等级体系与网络结构
对于一个柏拉图主义者来说，世界上的一切都是相互关联的，或许事实正是如此。万物相连，只是有些事物之间联系更为紧密。世界就是一个充满交互作用的大矩阵，其中大多数元素取值都接近于零，按照这些元素的数量级来排序就可以确定一个特定的等级结构。
——赫伯特·西蒙（Herbert Simon），《发现的模式》（1977，第258页）
对于“城市”而言，等级层次是内在的。城市由村落、乡镇发展而来，然后进一步扩大成为大城市甚至特大城市。世界级的大城市被称为国际大都市。从某种意义上来说，所有城镇聚落，不论大小，都可以统称为“城市”。但是，从最小的城市单位到最大的城市，这样的城市序列包含着一个等级体系，其中规模较小的城镇数量比规模较大的城镇要多得多。这就是所谓的中心地学说，最早由克里斯塔勒（1933/1966）提出，而后由廖什（Losch，1940/1954）发展成为一种经济逻辑，最后经过贝里（Berry，1967）的总结，在20世纪50年代和60年代得到了广泛应用，如今这一学说已经成为基于空间交互作用零售模型的理论基石，至于其他理论，我们将在第9章继续探讨。正如我们在上一章讨论位序规模关系时提到的，等级层次体现在城镇体系中城镇的排序上，这点是毋庸置疑的，然而我们并没有考虑它们是如何嵌入六边形空间的。在这一章中，我们将从简单的比例增长模型，扩展到单元结构中的城镇，最后到连接城镇的城镇网。我们的模型还会坚持简化的原则，只保留重要部分，但是这次的模型会把关注点放在城镇之间在空间和时间上的交互影响。正如第3章所指出的，我们可以把等级层次从关系网中抽离出来。在此我们将提供几个简单的例子来佐证这一点。然而本书的主要意旨在于提供研究城市体系的分析工具，而不是为所有可想象到的情境尽可能详尽地列举可应用的模型。基于这一意义，我们的研究仅仅是所有可能存在的方法示例中的一种，我们希望读者能将其应用到不同的问题背景中，来获得更多关于城市形态和功能的认识。
5.1 城市规模的内在等级
5.1.1 走出“城市汤”：最简单的模型
在上一章中，我们假设城市在狩猎采集社会出现是由于人类归属于一个聚落以繁衍后代和自我防御的需要，同时也是为了实现社会交流和劳动分工以改善物质条件，也就是为了发挥集聚经济效应。关于生命起源本身，传统的观点大致认为，生命起初是由于一次偶然的电击引发了同质的“原始汤”中的化学反应，从而催生了多种多样的核苷酸，这些核苷酸继而构成了生命的基石——RNA（核糖核酸）和DNA（脱氧核糖核酸）。同理，我们可以推测，社会和城市起初是一些随机分布的家庭单元，各自之间的活动间距取决于狩猎和采集所能获得的食物量。这些单元，当然，出于生存的需要会有往来，但是这个时期主要的模式还是家庭单元之间互相争夺领地，因为领地大小关乎生存。渐渐地人们就意识到，相较于竞争，合作能带来更大的生存希望，所以人们建立了村庄和乡落，最初的目的在于保障自身的防御力量，随着时间的推移，由此带来的社会交往慢慢地推动了劳动分工，并带来了财富的增长。
我们将从上一章中提及的模型讲起，在这个模型中，人口单元——家庭、聚落或者群体，随机发展但是基本与它们自身的规模成比例。类似于“原始汤”，在最初毫无差别的聚落中，一些单元比另一些获得了更快的发展，这仅仅是因为它们总是能抢占先机，而其他的单元则落后于潮流，最终往往不幸消失。就这样，那些我们称之为城市的大规模聚落出现在了地图上，而正是这些聚落构成了城镇网。等级是这一结构中不可或缺的一部分，但是在我们说明等级如何在这一发展过程中出现之前，我们先退一步来说明在这个人类创造的世界里城市如何根据规模组织起来。在这里我们把等级定义为基于规模的自然排序，其中规模可以通过多种不同的方式来测算。在城镇中，规模大小往往取决于人口、家庭或者劳动力的数量，但也有可能取决于占地面积，能源消耗或者是区域影响力。让我们先看看最简单的一种可能性：同样规模的聚落在一个平面上随机分布。在这样的世界里，聚落的存在是个随机事件。这个模型与上一章所介绍模型的一大区别就在于这一模型中的城市和聚落都是基于空间意义上的网格的。我们将会看到，这对于理解等级结构如何演化出城市系统或中心地是十分关键的。欢迎加入得到书社，微.信:whair004.罗辑思维，得到APP，樊登读书会，喜马拉雅系列海量书籍与您分享
我们假设在这一过程中，一个地区是随机发展的，但是其发展速度与自身规模是成比例的。那么，假如一个地区i在t时规模为Pi（t），发展速度λi（t+1）是随机的，则该地发展或衰退后的规模可以表示为：
方程5.1与方程4.3是相同的，所以如果用迭代法解方程5.1，就可以测算出不同时间段所对应的发展速度。这些数据反映了任一地区或者网格i在随机发展过程中成比例扩大的趋势。这个结论初看时会觉得出乎意料，但是深思之后，就会觉得合乎情理。
在一个包含许多地区的地域体系中，在任一时间t，所有地点，从小到大，发展速度都是一致的，有可能都是负值，也有可能都是正值。然而，随着时间的推移，一个不断扩张的地区获得持续高速发展的机会就会越来越小。同样，如果一个地区规模不断减小，其衰退的速度也会随时间推移而放缓，当然在这一情况下，如果一个地区变得太小了，那么可以说它就是消失了。所以这一发展或衰退的过程存在着一种内在的不对称性。事实上，越来越少的地方会变得极其之小，而我们往往也会降低判定一个地方消失的标准。如果我们把这个发展过程应用于少数几个对象上，然后从一个给定的区间内选择随机发展速度，反复代入方程5.1，我们就能够很轻易地得出结果。规模变大的对象数量会越来越小，大多数保持在规模较小的水平，而有一部分则直接消失了，但是问题的关键在于：这样的规模分布中有没有什么规律？在上一章中，我们把这一现象解释为人口规模的比例定律，即规模大的对象数量会远远小于规模小的对象，现在，基于我们的网格，我们来看个例子，虽然不是实例，但是却形象地说明了这一点。
我们的例子基于一个21×21的网格，最初设定的人群均匀地分布在网格里的441个对象，也就是地区里，其中Pi（t）=1，∀i，t=0。发展速度λi（t+1）是从区间-0.1<λi（t+1）<0.1中随机选择的任一数值。方程5.1的比例发展模型能迅速地将对象按规模大小分类，当t=100时，频率分布很明显就是对数正态分布。事实上，这个模型我反复运行了1 000次，形象地说就是运行了一千年。在这1 000年的模拟中，对象之间在相对规模上有很大的变动。当然，这一点在第4章中我们也用实例说明了，所以在这里我们要探究这一变动的意义。与往常一样，我们根据规模大小对频率进行分类，然后将它们按顺序绘制在图上，由此对这些规模分布进行特征提取。这种位序规模分布（即齐普夫分布）事实上是非累进式的，我们在第4章中已经通过方程4.5到4.9得出了这一结论。在图5.1中，我们绘制了t=1 000时的位序规模分布。很明显，这是一个对数正态分布，是人口规模对位序的对数变换。
图5.1 通过比例效应和幂律比例缩放并设置最小阈值得出对数正态分布
实际上，很多之前的学者都证明了这种随机发展会导致规模呈对数正态分布（Pumain，2000）。吉布列（Gibrat，1931）是第一个提出关于城市和收入分布理论的学者，但是尤尔（Yule，1925）比吉布列更早了解这一模型及其结果。如果我们继续延长时间，取大于1 000的t值，就会发现人口会越来越趋于汇合，并且最终，我们假设，在这样的离散系统里，所有活动都会聚集到一个中心点上。然而，这样的模拟系统，实际上为不可分割性所局限。因而，为了完善原有的模型，我们有必要引入一个规模阈值，一旦低于这个阈值，人口就不会再减少。这样，无论何时人口单元i低于这个阈值，都会被恢复到阈值，这一机制可以起到防范和补足的效果。这也可以看成是，在一个旧城市消失的同时引进了一个新城市，这就构成了一个完美平衡的生灭过程。用数学语言表示为：
观察图5.1中的对数正态分布，我们可以看到两个部分，长尾部分几乎呈线性，短尾部分则代表规模较小的聚落点。我们很容易会认为，长尾部分可以用一条直线，或者一种比例关系去逼近，然而事实上，如果我们采用上述机制设定阈值，那么单纯从表面上看，我们就已经有效地截掉了短尾部分。运用相同的速度参数，再次运行方程5.2，当t=1 000时，我们就可以得到图5.1中的“近似”线性分布，这与我们上一章中谈到的图4.2b颇为相似。很明显，设置阈值是有作用的，现在我们得出的就不再是呈对数正态分布的曲线了，而是成比例关系的，因为它可以用幂律逼近，其中人口规模Pi（t）与位序ri（t）成反比，表示为Pi（t）∝ri-γ=Kri-1/（α-1），γ=（α-1）-1，就是所谓的比例参数。注意，这一比例关系与方程4.5到4.9推导得出的结论一致，其中α就是概率密度函数参数，与城市规模的频率成比例。当城市在等级结构中上升或下降时，我们很可能把长尾部分看成“稳定状态”。确实，理论家如加贝克斯（Gabaix，1999）曾指出，吉布列过程就是这样的，不断聚合到一点，最后形成一个纯粹的比例法则（齐普夫法则），其中参数α=2，γ=1。注意，我们这里使用长尾和短尾这些术语只是为了更为形象地描述图5.1中的位序规模分布，在其他语境中，这些术语使用的情况刚好是相反的（Anderson，2006）。
5.1.2 分布规律性与等级波动性
幂律分布及其他类似的分布广泛地存在于城市以及很多其他分布中，例如收入分配。一百多年来，这已经成为一个不争的经验事实。19世纪末关于城市的理论，比如韦伯（Weber，1899）和奥尔巴赫（Auerbach，1913）的理论，已经把这看成是城市化的必然结果，当然，还有帕累托（Pareto，1896/1967）也提出了著名的收入法则，但是这一法则是基于频率而非位序的。我们在前面几章已经注意到，符合幂律比例分布的最佳例子就是齐普夫（1949）在其著作中所提供的那些例子，包括词频和城市规模分布。齐普夫指出，这些分布不仅仅存在比例关系，符合幂律，而且很多这样的分布（事实上是所有这样的分布）都符合逆幂律，这意味着不论是一个大洲、一个国家还是一个小镇，不论其规模和水平，人口位序都符合Pi（t）∝ri（t）-1=1/ri（t）。这就是齐普夫定律的强形式，它意味着城市规模分布是分形的，因为不论城市规模大小，分布都是一样的。这就是一种自相似性，而且这意味着分布是重新调节过的，所以我们所看到的分布只是原有分布按比例放大或缩小后的状态。假设位序规模按比例放大或缩小了s倍，得出另一个位序sri（t），则位序规模比例扩大或缩小程度可表示为sPi（t）∝（sri（t））-1=s-1ri（t）-1∝ri（t）-1∝Pi（t），说明无论数量级为多少，比例扩大或缩小的效果是一样的（Batty and Shiode，2003）。
设置最小值的比例效应就相当于带反射壁的随机游走（Sornette，2004;Saichev、Malevergne and Sornette，2010）。这一模型是极其简单的，因为它不包含对象之间任何形式的竞争和交流。这是极其奇怪的，因为城市之间充满了竞争和交流，而且许多关于城市形成的模型都强调这种交流。设置阈值的比例效应模型，其分布很明显是成比例的，而且符合齐普夫定律，但是在很多情况下，这个模型都是不稳定的。单纯看分布出现的时间以及高位序单位或者地区的波动性就可以知道这个模型并不能反映真实的状况，虽然我们在之前的章节中就已经讨论过波动性的问题而且经常有城市在很短的时间段里发生规模（当然也包括位序）的上下波动。但是仅仅规模分布与现实一致这一点并不足以说明这个模型就是个好模型。例如，随着时间的推移，分布产生的变化并不在于比例而在于它们的形态。这点表现在两个方面。在图5.2中，我们分别呈现了100次、1 000次及10 000次迭代后产生的分布图，随着迭代次数的增加，可以看出越来越明显的聚合趋势。在图5.3中，次数较少的迭代显示的分布相对次数较多的迭代显得更加平缓。
图5.2 设置阈值的比例效应模型下的位序规模分布
图5.3 随人口分布出现的幂律缩放
然而，随着t值的不断增加，当t=1 000，t =2 000直到t = 10 000时，可以明显看出分布变得陡峭起来。这说明随着人口增长，参数γ也在不断变大。事实上，参数在向齐普夫所提到的统一靠拢，虽然仅仅凭这些数据并不能直接推导出这一结论。但是正如加贝克斯（1999）、布兰克和所罗门（2000）所指出的，大量的理论都说明了这就是带反射壁的随机游走带来的增加。在图5.3中，当t值由1 000上升到10 000时，每间隔1 000，参数γ的值分别为0.668、0.862、0.907、0.977、1.008、0.984、0.980、0.978、1.053和0.962。很明显，参数γ最后的取值在1上下波动，而且每个值的方差都达到了99%以上。这是一个非常显著的结果。这个没有涉及任何空间竞争的虚构模型产生了一个简单却高度有序的等级结构，这实际上印证了过去一百多年关于很多城市很多地区所汇集的实证数据。图5.4是美国一些行政地区从1970年（大约7 000个地区）到2000年（大约25 000个地区）的位序规模图。图5.4a显示了整个分布，而且这个分布很明显是对数正态分布。当我们去掉短尾部分，剩下的长尾部分就相当于一条直线，也就对应了幂律法则。图5.4实际上是对应图5.1中理论模型的实证数据，而且对应从1970年到2000年的四个10年，γ参数分别为0.986、0.982、0.995和1.014。这四个值的方差与理论模型中的相比更小。法国学者格林佩斯（Guerin-Pace，1995）也做过同样的动态分析，皮曼（Pumain，2006b）也给出了详尽的分析。
虽然这个模型所产生的分布总体上和我们在很多地区观察到的实证现象都很接近，甚至可以说是不可思议地接近，但是当我们仔细审视这个模型的时候，我们会发现它也并不如我们想象中的那么完美。事实上，这个模型存在着很多不一致性。其中，最需要引起我们关注的就是随单元位序变化而产生的结构上的不一致性。在“10 000年”的模拟实验中，有18个不同的单元曾经排位第一。而我们总共才采集了50个时间段的位序信息，所以很有可能在模拟的过程中有多于18个不同的单元曾经排位第一。为了更直观地了解位序波动的幅度，我们在图5.5中给出了第一、第六、第十二及第十八等高位序单元在10 000年中位序的变化。这些单元在不同的时间段都出现过，但是它们保持在高位序的时间却很短，这说明这个模型缺乏一定的连贯性。由于模型中的时间与现实世界毫无干系，因而也就无从得知模型中的“10 000年”对于现实生活中城市体系的演化，例如图5.4中美国城市体系的演化，究竟有何意味。正如我们在上一章中提及的，模型中分布波动的幅度比现实情况要大得多。
图5.4 美国建制市的人口幂律分布图和对数正态分布图
图5.5 位序第一、第六、第十二及第十八的人口单元及其在模拟实验中的发展
在我们将空间交互作用与竞争纳入模型并对之加以完善之前，我们要最后观察一下改变模型空间地理维度可能带来的影响。我们首先将网格由21 ×21改为51 ×51，而后又改为101 × 101，然后通过设置阈值的模型进行了10 000年的模拟。图5.6中列出了三种情况下的位序规模分布。显然，三种分布的斜率是相似的，说明当地理空间规模变大后，我们的模型也仍然适用。这一结果也是意料之中的，因为城市单元之间并没有任何交流，但是有趣的是随着体系规模的扩大，人口规模也在扩大。这有些奇怪，但或许是因为当空间系统扩大时，极端增长产生的可能性也会随之增大。当然，和模型的其他很多方面一样，这一点也需要进一步研究才能确定，但是这并不会影响模型在空间扩大后的适用性。令人称奇的是，这样简单的一个模型，我们费尽心神进行模拟和数学分析，却也无法彻底了解它。
图5.6 不同规模网格具有比例一致性
5.2 竞争、交互和空间扩散下的等级体系
比例效应模型下的城市等级体系是所有可能存在的体系中最简单的。在这个体系中，对象的顺序由规模决定，并且对象之间都是相互独立的，因而这仅仅是一个简单单向的位序规模等级体系。对于研究城市的发展来说，它也就不可能是个好模型，因为它并没有将任何形式的竞争或交流纳入考虑，所以在这个模型中，城市之间是毫无联系的。本章章开头引言中西蒙（1977）所言与等级的定义相去甚远，因为在上述模型中对象之间并没有联系，但是仍旧产生了等级结构。我们现在所需要的就是城市或地区之间，网点之间某种程度的交流，不需要太多，来迎合西蒙（1977）的观点。为了将对象间交流纳入考虑，我们会在每个模拟阶段在相邻的网格单元之间加入简单的扩散活动。简而言之，在每个时间段，都有固定θ比例的人口会由单元i的各个方向迁徙到冯诺依曼区最近的单元k。因而，对于单元i而言，在t+1时人口Pi（t+1）可由以下式子计算得出：
其中扩散区域表示为。这个模型考虑了最小限度内的远距离行为，而且在与一个网格维度成比例的时间间隔内，每个单元都会对除本身之外的其他所有单元产生影响。这种扩散作用还是很初级的，因为这个模型假定一定比例的人口会迁移到邻近地区，却没有说明这样的人口迁移行为具体出于什么原因，而只是笼统地概括为基于社会经济学原理。
我们根据方程5.3运算，并且在t=1 000，2 000，…，10 000这些时间区间里，保留了方程5.2中的截断部分，得出的位序规模分布图即为图5.7。扩散程度参数设置为θ=0.3，意味着在每段时间间隔，每个单元有30%的人口迁移到了邻近单元。由此得出的分布并非比例分布，而是对数正态分布，正如之前不考虑扩散作用的模型一样。在这个模型中，截断部分事实上是被扩散作用抵消了，这与之前曼鲁比亚和安妮特（Manrubia and Zanette，1998）提出的模型相比略有不同。曼鲁比亚和安妮特模型与这个模型基于同一过程，但是没有设置阈值，而且只考虑正增长，因而得出的分布是符合比例定律的。但是，从某种意义上说，这些模型产生的分布是幂律分布还是对数正态分布都不重要，因为从现象学角度来看，所有倍增过程都隶属于同一类模型（Sornette and Cont，1997）。
图5.7
在这个模型中，所有的单元在每个时间段都会受到扩散作用的影响。这种影响不仅强烈而且持久，因为时间段的数量远远大于这个系统的规模（即21×21网格），以至于我们无法记录这些单元两两之间存在的交流。通过邻近单元的中介作用，远距离行为得以产生，也因此使得扩散路径组合的总量变得难以估量。人口最多的单元周围扩散路径最密集，正如城市中心往往人口流动最多。通过将单元与更高位序的中心（位序高低由人口规模决定）联系起来，并由此判断它们之间是否仅仅由于距离相近而联系在一起，我们绘制了一个简单的等级结构图，并对等级体系有了一个初步了解。图5.8为模型在t=100、t=1 000及t=10 000时的增长模式，很明显，在一个地区100个时间段内产生的模式，随着时间的推移，也会在其他地点重复出现。通过确定最高位序单元，位序在其之后的3个单元，以及再之后的8个单元、24个单元，乃至最终围绕这一核心的64个单元，我们还可以得出以上图像的简化版。这能使我们直观地了解了人口密度的分布，也即等级位序的分布。
在图5.8中，我们展示了t=10 000时的模式，而且我们将每个层次的每个单元与位序更高的单元联系起来，不论单元之间存在直接联系还是仅仅通过相似值单元产生联系。由此产生的等级体系表示为图5.9中的半网格结构，类似于第1章中图1.1c的结构。我们不可能将每个单元与更高等级层次上的一个单元单独联系起来因为单元之间的联系无法切断，因而也就无法划定独立的区域。等级体系的这一表现是非常现实的。正如亚历山大（1965）在《城市并非树形》中提到的“交互影响”的概念，城市等级体系内部的联系也是交互错综的。经历了扩散过程后，等级体系中形成了一定的结构，但是模型还是同经历纯粹的吉布列过程后一样具有很大的波动性。在10 000年模拟期限中，所有441个不同的单元（即城市）都曾在某个时间段成为位序最高的单元，而且这些高位序单元的发展模式都显得毫无章法可循。
图5.8 空间扩散模式
图5.9 t=10 000时的模式等级体系
由图5.10可以很明显地看到在模拟过程中，没有任何一个特定的聚落或者单个单元能够成为地区中心，长久保持在最高位序上。很明显，这个系统缺乏足够的延续性，因而并不能反映城市系统的真实情况，因为在现实生活中，在同模拟时间一样长的时间期限里，不可能所有的单元都能够成为位序最高的城市。因而我们需要建构其他模型。
图5.10 10 000年模拟实验中的高位序单元
注：气泡大小范围为1~83个时间段，其中相应单元主导的为平均23个时间段。
图5.11 当t=1 000和t=10 000时集聚模型产生的城市规模分布
经历吉布列过程和扩散过程产生的分布较为平直，而且随着扩散作用的增强，等级结构逐渐消失。通过减少吉布列过程的影响并引入聚集经济效应，我们希望能够增强模型的结构性。这样，我们的模型就变成了：
其中Φ和η反映了聚集经济带来的比例效应。假设Φ=0.2，η=1.08。通过这些参数，我们确实成功地优化了城市规模分布，但是如图5.11所示，这一模型依然保持对数正态分布，所以这一模型并不能带来任何实质性的变化。为了将不同形式的等级结构引入城市体系，我们需要从迅速发展的网络科学中汲取成果，来加深对城市间交互作用的了解（Barabasi，2002;Watts，2002）。接下来，我们将一一做介绍。
5.3 网络层次结构：吉布列交互作用模型
到目前为止，我们的等级模型都在关注城市等级体系的演化，而西蒙（1977）的定义似乎倾向于认为等级体系是固有的，已经存在的。为了确定等级结构，我们需要观察系统内部各部分间的相互联系并确定那些密切联系并构成整体的子系统。我们的模型需要明确这些内部联系，并将吉布列模型应用到网络结构中。通过随机增加单元和单元间联系，我们就可以做到这点。这个模型的运行机制体现在以下方程中。在每个时间段，对于一个与其他节点存在联系的已知节点，我们假设随机增加的联系量为δij（t+1）=1，其中Pij（t）指从节点i到节点j联系的总量。与i有关的所有联系量，总和即为i新的人口规模，表示为Pi（t+1）。故而，联系总量的方程可表示为：
其中每个时间段更新的联系量为
是否增加一个联系取决于节点的规模及其与其他节点之间的距离，而这可以通过一个指数加权引力函数计算得出：
rnd（ζij（t+1））代表一个基于潜在交流规模的随机选择，其中dij指节点i到节点j的距离，而参数φ则表示这段距离中产生的摩擦效应。本质上，这个过程就是“优先连接”中的一种，因为在这个过程中，连接是根据现有连接规模及人口规模成比例增加的。巴拉巴希（2002）及其同事已经对这一模型进行了深入广泛的研究，并且发现这一模型会产生“无标度”网络，即入度和出度的数量是根据幂律成比例增长的（Barabasi and Albert，1999）。
另外，这一过程并没有考虑节点最初是如何产生的，因而，我们需要增加一个新节点产生的机制，类似于西蒙（1955）在他的位序规模经典模型中增加的机制。如果随机变量rnd（υ（t+1））大于预先设定的阈值z，则i处可增加一个新节点，表示为：
其中，z的取值小于增加新连接的可能性，如以上方程5.5到5.7所示。对于21×21网格，我们设置的新增节点阈值为z=0.1，意味着，在过程开始时每个时间段有十分之一的可能性会有新节点产生。当然，这一概率也会随着过程的推进而下降，因为如果选中新增的节点就是已经存在的节点，那么这一节点就作废了。关于已经存在的节点间连接的产生，首先根据与规模Pi（t）成比例的原则，随机选择一个节点i，而后根据方程5.7中的逆距离函数选择一个从节点i到节点j的连接，由此，整个网络结构就可以通过与现存节点“优先连接”的规则而建构起来。假设对于每个网格，系统总体尺寸为300×300（x-y坐标单位），那么方程5.7中的控制参数φ就可以设置为0.001，即为441个单元将近1 000个单位之间的平均距离。
图5.12中表示出了节点{Pi（1 000）}的最终人口分布，和节点间所有大于1的连接总量的分布，大于2的连接总量的分布以及大于4的连接总量的分布。这些分布图中存在着一个等级模式。我们可以在集群密度低于不同阈值的节点处切断连接，从而将空间分割为几个区域，来确定等级结构。我们并没有这么做，因为我们关注的不是等级本身，而是等级是如何产生的。在图5.13中，我们绘制了各个节点人口规模相对于位序的齐普夫位序规模图。因为这个例子的数据量非常有限，所以图中的各点并没有连接起来，但是还是可以隐约看出图中各点呈现对数正态分布。将整条曲线看成一条直线，则其比例参数为1.05，变换率为90%。这与齐普夫定律分布图相当接近，在纯粹的齐普夫图中，参数γ=1。这也说明了，基于吉布列过程的“优先连接”模型确实可以产生同上述简化模型一样的分布。
图5.12 网络连接模式
图5.13 节点网络位序规模分布
5.4 连锁空间等级体系
在介绍最后一个模型前，我们将首先观察取不同阈值时的空间活动，从而了解等级是如何产生的，因为在最后一个模型中，我们将回归理论，并基于中心地理论，总结等级体系遵循的位序规模法则。如果空间活动的密度各不相同，我们就可以设置不同的密度阈值，绘制活动结构图，由此产生的等级体系就是一个基于强度的等级体系。事实上，在之前的模型当中，我们就已经绘制了不同阈值水平的模式图，例如在图5.8中，我们就是通过设置不同强度阈值来确定等级体系的。这种方式适用于很多空间体系。我们的第一个例子就是要确定伦敦地区零售活动的等级体系，其中零售活动强度指数为几个单独指标的线性加权和，每个指标都根据地区邮政编码归一化。在一定的规模下，这个指数就代表平均分辨率为50米左右的零售活动（Thurstain-Goodwin and Batty，2002）。根据这些数据，我们插入了一个平面，并将平面切分成5个不同的层次，从而绘制出了图5.14中的零售活动强度等级体系。这是一个内嵌的等级体系，类似于从图5.8和图5.12人口分布中提取的等级体系。目前的分析并没有得出一个详细的交流模式图，即连接消费者与零售活动的空间移动模式图。不过，零售活动模式图和我们之前的分布图是一致的，也是一种位序规模分布图。
图5.14 伦敦市中心零售活动内在等级体系
第二个例子是一个关于人口分布更为详尽的例子。在这个例子中，我们通过设置不同的密度阈值来确定城市边界。当我们降低阈值时，就会有更多的人口聚集在不断发展的城市群中，通过这样的方式，我们就可以看到城市如何从小小的核心区发展起来。在图5.15中，我们以大伦敦地区为例，最初设置的密度阈值是每公顷人口大于或等于70人（即每平方千米人口大于或等于7 000人），然后我们将阈值降低为50人每公顷，14人每公顷，最后是5人每公顷，这样我们就可以绘制出一个四重等级体系。每个阶段都会有更多的人口出现，加入已有的集群，每个集群又不断加入更大的片区，这样我们就把新出现的集群与上一个等级层次联系起来了。通过这样的方式，一个新出现的地区就会被自动纳入不断发展的等级体系中。如果新地区与现有的两个集群距离相等，我们就把它纳入较大的集群。如果新地区与多个集群距离相等，这个例子并不涉及这种情况，不过如果存在这样的状况，那么新地区就将随机加入一个集群。图5.15a为伦敦地区四个层次集群状况，而图5.15b则是相应的等级体系。显然，如果我们继续降低密度阈值，每个基层人口单元都会被纳入这个体系。而且，从密度（即分区人口密度）最大的地区开始，每个分区都将被加入前一个集群，从而形成一个多层级的等级体系。其中，层级数就取决于分区的数量。在这个地区，总共有1 500个这样的分区单元，由此我们可以想见这个地区的城市体系有多么复杂。
图5.15 大伦敦地区外在人口等级体系
注：a.四级密度变化（黑色，70；深灰，50；中灰，14；浅灰，5）;b.补足的四个
在第三个例子中，我们收集了大伦敦地区地铁网各站点的流量数据，在第3章的图3.11中，我们曾用这些数据来说明中心性的问题。图5.16a是由每对站点中介中心性排序形成的有向图。整个等级体系是以最简单的方式建构起来的。首先，根据中心性将站点（即节点）从高到低排序。而后，将高位序站点与下一个层级里中心值最高的相邻站点连接。如果不存在这样的站点，则选择中心值第二高的下一个站点，以此类推。通过这样的方式，我们可以建立起一个等级体系，而且在每个层级，我们都会回顾之前连接过的高中心值站点，并据此将站点与最高值的节点联系在一起，从而形成一个没有循环的树状结构。对于这样的结构，我们可以使用杉山绘图算法来解读（Sugiyama、Tagawa and Toda，1981）。图5.16b就是由此产生的非循环等级体系图。
图5.16 伦敦地铁系统等级体系树状图
注：a.基于严格中介中心性排序的地铁有向非循环节点（站点）图和连接（线路）;b.根据中介中心性排序的杉山层级图。
5.5 中心地：基于地理依附关系的位序规模
虽然我们探讨过不同等级体系的模型，但是我们只考虑过空间中不同节点间的远距离行为。目前我们论及的竞争，要么是由交互或者重叠扩散作用引起的，要么是由内嵌排序引起的（即规模较大的地区相对于规模较小的地区有优先连接的权利）。贝克曼（1958）是最早解释地理区域的影响范围是如何遵循位序规模法则的学者之一。他的观点非常清晰，所以在这里我们将引用他的观点来总结我们关于等级体系的讨论。根据城市之间功能和空间上的相互依附性，贝克曼（1958）定义了城市形成的两个关键要素。他首先假设，一个城市的发展，或者说城市发展历程中一个小小种子的发展是与其腹地或者说影响范围的人口规模成比例的。而后，他又提出，每个城市都有一个“势力范围”且这个范围的大小取决于其周围低位序腹地的数量，即取决于那些在空间上和经济上依附于中心城市或者核心区的城镇的数量。第二种依附关系会催生一系列位序不同的城镇。这些城镇位序越高，数量越少，面积越大。城市的位序便是由这些城镇确定的。这一结论与克里斯塔勒（1933/1966）和廖什（1940/1954）的中心地理论是一致的。
对于任一位序的城市n，其人口规模Pn相对于所在地区更大范围的人口规模Pn的初始依附系数ξ可表示为：
城市n代表规模最大的城市时，表示为等级N，而位序最低时则表示为1。在第二种空间依附关系中，更高等级水平的人口数量Pn是下一个等级水平s个城镇人口数量Pn-1的总和，定义为：
反复代入方程5.10得出：
在等级体系的底部，人口规模最小，即P=P1时，可以很清楚地看出幂律关系：
假设中心城市人口规模很小，甚至为0，则ξ=0，方程5.12也因而简化为Pn=sn-1P。
使用从1到N逆序数，每个层次的城市个数总和定义为sm，则到m层次所有城市的数量总和为：
显然，这是一个发散的等比级数，到m层次的总和可由（sm-1）/（s-1）一式求出。故而第一个等级层次m的城市位序为{[（sm-1）/（s-1）]+1}，等级层次居中的城市位序，也即平均位序为：
假设1/s-1的值相对于其他项而言小到可以忽略不计，则方程5.14可简化为
位序规模关系是基于人口规模和位序的，所以如果我们将表示人口规模的方程5.12（其中我们将n根据n=N-m+1转换成了m）与表示位序的方程5.15相乘，则可以得到：
若ξ=0，则方程的值为常数。从某种程度上说，这个结果是随机的，虽然腹地的人口规模往往远远大于中心城市的人口规模。如果事实就是如此，那么我们就可以将方程5.16简化为。如果我们将位序为r时的人口规模定义为Pr，则我们可以得到：Prr=Φ，或者
这也就是纯粹的齐普夫案例。很多假说都曾得出这一结论，但是都没有将贝克曼（1958）离散情况下得出的结论扩大到连续情况下。不过，这种地理学推理模式（确切地说是几何推理模式）通过假定空间上的等级体系是基于经济上的依存关系的，也确实得出了人口的位序规模分布。从某种程度上来说，当然这点是很明显的，因为我们已经假定了存在等级层次，而且证明了描述这种等级层次的等比级数是可以产生位序规模的。这事实上间接地反映了比例规则。令人意外的是，贝克曼模型并没有得到广泛应用，至今（至少就作者所知）还没有学者提供贝克曼模型的随机版本。但是，这也提醒了我们，在位序规模分布背后有一个潜在的理论基础，而且位序规模本质上就是一种空间排序，几何排序，或者说是一种地理意义上的等级层次（Beckmann，1968）。
5.6 城市规划中的等级体系
我们在这一章中采用的模型本质上都是随机的和动态的，虽然前一部分中提到的贝克曼模型采用了演绎法，因而其动态性并不是那么明显。但是，除了这些模型之外，还存在着其他产生空间等级体系的方式。例如，我们还可以通过自上而下的静态方法甚至是准动态的方法来得出分布，比如，得出不同优化程序的分布。总之，为了对此做出解释，并且说明在城市规划中城市等级体系的影响，我们有必要回顾一下空间交互模型。其中，人口比例分布和旅游交通分布（例如那些在第2章中提到并在之后章节里进一步解释的分布）根据最优化理论都可以得出。这些模型都是建立在成本结构制约与效用或熵或可达性的最大化基础之上的。贝里（1964）是最早阐述这一方法的学者之一，通过熵最大化模型，他成功地得出了人口分布。为了在个人及集体规划层面上最优化土地利用行为，威尔逊、柯艾略、麦吉尔和威廉姆斯（Wilson、Coelho、Macgill and Williams，1981）也应用了这一方法。
在这些不同的方法中，位序规模分布很好地阐明了我们在解释复杂体系演化过程时所遇到的问题。没有什么比随机过程中产生的分布更加多变了，尤其是当所有组成要素都相互独立，并且增长是自下而上时——正如我们的第一个模型一样——通过某些自上而下的优化过程，其中可及性是最大化的，但会受到一些成本或能源限制的影响。不过，优化要素后的分布结果是一样的。从某种程度上说，这些说明了我们研究城市等级体系的途径往往决定了我们得出预期结果所应用的方法。这种殊途同归性正是关于复杂体系的很多研究所面临的问题，即多种看似合理的不同模型最终都逐渐趋同，并产生相似的结果。这也是城市科学，甚至是很多其他科学所不得不面对的一个问题。这里我们不再赘述，不过相信我们的读者到现在已经很清楚我们的科学不可能建立起一个无懈可击的模型，一个可以不断用选定数据测试的模型。在本书中，我们还将不断地遇到同样的困境。
虽然城市规划实质上是个最优化问题，其理论基础和现实考虑千差万别，但应用等级理论的思想来解决问题还是非常普遍的。虽然在很多情况下，我们只是在建构问题解决框架时会用到等级思想，将问题分层次，建立一个层次结构，但是我们在这里用到的简化思想还是对问题的解决很有指导意义。在前一个部分中，我们引用了亚历山大（1965）的观点，他认为建构严格的等级结构这一理念太过简单化，因而不能成为城市规划的组织原则，并且交互模型会比等级模型更加适用。亚历山大和很多学者都借鉴了有机进化系统的思想，这一思想后来被丹尼特（Dennett，1995）和道金斯（Dawkins，1986）发展为新达尔文主义，他们主张的范式认为设计结构的必需部分是交互而非层级。重叠的层级结构，比如我们在图1.1和图5.9中描述的那些半格结构显然更加适合于不同地理尺度上的城市的空间组织。
本质上，亚历山大的观点就是在城市空间和街区设计中，根据严格的等级体系对空间进行分区未免太过于简单化了。虽然这一策略广泛地应用于自上而下的建筑设计中，但是重叠的等级结构更能反映实际情况的多样性，也更适用于城市规划中，即便它有简化交互作用之嫌。这也是我们将在本书最后一章中回顾的内容，这样我们就可以将讨论从城市科学转到城市规划中，至少是从城市科学转到设计科学上。在第10章中，我们将进一步探讨等级思想在城市规划中的应用，围绕亚历山大的思想并主要关注设计思想是如何交锋，并最终确定重叠等级结构为最适宜的结构。其实，从某种意义上说，城市科学中也有这一思想，克里斯塔勒的中心地等级体系就是重叠的，而且空间交互作用模型以及等级体系与零售中心的联系就是为了模糊化等级概念，让这一体系在流动空间中保持模糊。
