在思考第四层多重宇宙时，我们需要任想象力自由飞翔，不要让它被我们先入为主的观念所束缚，比如物理定律理应是什么样的。想一想空间和时间：它们不一定非得与我们熟知的那样是连续的，也可以是离散的，就像电子游戏“吃豆人”、俄罗斯方块一样，所有动作都像抽筋一样跳跃。只要关闭所有的用户输入，让时间演化循着确定的方向计算下去，那么，这些游戏都能成为有效的数学结构。比如，图11-3中展示了一个3D的俄罗斯方块游戏，叫作“FRAC”，它是我和好友佩尔·柏格兰（Per Bergland）于1990年开发的。如果你玩这个游戏时不按键盘（这可不是得高分的好策略），那么整个游戏，从开头到结尾都会被程序中简单的数学规则所决定，这让它也成了一个数学结构，成为第四层多重宇宙的一部分。甚至有许多人猜测，我们所在的宇宙里也可能藏着时空不连续点，但由于规模太小，隐于毫厘之间，尚未被我们注意到。
让我们更彻底一点：一些数学结构，完全摒弃了时间和空间，因此我们根本想象不出里面会发生什么事。图11-4所列举的大部分结构都是这种类型。在一个抽象的十二面体中，什么都不会发生，因为这个数学结构中不包含时间。
图11-3 3D俄罗斯方块游戏FRAC体现了一个时空离散而非连续的数学结构。
图11-4 计算机程序能自动生成一个有序的总览表，包含所有有限的数学结构。其中，每个结构都编码为一串数字。本图举了一些例子，采用了我2007年所发表的数学宇宙论文中的编码方案。第二列中的文字和图解则是冗余的包袱，反映了我们人类为这些结构所起的名字和所画的图示。
我们在第四层多重宇宙中的“邮政编码”
我们在第9章中讨论过，一个数学结构就是一组简单的抽象元素以及它们之间的关系。为了更系统地探索第四层多重宇宙，我们可以写一个计算机程序来自动生成一系列数学结构，从最简单的开始，循序渐进到愈发复杂的个体。图11-4展示了这种序列中的10个条目，采用了我2007年所发表的数学宇宙论文中的编码方案。编码的细节并不重要，但有一点需要注意：它有一个美好的特点，每个元素数量有限的数学结构都会出现在这个序列里的某个地方。所以，每个有限数学结构都能用一个数字来表示，也就是它在这个总览表中的行编号。
扫码获取作者的论文，查看编码方案。
对有限的数学结构来说，所有关系都能用有限的数表来描述，这种方法是从乘法表中归纳出来并推至其他关系的。如果一个结构的元素数量十分庞大，数表就会变得长篇累牍，从而产生极大的编码，序列往下拉不到底。然而，在这些大结构中，有少量体现出了优雅的简单性，使它们极易被描述。比如，一个数学结构的元素是整数：0、1、2、3……它们的关系是加法和乘法。如果为了详述它们的乘法关系而写下所有相乘的数对，这将形成一个庞大的乘法表。即使只写前100万个数字，也要画出一个100万行×100万列的巨大表格，包含着1万亿个条目。这将是一种巨大的浪费。所以，我们在教小学生乘法时，只需要把乘法表的前10个数字教给他们，然后教他们使用简单的运算法则来计算多位数乘法就可以了。比起小学生，我们教计算机算乘法的方法更有效——将数字转化为二进制，这样，我们只需要为0和1准备一张2×2见方的乘法表，再加上一个短短的程序，计算机就学会了如何计算任意大的数字。
一个计算机程序是以一个由0和1组成的有限串（位串，bit string）存储起来的，也可解释为一个二进制的整数。这让我们可以用另一种方法来编码和列举图11-4中的数学结构，即对某一个数学结构，找出所有能描述它全部元素关系的计算机程序，并挑选出位串最短的那个，用其对应的二进制整数来代表这个数学结构。只要这种描述够简单，它就会出现在更靠近序列顶端的地方，即使它的元素很多，体积很庞大。复杂性理论（complexity theory）的先驱雷·索洛莫洛夫（Ray Solomonoff）、安德雷·科尔莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov）和格里高利·蔡廷（Gregory Chaitin）将位串的算法复杂性（algorithmic complexity，或简称为复杂性）定义为：最短的完备描述的位长，例如输出那个位串的计算机程序。这意味着，用这种方法调整过的总览表是以数学结构的复杂性按照升序排列的。
这种总览表的精妙之处在于，它也能处理那些拥有无限多元素的数学结构。比如，为了定义一个包含所有整数及其加法和乘法的数学结构，我们只需指定一个最短的程序，让它能读入任意大数，并运行加法和乘法就行——Mathematica软件和其他计算机代数软件包中都有这样的算法。涉及连续统上无限多个点的数学结构（如时空、电磁场和波函数），也能在计算机上用有限的数学结构来近似计算。实际上，我和我的同行们在实践中进行理论物理学计算时，就是这么做的。
总而言之，要系统地描绘第四层多重宇宙的图景，可以用计算机列举数学结构，并研究它们的性质。假如有一天，我们真能确定我们宇宙的数学结构，就能用它在总览表中的序号来指代它。此时，我们将能第一次确定自己在整个物理实在中的“地址”，正如图11-5中那个异想天开的信封一样。地球上各个国家都有各自的方式来指定地址，比如，有的邮编全是数字，有的邮编包含字母，有的甚至根本不用邮编。同样，在多重宇宙中，你书写地址的方式也会随着数学结构的不同而发生变化：大多数平行宇宙既没有量子力学也没有暴胀，因此缺乏第一、第二和第三层平行宇宙，更没有行星；而其他宇宙，有可能包含着其他类型的平行宇宙，呈现出我们做梦都想象不到的样子。
图11-5 为了确定我在整个物理现实中的准确地址，我需要列出我在第四层多重宇宙中的位置（即我的数学结构序号），我在第三层多重宇宙中的位置（即我在量子波函数中的分支），我在第二层多重宇宙中的位置（即我在暴胀后的哪一个泡泡中），我在第一层多重宇宙中的位置（即我的视界范围），以及我在这个宇宙中的位置。在这个例子中，我只列出了有限的数字。但每层多重宇宙中都可能存在着无限多个成员，这使得我的地址超级长，长到这个信封根本写不下。
第四层多重宇宙的结构秘密
研究第四层多重宇宙是一件有趣的事。如果我们用通俗的形式主义把数学定义为“对数学结构的研究”，那么对第四层多重宇宙的研究就应该是数学家的营生。像我这种相信数学宇宙假说的物理学家，研究它就相当于探索终极的物理实在，并寻觅我们在其中所处的位置。此外，从便利的角度来说，比起另外三个层级较低的多重宇宙，探索第四层多重宇宙更容易一些，甚至比探索我们自己的宇宙还简单，因为它不需要火箭和望远镜，仅仅需要计算机和思想就足够了！因此，我花了很多年的时间醉心于编写计算机程序，来演算这种数学结构的表格，以及我们刚刚讨论过的那些分类，并深深地乐在其中。
在实际操作时，你会遭遇到巨量的冗余。许多不同的编程方法都能实现同一个计算，同样地，也有相当多等价的方法，能用数表来描述有限的数学结构，比如，各自对应着不同的元素排序和标记方法。数学结构和描述是等价的（见第9章），因此，每一个数学结构在总览表中都只会出现一次，并且是用它最短的那个等价描述来指代的。
将任意两个数学结构的所有元素和关系组合起来，就可以得到一个全新的结构。总览表中的许多结构都是这种复合形式。在研究第四层多重宇宙的时候，理应忽略它们的存在。这是因为两部分之间并没有新的连接，这意味着，其中一部分中的自知观察者永远也不会意识到另一部分的存在，也不会受其影响，所以他完全可以表现得好像另一部分根本不存在一样，或者说，另一部分并不存在于他这部分数学结构中。唯一需要留心复合结构的情况是，如果它们都进入了测度问题的解中，改变了你被分配到不同数学结构中的概率。由于复合结构描述起来更加复杂，它们通常都位于总览表中很靠下的位置，比组成它们的部分都靠下，所以它们拥有更低的“测度”。实际上，对第四层多重宇宙中任意一个序号为有限数的结构来说，在总览表中极其靠下的位置，都存在一个完全由它自身组成的复合结构。
尽管在第四层多重宇宙中，不同的数学结构之间并不以任何物理的方式连接在一起，但在元层面，它们之间依然有很多有趣的关系。比如，我们刚说到，某些数学结构可以是另外一些数学结构的组成部分。还有一个例子是，一个结构可以在某种意义上描述另外的结构——第一个结构中的元素可以对应着第二个结构中的关系，并且第一个结构中的关系可以描述当你把第二个结构中的关系组合起来时会发生什么事。从某种意义上说，图11-4中拥有24个关系的“立方体旋转”能被一个数学家称为“立方体旋转群”的数学结构描述，后者拥有24个元素，每个元素分别对应着让一个完美立方体看起来不变的24种可能的旋转方法。许多不同的数学结构都拥有这种立方体对称性，所以有人认为它们就是“立方体”。比如，有些结构的元素对应着立方体的面、角和边，还有一些结构的关系表征了旋转如何重新排列元素，或者哪些元素彼此相邻。
局限：不可判定、不可计算和不可定义
第四层多重宇宙有多大？首先我会告诉你，一共有无数多个无限的数学结构。我们刚说到，它们都可以被放入一个拥有数字序号的表格中，所以“无数多”的意思准确而言就是1、2、3……往下数不到头。那么，第四层多重宇宙到底包含着多少个数学结构，每一个数学结构又包含多少元素？我们看到，一些无限的结构也可以和有限的结构一起被定义和包含在总览表中，只需要用计算机程序来确定它们之间的关系就可以。然而，拥抱无穷大就仿佛打开了潘多拉的魔盒，从中飞出了无数的存在论问题。要明白这个，来考虑一个数学结构，它的元素是数字1、2、3……包含着下面列出的3种关系（函数），规则是：给定一个输入数字，根据下面列出的定义计算出一个新的数字。
●P（n）：给定一个数字n, P（n）表示大于n的最小质数。
●T（n）：给定一个数字n, T（n）表示大于n的最小的孪生质数（孪生质数是指一种质数，存在着一个与它只相差2的质数；11和13就是两个孪生质数的例子）。
●H（m, n）：给定两个数字m和n，在包含着所有计算机程序的总览表中，如果输入n个比特时，第m个程序能够永远运行下去，那么H（m, n）就等于0；但如果程序会在有限步数后停止，则H（m, n）等于1。
这个数学结构满足第四层多重宇宙的成员标准吗，或者说，它的定义是否还不够良好？第一个函数P（n）只是小菜一碟：我们很容易写出一个程序，一开始检查n后面的数字是不是质数，如果找到质数就自动停止。并且我们可以肯定地说，这个程序一定会在有限步骤后停下来，因为我们知道有无数多个质数——欧几里得在两千多年前就已经证明了这一点。所以P（n）就是一个被我们称为“可计算函数”（computable function）的例子。
第二个函数T（n）很是狡猾：我们也可以轻松写出一个程序，来检查一下n后面的每个数字是不是一个孪生质数，但是，如果你输入的数字n大于375 680 169 568 52 666669-1（这是我写到此处为止，人类发现的最大质数[65]），没有人敢保证程序终将停下，并给出一个确定的答案。因为即使我们最天才的数学家付出了最大的努力，我们依然不知道是否有无数多个孪生质数。所以，迄今为止，我们并不知道T（n）是不是一个可计算函数，也不知道它是不是被严格定义的。这种拥有模糊关系的数学结构是否能被称为定义良好的数学结构呢？目前尚存争议。
第三个函数H（m, n）更像是个“不法分子”。计算机科学先驱阿隆佐·邱奇（Alonzo Church）和艾伦·图灵（Alan Turing）认为，没有一个程序能在有限步骤内对任意的输入数字m和n计算出H（m, n），所以H（m, n）是一个所谓的“不可计算函数”（uncomputable function）的例子。换句话说，不存在一个程序能确定其他程序最终将终止。当然，任何一个程序都只有两种结局，要么停止，要么不停止，但是就像孪生质数的例子一样，你可能永远也不知道答案。邱奇和图灵对不可计算函数的发现与逻辑学家库尔特·哥德尔（Kurt G del）的另一个发现非常接近，即某些算术定理是不可判定的，意味着在有限步骤内无法证明它们是真是假。
如果一个数学结构包含着像函数H这种连超强计算机也无法估量的关系，它还能被看作定义良好的吗？如果是这样，它的结构只能被某些圣人般的实体所认识，因为只有圣人才具备无限的能力，能进行无穷多步的计算以得到答案。这样的结构永远不会出现在我们前面曾讨论过的总览表中，因为总览表只涵盖了那些可用普通计算机程序定义的数学结构，而不包含那些需要无限神力才能定义的结构。
最后，让我们来看看本时代最流行的数学结构之一，也就是所谓的实数，比如3.141 592……，它的小数位无穷无尽。它们组成了一个连续统。哪怕你只想详细写出其中一个数，也需要列出小数点后的无穷多个数字，那可是无穷多的信息。这意味着，传统的计算机程序要处理它们简直毫无希望。问题不仅在于要像函数H一样，用一个有限的输入进行无限步运算，还在于要输入和输出无穷多的信息。
另外，哥德尔的研究还让我们担心数学宇宙假说由于涉及无限的数学结构而陷入毫无意义之境，因为我们的宇宙从某种意义上说是自相矛盾或定义不良的。如果你赞同数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）的名言“数学存在是摆脱了矛盾的自由”（mathematical existence is merely freedom from contradiction），那么，根据他的说法，不一致的结构根本不会存在于数学中，更不用说像数学宇宙假说所认为的那样，存在于物理世界中了。物理学标准模型涵盖了常见的数学结构，比如整数和实数。但是，哥德尔的研究开启了一个可能性，即日常使用的数学可能是不一致的，并且，数论本身中存在一个长度有限的使得0=1的证明。用这个惊人的结论，只要某个关于整数的论断在语法上是正确的，那它就能被证明为真，那么，我们所知的数学就会像纸牌屋一般坍塌。
那么，数学宇宙假说是否被哥德尔不完备定理排除在外了呢？不，据我们目前所知，并没有！哥德尔告诉人们，不管一个形式系统多么强大，我们都无法用它本身来证明它的一致性，但这并不意味着它就是不一致的，也不意味着我们遇到了大麻烦。实际上，尽管我们的宇宙显露出了数学结构的线索，但并没有表现出任何不一致或定义不良的迹象。此外，我们期望看到什么呢？即使一个形式系统可以证明它本身的一致性，我们也无法确信它真的是一致的，因为一个不一致的系统可以证明任何事，包括它自身的一致性。相比之下，我们可能更容易相信，具备一致性的简单系统可以用来证明更复杂的系统的一致性。然而，不出所料，这是不可能的，哥德尔也证明了这一点。我和许多数学家都是好友，但我从未听过有人说现代物理学中主要的数学结构（如伪黎曼流形、卡拉比-丘流形、希尔伯特空间等）其实是不一致的。
所有这些与不可判定性和不一致性有关的不确定性只能运用于元素数量无限多的数学结构。上一章中我们看到，困扰现代宇宙学的测度问题也只能运用于元素数量无限多的数学结构，这引出了一个恼人的问题：无穷大，不可判定性、潜在的不一致性和测度问题真的存在于终极物理实在的本质之中吗，抑或只是海市蜃楼、我们玩火的造物，或是一件用起来很方便的强大数学武器（比那些真正描述我们宇宙的东西更方便）？更具体地说，数学结构究竟要定义到什么程度，才能被称为真实，也就是成为第四层多重宇宙的成员？下面列出了一些有趣的可选范围：
●没有结构（即，数学宇宙假说是错误的）。
●有限的结构。这些结构很平凡，拥有可计算性，因为它们所有的关系都能通过查阅有限数表的方式定义出来。
●可计算的结构（它们关系的定义来源于计算的终止）。
●一种结构，它的关系由无法保证是否会终止的计算来定义（也许需要无数多步的计算过程），比如前面所说的函数H。
●更加一般的结构，比如涉及连续统的结构，其中的典型元素都需要无限量的信息来描述。
可计算宇宙假说
其中一个有趣的可能性是可计算宇宙假说。也就是说，它的范围以上述第三个选项为限，更一般的结构不满足要求。
可计算宇宙假说
我们的外部物理实在是一个数学结构，该结构是由可计算函数来定义的。
定义数学结构的关系（函数）可以用有限步骤后必定终止的计算来执行。如果可计算宇宙假说是错误的，那么，还有一个更加保守的假说，也就是以第二个选项为限的有限宇宙假说（Finite Universe Hypothesis, FUH），即我们的外部物理实在是一个有限的数学结构。
我发现了一件很有趣的事情：正如我们上一章结尾所讨论过的那样，数学家们对密切相关的问题进行了激烈的争论，但这些争论中却丝毫没有提到物理学。数学家中的有限论学派包括利奥波德·克罗内克、霍尔曼·外尔（Hermann Weyl）、鲁宾·古德斯坦（Reuben Goodstein），他们认为一个数学对象必须能用整数在有限的步数内构建出来，才算存在，否则就不算存在。这种观点，其实就是前面提到的第三个选项。
根据可计算宇宙假说，我们的物理实在是一个数学结构，这个数学结构拥有可计算的抽象性质，所以它的关系都是可计算的，从这个意义上说，它的定义就是良好的。这样，我们的宇宙中没有任何一个物理性质是不可计算/不可判定的，这就打消了由邱奇、图灵和哥德尔的研究所带来的顾虑，因为他们的研究认为我们的世界不完整或不一致。我并不知道我们的物理实在究竟拥有哪些性质，但我相信这些性质是存在的，因为它们的定义是良好的——我毫不怀疑大自然是否知道它自己在做什么！
许多作家都很困惑，为何我们的物理定律看起来如此简单？比如，为什么粒子物理学标准模型拥有如此简单的对称性，我们称之为SU（3）×SU（2）×U（1），只需要第9章中提到的区区32个参数就可以了，而大多数替补方案却复杂得多？不难推测，或许正是因为可计算宇宙假说限制了大自然的复杂性，才造就了这种相对的简单性。通过抛却连续统，可计算宇宙假说也许还能帮助我们精简暴胀的宇宙图景，并解决上一章讨论过的宇宙学测度问题——测度问题很大程度上与连续统所造成的指数型拉伸有关，这种拉伸会永远进行下去，并创造出无穷无尽的观察者。
这些都是好消息。尽管可计算宇宙假说拥有很多诱人的特征，比如，保证了我们的宇宙是严格定义的，或许还能通过限制事物的存在而缓解宇宙学测度问题，但它也将一些亟待解决的严峻挑战摆在了我们的面前。
关于可计算宇宙假说的第一个顾虑就是，它听起来很像是对哲学高地的妥协，实际上是作出了让步：它承认，尽管所有可能的数学结构都“存在于某处”，但其中一些拥有特殊的地位。然而，我猜可计算宇宙假说如果真是正确的，那它的正确表述应该是：由于数学图景中的其他区域都只是幻觉，那么从根本上说，它们的定义不良，所以根本不存在。
还有一个更直接的挑战是，我们目前的标准模型（实际上包括了历史上所有成功的理论）都违反了可计算宇宙假说，并且，我们根本不知道是否存在一个有效的、可计算的替代方案。对可计算宇宙假说的违反主要来源于对连续统的体现。连续统大多是以实数或复数的形式，而实数或复数根本无法将输入限制在有限的计算之内，因为它们都需要无数多的比特来确定。甚至某些将时空离散化或量子化、以试图抛弃经典时空连续介质的方法，都倾向于在理论的其他方面保留连续介质变量，例如电磁场强度或量子波函数的振幅。
面对连续统的挑战，有一种有趣的方法：用一个对连续统进行可计算仿真的数学结构来代替实数，例如数学家们所谓的“代数数”（algebraic numbers）。还有一种我认为很值得探索的方法，那就是从根本上放弃连续统，并尝试用近似值来还原。之前我曾提到过，物理学上，我们对物体的测量从来不会超过16位有效数字，也从未有一个实验的结果是取决于“连续介质真实存在”这一假说，或者说取决于大自然对那些不可计算之物的计算。令人惊讶的是，经典数学物理中的许多连续介质模型（例如描述波、漫射和液体流动的方程）其实都只是对一堆离散原子的近似计算。量子引力研究甚至暗示着，即使是经典的连续时空也会在非常小的尺度上分崩离析。
因此，我们不能确定，那些我们仍以连续统来对待的量（如时空、场强和量子波函数振幅）是否只是对离散的近似计算。实际上，某些离散的可计算结构（实际上正是满足有限宇宙假说的有限结构）对连续介质物理模型的近似实在是太棒了，每次我们物理学家需要进行实际运算时，都会使用它们，这就留下了一个问题：我们宇宙的数学结构究竟是更像前者，还是更像后者呢？一些作者走得更远，如康拉德·楚泽（Konrad Zuse）、约翰·巴罗、尤尔根·施密特胡贝尔（Jürgen Schmidhuber）和斯蒂芬·沃尔夫拉姆（Stephen Wolfram），他们认为，大自然的定律不仅是可计算的，也是有限的，就像元胞自动机或计算机模拟。（然而请注意，这些理论与可计算宇宙假说和有限宇宙假说不同，因为它们认为一个结构要可计算，只需要时间演化[time evolution]，而不需要对关系的描述。）
更有甚者，物理学中还有一些例子，让某些连续介质（如量子场）能产生出离散的解（就像一个晶格），于是在大尺度上看起来很像一种连续的介质，并像所谓的声子（一种离散粒子）那样振动。我在MIT的同事文小刚证明，这种“自然发生”的粒子的行为甚至可能与标准模型中的某些粒子很相似，带来了另一种可能性，或许，在一个终极的、连续的可计算结构之上，有着多层有效连续介质和离散描述。
第四层多重宇宙的超越结构
前面我们探索了数学结构和计算之间的密切关系：后者定义了前者。从另一个角度说，计算只是数学结构的特殊情况。例如，数字计算机的信息量（内存状态）是一个位串，比如“100 101 110 011 100 1……”，虽然很长，但长度依然是有限的，与某个虽大却有限的整数n的二进制形式是等价的。计算机信息处理是一个确定的规则，它将每个内存状态转变成另一个（一次又一次，周而复始），从数学上说，它只是一个将整数映射到自身的函数f，不停地迭代：n→f（n）→f（f（n））→……也就是说，即使是最精妙的计算机模拟也只是一个数学结构的特殊情况，因而包含在第四层多重宇宙中。
从图11-6中可以看出，计算不仅和数学结构相互关联，二者还分别与形式系统（formal systems）相关联。数学家们在证明有关数学结构的定理时使用的公理和推理规则所组成的抽象符号系统，就叫作形式系统。图11-1中的方框就相当于这种形式系统。如果一个形式系统描述了一个数学结构，那么数学家们就说，后者是前者的一个模型（model）。此外，计算还能在形式系统中产生出定理（实际上，对某些种类的形式系统来说，存在一些可以计算所有定理的算法）。
从图11-6中还可以看出，三角形的每个顶点都存在一些潜在的问题——数学结构可能包含不可定义的关系，形式系统可能包含不可判定的陈述，计算可能不会在有限步骤后终止。三者之间的复杂关系用图中6个箭头来表示。这些箭头涉及的学科范围很广泛，从数理逻辑到计算机科学，应有尽有，并且每个领域都有不同的专家进行过大量的研究。因此，整个三角形是跨学科的，我认为它值得更多的关注。
图11-6 箭头指示出了数学结构、形式系统和计算之间的密切关系。中间的问号表示，这三者都是某种超越结构的一个方面，但这个结构的性质尚不为人所理解。
我在三角形的中间画了一个问号，意思是说三角形的三个顶点（数学结构、形式系统和计算）都是某个基本超越结构的不同方面，而我们依然不理解这个结构的性质。这个结构（或许，依据可计算宇宙假说被限定在可定义的/可判定的/可终止的部分）以某种不含任何“包袱”的形式“存在于某处”，并且，在数学上和物理上都同时存在。
第四层多重宇宙的启示
本章到目前为止，我们已经论证了终极的物理实在就是第四层多重宇宙，并且已开始探索它的数学性质。现在，让我们来探索一下它的物理性质，以及第四层多重宇宙所带来的其他暗示。
数学结构都拥有对称性
如果我们将注意力转向总览表中某些特定的数学结构上（总览表可被看作第四层多重宇宙的地图集），那么，我们如何才能得知，其中自知的子结构将会如何感知该数学结构的物理性质呢？也就是说，一个无限聪慧的数学家要如何从它的数学定义开始，推演出第8章中提到的“共识实在”的物理描述呢[66]？
我们在第9章论证过，这位数学家的第一步将会是计算这个数学结构拥有什么对称性。对称性，是几乎所有数学结构都拥有的少量性质之一，并且，它们将以对称的物理实体呈现在该结构的内部居民面前。
那么接下来的第二步，他要计算些什么呢？摆在他面前的是一个从未有人探索过的纷繁结构，但我惊奇地发现，在我们所栖身的这个数学结构中，人们对于对称性的进一步研究仿佛打开了一个金矿，里面装满了闪闪发光的洞悉与智慧。1915年，德国女数学家埃米·诺特（Emmy Noether）证明，我们数学结构中的每一个连续的对称性都通往一个物理守恒定律，某些量会因此而永远守恒。自知的观察者注意到这种永恒性，并赋予它们一种“包袱”，也就是名字。我们在第6章讨论过的所有守恒量都对应着这样的对称性。比如，能量对应着时间平移对称性（即随着时间的推移，关于能量的物理定律保持不变），动量对应着空间平移对称性（即不管在空间中的哪一点，关于动量的物理定律保持不变），角动量对应着旋转对称性（即空荡的空间中不存在一个特殊的“上”方向），电荷对应着量子力学中一种特殊的对称。物理学家尤金·维格纳进一步发现，这些对称性还描述了粒子所拥有的所有量子性质，包括质量和自旋。也就是说，在二者之间，诺特和维格纳发现，至少在我们自己的这个数学结构中，对称性的研究揭示了哪些“东西”可以存在于其中。我的一些同行十分爱好数学术语，他们打趣地说，粒子只是“不可约对称群中的元素”。人们越来越清楚地认识到，几乎所有的物理定律都来自对称性。诺贝尔物理学奖获得者菲利普·安德森（Philip W.Anderson）甚至说：“说物理学家研究的是对称性，一点也不夸张。”
为什么对称性在物理学领域扮演着如此重要的角色？数学宇宙假说提供了一个答案：我们的物理实在之所以拥有对称性，是因为它是一个数学结构——数学结构都拥有对称性。于是，“为什么我们栖身的这个数学结构拥有如此多的对称性”这个深刻的问题，就变成了“为什么我们会栖身于这个特别的结构中，而不是其他拥有更少对称性的结构中”。一部分原因是因为，在数学结构中，对称性似乎占统治地位，而不是例外的地位，特别是在总览表中位置不太靠下的大结构中，其中，简单的算法可以精确地决定巨量的元素关系，因为它们都拥有相同的性质。
还有一个充满“人择原理”味道的原因可能也适用。正如维格纳指出的那样，要出现有能力找出周遭世界运行规律的观察者，或许正需要对称性，所以，由于我们就是这样的观察者，那么我们就应该预计自己栖身于一个高度对称的数学结构中。比如，试着想象一下，假如存在另一个世界，在其中，所有的实验结果都无法复现，因为实验结果依赖于实验的时间和地点。当你扔出一块石头，它有时掉下去，有时升上天，有时还会水平飞出去，并且，周遭的万事万物似乎都以随机的方式运行着，无法找出任何可辨别的模式或规律，那么，进化出大脑也就没有什么意义了。
在现代物理学呈现的方式中，对称通常是作为一个输入，而非输出。比如，爱因斯坦在所谓的洛伦兹对称性上创立了狭义相对论——洛伦兹对称性是一个假定，假设你无法判断自己是否为静止状态，因为所有物理定律对所有匀速运动的观察者来说都完全相同，包括光速。与之类似，粒子物理学标准模型的前提假设是一个被称为SU（3）×SU（2）×U（1）的对称性。但是，在数学宇宙假说中，这个逻辑是反着的——对称并不是前提假设，只是数学结构的性质，而这个数学结构是可以根据其在总览表中的定义计算出来的。
初始条件的幻觉
与我们在MIT所教的物理学不同，第四层多重宇宙始于一个迥然不同的地方，导致大部分传统物理学概念都需要重新解释。正如我们刚看到的那样，一些概念（诸如对称性）保留了它们的中心位置。与之相比，其他概念（如初始条件、复杂性和随机性等）都被重新解释为仅仅只是幻觉而已，只存在于旁观者的头脑中，却不存在于外部物理实在中。
让我们先来看看“初始条件”吧，没有人比尤金·维格纳更能抓住初始条件的传统概念的精髓了。
我们对物理世界的知识可以分为两类：初始条件和自然规律。世界的状态是由初始条件描述的。在它们之中，发现了复杂但不精确的规律。从某个意义上说，物理学家对初始条件不感兴趣，而把它交付于天文学家、地理学家、地质学家等人的手里。
也就是说，物理学家通常会把我们能理解的规则称为“规律”，却忽视我们不能理解的部分，并把它们称为“初始条件”。规律让我们能够预测事物的状态如何随着时间而变化，但是却无法告诉我们，为什么它们一开始是那样。
与之相比，数学宇宙假说没有为任性的初始条件留下任何余地，而是把它们从基本概念里清除出去了。这是因为，我们的物理实在是一个数学结构，而这个数学结构无论从哪方面看，都能被它在总览表中的数学定义所完全规定。如果一个传说中的万物理论认为，万事万物都“始于”或“创生于”某种不能完全规定的状态，那么这个理论就形成了一个不完备的描述，因此就与数学宇宙假说相违背。数学结构不能只有其中一部分是确定的。所以，传统物理学拥抱初始条件，而数学宇宙假说拒绝接受它们：我们要如何理解这件事呢？
随机性的幻觉
由于数学宇宙假说要求万事万物都是被定义好的，所以它抛弃了另一个在物理学中占据中心地位的概念——随机性。不管观察者眼中的世界有多么随机，它最终都只是一个幻觉，并不存在于任何基本的层面上，因为数学结构一点也不随机。但是，我办公室书架上摆着的物理学教材中却充斥着这样的语句：量子力学会产生随机的结果，一杯咖啡的热量是由分子的随机运动所产生的。传统物理学拥抱的概念，却再一次遭到了数学宇宙假说的无情拒绝：我们要如何理解这件事呢？
初始条件谜题和随机性谜题是相互关联的，从中生出了一个令人印象深刻的问题。根据粗略估计，要确定我们的宇宙中当下所有粒子的实际状态，大约需要1古戈尔（10100）个比特的信息。这信息源自何处？传统的答案涉及随机性和初始条件的组合。首先，我们需要许多比特来描述宇宙开始时的样子，因为传统的物理定律并没有详细说明那是什么样子；接下来，我们还需要一些比特来描述此时与彼时之间发生的多种随机过程的结果。然而现在，数学宇宙假说要求确定万事万物，却又要抛弃初始条件和随机性，这些信息要从何而来呢？如果数学结构足够简单，简单到都能印在T恤上，它就不可能包含那么多信息！现在，就让我们来解决这个问题吧。
复杂性的幻觉
我们的宇宙中究竟包含着多少信息？正如我们已经讨论过的那样，某物的信息含量（算法复杂性）等于它最短的完备描述的位长。为了欣赏其中的微妙之处，让我们先来看看图11-7中的6个模式分别包含有多少信息。第一眼看过去，最左边的两个看起来很相似，都是由128×128=16 384个微小的黑白像素点随机排列而成。这意味着，我们大约需要16 384个比特来描述这两张图中的某一张，每个比特用来确定每个像素点的颜色。这对上排的模式来说，似乎是真的。这一排的模式，我是用一个量子随机数生成器生成的。但是下排的模式中却隐藏着一种简单性：它只是的二进制形式！这个简单的描述已经足够计算出整个模式——≈1.44 213 562……，用二进制的方法来写就是1.010 000 101 000 011 0……为了进行论证，让我们假设这个0和1组成的模式是由一个100位长的计算机程序生成的。那么，左下图的模式的表观复杂度就成了一个幻觉——它的信息含量并不是16 387位，而只有100位！
讨论这些模式中的某一部分的信息含量是十分迷人的事情。图11-7的上排图片中，一切都符合我们的预期：较小的模式更加简单，需要更少的信息来描述。我们甚至能用一个简单的比特来描述每个黑白像素。但是，在下排图片中，我们却看到了截然相反的事情！在这里，少即是多：中图的模式比左图更复杂，甚至需要比左图更多的比特数才能描述清楚。这是因为，如果只说它是的一部分是不够的，还需要讲清楚它开始于哪一位数，在这个例子中，需要额外14个比特的信息。总结而言，我们已经看到，总体所包含的信息含量有可能少于部分所包含的信息之和，有时甚至会少于其中某些部分所包含的信息含量。
最后，图11-7中最右端的两幅图片需要9个比特来描述。我们都知道，右下角的图形就隐藏在的16 384位数中，但是对一个如此之小的部分来说，该信息不再有趣或有用。在这个位长为9的模式中，只有29=512种可能的模式，所以你会发现，这个特定的模式就藏在看起来由数千个0和1组成的随机位串中。
图11-7 一个模式的复杂性（即需要多少比特信息才能描述它）并不总是很明显的。左上角的图片中包含128×128=16 384个小方块，它们被随机地涂成黑色或白色，这显然不可能用少于16 384比特的信息来描述。该模式中的一小块（上排中图和上排右图）包含着较少的随机方块，因此要描述它们所需要的比特数更少。然而，左下角的模式却可以从一个短短（例如，只有100位）的程序中生成，因为它只是的二进制数字（0=黑色方块，1=白色方块）。要描述下排中部的图片，还需要再加上14个比特，以便确定它始于中的哪一位数。最后，右下角的模式需要9个比特来描述，和它上方的图片一样。这个模式太短了，以至于把它看作的一部分也没什么用。
图11-8展示了优美的数学结构——曼德布洛特分形，进一步表达了这种想法。它有一个非凡绝妙的性质：在任意小的尺度上，都拥有错综复杂的模式。并且，尽管许多模式看起来很相似，但其实并没有两个是完全相同的。这两张图片究竟有多复杂？它们每张都包含有100万个像素，每个像素可用3个字节的信息来表达（1个字节等于8个比特）。这意味着，每张图片都需要几兆字节的信息来描述。然而，图11-8的左图却可以从一个仅有几百字节长的程序中计算出来，只需对图注中所描述的简单计算z 2+c进行重复即可。
图11-8的右图只是左图中极其微小的一部分，所以它也很简单。但是它却比左图略微复杂一点，需要额外8个字节才能确定。这8个字节代表一个20位数，表示它是1020个不同部分之一。所以，我们再一次遇到了“少即是多”的情况，因为当我们将注意力限制在整体的一小部分中时，就失去了纵观整体时的内在对称性和简单性，增加了表面的信息含量。举个更简单的例子，一个典型的万亿位数的算法信息含量是牢固的、不增不减的，因为描述它的最短程序只能用来存储它那多达万亿位的数字。然而，所有数字1、2、3……组成的数列却可以由一个微不足道的计算机程序生成，所以，整个集合的复杂性要低于前面所说的那个典型的万亿位数。
图11-8 尽管曼德布洛特分形（左图）看似拥有数以百万计的精致彩色像素，但其实它的描述非常简单：图中的点对应着数学家们所谓的复数c，而色彩的信息中则编码了复数z从0开始不停重复“平方并加上c”的过程中（也就是重复运用一个简单公式z→z 2+c）向无穷大飞速暴涨的速度。矛盾的是，尽管右图只是左图中的一部分，但是要描述右图所需要的信息却比左图多。如果你把曼德布洛特分形切割成亿亿块，而右图就是其中一块，那么，右图所包含的信息就能够告诉你它在大图中的位置，因为要确定它的位置，最经济的方法就是像这样：“曼德布洛特分形中的第314 159 265 358 979 323 84块”。
现在，让我们回到我们的物理宇宙，以及用来描述它的1古戈尔比特的信息。一些科学家（如斯蒂芬·沃尔夫拉姆和尤尔根·施密特胡贝尔）怀疑，这种复杂性是否也是一个幻觉？曼德布洛特分形和图11-7左下角的模式是否也来自某个极其简单、尚未被发现的数学规则？尽管我认为这个想法很优雅，但我却站到了它的对立面：描述我们宇宙的所有数字，从WMAP探测器宇宙微波背景天图到某片沙滩上每颗沙砾的位置，是否都能通过一个简单的数据压缩算法，从几乎空无一物的虚无中推演而出？我认为这是不太可能发生的事情。实际上，正如我们在第4章所看到的那样，这些信息的终极来源都是宇宙中的涨落种子，而宇宙学暴胀清楚地预言了宇宙涨落种子是以随机的方式分布在宇宙中的，因此，这种巨幅的数据压缩不可能发生。
这些涨落种子解释了为什么我们的早期宇宙不是易于描述的、完美均匀的等离子体。为什么宇宙涨落种子的模式看起来如此随机？我们在第4章曾讨论过，根据宇宙学标准模型，暴胀在空间的不同部分（即第一层多重宇宙中的不同宇宙）产生了所有可能产生的模式，由于我们自己栖身于这个多重宇宙中一个相当典型的区域，因此，我们所看见的模式似乎很随机，没有任何隐藏规则可以帮助我们压缩信息。这个情况与图11-7下排的图片十分类似，在其中，我们的宇宙（相当于右下图）对应着一个描述简单的第一层多重宇宙（相当于左下图）中看似随机的一小部分。
实际上，如果你翻回到第5章，你会发现，只要我们将图11-7的下排图片扩展一下，让左图所包含的二进制的位数达到1古戈尔普勒克斯，并让右图包含大约1古戈尔个比特的信息（正如我们的宇宙包含的信息一样多），那么，图5-2与图11-7的下排图片就是等价的。数学家们普遍相信（尽管还未被证明），中的数字很像随机数，所以，任何可能出现的模式都会在其中某处出现，就像任意初始条件的宇宙都会出现在第一层多重宇宙中的某处一样。这意味着，从1古戈尔位数的中抽出一段数列，它完全无法告诉我们关于的任何信息，只能告诉我们它在数列中的位置。同样，对于那些典型的、看似随机的、暴胀生成的宇宙涨落种子来说，观测它所包含的1古戈尔比特信息，只能告诉我们所观测的区域在这个广袤的后暴胀空间中处在什么位置。
