城市结构的空间句法
从技术角度来说，自调节转换系统的结构与形态并不一致：一堆鹅卵石并不能被认为具有形态……但是当我们将其置于严谨的理论中，将系统中所有“虚拟”的运动考虑进去，一堆石头也可以具有结构。这就将我们带入了物理学。
——让·皮亚杰（Jean Piaget），《结构主义》（1971，第36页）
本书所采用的城市研究方法中，物理形态是非常重要的内容。从形态中可以推导出我们所见的城市结构形成过程，形态还使我们可以对这一过程建立模型，反过来再用它们对形态进行模拟。所以，形态和功能是我们的核心概念。我们认为城市可以被理解为区位，而区位是相互作用的结果，区位又反过来构成城市结构，这是我们贯穿全书所研究的对象。形态、功能、结构、过程以及动力等概念并没有严密的定义，但正如在开篇引用的皮亚杰（Piaget，1971）的观点，在我们继续推进之前，必须理清所有这些概念之间的关系。实际上，“形态学”这一概念经常被用于概括城市的各个方面，我们这里也将如此。当然，形态学的概念应用甚广，最早歌德（Goethe，1790/2009）曾经用它来描述有机生成的自然实体的形成和转变，与这里所理解的城市的概念非常接近。城市形态学在这里被定义为研究城市的形态和结构的科学，其所关注的核心是转变的动力以及这些动力背后的规律。另一种为语言学所采纳的角度则将重点放在构成语言的语法和句法规则。在城市形态学理论的发展过程中，对有机生长的关注表现为研究城市如何“自下而上”地自然生长，如何填充空间并在不同层级上重复，比如那些分形几何学中的概念（Batty and Longley，1994），这些我们都将在后面章节中详细介绍。
借鉴语言学模型，城市研究者聚焦于一般过程并研发了形态语法和各种过程模型。其焦点是新对象的生成规则，从而让我们可以在比分形增长模型更好的尺度上研究建筑和城市的增长。我们将在第8章中探讨分形增长以及采用元胞自动机的分形模型，而在本章中我们会首先从区位组成的网络结构角度来研究城市形态。我们主要通过隐形的形态语法来研究街道和其他线路系统的连接，也就是所谓的空间句法（Hillier、Leaman、Stansall and Bedford，1976），虽然这个工具的早期关注重点只是网络系统的组合方式。实际上，我们将这种方法放在最前面介绍主要是因为它可以为我们提供很多好的例子，揭示我们为什么需要更加强大的工具来深入分析城市，而不仅仅是使用二维图和空间网络。空间句法使我们了解到，网络实际上可以作为两组相关对象的组合而被预测——街道如何被定义为明确的对象以及如何通过另一组对象相连接，这里的另一组对象就是街道的接合点或相互作用。由此，我们可以使用建立在第3章中相关概念基础之上的二部图，来生成一种更加强大的句法工具。我们将提出一个一般性方法，即将城市结构理解为关系群，更加深入地挖掘城市形态的肤浅表面下的内容，从而认识到城市形态是众多网络跨越不同层面的交织。
6.1 传统表述
我们已经提出城市形态是一种诸如区位（点或区域）等可识别的城市要素所组成的格局。不同的区位之间往往通过城市街道等线性交通路线彼此联系。道路系统从某些方面来说就是城市发展的骨骼框架，因为它们为其他建设提供了重要基础。这些要素可以被认为组成了图的节点，节点间的关系弧代表了要素间的直接流或关联。这就是结构的概念，也是第2章和第3章所描述的各种相关工具和方法的基础。这些关系并不需要建筑实体这样的物理承载，因为在较为粗放的空间层面上这些关系可能是抽象的，例如区域之间的人口流动。然而，在较细致空间和更接近地方的层面，这些关系通常是线性的要素，比如街道或廊道等。此类分析的重点在于对节点间的隐形流进行建模，或者采用相对邻近法或到不同区位的“可达性”来分析隐形流。分析图中可能包括节点间的距离计算，以及不同区位及区位间连接所发生的活动密度和强度。例如，工作活动的集聚通常意味着较高的可达性。因此，规划和设计最多考虑的就是通过新建或更新交通基础设施改变可达性格局，以达到提升城市运行效率和空间资源合理配置的目的。
很长时间以来，一直有研究试图借助图论方法来表达城市形态。通过理想化的线路系统来描述城镇结构与交通的历史可以追溯到20世纪50年代末，比如斯密德（Smeed，1961）、霍尔罗伊德（Holroyd，1966）以及其他人（参见Haggett and Chorley，1969）的工作。在这之前，还有对区位组成的网络的研究和德国的区位理论研究（参见Isard，1956），更远还可以追溯到在第2章介绍的科尔（1841）。尼史顿和达西（Nystuen and Dacey，1961）提出了对区域中心地系统中的层级体系进行测度，康斯基（Kansky，1963）则将基本的图论应用于测量交通网络。基于围绕单点的加权合力，斯图尔特（Stewart，1947）提出了引力势概念并首先应用到人口系统分析中，其中就隐含着图的思想，我们在第2章中已经用它来描述流系统。之后的一些研究将可达性看作空间相互作用的决定性因素，其中也包含了空间系统的图论观（Hansen，1959;Wilson，1970）。类似地，图论还被广泛用于表现建筑中房间的连通性（March and Steadman，1971）和对建筑进行分类（Steadman，1983）。由于拓扑关系与欧几里得空间的紧密联系，长久以来图都被认为是用于表现其形态的基本结构。在对建筑层面或更大空间层面的增长系统建立生成模型和过程模型时，就如建立语法规则一样，建筑和更加集聚的空间对象间的关系具有相应的规则，这些规则促成了结构在其不断发展过程中的形成和转变（Stiny，2006;Lipp、Scherzer、Wonka and Wimmer，2011）。
在第2章和第3章中介绍的一般情形中，我们将欧几里得空间中的区位或点定义为节点或定点{i，k}，而它们之间的连接或弧为{ℓik，i，k=1，2，…}。连接的值可以是二进制的，表示存在或不存在，或是具体的物理距离dik。对于较小尺度上的系统，比如我们在这里所涉及的，通常关注邻里和建筑间的连通性，连接通常用二进制来表示：
在这种设定中，联系存在或不存在情况往往是对称的，即ℓik=ℓki；直接或间接的联系存在于任意两个节点间，就意味着潜在的图是强连接；而自关联ℓii通常被认为并不重要并将值设为零，即ℓii=0。我们将采纳以上这些假设，并且它们一点也不会削弱我们所提出论点的一般性。这种二元图中的可达性是依据它们的连通性来计算的，点或节点（入度和出度）间的直接连接可表示为，其中i=k。两点在图中的最短距离用dik来表示，这也可以用来衡量可达性。其权重需要取倒数成为与直接连接一样的可达性衡量指数，如，这也与直接连接一样具有对称性。这些衡量与第3章介绍的接近中心度等方法类似。
在较小层面的分析中，图通常是二维的或是被认为接近二维的，图中关系集的拓扑结构与欧几里得结构是相同的，即图就是街道或廊道的网络。其中假定任何弧的交汇都是节点且没有单向的连接弧（单行道）。图6.1a是一张表达节点间可达性的图，我们将它作为原始问题。然而，还存在图6.1b中描述的另一种连接相关问题。如果我们寻找原始图中的连接弧之间的关系，对街道网络问题来说也就是找到每段街道间的关系，这就形成了被称为对偶问题的另一种图示方法。这里的对偶与更常见的所谓对偶的含义有所不同，后者是对原始二维图中连接所围合区域空间的关系网络的描述（March and Steadman，1971）。这里的对偶关系与原始连接并不一样，它们并没有与物理空间紧密相关，因为它们代表的是街道间的抽象关系。它们是通过街道在交叉点上的连接产生的联系，而原始问题则是交叉点间的联系，这种联系其实也就是街道本身。
图6.1 常见的道路网络图论表达方法
对偶问题尚未广泛应用到城市的网络里，因为之前的关注是作为弧的通信链接，以及作为节点的特定区位交汇点。在前面的章节中，网络到目前为止仍然是在欧几里得空间内进行讨论的，网络被作为二维图或是节点位于二维空间中的图。相对于区位来说，对线性内容的关注并不多，对偶则主要将连线或街道作为关注对象，而非区位或街道交叉点。此外，对偶打破了欧几里得空间和拓扑空间之间的清晰联系，这使得对偶的可视化分析更加困难。不过，对偶分析中有一个运用广泛的传统工具即“空间句法”，最初由希利尔和汉森（Hillier and Hanson，1984）针对建筑内部空间的分析提出。其理论基础非常精细，认为可以将建造形态的进化类比为有机体生长的形态变化（Hillier、Leaman、Stansall and Bedford，1976）。空间句法如今的应用形式非常广泛，它更像是一个包括了很多简单技术的工具盒，可以衡量城镇街道的可达性，并与空间和视线间的无阻碍移动相关联（Hillier、Penn、Hanson、Grajewski and Xu，1993）。但b是，与其他类似网络形态学方法相比（参见Sevtsuk，2010），空间句法的主要不同在于，它优先关注线性要素如街道，而非代表区位的点（Hillier，1996）。
图6.1描述了从原始问题转换为对偶问题的一条清晰路径，但这条路3径并没有被很好地利用，至少在空间句法中没有涉及。本章中，我们将探索原始问题和对偶问题如何针对网络形态学代表了各自不同但又互补的角度，建立一个统一的框架使得任何人可以在这两类问题中随意转换。通过这种方式，我们将看到空间句法可以被转译为一个更加熟悉的区位分析框架。在下一部分，我们首先将对空间句法进行介绍，然后建立我们自己的框架，以更好地理解原始和对偶问题中的连通性和距离。接下来我们介绍希利尔和汉森（1984）针对法国村庄加桑的研究，以此为案例描述如何将空间平均运用于可达性计算。我们将展现如何将一个问题转换为它的对偶问题，以获得一种更好的可视化分析方法，并最终展示如何将距离重新带入空间句法中。同时，我们将描述如何通过这种扩展的形态体系来处理多类型的网络。
下一章完全建立在本章的基础之上，将通过一个针对伦敦西区数个街区的简单案例，介绍原始和对偶问题的所有研究结果，并且我们也认为这些方法可以被用于规划和非规划的不同道路系统类型中。我们还将进一步将距离纳入分析中，从而将分析带回道路系统，并提出通过这种扩展的形态体系来耦合不同网络的方法。在这两章中，我们希望将空间句法简单化并提出一个通用版本，为类似问题进一步的一般化处理指出方向，并讨论它们与网络进化和统计理论最近的发展之间的关系（Dorogovtsev and Mendes，2003）。
6.2 空间句法介绍
空间句法关注的重点是线，而不是点、道路或者廊道，也不是图6.1中二维平面上的交叉点。这点并没有什么争议，尽管用一个质点来近似表达一条街道通常是困难的。然而，对图6.1b的对偶形式进行的分析表明句法图已经不再是二维平面的了：道路段不一定需要由两端的节点来确定——道路可以有任意数量的接合点或多于一个的交叉点。因此，接合点就显得不那么重要了，因为在空间句法中，道路之间如果存在任何接合点，那么它们就是相互关联的。除非仅有一个交叉点，否则这种关联性并不依赖于某个特定的交叉点。在这样的语境中，街道绝不是区位，因此任何两条道路之间的关系绝不会仅存在于欧几里得空间中。这就将分析带到了道路的拓扑关系中，那么道路间的距离更像是图论中所讨论的距离概念，而非欧几里得意义上的距离，也就是从最初定义的物理空间中抽取出的关系图。在某些环境中，当关注的对象是道路自身而不是将道路连接起来的交叉点时，这种分析方法就是适用的。
图6.2 空间句法表达
从图6.2a中可以看到，从这张简单的图可以生成一种不同的关系结构，其中的弧具有一个或多个节点，这些是空间句法要表达的基本内容。新道路图中包括a、b、c、d、e五条线。其中a是1~2路段和2~4路段的连接，这已经超越了二维，仅称为图已经不再合适。通常称其为“轴线图”，其中的线都称为“轴线”。对于这类轴线一般都认为它们是“视线”或是可无障碍移动的线，对于如何定义它们尚有争议，其中后者的解释更具争议性。前者试图将空间句法限制在建筑或城市设计层面，这些层面中廊道和街道比起一般的交通路线更重要，而且其主要关注点是b更细节的城市形态和布c局。图6.2b展现的空间句法图规则是如果任意两条街道间有交点，它们之间就生成关系线。这与二维图有着直接区别，这张图表达的是一条街道的重要性会随着它所包含的交叉点的数量增长而提升。对于传统问题来说，与某个交叉点相关的线或街道的数量越多，交叉点的重要性就越大，但是这个传统原始问题的对偶与原始的空间句法问题并不尽然相同，下面将继续讨论这个问题。
我们从一开始就需要清楚，空间句法中的原始问题和对偶问题是如何定义的。实际上，这里的原始问题是传统二维表达的对偶的一般形式，其关注的是街道之间的关系。而对偶空间句法问题是通过街道相连接的街道交叉点的问题。图6.2c是其可视化表达。这种对偶是与初始的原始问题二维图相关的，轴线图是此图的子集，也被称为“可视图”（Turner、Doxa、O'Sullivan and Penn，2001）。但是，如果要更好地理解这些问题以及它们对于城市分析的意义，我们还需要一个更加强大的框架，我们将在下一小节讨论。这使我们不仅可以在两种形式的问题中转换，还可以将问题间的可达性衡量联系起来，最终为我们提供一种更简单化的空间句法形式。
6.3 一个统一的框架：通过二部图来体现原始和对偶、点和线
为实现更加统一的理解需要建立一个基本观点，即形态关系本质上是建立在两个无交集的对象集之上的，在这里就是代表了区位和线性要素的点和线。这些对象集可以是城市形态的任意要素，如街道和它们的交汇点、建筑地块和街道，甚至两组不同的街道对象集或是一组街道和一组铁路等。但是不管是什么对象集，它们都必须是没有交集的，并且它们间的关系必须是清晰的。在空间句法中，第一个街道集合被定义为L={ℓ|i，k=1，2，…n}，而第二集合是街道交点，被定义为P={ρ|j，l=1，2，…m}。如果一条街道有一个交点或一个交点在一条街道上，这被定义在n x m矩阵中，其元素为
图6.3a是对图6.2a根据方程6.2进行的可视化。这是一张表现线和点关系的二部图，从中可以清楚地看到，对于任意给定的线i，与之相关的点的数量为：
而与任意点j相关的线的数量为：
方程6.3和6.4分别定义了关联二部图的出度和入度。接下来我们将不再进行这样的求和，因为每次运算都是一样的。本章和下一章中的概念表达方式与本书其他部分类似，但变量和参数的符号会稍微有些不同。不过，我们会努力让差异最小化，以便与其他章节中类似的图和矩阵概念进行比较。
图6.3 空间句法的二部图
实际上，线点的不对称性，以及方程6.3及6.4中的线和点的直接连通性指标已经反映了这种表现方法的原始对偶特征。我们看到，线并不比点更重要，反之亦然。实际上，二维图和空间句法表现方法是同一框架中的不同情况，可以很容易进行比较。注意到在二维图中，每条线的点数量固定为ℓi=2，∀i（因为每条街道段的起始和结尾都有一个交点），那么任意图对平面性的偏差可以表示为。对于后面我们将要提到的加桑村庄来说，ψ=1.065，这意味着相比二维图来说，街道段相关节点的数量只多了6.5%。指标{ℓi}和{ρj}是我们对直接联系的衡量，我们将会看到，这是阐释空间句法中可达性的关键指标。
这些测量简单地统计了每条线上的点数量和经过每个点的线数量，但更普遍的方法是检查任意两条线的共有点数量或是任意两个点的共有线数量。这构成了问题的原始和对偶特性。任意两条线的共有点数量是由矩阵给出的，其中的元素ℓik定义为：
对其可视化的最佳方法是将逆向的二部图与原始图联系起来，如图6.3b中所示，任意线i和线k之间的共有路径数量就是从i到k的路径数。表现线之间的共有点数量的这种方法马上体现出L=[ℓik]是对称的，同样也反映在矩阵L的入度和出度中，这就形成了我们对线的可达性的衡量。可以表示为：
ℓik本质上是空间句法图，但实际上图被分割了，所有线条之间的相关数量信息都被去除，因此矩阵变成二元的。从而得到：
需要注意的是，被分割的方程6.7中还缺失了自环的强度。实际上，这种分割类型是不必要的，因为这导致了关系强度这样有价值的信息的损失。所以，我们认为空间句法的应用更应该建立在ℓik而不是Zik的基础上。然而，这个细节的区别对下面的分析并没有本质影响。
紧接着的是对偶问题，它可以用类似的方法来描述。首先，任意两个点的共有线数量可通过下面的方程计算：
而基于入度和出度，对图中直接联系或可达性的测量可以表示为：
图6.3c描述了这种等价二变量图表示法，其中矩阵P=[ρjl]很清楚是对称的，并且可以得到两个点的共有线的路径数量。
原始问题和对偶问题以一种有趣的方式相互关联，实际含义就是如何将点的可达性转译为线的可达性，反之亦然。我们需要通过矩阵概念来展现这点，矩阵提供了一个更简约的方式来揭示这种互锁的本质。像在第3章中那样，我们用粗体的大写字母和小写字母分别来表示矩阵和矢量。首先是关联性A=[aij]的基本n x m矩阵。我们将这个矩阵转置为AT，但是在我们需要使用单位矢量1来计算这类矩阵的元素总和时，并不会因为转置而有所区别，因为环境决定使用方式。现在，我们可以根据方程6.3、6.5和6.6将原始（空间句法）问题表述为：
这些关系的含义有些复杂。方程6.12中任意两条线的共有点的数量，可以被视为每个点上存在的线数量的卷积。每对点上的共有线的数量也有类似阐释。实际上，在后面章节特别是在第三篇中，我们会讨论社会相互作用、网络、交易相关性乃至冲突解决过程等概念，并通过基本二部图更广泛地揭示这些关系，这还提出了我们认为这门科学中一个很重要的关键内容，即仅研究相互作用矩阵还不够，我们还需要考虑这些相互作用矩阵是怎么形成的。二部结构是其中的关键点，丰富了迄今仍然缺失的分析内容。.
实际上，将成为直接可达性和连通性的关键指标，我们将在后面部分中使用和比较它们。但在我们全面讨论原始和对偶问题图中的距离之前，我们需要了解方法的起源。在第3章中，我们探讨了在20世纪中期之前和之后的社会性权力和计量社会学，用二部图来表现决定了个体间的链接和多种属性的关系结构。在社会网络理论中这些图被称为双模图（two-mode graph），以区别于代表不可分的关系集的单模图（one-mode graph）（Borgatti and Everett，1997）。然而，阿特金（Atkin，1974）提出了“Q分析法”，第一次在城市分析领域提出阐释两个集之间的关系。这种分析方法从包括对偶和原始特性的矩阵A中阵列的关系开始，但用一种被称为简单复形（原始）及其共轭（对偶）的几何方式表示。Q分析法并没有被广泛应用，可能是因为它相对晦涩的描述，而它也很少与图论联系起来。
科尔曼（Coleman，1973）从另一个很不一样的视角，在社会交换研究中探索了这种原始对偶框架。巴蒂和廷克勒（Batty and Tinkler，1979）进行了总结并将之与图论相联系，巴蒂（1981）进一步将其与设计决策过程中的社会性权力相关联。直至最近，这个研究框架仅偶尔被涉及，但在近期对网络及其进化和统计的研究热潮中又被重新发掘出来。本书的第三篇将基于这些概念，届时我们主要关注冲突解决和达成共识过程中涉及的相互作用模式。在瓦特（Watts，2003）和纽曼（2003）用小世界特征分析社会网络的研究中，广泛应用了这个框架。对空间句法中的替代图论关系的检测有一些尝试（参见Kruger，1989），江斌和克拉拉蒙特（Jiang and Claramunt，2000）认为本质上是对偶图的可视图，其分析对象更多关注点而非线。这与我们本章中的观点一致。波尔塔、克鲁西提和拉托拉（Porta、Crucitti and Latora，2006a，2006b）提出了一个明确的原始对偶特征描述，采用了与我们类似的方法，试图扩展测量街道系统可达性的空间句法方法。
6.4 句法的模式
6.4.1 基于连通性和距离的可达性
上面介绍了通过测量线和点与其紧邻的同类元素的直接联系来衡量连通性。也就是线元素或点元素之间的直接连接。而距离的测量虽然也考虑紧邻元素，但更合适的方式是基于系统元素的非直接连接来进行。通常的形式是计算元素间的最短线路，然后计算关联的入度和出度，以对势能和可达性进行衡量。在这部分中，我们将首先介绍标准测量方法，并提出另一种更具所需特性的方法。不过在每个例子中，这些距离都会基于线矩阵L和点矩阵P的相互作用。我们将首先阐释针对原始问题的标准测量方法。首先是矩阵L，它包括了任意两条线上共有点的数量信息。对于处于不同距离阶段的任意两条线，我们还需要计算任意它们在图中所有存在路径间的共有点数量。相互距离为一阶路径的基本矩阵元素ℓik是直接连接的，而二阶路径连接的数量为：
然而，我们计算距离，并不是依据这些路径长度上的点的数量，而是路径的实际长度，即任意两条线i和k之间的最小距离。因此：
其中s是路径的长度。在强连接图中（包括本书中涉及的所有图），当路径长度s达到n或在这之前，d（ℓ）ik>0。这是初等矩阵代数的标准结果，因而通过方程6.15和6.16提供了可以计算这类图中的最短路径的算法。
前面我们提到过，在空间句法中使用的矩阵并不是[ℓik]，而是方程6.7中所定义的二元形式[Zik]。然而，由此产生的距离矩阵与[d（ℓ）ik]非常接近。这与通过计算将L自乘连续幂产生的加权是没有关联的。实际上，尽管矩阵[Zik]的自元素Zik=0，二阶路径则为正值，而得到的距离矩阵与方程6.15和方程6.16的计算结果高度相关。不过用矩阵概念来描述会更容易。因此，对于原始问题，L的连续幂是Ls+1=LsL。而距离矩阵D（ℓ）在当s≤n时变得稳定。对偶距离矩阵可以通过一个非常类似的过程得出，点到点的矩阵P包括了任意两个点间的共有线数量，将它与连续幂Ps+1=PsP自乘，将距离矩阵计算为D（ρ）。
我们计算合适的矩阵的连续幂的入度和出度（由于对称性它们其实是一样的）：
有多种方法可以体现这些原始和对偶问题的度向量如何相互间形成互锁。我们在此仅提出对于每个问题的互锁的本质，而不做进一步解释：
方程6.17和方程6.18中体现的关系，为这种性质图中的路径长度提供了另外的解释。对这些线的进一步分析将使我们偏离中心议题，但我们将在本书的第三篇中的多个章节中再次讨论这些分析，并探讨研究方程6.18中的关系类型。
原始问题中从一条线到其他所有线的累积距离，以及对偶问题中从一个点到所有其他点的累积距离，都通过同样的方式计算，即对相关距离矩阵的入度和出度进行求和：
实际上，这些距离衡量的是不可达性，而不是可达性。所以它们需要通过某种方式被转换以更好地衡量。在空间句法中，d（ℓ）指的是深度，且通常根据系统n中线的数量被取平均。那么线（以及线的区域）与一条给定的线在某个给定的距离或深度之内，就显得很重要，但是这对相对分布并没有什么影响。空间句法中对可达性的衡量简单地采用了原始问题的距离平均值并加于转换，得到了被称为“整合”的指标。这些指标存在变化（Teklenberg、Timmermans and van Wagenberg，1993），但对于原始和对偶问题，每个元素的整合（或可达性）通常可以被定义为：
这些测度方法的主要问题是它们忽略了图中的相对重要性和路径强度。首先，在连通性强度被转换为简单的步长距离的过程中有信息损失，如方程6.16所示。其次，每一步都具有相同的权重，然而有可能出现的情况是，当步长变大时，步的相对重要性会减小。再次，图中步的数量取决于图的规模，因此不同规模的系统无法相互比较。需要一些标准化处理以进行比较。这个问题的一部分已经有所解决，但最佳的解决办法是通过一种对距离测量的新方法，这种方法基于基本路径连通性的矩阵L和P，以及认为较大步长如同欧几里得空间中的距离那样，其重要性日益降低。
6.4.2 加权可达性
现在我们对这两个问题中的每一个都有四种对可达性的测度：两种是基于直接或邻近距离，另两种基于所有距离。原始问题的向量包括；而对偶问题包括。空间句法图中的平均深度或步长较小，例如在加桑为3.239，我们的猜想是这些测度之间是高度相关的。为了检验这个猜想，我们生成了1 000个随机点线系统，其中线的数量为30至60条而点的数量为40至80个不等。对于用关系总数量与潜在数量的比值来衡量的线和点的关系密度Θ=[1-Σijaij/（nm）]，我们设置其范围为0.75至0.99。加桑的例子中，线的数量为41，点的数量为63，比值Θ = 0.948，所以这些随机系统与我们的真实案例具有很好的可比性。因为我们在这些随机生成中排除了所有的分离系统，其平均密度Θ = 0.825，平均的线数量为45，而平均的点数量为59。生成的系统是比较高密度的轴线图，平均步长约为2.6。这些是对比较不同测度方法的第一次粗略尝试，还需要更多工作来支撑我们在此提出的假设性结论。我们对每对距离提出一个相似度指标，我们以ℓ 和为例在方程6.24中定义为：
这个测度指标类似卡方，值分布从1（完全一致）到0（完全不同）。其他测度指标依照原始和对偶问题分别计算。
表6.1 四种距离测度的平均相似度
注：比较是对称的，位于对角线下方括号中数字是与角线上方相关相似度测度的标准差。
表6.1（a）和（b）比较了原始和对偶问题的距离测度。这些距离测度指标中的三个，分别基于原始数据矩阵A的入度和出度、基本相互用矩阵L和P，以及加权距离矩阵，它们之间的相似度都超过80%。步长距离矩阵D（ℓ）与其他三个测度指标的相似度都在70%左右，而矩阵D（ρ）只有60%的相似度。这表明，当原始或对偶问题的轴线图中连接密度很高时，就像这里随机生成的1 000个系统那样，忽略了所有的非直接连接的可达性直接测度方法，是衡量线或点的重要性的好方法。正如我们下面将会看到，这些结果与下面给出的加桑案例中的结果非常相似，尽管图6.4中揭示了之间的相似性还有很大的变化幅度。这表明当点的数量比线多时，正如在很多空间句法问题中那样，那么对可达性的判别主要依靠点。这或许看起来是反直觉的，因为空间句法更关注线而非点、更关注街道而非它们的交点。但是对于任何问题来说，如果其中某个集比其他集在数量上都大，那么这个集的重要性也会更高。我们将在后面对加桑案例的分析中重新提到这点，不过在这之前，我们还需要介绍关于距离的最后一个概念。
图6.4 直接距离和间接步距之间相似性的变化
6.5 句法代数学
6.5.1 线与点的平均和点与线的平均
线可以通过对点赋予权重得到，反之亦然。探究线之间的相对可达性是否包含距离向量是很有意义的。这可以等同于原始和对偶问题间的一个完全互锁，但也可以提供一种线和点间的自然平均形式。简而言之，我们需要这样的向量：
问题现在已经被明确定义了。我们转向向量，它们分别是方程6.25和6.26的解，用矩阵术语即是有。
有两个处理方法。第一种是简单地将方程6.25代入6.26以及将方程6.26代入6.25，可以得到：
其中Ω和Λ显然是马尔科夫跃迁矩阵。这些可以通过测度点（或线）相对于另一个点（或线）的相对重要性（可能性和占比）来解释。第3章中，我们以方程3.9和3.10构造了与方程6.31和6.32中同样的矩阵，并接着从定义这些矩阵之一的平均进程的角度，形成一个类似的马尔科夫解释。
现在我们可以将方程6.29写成：
其中的向量是任意点的相对重要性。而方程6.30可以写成：
这样的自然权重使我们可以将线的重要性和点进行平均，反之亦然，所以如果原始问题被解决了，那么就有一个直接的对偶解释仅包含将原始维度平均到对偶维度中。此外，它还提供了一种合理的方法，可以使用初始数据中点和线的相对重要性将一个维度平均到另一个维度中，我们下面将展示可以通过这种方法来测度距离，而不是计算稳定态中的结果。
6.5.2 稳定态可达性的独特性
由于Λ是一个马尔科夫矩阵（据定义是强连接），对方程6.36的递归会逼近于一个极限：
也就是方程6.34。对偶问题的类似过程是基于一个同样形式的递归，。实际上方程6.36提供了一个直接的方法来计算稳定态，而不需要同时求解从6.33到6.35的方程组。
对于其对偶来说是完全类似的，我们可以表示为：
简单来说，是一个相对令人惊讶的结果，这一稳定态实际上是由原始数据以及入度和出度构成的。这表明，对基于A的原始二部图简单进行入度和出度的计算，可以对线和点以及街道和它们的交点进行清楚和有意义的衡量。当然，这些衡量并不需要经过数字运算，而是可以通过对轴线图的分析简单读取。
然而，最令人感兴趣的是进行平均的过程。如果我们有对于线的距离测度，对于任何给定的距离测度，可以推导出平均点的估算为。这不一定是恒定的，因为如果我们对这些平均点根据线的估算重新赋予权重，也就是得到。这些可能与所用的原始距离有所不同，因为这些稳态关系的唯一向量是ℓ和ρ。此外，我们可以针对比如这样的情况，计算其与稳态的差别ρ′-ρ（对于其他所有的线或点的距离，都可以采用同样的方法）。这提供了一些指标，从中可以看到实际加权测度指标与稳态的偏离程度，而稳态是对系统中直接连通的测度。可以说，我们前面根据方程6.24计算距离差别时已经体现了这一点，具体可参见表6.1和图6.4。
6.6 新句法的展示：街道格局的可达性
6.6.1 基准案例：加桑
我们已经介绍了加桑村的一些数据，这些数据表明与这些非欧几里得系统的关系集相比，轴线图是稀少的。图6.5就是轴线图，其入度和出度分别为[ℓi]和[ρj]，均为通过原始数据矩阵A计算得到的。全部潜在连接是指每条线都与每个点相连且反之亦然，而实际连接密度仅为5.1%。每条线上平均的点数量，也就是每条街道上的交叉口数量Σiℓi/n为3.385，而每个点上平均的线数量，也就是每个交叉口的街道数量Σjρj/m为2.129，这个值与平面性非常接近。我们之前注意到Ψ=1.065，意味着仅有略多于6%的点与等效二维图的配置不一样。实际上，在63个点中仅有6个点连接了超过2条线，而这6个点每个也仅连接了3条线。这是空间句法中一个令人担心的问题，所研究的系统缺乏多样性，会影响其他的可达性测度方法，如空间相互作用理论中的那些。更需要担心的是，空间句法中最为强调的线的关系是基于共有点的数量，如果大多数点只有两条线，那么线之间的拓扑距离的分布可能会处于一个非常小的区间里，由于实际上我们发现在很多应用中，图中的深度或距离很少会超过6或7个步长。这说明属于共有点和线数量距离的信息不应该被舍弃，因为这些信息在目前空间句法的距离计算及之后的整合中。
我们首先检查原始和对偶问题的不同距离测度间的相似性，正如我们在之前对随机生成系统所做的。我们在表6.1中列出了四种距离测度，对始问题是，而对偶问题则是，以及加权距离测度和，这些相比其他任何测度方法对于可达性都有更好的识别力。表6.2（a）说明涉及线的原始问题的方法的相似性，而表6.2（b）是涉及点的对偶问题。对于线来说，基于原始数据的入度、基本距离和加权距离矩阵ℓ、和（ℓ）这一组的测度方法间具有强相似性，而在非加权距离测度ℓ（d）及其来自对偶问题ℓ″加权变体这一组间也是如此。这些测度方法组内的相似度在0.9左右，而组间的相似度约为0.7。对偶问题的测度相似性问题更为复杂，因为基本矩阵A的出度ρ几乎没有形成分布，而更像是阶梯函数。因此，直接距离测度ρ'和加权距离测度（ρ）之间的相似性较少，而结果是在提取句法结构上，这些测度方法看来比其他任何与线结合的方法都要更有效。
图6.5 加桑的基本数据：矩阵A所反映的点和线
表6.2 加桑的五种距离测度间的相似性
为了更好展现这种结构和相似性，可以用散点图来展现入度ℓ与四个相关距离测度，以及出度ρ与其相关测度之间的关系。这些都标绘在图6.6中，从中可以清楚看到，线上的点数量缺乏多样性会使整个问题变得迷惑。这还需要进一步的研究，因为它的重要性会随着应用规模变大而增加。然而，这确实会涉及非常实际的问题。很多应用反映了图6.6中第二列的散点图特征，这其实是意料之外的规律。这表明这些应用的综合测度数量还跟不上移动量的增加，特别是对经常应用的行人交通对象而言。简而言之，很多此类应用中的统计相关性值得怀疑，原因很简单，就是基本数据的多样性不够。因此我们决定测度相似性而非相关性。
图6.6 从数据ℓ 和ρ 得到的连通测度相对于直接和间接距离测度的散点图
6.6.2 句法的可视化：节点、连接和面
我们在图6.7中描述原始和对偶分布的四种关键的距离测度，让我们能够将句法的结构性可视化地进行分类。实际上，在空间句法中没有对形态的概要测度，因为对整体模式进行检验的唯一方式就是将测度描绘出来。也就是说，将形态的测度重新翻译回欧几里得空间，以可视化的方式来搜寻模式。对于线来说，我们采用传统的空间句法着色法，分为从最高（黑色）到最低（浅灰色）八个等距的级别，但我们还改变了线宽以强调值的强度，所以最粗的线是黑色的而最细的线是浅灰色的。这四张线图非常相似。穿过村庄的中间脊线和西边增强的可达性是所有距离的共同特性，而最低的值是在内部最难穿透的地区，东南方则是简称区域。某种程度上，北边的轴线对可达性具有显著的影响，尽管实际上由于它处于边缘区其实影响是减弱的。每种测度中每个点或交点的强度用成比例的饼图来表示，再次显示出中央脊线上的交点具有主导。在原始和对偶问题中，关于（ℓ）都相对更有识别性，而对偶问题中的ℓ（d）和它的衍生物ℓ″强调了北侧轴线的重要性，也是对相关点分布的检测所确认的。有人也许会认为，在原始和对偶问题中间有一条清晰的纽带联系着各种距离测度方法。
图6.7 原始和对偶问题的距离测度的比较
空间句法中一个最大的难题是从线分类的角度，对图的模式提供一种清晰的解释。在需要解释与地点相关的信息时，我们的大脑无法将这些线性数据处理为空间资料。从原始问题转换到对偶问题上，或者说从线上跃迁到点上的一个优势是，点是地点相关的且很容易生成周边的影响范围。确实，对可达性的图示很大程度上通过面和周线来实现，这代表着固定区位所影响的腹地。对点来说实现这些很简单，但是线的影响范围有些棘手，虽然也不是完全无法入手。我们可以将线和点进行比较。这些图有时候被称为“热力图”，热度在这里就是高可达性（深灰），而冷是低可达性（浅灰）。这使我们可以在图中每个点或线周边确定一个影响分区，并从通过距离倒数加权及其插值来控制相邻点的均值。在赋值时我们使影响力尽可能强烈，但又不至于破坏数据所体现的空间模式。
在图6.8中，我们展示了与原始问题的距离测度ℓ（d）和d（ℓ）相结合的热力图。非常清楚的是这些面是高度相关的。它们支持了上面提出的结论，即中心脊线的重要性和村庄西部区域可达性的相对增长。与之前相比，ℓ（d）趋向于强调北部轴线，但这是两张图之间唯一一个主要结构性差异。我们为对偶问题的点生成同样的两个插值，如图6.9所示，不是用线而是用点布满两个表面。这些点面有加强线面的感觉，尽管对这些图来说，每个点的影响力明显比不上脊线特征影响。插值的问题是这样会忽略建筑和边缘的影响，尽管它确实强化表达了可达性表面上的趋势，并为整体变化提供了直观感受。将建筑结合到这些表面中是可能的，不过我们在这里采用了一个简单的方式，仅仅将建筑范围叠加在这些表面上，读者可以自行判断其价值。
图6.8 根据线距离进行表面插值
在图6.10中，我们在加权线ℓ″和点ρ″间进行插值，然后将这些表面与建筑和村庄边界叠合，从而提供街道系统空间可达性的直观感受。这是一个非常有效的方法，在图6.7的传统线图的基础上增加了对整体系统趋势的感知表现。要将这些可视化技术应用于城市形态问题及其句法还需要很多工作，但我们现在可以将原始问题转换为对偶问题，意味着对线的问题的解释可以转换为先研究点的问题，之后再转回来。
