在哪里呢？当初，牛顿理论所能告诉我们的是，存在某个位
置，我们能够从这个位置开始测量，以确保这些定律是正确的，这个位
置也许就是宇宙的中心。但是，能够立刻证明，我们永远找不到这个中
心，因为如果我们使用别的某个原点，所得到的结果没有任何差别。换
句话说，设想有两个人，一个是乔，他在某个位置有一个原点，另一个
是莫，他有一个平行的坐标系，但原点在别的位置（图1-1）。当乔测
量空间某点的位置时，他发现这个点在 x, y和 z处（我们通常会把 z轴省
略，因为在图中把它画出来就太乱了）。另一方面，当莫测量同一个点
时，他会得到一个不同的 x（为了区分它，我们将把它叫做 x′），而且原
则上也得到一个不同的 y，尽管在这个例子中它们数值相同。因此有
图1-1 两个相互平行的坐标系
为了完成我们的分析，必须知道莫测量力时会得到什么。力被设想
成沿着某条线作用，而 x方向的力则表示整个力在 x方向的那个部分，是
力的大小乘以它和 x轴的夹角的余弦。现在我们看到，莫使用的投影与
乔使用的投影完全相同，于是我们得到以下一组方程
这些就是由乔和莫所测得的量之间的关系。
问题在于，如果乔认识牛顿定律，而莫也试图写出牛顿定律，那
么，这些定律对他来说还正确吗？从他的原点开始测量，位置会有任何
差别吗？换句话说，假定方程组（1.1）是正确的，而方程组（1.2）和
（1.3）给出测量结果之间的关系，以下方程
对还是不对呢？
为了检验这些方程，我们将对公式中的 x′求导两次。第一次求导给
出
在这里，我们将假定莫的原点相对于乔的原点是固定的（不动的）；这
样， a是一个常数，而 da/dt=0，于是得到
由此可以得到
因此，我们确信方程（1.4a）变成
（我们还假定，由乔和莫测得的质量相等。）这样，加速度乘以质
量的结果与另一位同伴的结果相同。我们还得到了关于 F
的公式，将
x′
结果代入方程（1.1）中，我们就得到
因此，由莫看到的规律看来是相同的；他用不同的坐标系也可以5
写出牛顿定律，这些定律仍然是正确的。这就意味着，没有惟一的方法
定义世界的原点，原因就是无论从哪个位置观测，这些定律看起来都将
是相同的。
以下的说法也是正确的：如果在某个地点有一件带有某种机械装置
的设备，在另一个地点上相同的设备将以相同的方式运转。为什么会这
样呢？因为一部由莫研究的机器与另一部由乔研究的机器满足完全相同
的方程。既然方程是相同的，那么，现象看起来就是相同的。于是，证
明一部机器在新位置的行为与在老位置的行为相同，或者证明在空间中
移动时方程的形式不变，两者是一回事。由于这个原因，我们说物理定
律对于平移变换是对称的，这个说法表示，当我们进行坐标平移时物理
定律并不改变。当然，从直观上看，这个说法显然是正确的，但是，讨
论其数学表述是引人入胜和令人愉快的。
1-3 旋转
以上是一系列比较复杂的命题中的第一个命题，这些命题与物理定
律的对称性有关。下一个命题说，无论我们将坐标轴指向何方都不会引
起差异。换句话说，假如我们在某个地方建造了一台设备，并观察它运
转，又在附近建造一台同类型的设备，但是摆放的方位转过一个角度，
它会以相同的方式运转吗？显然不会，比如一个有摆的落地大座钟就是
例子！如果把一个摆钟竖直放置，它就会走得很好，但是如果把它斜着
放置，摆锤就会碰到钟罩的壁，钟就停下来了。于是，对于一个摆钟，
上面的法则就不灵了，除非我们把吸引着钟摆的地球也算进去。因此，
假如我们相信，对旋转来说物理定律是对称的，就能够对摆钟做出如下
预言：除了摆钟的机械部件之外，在它的运转中还包含着一些别的因
素，一些我们应该去寻找的外在的因素。我们还可以预言，相对于这个
神秘的不对称之源（也许就是地球），当摆钟被放置在不同的地点时，
它将不会以相同的方式运转。确实如此，比如说，我们知道，一个放在
人造卫星上的摆钟根本就不走，原因就是没有对它起作用的力，而在火
星上，摆钟将以不同的速率运转。除了单纯的机械部件之外，摆钟里边
确实包含某些别的东西，一些外在的东西。一旦认识到这个因素，我们
就会明白，必须让地球随同机件一起转动。当然，我们无须为此担心，
这是很容易做到的；只要等上那么一会儿，地球就会转过去；于是，摆
钟在新的位置上就会像先前那样重新运转起来。当我们在空间中旋转
时，转角必定是在不断变化的；这种变化似乎并没有给我们带来太多的
麻烦，因为，在新的位置上，我们似乎处于与老地方相同的条件下。这
很可能会令人迷惑不解，原因在于，物理定律在转动后的新位置上与在
未经转动的位置上确实是相同的，但是，当我们转动一个物体时，说它
遵从的定律与不去转动这个物体时它遵从的定律相同，这就不对了。假
如我们做足够精密的实验，就能够断定，地球正在转动，但却不能说出
它转过多少。换句话说，我们不能确定它的方位，但是能够断定它的方
位在改变。
现在，我们可以来讨论角取向对物理定律的影响。让我们再来看一
看，乔和莫两人玩的把戏是否能够重演。这一次，为了避免不必要的麻
烦，我们将假定乔和莫采用同一个原点（我们已经证明过，坐标轴可以
通过平移被移至别的地方）。假设莫的轴相对于乔的轴转过了一个角度
θ。这两个坐标系如图1-2所示，只限于两维的情况。考虑任意一点 P，
在乔的坐标系中，它的坐标是（ x, y），而在莫的坐标系中，它的坐标
是（ x′， y′）。和前面的例子一样，我们将这样开始：用 x, y和θ来表示坐
标 x′和 y′。为了这样做，我们先从 P点向四根坐标轴各画一条垂线，并画
出垂直于 PQ的线 AB。看一看这张图就可以看出， x′可以写成沿着 x′轴的
两段长度之和，而 y′则可以写成沿着 AB线上的两段长度之差。所有这些
长度都用 x, y和 θ表示出来，如方程（1.5）所示，其中已经加上了一个第
三维的方程。
图1-2 具有不同角取向的两个坐标系
下一步是，使用与前述相同的一般方法分析两个观测者所看到的那些力
之间的关系。假设有一个力，（在乔看来）具有分量 F 和
，它正作
x
F y
用在一个质量为 m，位于图1-2中P点的粒子上。为了简单起见，我们将
两套坐标轴的原点移到P点，如图1-3所示。莫看到F沿着他的坐标轴的
分量是 F 和
。
具有沿着
也同样具有沿着
x′
F y′ F x
x′轴和y′轴的分量，而 F y
这两根轴的分量。为了用 F 和
表示
，我们把它们沿着
x
F y
F x′
x′轴的这些
分量加起来，利用同样的方法我们能够用 F 和
表示
。所得到的结
x
F y
F y′
果是
有趣的是看到一个出人意料的，然而却极其重要的情况：分别表
示 P的坐标和 F的分量的公式（1.5）和（1.6）具有相同的形式。
图1-3 一个力在两个坐标系中的分量
和前面一样，假设牛顿定律在乔的坐标系中成立，并由方程
（1.1）表示。问题仍然是，莫是否能够应用牛顿定律——对于他那个
坐标轴已被转动过的坐标系，所得到的结果还对吗？换句话说，如果我
们假定方程（1.5）和（1.6）给出测量结果之间的关系，以下方程
对还是不对呢？为了检验这些方程，我们分别推算方程的左边和右边，
并将推算的结果进行比较。为了推算方程的左边，用 m乘方程
（1.5），并对时间求两次导数，在推算中假定角度 θ是常数。这个运算
给出
将方程（1.1）代入方程（1.6）就可以推算方程（1.7）的右边。这
个运算给出
看到了吧！方程（1.8）和（1.9）的右边相等，我们因此推断，假
如牛顿定律在一个坐标系中是对的，那么，它们在任何别的坐标系中也
是对的。到目前为止，这个结果已经在坐标轴的平移和旋转操作下得以
确立，由此得出一些推论：首先，没有人能够宣称他自己的坐标系是独
一无二的，不过当然啦，它们对解决某些特定的问题会更加方便。比如
说，把引力的方向选做某根轴的方向是方便的，但在物理上这并不是必
需的。其次，这个结果意味着，任何一套设备，如果它是完整的，即所
有产生力的装置全部安装在里面，那么，当转过一个角度时，它的运转
方式不变。
1-4 矢量
不仅牛顿定律，到目前为止我们所认识的其他物理定律，都具有这
两种对称性，即在坐标轴的平移和旋转操作下的不变性。由于这些性质
如此重要，因此已经发展了一种数学方法，用来书写和使用物理定律。
前面的分析含有很多乏味的数学运算。为了在这种问题的分析中把
这些琐碎的细节减到最小程度，人们发明了一种强有力的数学工具。这
种方法叫做矢量分析，它确定了本章的标题；不过，严格地说，这一章
讲的是物理定律的对称性。利用前述的分析方法，我们就能够进行任何
必要的分析工作，以获得所要寻找的结果，不过在实际上，我们总是喜
欢把事情做得更轻松更迅速，因此我们使用矢量方法。
我们先来看一看在物理学中两种重要的量的某些性质（实际上不止
两种，不过还是让我们从两种着手吧）。其中一种量，例如布袋中的马
铃薯的数目，叫做普通的量，或者叫做无指向的量，也叫做标量。温度
就是这种量的一个例子。在物理学中，其他重要的量是有指向的，比如
说速度：我们不仅要知道一个物体的速率，还必须记录它向哪个方向运
动。动量和力也是有指向的，位移也一样：当一个人在空间中从一个地
点走向另一个地点时，我们可以记录他走了多远，但是如果我们还希望
知道他到哪里去，就必须明确他走的方向。
所有像在空间中走的一步那样有指向的量，叫做矢量。
一个矢量就是三个数。为了表示在空间中所走的一步，比如说从原
点到某个坐标是（ x,
y， z）的特定的点 P，我们确实需要三个数，不
过，我们打算造一个单个的数学符号 r，这个符号与我们曾经用过的任
何别的数学符号不一样。[4]它不是一个单个的数，而是表示三个数： x,
y和 z。它意味着三个数，但实际上又不仅是那三个数，因为，如果我们
采用另一个不同的坐标系，这三个数就要变成 x′， y′和 z′了。不过，我们
希望保持在数学上是简单的，因此，将用相同的记号表示（ x, y， z）这
三个数和（ x′， y′， z′）这三个数。那就是说，在某个坐标系中，我们用
一个记号来表示第一个数组的三个数，而在别的坐标系中，我们还是用
这同一个记号来表示第二个数组的三个数。这种表示方法有这样的好
处，即当我们改变坐标系时，它使我们无需改变方程中的字母。如果我
们用 x,
y， z写下一个方程，又使用另一个坐标系，就不得不把坐标改
成 x′， y′， z′，但是，利用以下约定，只要写成 r就行了，这个约定是：
如果我们采用某一坐标系，它就表示（ x, y， z），如果我们采用另一坐
标系，它就表示（ x′， y′， z′），如此等等。在一个特定的坐标系中，描
写物理量的三个数叫做矢量在这个坐标系中沿坐标轴方向的分量。也就
是说，在不同坐标系中进行度量时，对应于同一个对象的三个数，我们
使用相同的符号标记它。正是我们能够说“相同的对象”这个事实蕴涵着
一个物理上的直觉观念，这个观念说的是在空间中走一步这件事，它与
我们对其进行测量时所用的分量无关。因此，无论我们怎样转动坐标
轴，符号 r将表示同一个实体。
现在假定有另一个任意的有方向的物理量，任何别的物理量，比如
说力，也有三个数与之相联系，如果我们改变坐标系，这三个数就会按
照某种数学规则变成三个别的数。这种规则必定与将（ x,
y， z）变成
（ x′， y′， z′）所遵循的规则相同。换句话说，任何与三个数相联系的物
理量，如果其变换方式与在空间中走一步的分量的变换方式一样，它就
是一个矢量。因此，如果一个如下形式的方程
F= r
在某个坐标系中正确，那么它在任何坐标系中都正确。当然，这个方程
代表三个方程
或者也可以代表
一个物理关系式能够被表示成一个矢量方程，这个事实确保在坐标系只
做旋转时，该关系式不会改变。这就是矢量在物理学中为何如此有用的
原因。
让我们来考查一下矢量的某些性质吧。作为矢量的例子，我们可以
看一看速度、动量、力和加速度。在很多场合下，用一个指示其作用方
向的箭头记号表示一个矢量是方便的。为什么我们能够用比如说箭头记
号这样的符号表示力呢？这是因为它与“在空间中走一步”具有相同的数
学变换性质。因此，我们把它看成好像是在空间中走一步那样，选取适
当的比例使力的单位，即1牛顿，对应于某个方便的长度，用图示的方
法表示出来。一旦我们这样做了，所有的力都能够用长度表示，因为如
下形式的方程
F= k r
是一个完全合理的方程，其中的k是某个常数。这样，我们就总是能够
用直线表示力，这是很方便的，因为一旦画出了直线，就再也不需要坐
标系了。当然啦，当三个分量随坐标系转动而改变时，我们能够快速地
把它们算出来，因为这仅仅是一个几何学问题。
1-5 矢量代数
我们必须说一下用各种方法将矢量组合起来所要遵循的法则或者规
则。第一个这样的组合是两个矢量之和：设a是一个矢量，它在某个特
定的坐标系中具有三个分量（ a
），而
x, a y, a z
b则是另一个矢量，它具有
三个分量（ b
）。我们来造三个新的数（
）。这
x, b y, b z
a x+ b x, a y+ b y, a z+ b z
些数构成一个矢量吗？“唔，”人们也许会说，“它们是三个数，而每三
个数就构成一个矢量。”错啦，并不是每三个数都构成一个矢量！为了
使它成为一个矢量，不仅需要有三个数，而且这三个数还必须以这样一
种方式与坐标系相关联，即当我们转动坐标系时，这三个数会按照我们
已经叙述过的确切的规律相互之间“循环出现”，变成彼此“混合在一
起”。这样，问题就是，如果我们转动坐标系使（ a
）变成（
x, a y, a z
ax
， ， ），而（
）则变成（ ， ， ），那么，
′
ay′ az′
b x, b y, b z
bx′ by′ bz′
（ a
）会变成什么呢？它们会不会变成（
，
x+ b x, a y+ b y, a z+ b z
ax′+ bx′ ay′+ by
，
）呢？答案当然是肯定的，因为原型变换式（
′
az′+ bz′
1.5）构成一个所
谓的线性变换。假如我们把这些变换用到 a 和 上得到
，就会发
x
b x
ax′+ bx′
现，变换后的 a
确实与
相同。当
x+ b x
ax′+ bx′
a和b在这种意义下被“加起
来”时，它们将构成一个矢量，可以用 c表示它。我们把这个矢量写成
这个 c具有以下颇有意思的性质
这一点我们从它的分量中马上就能够看出。还有
我们可以按照任意次序把矢量加起来。
a+ b的几何意义是什么呢？如果在一张纸上用直线把 a和 b表示出
来，那么， c是什么样子的呢？结果在图1-4中给出。我们看到，如果将
表示 b的分量的长方形按图中所示的方式紧挨着表示 a的分量的长方形放
置，就能够很方便地将 b的分量加到 a的分量上。由于 b正好与它自己的
长方形吻合， a也同样与它自己的长方形吻合，因此，这就好像把 b
的“尾部”放到 a的“头部”一样，从 a的“尾部”引向 b的“头部”的箭头记号就
是 c矢量。当然，如果我们用另一种方法倒过来把 a加到 b上，就应该把 a
的“尾部”放到 b的“头部”，利用平行四边形的几何性质就会得到相同的
c。请注意，矢量可以按照这种方法加起来而不涉及任何坐标系。
图1-4 矢量加法
假如我们用一个数 α乘一个矢量，这意味着什么呢？我们定义它代
表一个分量是 αa ，
和
的新矢量。它的确是一个矢量，我们把它
x
αa y αa z
作为一个问题留给学生证明。
下面，我们来考虑矢量的减法。我们可以像定义加法那样定义减
法，只是用分量相减代替分量相加。我们也可以这样来定义减法：定义
一个负矢量，- b=-1 b，然后把分量相加。用这个方法得到的结果是一样
的。结果如图1-5所示。这个图说明 d= a- b= a+（- b）；我们还注意到，利
用等价的关系 a= b+ d很容易从 a和 b得到差值 a- b。因此，差值甚至比求和
更容易得到：只要从 b到 a画出矢量，就得到 a- b了！
图1-5 矢量减法
接下来我们讨论速度。速度怎么会是一个矢量呢？如果位置用三个
坐标（ x, y， z）表示，那么速度用什么表示呢？速度是用 dx/ dt, dy/ dt和
dz/ dt来表示的，这是不是一个矢量呢？我们可以通过对方程（1.5）中的
表达式求导数来判断 dx′/ dt是否按照恰当的方式变换。我们看到，分量
dx/ dt和 dy/ dt确实按照与 x和 y相同的规律变换，因此，这个时间的导数是
一个矢量。由此得出速度是一个矢量。我们可以用一种颇有意思的方式
把速度写成
速度是什么，它怎么会是一个矢量，这些问题还可以更形象地去理
解：一个粒子在一段短的时间Δ t内移动了多远呢？答案是：Δ r，因此，
如果一个粒子在某一瞬间处于“这里”，而在另一瞬间处于“那里”，那
么，位置的矢量差Δ r= r
（如图
2- r 1
1-6所示指向运动的方向）被时间间
隔Δ t= t
除，就得到
2- t 1
“平均速度”矢量。
图1-6 一个粒子在一段短的时间间隔Δ t= t
内的位移
2- t 1
换句话说，速度矢量表示这样一种极限，当Δ t趋于0时， t+Δ t时刻和
t时刻径向矢量的差值除以Δ t：
由于速度是两个矢量之差，所以它是一个矢量。上述式子也是速度的正
确的定义式，因为它的分量就是 dx/ dt, dy/ dt和 dz/ dt。事实上，我们从这
个论证中看到，如果我们将任意矢量对时间求导，就会造出一个新的矢
量。由此看来，我们有几个造出新矢量的办法：（1）用一个常数去
乘；（2）对时间求导；（3）把两个矢量相加或者相减。
1-6 用矢量法表示牛顿定律
为了写出矢量形式的牛顿定律，我们只需要再走一步，接着定义加
速度矢量就够了。这一步就是速度矢量的时间导数，容易证明它的分量
是 x, y和 z对时间 t的二阶导数
利用这个定义，牛顿定律就可以按这样的方式写出：
或者
于是，证明在坐标旋转下牛顿定律的不变性这个问题就是：证明 a
是一个矢量；我们刚刚做了这个证明。证明 F是一个矢量：我们假设它
是一个矢量。这样，如果力是一个矢量，那么，由于我们知道加速度是
一个矢量，因此，方程（1.13）在任意坐标系下看起来都将一模一样。
以一种不显含x, y和z的形式写下牛顿定律具有这样的好处，从今以后，
每当我们要写下牛顿方程或者其他物理定律时，再也不需要写出三条定
律了。表面上看，我们写下一条定律，但实际上对每一个特定的坐标
系，自然就是三条定律，原因就是，任何矢量方程表示，方程两边各个
分量相等。
加速度是速度矢量的变化率，这个事实有助于我们在某些相当复杂
的情况下计算加速度。比如说，假设一个粒子正在一条复杂的曲线上运
动（图1-7），而且在某个特定的时刻 t具有确定的速度 v ，而当到达另
1
一个稍晚一点的时刻t 时，它具有不同的速度
。加速度是什么呢？答
2
v 2
案是：加速度就是速度之差被这个小的时间间隔除，这样，我们就需要
用到两个速度之差。我们如何得到速度之差呢？为了把两个矢量相减，
我们过 v
和
的终点画出这个矢量；即，取
2
v 1
Δ作为两个矢量之差，对
吗？不对！只有当矢量的尾部放在同一点上时，上面的做法才行得通！
如果我们把矢量移到别的某处再画一条直线过来，就毫无意义了，因
此，务必要注意这一点！为了把矢量相减，我们必须画一个新的示意
图。在图1-8中， v 和
均被画成与图
1
v 2
1-7中它们的对应部分平行而且相
等，这样我们就能够讨论加速度了。加速度当然就是Δ v/Δ t。有趣的是
能够将速度之差分解成两个部分；我们可以把加速度看成具有两个分
量，一个是与路径相切方向上的Δ v ，另一个是与路径成直角的
∥
Δ v⊥，如
图1-8所示。与路径相切的加速度当然只是矢量长度的改变，即速率 v的
改变：
图1-7 一条弯曲的轨道
图1-8 计算加速度的示意图
利用图1-7和1-8计算加速度的另一个与曲线正交的分量是很容易
的。在短时间Δ t内，设 v 和 之间的角度改变是一个小角
1
v 2
Δ θ。如果速度
的大小用 v标记，那么，自然就有
而加速度 a就是
现在我们需要知道Δ θ/Δ t的值，它可以按照以下方法求出：在某个确定
的时刻，如果曲线近似于某个具有确定半径 R的圆，那么，在时间Δ t内
距离 s自然就是 vΔ t，其中 v是速率。
因此得到
与先前见过的一样。
1-7 矢量的标量积
现在进一步考查矢量的性质。容易看出，在空间中走一步的长度在
任何坐标系中都相同。这就是说，如果特定的一步 r在某个坐标系中用 x,
y， z表示，而在另一个坐标系中则用 x′， y′， z′表示，那么，走过的距离
r=｜ r｜在两个坐标系中肯定会相同。于是有
同样还有
因此，我们希望证明的是这两个量相等。不用为计算平方根而操心就更
加方便，因此，我们来讨论距离的平方吧；这就要搞清楚下面的等式是
否正确，
这个式子成立就最好不过了——如果我们将方程（1.5）代入上式，就
发现结果确实是这样的。由此可见，还有另外一些类型的方程在任意两
个坐标系中是正确的。
某些新的东西被卷进来了。我们可以造一个新的量，一个 x, y和 z的
函数，称之为标量函数，这是一个没有方向，但在两个坐标系中相同的
量。我们可以用一个矢量来造出一个标量。我们必须为此找到一个一般
的规则。显然，对于刚才讨论的例子，所要的规则就是：把分量的平方
加起来。我们现在来定义一个写成 a· a的新的运算。这不是一个矢量，
而是一个标量；它是一个在所有坐标系中都一样的数字，它被定义为矢
量的三个分量的平方和：
你也许会问，“可是用哪个坐标系去计算呢？”它与坐标系无关，答案在
每个坐标系中都一样。于是，我们有了一类新的量，通过对一个矢量进
行“平方”运算造出来的新的不变量或标量。如果我们现在用任意两个矢
量a和b来定义下面这个量：
就会发现，无论在带撇号的还是在不带撇号的坐标系中进行计算，这个
量也都是一样的。为了证明这一点，我们要记住， a· a, b· b和 c· c都有这
个结论，其中 c= a+ b。因此，平方和
并不改变：
如果把这个方程的两边展开，就会出现方程（1.19）给出的那种交叉乘
积项，以及 a和 b的分量的平方和。方程（1.18）那种形式的项的不变性
就会使交叉乘积项（1.19）也不变。
a· b这个量叫做两个矢量 a和 b的标积，它具有许多有趣的和有用的
性质。比如说，容易证明
还有一种不需要计算 a和 b的分量就可以计算 a· b的简单的几何方
法： a· b等于 a的长度与 b的长度的乘积再乘它们之间的夹角的余弦。为
什么会这样呢？假定我们选取一个特殊的坐标系，它的x轴沿着 a的方
向；在这种情况下， a的仅有的分量就是 a ，它自然就等于
x
a的整个长
度。这样，对于这个例子而言，方程（1.19）就简化成 a· b= a
，而这
x b x
就是 a的长度乘 b在 a方向的分量，即 b cos θ：
因此，在上面这个特殊的坐标系中，我们已经证明了 a· b等于 a的长度
乘 b的长度再乘cos θ。可是，由于 a· b与坐标系无关，因此，如果它在一
个坐标系中成立，那么，在所有的坐标系中也成立；这就是我们的论
证。
点乘有什么用处呢？在物理学中有哪些场合我们用得上它呢？当然
有，我们随时都要用到它。比如说，在原先的《物理学讲义》的第一卷
