前面我们看到了人类如何为我们的描述添加上各种“包袱”。现在，让我们来看看对立面——数学抽象如何能消除“包袱”，剥离至万物赤裸的本质。我们先来看看那个被称为“不朽对局”（Immortal Game）的棋局（见图9-6）。对局中，白棋引人注目地牺牲了两个车、一个象和一个后，用剩下的最后3个轻子完成了将死。这个对局最早于1851年出现在阿道夫·安德森（Adolf Anderssen）与莱昂内尔·吉塞芮茨基（Lionel Kieseritzky）的对弈中。每年，同样的棋局都会重复出现在意大利的马罗斯蒂卡（Marostica），世界各地的象棋爱好者会涌至此地，重复这个对局，有的棋手还会装扮成棋子的样子。一些棋手（包括我弟弟佩尔、他儿子西蒙和我儿子亚历山大，图9-6左一）会使用木头做的棋子；还有一些人会用大理石或塑料做成不同形状和大小的棋子，棋盘有的是棕色和米黄色相间，有的是黑白相间；还有一些则是虚拟的三维或二维计算机图像（图9-6右一）。但是你会觉得，这些细节都不重要——当棋迷们用“美丽”这个词来形容不朽对局时，他们并不是指棋手、棋盘和棋子具有吸引力，而是指一个更抽象的实体，一场抽象的比赛，或者说是棋子运动的序列。
图9-6 一场抽象的象棋比赛与棋子的颜色和形状无关，也与棋子是在物理存在的棋盘还是虚拟的计算机渲染图像上运动，或是所谓的代数记谱法上运动无关——它都是同一场棋局。类似地，数学结构也与描述它的符号无关。
现在，让我们来看看人类是如何描述这些抽象实体的。首先，一段描述必须明确而具体，所以我们发明了客体、语言或其他符号来表示抽象的思想，比如，在美国，我们把可斜着走的棋子叫作“主教”（bishop）。其次，这个名字显然是很随意的，换个名字也无妨——实际上，法国人管这个棋子叫作“小丑”（fou），斯洛伐克人称之为“射手”（strelec），瑞典人称之为“跑者”（l pare），而波斯语称之为“象”（fil）。然而，我们可以引入一个强大的武器，将这些不同的称谓统一起来，让不朽对局保持独一无二的特性。这个武器就叫作“等价”。
●我们将同一个事物的两个不同描述定义为“等价”。
●如果两个描述是等价的，则它们描述的是同一个事物。
比如，我们都一致认同，如果两个对棋子位置的描述的不同点仅在于棋子的大小，或棋手母语对它的不同称谓，那这两个描述就是等价的。
等价
如果两个描述之间存在一个保留了所有关系的对应性，那么这两个描述就是等价的。
所有的语言、概念或符号，如果它们只出现在某些而非全部等价描述中，那么很显然，它们就是可有可无的，因此都是“包袱”。那么，如果我们想要深入至不朽对局的真正本质，到底要剥离掉多少“包袱”呢？很显然，答案是许多。因为计算机在下棋时可以不涉及任何人类的语言和概念（如颜色、材质、大小和棋子的名字）。要完全理解我们到底可以走多远，需要先对“等价”下一个严格的定义。
象棋涉及抽象的实体（不同的棋子和棋盘上不同的方格）以及它们之间的关系。比如，棋子与方格的一种关系是前者在后者之上。还有一种关系是，棋子允许移动到某个方格。比如，在我们的定义中，图9-6中间的两幅图是等价的：三维的棋子棋盘和二维的棋子棋盘之间存在一个对应关系，不管三维的棋子位于哪个方格中，在二维棋盘中都能找到一个对应的棋子位于对应的方格中。同样，对棋子位置的纯英文描述与纯西班牙文描述是等价的——只要你有一本英文和西班牙文相对应的词典，你就可以将西班牙文的描述翻译成英文的描述。
当报纸和网站在介绍棋局时，通常会采用另一种等价描述即所谓的“代数记谱法”（algebraic cless notation，见图9-6右一）。这种形式中，棋子并不是以文字或物体的形式呈现的，而是用单个字母（比如，象用B）来表示，而方格用一个代表列的字母和一个代表行的数字来表示。由于图9-6右图中对棋局的抽象描述与一段在实体棋盘上下棋的视频是等价的，所以，在后者中，所有不包含在前者中的描述都只是“包袱”——从棋盘的物理实体到棋子的形状、颜色的名称。甚至代数记谱法的特性也是“包袱”——当计算机下棋时，它们采用的是另一种抽象描述来代表棋子的位置，只涉及内存中0和1组成的特定模式。那么，当你剥离所有的“包袱”，还剩下什么呢？这些等价描述究竟在描述些什么呢？不朽对局本身，100%纯净，不含任何“添加剂”。
包袱与数学结构
我们对抽象的棋子、棋盘及其相互关系的研究，是一个更广泛的概念的例子，即数学结构。这是现代数理逻辑中的一个标准概念。我将在第11章给出一个更技术性的描述，但是现在，我们只需要这个非技术性定义就够了：数学结构是指一组相互关联的抽象实体。
要理解它的含义，让我们来看几个例子。图9-7左图是一个拥有4个实体的数学结构，其中一些实体的关系是“喜欢”。在图中，名叫“菲利普”的实体用一张图片来代表，这张图片拥有许多内禀性质，比如棕色头发等。相比之下，数学结构中的实体是纯粹抽象的，这意味着它们并不具有任何内禀性质。也就是说，不管我们用什么符号来代表这些实体，都只是标签，而标签的性质无关紧要——为了避免将符号的性质赋予它们所代表的抽象实体，让我们把图片简化一下，得到中间的那张图。中图与左图是等价的，因为，如果你建立一个对应关系的“词典”，即菲利普=1，亚历山大=2，滑雪=3，滑冰=4，喜欢=R，那么所有的关系都保留下来了。比如，“亚历山大喜欢滑冰”被翻译为“2 R 4”，这个关系在中图中同样成立。
图9-7 同一个数学结构的三个等价描述，数学家会称其为“4个元素的有序图”。每个描述中都包含一些任意的“包袱”，但是它们所描述的数学结构却是100%无“包袱”的：它的4个实体没有任何性质，除了它们之间的关系，而这些关系也没有任何性质，除了它们所连接的元素的有关信息。
棋局可以单用符号来描述，而不用任何图形。数学结构也同样如此。比如，图9-7右图给出了前述数学结构的第三个等价描述，采用的形式是一个4×4的数表。在这个数表中，等于1的条目意味着，某个关系（“喜欢”）在该行对应的元素与该列对应的元素之间成立，所以，第1行第3列的“1”意思是“菲利普喜欢滑雪”。很显然，这个数学结构的等价描述可以有很多种，但是所有这些等价描述都只描绘了同一个，也是唯一一个独特的数学结构。总而言之，一个数学结构的任何特定描述都包含“包袱”，但这个结构自身却不包含。不要混淆数学结构和等价描述，这一点至关重要：对一个数学结构来说，即便是看起来最抽象的描述也不是结构本身；结构对应着所有等价描述组成的集合。表9-2总结了与数学宇宙理论有关的重要概念。
表9-2 与数学宇宙有关的重要概念的总结
对称性以及其他数学性质
一些数学家喜欢争论什么是真正的数学。当然，在这个问题上，他们没有达成共识。不过，数学的一个流行定义是“对数学结构的正式研究”。在这方面，数学家们确定了大量有趣的数学结构，从我们很熟悉的东西，如立方体、二十面体（见图6-2）和整数，到拥有奇异名字的东西，如巴拿赫空间（Banach spaces）、轨形（orbifolds）和伪黎曼流形。
数学家们在研究数学结构时，最重要的事就是证明与它们性质有关的定理。然而，既然数学结构的实体及其相互关系都不允许拥有任何内禀性质，那数学家们究竟在研究什么性质呢？
让我们来看看图9-8左图所描述的数学结构。它的各个元素之间没有任何联系，所以，没办法将各个实体区分开来。这意味着，这个数学结构除了“基数”（cardinality，基数是指它所包含的实体的数量）外，没有任何性质。数学家将这个数学结构称为“8个元素的集合”，它唯一的性质就是拥有8个元素。真是一个无趣的结构！
图9-8中间的图片描述了一个不同的、更有趣的数学结构，也拥有8个元素，但元素之间存在着关系。这个结构的其中一个描述说，它的元素是一个立方体的顶点，而关系则是相邻顶点之间的连线，也就是立方体的边。然而请牢记，不要将数学结构和描述混为一谈——数学结构自身不具备任何内禀性质，如大小、颜色、质地或组分，它只包含8个相互关联的元素，你可以选择将其理解为立方体的8个顶点。实际上，图9-8右图是该数学结构的另一个等价描述，却没有提到任何几何概念，如立方体、顶点和边。
那么，既然这个数学结构的实体不具备任何内禀性质，那这个结构自身是否拥有什么有趣的性质呢（除了8个元素之外）？实际上，它真的有，即对称性！在物理学中，如果你将某物以某种方式变换一下，它还是保持原样，这就叫对称。比如，如果把你的脸左右镜像一下还是与以前一样，那么它就是镜像对称（mirror symmetry）的。同样，图9-8中图中的数学结构也是镜像对称的：如果你将元素1和2、3和4、5和6、7和8对调，它们的关系图还是和从前完全一样。它还具有某种旋转对称性（rotational symmetry）：如果你将立方体绕某一面旋转90°，或者绕一个顶点旋转120°，或者绕某一边的中心点旋转180°，它还是与从前保持一样。尽管我们直观地认为对称性与几何有关，但是当你看看图9-8右图时，你会发现，数表同样具有对称性——如果你用某些特定的方式为这8个元素重新编号后，再通过扩展行列数，对数表重新排序，你会发现，你得到了一个与从前完全相同的数表。
在哲学上有一个著名的棘手问题，叫作“无穷后退问题”（infinite regress problem）。举个例子，如果我们说，一颗钻石的性质可以用碳原子的性质和排列来解释，碳原子的性质可以用它内部质子、中子和电子的性质和排列来解释，质子的性质可以用夸克的性质和排列来解释等，那么如果我们想要解释各个零件的性质，看起来注定要这样永远继续下去，无穷尽也。数学宇宙假说为这个问题提供了一个激进的解决办法——在最底层，实在是一个数学结构，所以它的各部件根本不具备任何内禀性质！也就是说，从这个意义上讲，数学宇宙假说暗示着我们居住在一个“关系实在”（relational reality）中，因为我们周遭世界的性质并不是来源于它的终极构件，而是来源于这些构件之间的相互关系[53]。这样看来，外部物理实在不仅仅是它各个构件的简单加总，因为它拥有许多有趣的性质，而它的基本构件却不具备任何内禀性质。
图9-8 中图描述了一个拥有8个元素（用黑点来表示）的数学结构，元素之间有相互关系（用线表示）。你可以把元素理解为立方体的顶点，把关系理解为立方体的边，连接着相关联的顶点。但这个理解完全是一个可有可无的“包袱”。右图给出了同一个数学结构的等价描述，不包含任何几何图形，比如，第5列第6行的条目为“1”，意味着元素5和元素6之间的关系成立。这个数学结构拥有许多有趣的性质，包括镜像对称性和某些旋转对称性。与之相比，在左图描述的数学结构中，元素间没有任何关系，也不具备任何有趣的性质，除了它的基数为8。
图9-7和图9-8中所画出的几个特定的数学结构都属于同一类数学结构，叫作“图”（graphs）——抽象的元素，其中一些两两相连。你可以用其他图来描述与图6-2中的十二面体等柏拉图多面体相对应的数学结构。还有一个图的例子是Facebook上的好友网络——其中，所有的元素对应着所有的Facebook用户，如果两个用户是好友关系，那他俩就相连。尽管数学家对图研究得很多，但它们只是数学结构众多类别中的其中一个。我们将在第11章对数学结构的各种细节进行更深入的探讨，但是现在，让我们先来看一些简单的例子，好让你了解数学结构是多么多样化。
许多数学结构对应着不同种类的数字。比如，所谓的自然数1、2、3……一起组成了一个数学结构。这里的元素是数字，它们之间有着各种各样的关系。一些关系（比如等于、大于和除以）可能在两个数字之间成立（比如，“15除以5”），一些关系可能在三个数字之间成立（比如“17是12与5的和”），还有一些关系可能在其他数量的数字之间成立。渐渐地，数学家发现了更多种类的数字，它们都能形成自己的数学结构，比如整数（包括负整数）、有理数（包括分数）、实数（包括2的平方根）、复数（包括-1的平方根）和超限数（包括无穷大）。当我闭上眼，脑中想着数字5时，它看起来是黄色的。但是，在所有的数学结构中，数字本身都不具备任何内禀性质，它们唯一的性质就是与其他数字之间的关系。比如，5具有的一个性质是4与1的加和，但它不是黄色，也不是由任何东西制成的。
还有一种数学结构对应着不同类别的空间。比如，我们学过的三维欧几里得空间就是一个数学结构。在这里，元素就是三维空间中的点，以及被理解为距离和角度的各种实数。还有各种各样的关系。比如，如果三个点位于一条直线上，那它们就能满足一个关系。还有许多数学结构，对应着四维甚至更高维度的欧几里得空间。数学家们还发现了许多其他更广义的空间，形成了它们自身的数学结构，比如所谓的闵氏空间（Minkowski spaces）、黎曼空间（Riemann spaces）、希尔伯特空间、巴拿赫空间和豪斯多夫空间（Hausdorff spaces）。许多人曾认为，我们的三维物理空间就是一个欧几里得空间。其实，正如我们在第1章中看到的那样，爱因斯坦终结了这种看法。他先是用狭义相对论提出，我们栖身在一个闵氏空间中（包含时间作为第四维度）。接着，他的广义相对论又提出，我们其实生活在一个黎曼空间中，因为它可以弯曲。然后，正如我们在第6章看到的那样，量子力学问世了。它告诉我们，我们其实居住在一个希尔伯特空间中。再次强调，这些空间中的点并不是由任何构件组成的，它们没有颜色、没有材质，也没有任何其他内禀性质。
尽管目前已知的数学结构又多又奇妙，但还是有更多的数学结构等待着人们去发现。每一个数学结构都可以通过分析来确定它的对称性质。人们发现许多结构都具备有趣的对称性。令人着迷的是，物理学上最重要的发现之一就是我们的物理实在也具有内在的对称性。比如，物理定律拥有旋转对称性，也就是说，我们的宇宙中没有一个特殊的方向可以被称为“上”。它们似乎还具有平移对称性，也就是说，没有一个特殊的地方可以被称为空间的中心。我们刚才提到的大多数空间都拥有美丽的对称性，其中一些符合我们物理世界的观测对称。比如，欧几里得空间同时具有旋转对称性（空间旋转之后与之前没什么两样）和平移对称性（空间平移后与之前没什么两样）。四维闵氏空间的对称性更多：如果你在空间和时间维度之间做一种广义旋转，它与从前没什么两样。爱因斯坦认为，这解释了为何近光速运动的时间会变慢，我们在上一章曾提到过这件事。20世纪，人们还发现了自然界中许多更加微妙的对称性，这些对称性构成了爱因斯坦相对论、量子力学和粒子物理学标准模型的基石。
需要注意的是，这些对物理学来说至关重要的对称性正是来源于实在的基本构件缺乏任何内禀性质，也就是说，来源于数学结构的最深含义与本质。如果你给一个无色球体的一边涂上黄色，那它的旋转对称性就被破坏掉了。同样，如果一个三维空间中的点拥有某种性质，可以让一些点与其他点拥有本质上的不同，那这个空间就失去了它的旋转对称性和平移对称性。对空间来说，“少即是多”，因为点拥有的性质越少，空间所具有的对称性就越多。
如果数学宇宙假说是正确的，我们的宇宙是一个数学结构，那么，一个极其聪明的数学家就能够从它的描述中推演出所有物理学理论。他将如何做到这一点呢？我们并不知道，但是我很肯定，他的第一步一定是计算出数学结构的对称性。
在本章开头的时候，一位教授曾作出可怕的预言，说我那些关于数学与物理之间关系的论文太过疯狂，将毁掉我的前程。现在，我已经将这些想法的第一部分和盘托出：我认为我们的外部物理实在是一个数学结构。这听起来确实很疯狂。然而，这只是一个热身。接下来，一切将变得更加疯狂，因为我们将去探索数学宇宙假说蕴含的启示和可检验的预言！除此之外，我们将被无情地领入一个新的多重宇宙，它是如此广袤无垠，即使是量子力学的第三层多重宇宙在它面前也黯然失色。不过在此之前，我们需要回答一个棘手的问题。我们的物理世界随时间而变化，但数学结构却一成不变，它们只是简单地存在着。既然如此，我们的世界怎能是一个数学结构呢？下一章，我们将一起解决这个问题。
◆从古至今，人们都很迷惑，为什么数学能如此精确地描述物理世界。
◆从那时起，物理学家在自然界发现了更多能用数学公式描述的形状、模式和规律。
◆物理实在的内在结构中包含几十个纯粹的数字。从本质上说，所有测量出来的常数都可以由这些数字计算出。
◆一些重要的物理实体，如空荡的空间、基本粒子和波函数似乎都是纯数学化的，因为它们仅有的内禀性质都是数学性质。
◆外部实在假说是说，存在一个完全独立于人类的外部物理实在，被大部分（但并非所有）物理学家接受。
◆有了一个足够广泛的数学定义，外部实在假说便暗含着数学宇宙假说，即我们的物理世界是一个数学结构。
◆我们的物理世界不仅能被数学所描述，它本身就是数学（一个数学结构），使得我们成为一个巨大数学对象中拥有自我意识的那个部分。
◆一个数学结构是一组实体及其相互关系的抽象集合。这些实体没有“包袱”；除了彼此之间的相互关系之外，它们不具备任何性质。
◆一个数学结构可以拥有许多有趣的性质（比如对称性），尽管它的实体和关系都不具备任何内禀性质。
◆数学宇宙假说解决了声名狼藉的“无穷后退问题”。在这个问题中，自然界物体的性质只能由它的组成构件的性质来解释，而组成构件的性质又需要进一步解释，从而衍生出无穷无尽的问题。而数学宇宙假说认为，自然界物体的性质不是源自终极构件的性质（它根本不具备任何性质），而是源于这些构件之间的相互关系。
过去、现在与未来之间的区别，只有一个顽固的幻觉。
爱因斯坦，1955年
时间是幻觉，午餐时间更是虚无缥缈的。
道格拉斯·亚当斯，《银河系漫游指南》
如果你像我一样，那你一定也总是会被未解之谜扰乱心绪。我在第9章提出了很多这样的问题，所以你难免会对我所说的一切提出质疑。比如，我认为我们的外部物理实在是一个数学结构，这究竟是什么意思？我们所在的这个物理实在永远在变化——残叶飘在风中，行星绕着太阳。然而数学结构却是静态的：一个抽象的十二面体无论是过去、现在还是未来，都永远拥有12个五边形的面。那么，一个永远变化的事物怎么可能恒常不变呢？还有一个亟待解决的问题是：如何将你塞进这个假定的数学结构中——如果你真是一个数学结构的一部分，为何会有自我意识、想法和感觉？
物理实在怎么会是数学的
超然时间之外的实在
爱因斯坦帮助我们回答了这些问题。他告诉我们，有两种思考物理实在的方法：空间和时空。空间是三维的，在其中，万物都随时间而变化；而时空则是四维的，它只是简单地存在着，恒常不变，没有创生，也永不毁灭。[54]我们在第8章中曾讨论过，这两种角度对应着青蛙和飞鸟对实在的视角——后者是物理学家研究数学结构时超然物外的整体概览，就像一只飞鸟在高空俯瞰整片地形；前者是生活在该结构中的观察者的内部视角，就像一只青蛙住在飞鸟所俯瞰的这片地形中。
从数学上来说，时空其实是一个四维空间，前三个维度是我们熟悉的空间维度，第四维是时间。图10-1所示就表达了这种观点。
图10-1 月球绕着地球旋转的轨道。我们可以将其看成四维空间中的位置随时间在变化（右图），也可以等价地看成时空中一个不变的螺旋形（左图），它们都对应着同一个数学结构。对空间的快照（右图）只是时空（左图）的一张张横截面。
在图10-1中，我将时间维度画在垂直方向，空间维度画在水平方向。为了避免误解，我只画出了三维空间中的两个维度，分别标为x和y，因为如果要让我画出一个四维物体，我的脑袋一定会死机，耳朵里开始冒烟……图中显示，月球绕地球以圆形轨道旋转。为了让图片更直观，我并未按照地月轨道的真实比例绘制，而是把它缩小了很多，并做了一些简化[55]。右图显示的是青蛙视角，在5张空间快照中，月亮位于不同的位置，地球则保持不动。左图显示了飞鸟视角，此时，青蛙视角中的运动被时空中一个不变的形状所取代。由于地球并不运动，所以它任何时候都位于空间中的样本位置，因此，在时空中形成了一个垂直的圆柱体。月球更有趣，由于它在不同的时刻位于不同的空间位置，因此它在时空中形成了一条螺旋形。请看看左图和右图，找出它们之间的联系，因为这对接下来的讨论至关重要。要从时空（左图）中获得空间（右图）的快照，你只需要在时空中你感兴趣的时间点水平切一刀就可以了。
时空并不存在于时间和空间之中，相反，时间和空间存在于时空之中。我认为，我们的外部物理实在是一个数学结构，从定义上说它是一个抽象的、不变的实体，存在于时间和空间之外。这个数学结构相当于对物理实在的飞鸟视角，而不是青蛙视角，所以它应当包含着时空，而不仅仅是空间。下面我们将讲到，这个数学结构中还包含其他元素，它们相当于我们时空中包含的各种物体。然而，这并不会改变它超然于时间之外的本质：如果我们宇宙的历史是一盘棋局，这个数学结构并不是对应着一个位置，而是对应着整盘棋局（见图9-6）；如果我们宇宙的历史是一部电影，那这个数学结构并不是对应着其中的一帧画面，而是对应着整张DVD碟片。
所以，从飞鸟视角来看，物体在四维时空中运动的轨迹就像一团纠结的意大利面。在青蛙看来匀速运动的物体，在飞鸟看来就是一根笔直的生的意大利面。在青蛙眼中，月亮绕着地球旋转；而在飞鸟眼中，却像一根旋绕的螺旋面。青蛙看见千亿颗恒星在银河系中旋转，而飞鸟却只看见千亿根相互缠绕的螺旋面。在青蛙看来，实在可以由牛顿的运动定律和引力定律来描述；但在飞鸟眼中，实在是意大利面形状的几何结构。
时间不是幻觉，但是时间的流逝是
“请问你知道现在的时间吗？”我猜，你和我一样，一定也问过这个问题，就好像在最基本的层面上真的存在“时间”这种东西一样。如果你迷路了，你可能不会问一个陌生人：“请问你知道这是什么地方吗？”你可能只会问：“请问一下，我这是在什么地方？”以此来表明，你并不是在询问一个关于空间的性质，而是关于你自己的性质，也就是你在空间中的位置。同样，如果你询问时间，你实际上并不是想知道关于时间的性质，而是想知道你在时间中的位置。时空包含了所有的时间和空间位置，所以，对时空来说，并不存在一个特定的时间和空间。所以，从科学上（而非社交）来说，询问“我这是在什么地方”更加合适。时空很像一张描绘宇宙历史的地图，但并不包含一个“你在这里”的标记。如果你需要一个标记来导航，我建议你买一个带有时钟和GPS功能的手机。
当爱因斯坦写下“过去、现在与未来之间的区别，只有一个顽固的幻觉”时，他是想说，这些概念在时空中都没有客观意义。图10-2表示，当我们脑中想着“现在”时，我们所指的是时空中的一个时间切片，这个切片对应的是我们脑中冒出这个想法的时间。我们所说的“未来”和“过去”指的是时空中高于或低于这个切片的部分。
图10-2 过去、现在与未来之间的区别，只存在于青蛙的视角中（右图），而不存在于飞鸟对数学结构的视角中（左图），在后者中，你不能问“现在几点了”，只能问“我在哪里”。
这很像在时空中用“我这里”“我前面”“我后面”来指代不同的时空相对于你的位置。很显然，你前面的部分并不比你后面的部分更加虚幻。实际上，如果你向前走，现在位于你前面的某些部分在未来将被你甩在身后，它们甚至现在就已经位于某些其他人的身后了。同样，在时空中，未来与过去同样真实——时空中现在处在你未来的一部分，在未来将成为你的过去。时空是静止不变的，任何部分都不能改变它们的实在状态，所以，所有部分都同样真实。[56]
简而言之，时间不是幻觉，时间的流逝却是。改变也是如此。在时空中，未来早已存在，而过去永不消逝。当我们将爱因斯坦的经典时空理论与量子力学结合起来时，就得到了量子平行宇宙。这意味着，同时存在许多同样真实的过去和未来，但这丝毫不影响整个物理实在的数学本质。
这就是我的观点。然而，尽管这个“不变实在”的观念值得尊敬，并可追溯到爱因斯坦，但它仍一直处在争议当中，许多我十分尊敬的科学家对其都有自己的观点。比如，布赖恩·格林在《隐藏的现实》一书中，对否定“变化和创生具有根本性”的看法表达了担忧。他写道：“我总是希望存在一种物理机制，就算是一种初步设想也好……能够帮助我们产生多重宇宙。”李·斯莫林在《时间重生》一书中进一步声称，变化是真实的，实际上，时间可能是唯一真实的东西。而在争论的另一阵营，朱利安·巴伯在《时间尽头》中说，不仅变化是幻觉，甚至你能够在完全不引入“时间”这个概念的情况下，对物理实在进行描述。
“你”怎么能是数学的呢
我们已经看到，时空可以被看作一个数学结构。那么，时空中的物体呢？比如，你正在读的这本书，它怎么可能是一个数学结构的一部分呢？
近年来，我们已经看到，许多看起来与数学毫无关系的东西，如文字、声音、图片和电影，都能被计算机用数学形式表现出来，或以一堆数字的形式在互联网上传播。让我们来看看计算机是如何完成这个任务的——我们接下来将看到，这是因为大自然正在做着类似的事情，来表现我们周遭的物体。
我刚刚在键盘上打出了一个单词“word”，我的笔记本电脑在内存中用4个数列来表示它：“119 111 114 100”。它的方法是，每个小写字母都表示为数字96加上它在字母表中的序数，所以a=97，w=119。与此同时，我的笔记本电脑正在播放爱沙尼亚作曲家阿沃·帕特（Arvo P rt）写的曲子《自深深处》（De Profundis），它也将其表现为一组数列，不过这些数字不是文字形式，而是一些位置，让喇叭膜以每秒44100次的速度振动，转而引起我耳中空气的振动，从而被我的大脑解读为声音。当我按下键盘上的“W”键时，笔记本电脑的屏幕上就显示出一个视觉化的字母“W”，这个图像同样也是用数字来表示的。尽管电脑屏幕上所有的图像看起来都平滑连续，但我的显示器其实是由1 920×1 200个像素排成的矩形阵列（见图10-3），每个像素的颜色由3个数字来表示，每个数字在0～255之间，规定了该像素点发出的光线中红、绿、蓝光的强度；这三种颜色的组合可以呈现出彩虹中所有颜色的所有光强。昨晚，当我和孩子在观看YouTube上的视频时，我的笔记本电脑并不只是在两个空间维度上将屏幕划分成若干像素，它对时间维度也同样如此，将每秒划分为30帧图像。
图10-3 计算机通常用每个点（像素）的数字（右一）来表示灰度图像。数字越大，像素的光强就越强，0代表黑色（完全没有光），255代表白色。同样，经典物理学中所谓的“场”也是用时空中每个点的数字来表示的，大致来说，表征了每个点存在多少“东西”。
在研究中，我们物理学家经常进行三维模拟仿真，比如模拟一场飓风、一颗超新星爆炸或太阳系的形成。为了做到这一点，我们将三维空间划分为三维像素（也叫体素）。我们还将四维的时空划分为四维体素。每个体素用一组数字来代表与此时此地发生之事相关的一切，比如温度、压力、密度和像素中不同物质的速度。例如，在对太阳系的模拟中，一个代表太阳的体素拥有极大的温度数值，而位于太阳外空荡空间内的体素则拥有接近于零的压力数值。邻近区域的体素满足由数学方程描述的特定关系。每当计算机在进行模拟时，它就会用这些方程来填充缺少的数字，就像玩数独游戏一样。如果一台计算机在进行天气预告，那么，对应着此时此刻的时空体素就被填进了代表气压、气温等的测量数值。接着，计算机用相关的方程计算出明天及未来一周的时空体素数字。
尽管这种模拟方式可以用数学的形式表示外部物理实在的某些方面，但它只能近似地模拟。时空当然不是由模拟天气用的粗糙体素所构成，这就是为什么天气预报总是不准确。但是，这种认为时空中每个点都拥有许多数字的思想却很深刻。我认为，它不仅能告诉我们关于实在的描述，还能告诉我们关于实在自身的一些事。现代物理学中最基本的一个概念叫作“场”，即一种可由时空中每个点的数字来表示的东西。比如，“温度场”对应着你周遭的空气——每个点都有一个意义明确的温度值，完全独立于任何人类发明的体素，你可以通过温度计来测量温度值；如果你不需要很精确，也可以用手指来测量温度值。再比如“气压场”——你可以用气压计来测量每个点的气压值，也可以用你的耳朵来测量，但如果数值过大，你就会感觉疼痛；如果压力随时间不断波动，你就会听见声音。
我们现在知道，这两种场都不是真正基本的东西：它们只是度量了空气分子的平均运动速度，所以，如果你想从亚原子尺度去测量，它们的数值就会失去意义。然而，还有一些场，看起来似乎很基本，似乎构成了我们外部物理实在的一部分基本结构。
让我们来看看第一个例子：磁场。对时空中的每个点，磁场都用3个数字来表示，代表强度和方向，而不像温度场只有一个数字。用指南针来测量磁场时，你会看到磁针追随地球的磁场，指向北方。磁场越强，磁针指向的速度就越快，如果你把它放到一台MRI机器旁边就能看出这种趋势。第二个例子是电场，也是由3个代表强度和方向的数字来表示。一个简单的测量方法是看它对带电物体施加多大的力，比如塑料梳子会吸引你的头发。电场和磁场可以统一为电磁场，在时空中的每个点用6个数字来表示。我们在第6章讨论过，光其实只是荡漾在电磁场中的波，所以，如果我们的物理世界是一个数学结构，那么我们宇宙中的所有光（似乎很物理化）都相当于时空中每个点的6个数字（似乎很数学化）。这些数字遵循着麦克斯韦方程所确定的数学关系（见图9-4）。
需要注意的是，我刚刚描述的只是经典物理学对电、磁和光的理解。量子力学把这幅图景更加复杂化了，但它并没有将其中的数学部分减少半分，而是用量子场论来取代了经典的电磁学理论。量子场论是现代粒子物理学的基石。在量子场论中，波函数表征了每种可能的电磁场组合到底有多真实。这个波函数本身就是一个数学对象，是希尔伯特空间中一个抽象的点。
我们在第6章中看到，量子场论认为光是由被称为“光子”的粒子所组成的。并且大致来说，构成电场和磁场的数字也可看作对某时某处光子数量的表示。正如电磁场的强度对应着某时某处的光子数一样，还有一些其他的场，对应着我们所知的其他基本粒子。比如，电子场和夸克场与每时每处的电子数和夸克数有关。这样，经典物理学中的所有粒子在所有时空中的所有运动，都对应着一个四维数学空间（也就是一个数学结构）中每个点处的一堆数字。在量子场论中，波函数表征着这些场可能形成的组合到底有多真实。
我们在第6章曾讨论过，物理学家还没有找到一个数学结构能完全描述物理实在的所有方面，包括万有引力。然而，就我们目前所知，那些炙手可热的候选者（如弦理论）的数学程度并不会比量子场论更低。
如果两个结构等价，那么它们就是一回事
在进入下一个议题之前，我们需要先解决一个重要的语义学问题。大多数物理学家都会说，我们的外部物理实在是用数学来描述的（至少近似的），我却认为不止如此，因为我认为它本身就是数学（更具体地说，是一个数学结构）。换句话说，我的结论比他们更进一步。为什么这么说呢？
本章讲到这里，我所说的一切都意味着我们的外部物理实在可用一个数学结构来描述。如果未来的物理学教科书包含了人们垂涎已久的万物理论（ToE），那么，它的方程就“是”外部物理实在的数学结构的完整描述。请注意，我用的词是“是”而非“对应着”，因为，正如哲学家马里厄斯·科恩（Marius Cohen）所强调的那样，如果两个结构等价，那么它们就是一回事。我们在第9章探讨过，“等价”是一个强大的数学概念，它深植于数学结构的本质中——如果两个完整的描述是等价的，那么它们就是在描述同一个东西[57]。也就是说，如果某些数学方程完全描述了外部物理实在和某个数学结构，那么外部物理实在和这个数学结构就完全是一回事，这样，数学宇宙假说就是正确的：我们的外部物理实在就是一个数学结构。
我们提过，如果两个数学结构中的实体和关系都可以一一对应，这两个数学结构就是等价的。如果外部物理实在中的所有实体都能与一个数学结构内的实体一一对应（比如，“物理空间中的电场强度与一个数学结构中的数字一一对应”），那么外部物理实在就符合一个数学结构的定义。实际上，它们是同一个数学结构。我们在第9章中看到，如果有人不愿意接受数学宇宙假说，他也必须拒绝外部实在假说，即“存在一个完全独立于我们人类的外部物理实在”。他们也可以争辩说，尽管我们的宇宙是由一些能被数学结构完全描述的东西组成的，但它们还拥有数学结构未能描述的性质，所以不能用一种抽象的、独立于人类的、不含任何“包袱”的方式来描述。然而，我认为这种观点会让卡尔·波普尔九泉之下不得安宁（我们在第5章提到过这位著名的科学哲学家），因为波普尔曾强调说，科学理论必须拥有可观测的效应。相比之下，由于数学描述本应是完美的，是它让万物具备可观测的性质，而那些会减弱宇宙数学性的额外花样从定义上来说，就不具备任何可观测到的性质，导致它们100%不具科学性。
你是什么
我们现在已经看到，不论是时空本身，还是时空内部的物体，都可以看作一个数学结构的一部分。那么，我们自己呢？我们的思想、情感、自我意识，以及那个对于“我自己”的深邃的存在感——这一切让我感觉不到一丁点儿数学的痕迹。但是，我们同样也是由构成物理世界中其他万物的基本粒子构成的，而我们刚刚论述了物理世界是纯粹的数学。那么，如何调和这个矛盾呢？
在我看来，我们并未完全理解我们到底是什么。此外，正如我们在第8章所讨论的，要理解我们的外部物理实在，我们并不需要先完全明白意识的秘密。并且，我认为现代物理学已经在这方面作出了一些卓有成效、让人好奇的成就。现在，就让我们来进一步探索这个话题吧！
迄今为止最精妙的生命之辫
我们在第2章曾提到过宇宙学先驱乔治·伽莫夫，其自传名为《我的世界线》（My World Line）。“世界线”是爱因斯坦提出的概念，用来指代时空中的路径。然而，严格来说，你的世界线并不是一条线——它的厚度不为零，并且也不是笔直的。首先，让我们来考虑一下构成你身体的约1029个基本粒子（夸克和电子）。它们一起在时空中组成了一个管道一样的形状，有点类似图10-1中月球轨道形成的螺旋形，但有着更加复杂的形状，反映出你从出生到死亡的运动轨迹，它比月球轨迹复杂多了。比如，如果你在泳池里游泳，从这头游到那头，又从那头游回来，那么你的这部分时空管道就是一个形如字母Z的锯齿形；如果你在荡秋千，那么你这部分的时空管道就是形如字母S的蛇形。
然而，你的时空管道最有趣的性质并不是它的形状，而是它的内部结构，它非常复杂。对月球来说，组成它的粒子黏附在一起，相当稳定；而我们身上的粒子通常却会动来动去，彼此做相对运动。
想想那些构成你红细胞的基本粒子。你的血液在周身循环，将所需的氧气输送到各处。在这个过程中，每个红细胞都沿着各自独特的时空管道运行，形成了一个极其复杂的路径，贯穿你的动脉、毛细血管和静脉，并周期性地回到心脏和肺部。不同红细胞的时空管道交织在一起，形成了一个辫子般的模式（见图10-4中图），这可比你在美发沙龙见过的任何辫子都精妙——普通的辫子通常由3股构成，每股约有3 000根头发，它们缠绕成一个简单而重复的模式。而红细胞时空管道组成的辫子则由几万亿股构成（每股代表一个红细胞），每股又由几万亿根发丝般的基本粒子轨迹组成，相互缠绕、交错不绝，形成一个从不重复的复杂模式。也就是说，如果你有闲心花一整年的时间为你朋友编织一条疯狂的发辫，你采用的方法不是将头发分成若干股，而是将每根头发作为单独的一股，那么一年后，你编好的发辫和红细胞的辫子相比，依然相当简单。
图10-4 复杂性是生命的标志。物体的运动对应着时空中的模式。左图所示为一个由10个粒子组成的非生命体，它们构成了一个简单的模式；而组成生命体的粒子却缠绕出复杂的模式（中图），对应着复杂的运动，比如大脑处理信息等重要过程。当一个生命体死亡，最终分解，各个粒子彼此分离开来（右图）。这些粗糙的画面只表现了10个粒子，而你的时空模式包含了1029个粒子，所以它的模式极其复杂，超乎想象。
然而，这种复杂性在大脑处理信息的模式面前，都会黯然失色。我们在第7章曾讨论过（见图7-7），你的大脑中约有几千亿个神经元不停地生成电信号（称为“放电”），涉及几亿亿个原子，主要是钠离子、钾离子和钙离子。这些原子的轨迹在时空中形成了极其精妙优雅的辫子，它那复杂的纠缠模式对应着大脑处理信息的方式——或许正是从中产生了我们熟悉的自我意识。科学界广泛认为，我们依然不理解这是怎么回事，所以，公平地说，我们人类并未完全理解我们究竟是什么。然而，粗略地说，我们可以认为，你是时空中的一个模式、一个数学模式。具体而言，你是时空中的一根辫子——迄今为止最精妙的辫子。
