复杂网络中的距离
所有事物之间都是相关联的，但是距离较近的事物比距离较远的事物间的关联更紧密。
——沃尔多·托布勒（Waldo Tobler），“底特律地区城市增长的计算机模拟”，
《经济地理学》（1970，第46卷，第236页）
在网络科学的发展过程中，欧几里得距离和空间嵌入在某种程度上是被忽视的。主要是因为需要考虑物理空间的限制时，网络的内涵并不清晰。此外，在社会网络中试图展现的主要功能关系中，几何距离是一个太过简单的特性。一个主要的限制条件是社会关系并不是平面性的，因此就其中的距离、空间范围和物理影响来说，很多社会关系并不容易被理解，甚至很难被观察到。正如篇首引言中托布勒（1970）所言，在空间结构的进化过程的调整和转型中，距离如果不是核心概念也至少是基础概念。托布勒将其自诩为“地理学第一定律”。因此，在各种行为如何通过移动和流实现与网络的关联等方面的研究中，距离，以及类似的出行时间、出行成本等概念处于中心位置。
社会物理学在早期将距离作为某种无可争议的组织原则，尽管除了距离还有其他因素也影响了空间格局。但是，城市网络研究的重要方法之一，也是我们在上一章中集中介绍的概念——空间句法，出乎意料地将空间系统可以被测量的最突出特性——距离排除在外。这可能是因为这种类型的网络分析最早出现在建筑学领域，在这其中，视线、空间凸性和封闭性等概念，已经成为城市最佳形态理论和建筑使用方式的核心概念。从地理学的角度，在看待网络中的距离时，并没有超越二维图的范畴，这种情况在网络科学兴起前一直没有改变，而网络科学很大程度上来源于物理学、社会学和政治学。有些讽刺的是，网络结构的概念从未成为交通模型的中心，交通模型总是关注流的模拟，而网络总体上被认为是固定的，或至少是以某种方式在模拟之前就已经预先确定。随着网络科学的概念逐步被应用到交通中，这种看法正在缓慢发生变化，例如谢和莱温松（Xie and Levinson，2001）的研究。
在本章，我们从上一章建立的统一理论开始，将距离的概念带回到网络中。该理论涉及了多种网络类型，包括严格的二维图、空间句法乃至拓扑，不过同时有额外的条件，即网络是建立在更基本的关系基础上，很多情况下是线和它们的交点，但也有更多其他的物质和非物质对象。我们在本书中贯穿使用的基本工具二部图，其本身对交通网络来说并没有什么作用，虽然交通网络也是某种类型的图。在上一章中，针对包含了线段和点的空间网络我们建立了这些概念，重点关注网络可能承载的移动和流。但是我们只是初步涉及了距离问题，而现在我们必须将距离概念推上前台，因为我们将会看到，在包含了不同类型物理移动的复杂网络结构中，距离是一个基本的组织概念。
7.1 网络的表现
通过欧几里得空间中任意两个集合的关系，第6章中展示了城市形态的一般性问题。根据这个特征的要求，我们可以选择交叉点和点上的街道——也就是点和线，但也可以是构成网络的元素中的任意两个对象集，且不需要局限于欧几里得空间。这些关系可以通过一个n x m矩阵[aij]来表示：
其中{i，1，2，…，n}可以是街道，{j，1，2，…，m}是交汇点或交叉点；而符号⇔表示街道与交点相关，且反之亦然。这是一个完全通用的表达方法，可以扩展到表达任何形式的城市形态中两个集合之间的关系。矩阵[aij]也可以形成图，在这个案例中是二部图。如果两个元素集都位于欧几里得空间中，那么它们可以用网络的形式在空间中表现出来，我们在下面会展示这一点。欢迎加入得到书社，微.信:whair004.罗辑思维，得到APP，樊登读书会，喜马拉雅系列海量书籍与您分享
在这种表现方法中，没有哪个集优先于另一个。从这个意义上来说，我们可以研究集合{i}是如何与集合{j}相关，以及反过来又是如何相关。如果我们看待问题的方式是：街道{i}如何通过交点{j}相互关联。这就是传统的空间句法视角，将街道作为主要关注点。如果我们以街道交点{j}如何相互联系来看待这个问题，那么就转变为传统的地理图论问题。我们将第一种和第二种问题分别称为原始问题和对偶问题。上一章中详细介绍了这个框架，不过在进一步推进之前，还需要在这里简单复述一下。读者将会看到一些与第6章相同或相似的方程，但我们不会采用重复的方程编号，因为这里的叙述是自成体系的。从数学上来说，不管是原始或是对偶问题都不比另一个更重要，尽管在实践中有些时候可能更偏向于其中的某一个。原始问题是通过交叉点检验街道之间的关系，一个关键的衡量指标是二部图的出度，即每条街道的交叉点数量，可以定义为：
而对偶问题是从街道的角度研究交点之间的关系，其中的关键指标是每个交点上的街道数量（二部图的入度），表示为：
然而，一个重要的问题是，传统问题并不是空间句法问题的对偶，因为矩阵[aij]的每个元素都有一个完全不同的结构。句法问题的限制比较宽松，为ℓi≥2以及ρj≥1，而地理图论问题则严格地将每条街道的交点数量限制为2，即ℓi=2和ρj≥1。因此从本质上来说，空间句法问题与传统的地理网络问题是有区别的，它们都具有各自的原始和对偶问题。这些问题相互关联但并不直接相关，我们在第6章中已经提出这点，将在下面通过分析继续阐释。
图7.1a描述了两种问题间的区别，对于传统问题来说，我们看到一个简单的交错网络，包含五个街道节点和四条街道片段。这是一个典型的二维图，也是我们前面所称的地理图论问题。图中还展示了基本矩阵[aij]，可以清楚地看到每条街道的交点数量都是2，即ℓi=2。在图7.1b中我们将其中的两条街道片段a和b组合成一条街道a′，于是这条街道上就有了三个交点。这里的矩阵[aij]现在只有3条线段但有5个交点。从原始的物理角度来看，街道网络的本质并没有发生任何变化，但是空间句法问题为街道图提供了一个基本层面的抽象概念，而且“街道”的数量与传统的二维图不同。这个抽象概念被称为轴线图，其中的街道要素被称为轴线。
图7.1 传统二维图街道网络和空间句法表现图
从类似图7.1的街道图中可以很容易看出相对可达性。比如在7.1a的传统图中，很明显是中心交点，即节点2，最具可达性，而由于每条街道线与其他任何一条的关系都一样，所以每条街道线的可达性是相同的。然而，空间句法问题中的可达性，相比之下更难看出。由于街道a′有3个交点，其他街道都只有2个，a′是可达性最高的街道，它与其他两条街道都直接相连。由于这张图的中心依然有一个交点，看起来节点2还是最具可达性的点。不过，我们将检验原始和对偶问题，并介绍我们将用到的多种拓扑和欧几里得距离测量方法，然后对可达性关系进行精确的计算。
下一部分，我们将再次简要介绍统一框架，然后综述原始和对偶问题中的多种拓扑距离衡量方法。我们将对图7.1进一步进行分析，并对伦敦西区进行简单的空间句法问题描述，以使读者清楚了解如何扩展网络分析。接着我们得出满足ℓi≥2以及ρj≥1的任意形式一般矩阵[aij]中，点之间和线之间的距离衡量方法。实际上，我们可以将问题进一步推广到每条线都只有一个交点的系统中。但是某些情况下计算线的距离时，我们需要始点和终点，尽管空间句法可以处理只有一个交点的线，也必须总是隐含有其他交点。
接下来，我们将会检验一个纯粹的句法问题，其中的街道作为视线，地点的重要性取决于在该点上能看到多远。我们采用希利尔和汉森（1984）提出的，并被派彭尼斯等（Peponis et al.，1997）、巴蒂和拉娜（Batty and Rana，2004）以及卡瓦略和巴蒂（Carvalho and Batty，2004）进一步发展的法国村庄加桑的案例（这个案例在前面第6章中也使用过），来说明距离和可达性的拓扑和欧几里得衡量所形成的模式完全不同。然后我们将讨论所谓的“混合句法问题”，该问题不仅将视线作为轴线来衡量，还考虑了与视线无关的移动线路。涉及人的移动的技术往往是封闭的：如电车、公交和火车。我们探讨墨尔本中心区的问题，那里的街道网络建立在地下重轨环线之上。这给我们提供了另一个看待可达性的视角，同时也展示了我们可以如何拓展应用空间句法，用它处理具有多种决定城市形态的线路和交通模式的系统。
7.2 原始和对偶：穿过点的线的网络、穿过线的点的网络
矩阵[aij]中所表现的内容让我们可以从两种完全不同的方式来看待问题：每行的内容是每条线上的对象或点的计数，而每列是每个对象或点与线相关联的数量。这分别对应了原始和对偶问题。任意两条线上的公共点数量形成了一个关系网络、一张加权图，其基本形式为：
其中[ℓik]是任意两条线上的公共点数量。在空间句法和其他分析方法中，这个矩阵通常被切割为如下的二分形式：
这说明任意两条线的公共点数量并没有被赋予任何权重，因此关联或不关联取决于至少有一个公共点。线{i}与其他所有线之间直接联系的公共点的总数量为：
通过出度来衡量与上述线的直接距离，也就是接近度的对立面。由于[ℓik]是对称的，那么入度。
这个原始形式是经典的空间句法问题和距离的测度，以及与上述街道距离为一步的街道数量。对偶问题在点上重复这一逻辑。通过[aij]计算得出关系矩阵[ρij]：
其中[ρjl]是点j和l共有的线的数量。基于出度对直接距离的关联值可以表示为：
而入度也具有同样的对称性。这里的和是两个初始距离值，尽管这些事实上是计数值、直接接近度或是邻接，也就是每条线上的点数量以及每个点上的线数量——一条线上与任意其他线的公共点总数，以及一个点与任意其他点的公共线的总数。我们现在需要分别基于矩阵[ℓik]或[ρjl]中的任意一对线或任意一对点，更加精确地测度距离。实际上，这与第2章中的一些内容相似，我们通过出行量矩阵和空间相互作用模型得到了可达性的多种测度，作为从始点发出或进入终点的所有流的总和或势能。
这种距离测度方法考虑了图中的所有关系，根据两张图中所有连续路径长度的公共线或点的数量进行计算。根据定义，这些图通常是强连接的，从而连续路径长度也就是所谓的步长，最多只需计算至系统中线或点的数量即可。最短路径往往在达到这个数量之前就会被发现。我们将展示在仅有线矩阵的原始问题中的这个计算方法，因为对偶是紧随其后的。从线i到线k在图上的两步公共点的数量可以表示为：
当s≤n，其中n是矩阵中的列数量，当图中所有的路径变成正值，即时，递归将会收敛。
对距离d（ℓ）ik的测度最初是建立在步长上，而方程10的每次迭代计算为：
这个计算最终将会收敛。对每条线i来说，总体可达性或邻近度的两种测度为：
这些测度生成的结果可能很类似，因为倒数权重的差别非常小。当像方程7.12那样，计算每个链接ik的倒数距离时，负幂（-1）可能会变化，而空间相互作用理论可以解释这个变化的含义。
这个测度中有很多变量，以不同的方式被标准化处理。其中之一直接用于计算全图上的路径数量以及任意一对线之间公共点的数量，是基于不同的连续路径长度的矩阵线性组合，并且按照较长的连续步长获得较小的权重来为权重赋值。这种测度方法可以表示为：
如果我们设定0<λ<1，在方程7.14的总和中，每个连续对象的重要性都会降低。实际上λ的取值必须使每个对象的值都减少，一个典型的λ值大约是0.05，也是我们在第6章中采用的值。矩阵是对称的，因此入度和出度的测度是相同的。当我们根据连续路径上的点数量的减少来赋权重时，这个测度方法就已经涉及了可达性。因此一个适当的聚合是：
我们将上述方程称为加权可达性。
我们现在有五种形式的可达性测度：，它们的对偶形式分别是：。这些是我们在上一章中介绍的测度方法，同时我们还建立了关于原始和对偶空间句法问题的理论。现在我们试图探索，如何通过基于欧几里得距离的测度方法来扩展这些拓扑方法。下面介绍的方法并不是作为拓扑方法的替代，而是一个补充。实际上，欧几里得距离是一个与视线之间的拓扑关系不太一样的概念，后者实质上是空间句法的内容。然而，由于拓扑方法与地理学空间比较接近，而其出发点是基于线和点的轴线图，这些要素都是与空间紧密结合的，那么就可以提出这样的问题：地理网络中线和点的拓扑距离的测度，对于欧几里得空间中的更加传统的测度意味着什么？此外，我们还需要探索原始和对偶的句法关系可视化的最佳途径。为此，需要依据欧几里得距离对轴线图的内容进行检验。但是在我们推导这些距离测度方法前，我们需要研究传统原始和对偶问题间的关系，以及更深地研究空间句法问题。我们还需要展示网络中的可达性对这两类问题的实际含义。为此，我们将再次回到图7.1，以简单案例进一步分析这些问题，使用空间句法检查大城市街区密集区的街道视线，这其中将涉及很多典型的应用。
7.3 探索相关的地理和空间句法问题
7.3.1 最简化的句法问题
图7.1a的二维图和图7.1b的空间句法图分别对应着网络的原始和对偶表达，我们分别通过图7.2a和7.2b进行描述。在图7.1a和7.2a的二维图中，包含4个街道段及其交点，呈现交叉线。对原始问题来说，如图7.2a的第二张图所示，其网络非常简单。图中有4条线段，实心黑点位于线段的中心并且与其他每个都互相连接，4个点间的6个连接组成一个完全连接网络。对偶问题中的交点通过共有线相互连接。这些交点在图7.2a的第三张图中可以看到。中心点具有最大的度，而边缘点的度最小。图并不是完全连接的，因为从除了中心点之外的地方达到另一端尽头的点，都必须经过中心点从而跨越两步。这些网络只给出了一步连接，但是很容易看出在这个对偶问题中，距离矩阵可以在计算两步距离的情况下连接起来。总之，传统问题是直接并且对称的。在原始网络中，交点是灰色的，街道中心点是黑色的，而在对偶问题中，街道中心点是灰色的而交点是黑色的，用于表示每种情况下关注的都是黑色点之间的连接。
图7.2a和7.2b中的空间句法图是聚合的二维图，其中的两条水平线段a和b组成了一条线a′。于是问题中的线就从4条减少到3条，但是原有的5个交点不变。图7.2b第二张图的原始问题中，3条线完全相互连接，在这里我们将线a′的节点向中心节点的右侧稍微平移一些，这样我们可以同时看到中心点。图7.2b的第三张图是对偶问题的网络，就更为复杂一些。原先的两条水平线a和b聚合为a′带来的影响，使得上下两个端点从本质上相比之前具有更好的连接，而节点的大小反映的是这个点的入度和出度。从某种意义上来说，这是很明显的，因为如果我们将线融合，那么系统的多样性就降低了。其他条件不变的情况下，相比每个街道段都有且只有两个交点的图，轴线图上地点之间的移动会变得更加容易。
图7.2 空间句法图和平面图的原始和对偶网络
对于这些非常简单的系统来说，以上分析表明，当关注点从简单的线段变为更加复杂的聚合线，也就是轴线时，会带来一些显著的区别。我们在图7.2中没有展现包括每个原始和对偶网络的距离矩阵，但它们可以被很容易地推导出来，因为从方程7.11的应用可以看到，每个网络都在下一个步距变成完全连接。在空间句法中，轴线本质上是与欧几里得空间相结合的，它们通常根据可达性的不同来区分（一般用颜色表示），而可达性可以从距离矩阵[d（ℓ）ik] 中入度或出度的数量来获得。这是一个深度值，可以通过以下方程计算：
希利尔和汉森（1984）称之为整合。可达性是深度的倒数，其值由方程7.12至7.15给出，通常与轴线相关。实际上，有很多此类的值可以使用，我们在上一章中已经介绍了很多，下面将会继续介绍。
7.3.2 伦敦中心区一个典型街道的句法
将网络作为空间句法问题时，其关键在于将街道作为节点间的一个或多个路段组成的视线。为了描述由此产生的测度的范围，我们将通过伦敦西区以索何雷金特街为中心的一个1平方英里的街区来说明。其轴线图如图7.3所示，我们可以清楚地看出，视线的定义并非完全清晰，特别是在弯曲的街道上。这张轴线图是由41条线和30个点组成的，虽然有上述明显的问题，以及区域边界划定的生硬所带来的问题，这些足以用于分析方法中。在图7.4a中，轴线图的线的粗细与入度（根据对称性也就是出度）d（ℓ）i的数量成比例；而在图7.4c中，是同样的对偶问题，点的大小与它们的入度或出度的数量d（ρ）j成比例。线之间和点之间的距离矩阵最高可达它们的最大跨距，但是由于它们的复杂性，我们只表现了轴线（图7.4b）或点（图7.4d）之间的一步直接连接和两步连接。如同其他所有网络一样，一旦节点的数量超过20或30个，其可视化形式就太过复杂而无法表达什么信息了，因此我们将原始和对偶网络中的重要对象也就是轴线和街道交点简化为只研究最多至两个步长。
图7.3 伦敦中心区雷金特街区的轴线和节点
图7.4 a、b：欧几里得空间中的原始网络；c、d：欧几里得空间中的对偶网络
这类分析中还有一些其他的可视化方法：如将线或点根据它们与其他线的距离以不同颜色进行区分；分析从任意线或点到其他所有线或点步长的深度图；对范围内的线集合或点集合进行可视化；以及用于描述任意一个对象或对象集（线或点）与其他任意一个对象或对象集的关系的各种关联图。我d们还注意到，从一条街道或交点到另一个的深度或可达性问题并没有被很好地研究。如果我们有一个对称结构，那么这个对称会在很多图中，以及可达性的测度中反映出来。图7.5中展示了曼哈顿方格网道路系统的空间句法，网格中的每条线都是轴线。在一个6×6的线段网格中，有6条垂直线和6条水平线。总共有12条线和36个交点，这意味着相对距离网络在不同维度上有很大差别。我们可以看到所有线之间有144个可能连接，如果按照通常的计算方法排除自连接的话就是132个，考虑到对称性就是66对连接。对于对偶问题来说总共有1 260个非自连接，也就是630组对称连接。网络图7.5b和7.5c清楚地描述了上述连接。
图7.5 曼哈顿道路网的空间句法：均衡的可达性
我们的第二个例子是一个普通的分形结构。图7.6表示线和点图以及它们的距离矩阵网络，这些也具有类似的对称性。而且，树形图中的节点数量比线的数量仅少一个。在这个例子中，这里有26条线和25个节点。本质上，中心节点连接了树的两条主轴线，因此我们推断和证明，从关系网络的角度来看树的原始问题与对偶问题是等价的。图7.6a和7.6c分别是线图和节点图，呈现了网络的对称性和等价性。这是对希利尔（Hillier，1996）在《空间是机器》一书中结论的扩展，可以适用于所有这类空间句法的对称结构。这种探索的意义在于，当我们以这种方式将网络理解为二部关系集合基础上的原始或对偶问题时，我们生成了一个丰富的结构，可以对物理和网络空间进行充分了解。不过，要将这些内容再放回欧几里得空间，我们需要重新审视距离。我们将首先介绍关于测度距离的一些概念，然后重新回到图7.1那个简化的例子，并以加桑村为例阐释距离对于标准空间句法的意义。之后我们将着手处理视线和移动相互作用线的混合系统。
图7.6 分形树的空间句法：原始和对偶
7.4 空间句法图中的欧几里得距离
7.4.1 加权距离测度
目前为止，我们在本书中的假设是，我们所研究的空间网络是由直线——具有坐标的节点间的轴线或者直线段组成的，通过点的坐标我们可以计算直线的长度。实际上，通过近似精度处理将曲线视为由直线段组成，我们的研究对象可以很容易扩展到曲线，但是我们在这里将不会涉及（Figueiredo and Amorim，2005）。首先我们处理更加简单的对偶问题，对于一条线段的两个端点j和l的坐标分别为{xj，yj}和{xl，yl}。当j≠l时，对任何j和l间的直线i来说，其对偶问题的直接距离[ρjl]的值只能是1或者0。由于任意两点之间最多只有1条线，那么直接欧几里得距离djl为：
其中点的自距离djl显然为0。任意点j和l之间的最短距离可以通过标准的迪杰斯特拉（Dijkstra）算法来计算，在这里表现为如下的形式：
对方程7.18进行递归，直至图中所有的步长变为正数或者迭代次数s逼近图中点的数量m。
总体而言，矩阵[ρjl]与二维图的矩阵有所不同，我们用[pjl]来表示后者。一条线可以与多于两个节点相关，但这在二维图中不会发生，一般情况下[ρjl]的一些元素是正值且等于1。而矩阵[pjl]如图7.1a和7.1b所示，具有更加简化的结构。上一章中，我们将平面性偏差的测度从每条线上点数量的角度定义为，但是其他基于图上距离的测度可能是：
其中d（p）jl是对二维图和对偶句法图（可以很容易从[ρjl]得到）的距离测度。还可以从这些距离中得到空间相互作用理论中的行程长度。如果对每个连接都加载行程或移动量{Tjl}，那么系统的标准平均行程长度可以表示为：
其中7.20的第二个方程体现的是当每个连接上的移动缺失或相等的情况，因此它们是统一的。
当然，通过行程长度可以计算每个点或节点，只需简单地将方程7.20与l而不是j叠加，或者与j而不是l叠加。但是更精确的测度是距离矩阵的出度的倒数形式：距离倒数的求和，以及每个点距离之和的倒数。这些是潜在的真实欧几里得距离：
这些是对区位可达性的测度。根据第2章中讨论的传统社会物理学和空间相互作用理论，它们可以依据点的总量被加权，但是在这种情况下我们为避免混淆，并不打算对其进行加权。注意到方程7.22中的和的倒数，是与区位j的未加权平均行程长度的倒数成比例的。
对原始问题中的欧几里得距离测度更加棘手，因为我们需要计算每条轴线的重心。本质上，一条轴线可以与多于两个点相关，因此对这条线上的每条视线来说，都有一个重心点。例如在图7.1b中，轴线a′包含了3条视线，分别为1至2、2至3和1至3。因此对这些重心点简单地进行平均得出一个重心点是合理的，尽管可能需要再一次考虑变量的权重。我们首先计算轴线i上每条视线的重心点：
这些重心点需要进行平均，可以通过如下方程计算：
其中的求和包括了所研究的线上的每对点，并与所有相关点坐标的平均值相等。
如果一条轴线上对不同点的视图反映了不同程度的重要性，这个简单平均可以在不同权重的情况下增加，但在这里我们将沿用非加权的形式。我们现在可以通过计算从线i的重心点到连接了两条线的公共点j的距离，计算任意两条轴线i和k之间的距离。在轴线是直的前提下，这个距离是：
通过将非直线替换为细微的直线，并在方程7.25上进行递归计算，可以很容易地推广到非直线上。由于每条线有一个总长度，也就是有限长度，那么可以计算内线距离也就是自距，可以表示为：
在本书中我们认为dii=0，因为我们遵从空间句法的传统，但是也可以有其他的观点，由于移动性的影响认为自距是正值。
我们现在可以计算线之间的最短路径。我们采用方程7.18中计算点间距离完全一致的方式，即：
其中收敛性在时间s=n时得到保证。我们现在可以通过[dik]的倒数之和或者和的倒数的形式，来计算线的可达性，那么与方程7.21和7.22类似：
以及
我们在方程7.20中提到的所有其他涉及步长的测度方法都适用于此，如果需要的话，可以依据行程量对线进行加权。然而，正如在空间句法中，我们假设问题中并不一定需要涉及视线，而我们所需要的是一个对于线距的总体测度，也就是：
7.4.2 在最简句法中的应用
在我们的工具箱中，现在又多了两种对距离的测度方法。为描述这些测度方法之间的微妙差别，我们针对图7.1a的平面街道网络图和图7.1b的轴线街道图，计算了原始和对偶问题的所有这些测度。图7.1a的街道网络的对偶问题形式是一张二维图，其中的每条线或街道都包括两个点或交点，任意点到其他点的可达性都可以通过观察明显看出。节点2明显位于最中央且具有最高的可达性，而其他四个点具有较低但相同的可达性。我们在这些点的可达性之间进行平滑的插值，以传统方式形成图7.7a的表面图（或热力图）。表面图具有清晰的边缘效应，这些很难控制。但总体上，点的可达性模式变化与点到中心点的距离变化相反，这点适用于所有的距离和步长测度方法，包括基于欧几里得空间的方法。原始问题涉及了任意线之间的可达性，由于对称性，每条线可能有相同的可达性。这就是图7.7b中的情况，可达性模式在整个空间中呈现一致性。同样，这也适用于所有测度方法。在平面街道网络中，通过这个简化案例和我们的判断可以知道，尽管程度有所区别，所有的测度方法都是共同变化的。
对图7.1b的句法问题来说，平面网络中的两条线a和b融合成了一条a′。在这种情况下，直观上认为点的可达性与前面有很大的相似。但由于两条垂直线c和d到线a′的步长较多，那么上下两个节点4和5从步长的角度来看可达性会稍低，如图7.7c所示。对直接步长、加权距离以及欧几里得距离可达性来说，节点的可达性模式与平面街道网络是相同的，如图7.7e所示。对线来说，二进制的步长和权重距离测度，说明了每条线具有相同的可达性（图7.7d），相对而言其他几种测度方法中，融合的线a′相比另两条线c和d而言具有更高的可达性（图7.7f）。这表明线a′上的视线数量会加强线的重要性，特别是当这条线位于形态中心时。然而，我们也会看到，这并不是一个简单的问题，由于在系统中有很多短线以及一些占据支配地位的长线，欧几里得可达性模式会与步长可达性模式有很大的区别。
在我们转向现实问题之前，还需要理解的是如何通过点和线的估算来生成表面图的分布。一种空间的平均方法是将问题中每个节点区作为核心，将这节点区的值根据搜寻半径扩展直至每个点区都被赋值。对于五个节点的系统来说，每个节点的值都通过这种方式进行推广，扩展的值与距离节点的距离的倒数成比。插值中止在系统边界会形成一个生硬的边缘，因此在边缘的扩散数据具有倾斜性。虽然也可以通过将边界推远使扩散变得更顺滑来解决，但是我们更倾向于用最基本的形式来对这个基本问题进行可视化。
7.5 纯粹句法问题：在加桑村庄的应用
加桑的案例我们在上一章已经有过详细介绍，并且其作为空间句法的基准案例已经有大量论文探讨，我们不打算将数据再次重复用于加桑。这个案例最早由希利尔和汉森（1984）提出，之后派彭尼斯等（1997）、巴蒂和拉娜（2004），以及卡瓦略和巴蒂（2004）做了进一步发展。我们不会针对原始和对偶问题生成全部形式的句法图，避免通过标准色彩范围内的不同颜色的加权轴线来表达线条可达性，也不会用饼状图表现每个点的可达性测度。我们将只采用热力图的表现形式，因为用这种方式在街道图上展现可达性差异的效果十分显著。对于原始图我们将叠加街道线，而对于对偶图我们叠加交点或端点。
图7.7 从图7.1a和7.1b的简单二维图和轴线图生成的原始和对偶问题的可达性表面图
我们将加桑作为一个“纯粹的空间句法”问题，因为在这个案例中从未有过对其欧几里得可达性测度的尝试。轴线是视线，而视线越长，与其他视线相交形成交点的可能性就越大。然而，视线越长，线的距离也就越长。尽管我们不会对每条线到其自身的欧几里得距离进行测度（已在之前的方程7.26进行定义），长轴线通过其重心点来反映长度。在其他条件相同的情况下，这样可能会造成更远的距离，因此到系统其他线的可达性变差。相对而言，在测度与其他线的接近度而不考虑距离时，线的长度本身并不会成为一个因素。而线与更多的线相交，且其他情况不变，从而增强到所有线的可达性。图7.1b并不是这种情况，因为系统的对称性和基本线段相同距离，使轴线从步长和欧几里得距离角度都有最佳的连接。
图7.8是加桑的轴线图，其中有数条长视线，但总体上不处于村庄街道密集的核心区内。从距离的角度来说，线在村庄核心区的集聚意味着相互之间的距离很近，总体上我们可以认为这些线之间的可达性相对于较长的线来说会更高。我们将会看到，空间句法的阐释与基于欧几里得空间的方法有质的区别。同样的区别还体现在街道交叉点的集聚上，这也反映了线的集聚。正如在上一章中提到的，加桑接近于平面性的参数为，故街道线的可达性和街道交点的可达性具有紧密联系。
我们针对原始和对偶问题分别计算了7种距离测度方法，并且在表7.1中描述了它们的关联性。其中表7.1（a）是原始问题，涉及的是线之间的可达性，非常清晰地分为两个集（用粗体和斜体表示）。基于步长的测度指标与欧几里得距离并没有很高的关联度。两种欧几里得测度方法具有高相关性，但是两组方法之间的关联度很低甚至完全没有。这种差别的本质原因与测度的对象是什么有关。加桑的视线与交点的聚集之间相关性很弱，从欧几里得距离角度，交点集聚造就可达性最强的中心区。对于表7.1（b）中所示的对偶问题来说，点之间具有更高的相关度，但在非欧几里得与欧几里得测度方法之间依然存在同样的区别。实际上，原始的出度数据与所有其他测度方法的关联度都很低。这说明点的出度分布（也就是每个点上的线数量）是2或者3，类似于步长。
表7.1 加桑的7种距离测度方法间的关联度
我们用不同测度指标的空间分布表面图来展现这种差别。图7.8展示了三种我们认为最能反映差别的可达性测度方法，分别是基本空间句法所测度的步长ℓ（d）i和ρ（d）j、句法的替代测度方法加权距离（ℓ）i和（ρ）j，以及度量物理网络可达性的欧几里得测度指标e（ℓ）i和e（ρ）j。图7.8的表现支持了这部分一开始提出的观点。步长和加权测度方法生成了与在上一章相同的表面图，仅因为这里所采用的色彩范围和空间平均指数较小而存在轻微的不同。对于原始和对偶问题来说，我们从表面图可以看出，村庄的中心轴区域的街道和交点相互之间的可达性最好，而村庄西部的可达性要优于北部、南部或东部（图7.8a和7.8d、7.8b和7.8e）。体现欧几里得距离测度的图7.8c和7.8f则是另一幅景象。可达性最高的街道和交点位于街道最短和线密度最高的区域。这与最长视线没有关联性，图中的高可达性区域沿中心轴碎片化分布，并且村庄的东南部看起来有最高的可达性。通过对加桑案例的研究，我们的最重要结论是：空间句法与街道距离可达性非常不同，不同的可达性测度方法决定了我们对城镇的视觉质量、关键用地的区位以及运动模式等的判断，因此这涉及结论的可信度问题。
图7.8 加桑案例的纯粹原始和对偶句法分析的可达性测度方法
7.6 “混合句法”问题：地面和地下线路的耦合网络
在这两种类型e的距离测度方法中，混合了多种基于视线和物理行程距离的可达性指标。然而很多系统的出行并不基于我们能看到的街道网络，而是依托我们看不到的线路，比如地铁，或是视线已经不太重要的线路，如公共汽车或有轨电车。总之，我们需要将这些概念引入系统并对相关差别做出明确界定，以反映基于视线或无障碍移动的混合轴线与体现平面性的线路段之间的复合。这里的应用案例是墨尔本中心区，基本布局是网格状，但周边有一条地下重轨环线。图7.9是其轴线图和平面线路网络，我们将两种类型的线路进行了区分。中央商务区（CBD）的线路形态密度比起图7.9中看到的更高，而且中心区有地面有轨电车穿过。但是真正造成区别的是地下铁路，与地面街道通过5个重要站点相连接。如果一个人希望围着中央商务区绕圈，最快和最短的方式就是乘坐这条地铁，当我们将欧几里得距离纳入考虑时，地铁就对可达性有着重要的影响。如果你希望在中央商务区观光，那么长直的街道提供了绝佳的轴向线路。因此，希望快速到达某个地点还是希望观光一些地方，就会有不同的选择。
图7.9 墨尔本中心区的街道网格及地下轨道环线
在表7.2中，我们对原始和对偶问题的各自7种可达性测度方法的关联性进行了评价。结果总体上与表7.1加桑案例非常相似，出度、步长和加权测度之间具有高相关性。而另一方面，几种欧几里得测度方法间具有高相关性，但并不与前面一组方法相关。由于每条线上的点数量分布比起每个点上的线数量来说变化更大（平面性指标Ψ=1.033说明图非常接近平面），这些原始出度的指标间形成了一组密切相关的测度方法。不过，在涉及点的对偶问题中，这些出度指标和其他两组测度方法之间的关联度很低。总之，在我们开始探讨这些测度方法的空间分布之前，我们就已经掌握，对于原始和对偶问题来说，在步长测度方法和欧几里得测度方法之间都有相同的显著区别。步长测度方法通过句法分析视线之间的远近判断接近度，这与通过线和点之间的物理距离来判断有很大区别。这一点同样也清楚地体现在图7.9中，地铁与街道系统只有几个交汇点，但是它与所交街道的相对可达性很高，大大高于那些分布更加平坦的街道交点和连接交点的线条。
表7.2 墨尔本中心区的7种距离测度方法间的关联度
图7.10展示了以线条粗细体现的线ℓi的基本出度图，以及三种关键测度方法ℓ（d）i、（ℓ）i和e（ℓ）i的表面图。注意铁路线路上只有少数几个点。图7.10b和7.10c显示，按照不同视线的接近度分析，用步长和加权距离可达性两种方式在中央商务区的核心区生成了最高的可达性。中央商务区物理中心的西南区表现出较低的可达性，这一区域的视线公共交点较少，主要网格被一个较窄的次级道路耦合网络所渗透。然而，当我们转向图7.10d的欧几里得距离时，铁路沿线站点附近的可达性较低，因为在这些点上可以到达的视线数量较少。
图7.10 基于（a）出度、（b）步长、（c）加权距离以及（d）欧几里得距离的线可达性表面图
就点或街道交点间可达性的对偶问题而言，用步长距离或是欧几里得测度，二者区别甚至更加明显。图7.11a用简单的饼状图显示了每个点的线分布，在全部93个交点中，只有5个点上连接的线超过两条，这5个点上也都只有3条线。这体现了网络的平面性程度。图7.11b的步长测度与图7.11c的加权测度具有高度相关性，两者都体现出站点区域具有最低的可达性。这是因为那些区域能看到远程的点较少。而图7.11d则恰恰相反：站点的可达性很高，并且构成了中央商务区的中心地带，很多道路在站点附近相交。然而，由于设定的问题边界，图的最边缘区域在所有情况下都可达性最低。
对图7.8和7.11的加桑和墨尔本的案例进行比较很有意义，两者之间有很多有趣的比较点可供继续探索。通过分析上面两种类型的距离测度方法可以发现，我们应该采用多种句法而不是仅仅其中一种，并理解与多种句法带来的多样指标和表面图相伴随的挑战。
图7.11 基于（a）出度、（b）步长、（c）加权距离以及（d）欧几里得距离的点可达性表面图
空间句法和地理图之间的重大差别体现了两种类型问题中距离的本质和含义。在句法中，出发点是作为线的街道之间的拓扑关系，而在地理问题中的关系是对节点之间距离的物理测度。实际上，两种类型的问题是基于同样的街道系统的几何布局，但结果却令人困惑，这也使得空间句法自诞生以来就面临着意义和含义的争论。尽管我们已经在这里阐述了区别，空间句法并不是一种几何或物理距离，而只是关注空间中两个点和线之间是否存在关系。正如二部图中的邻接性（adjacency），原始或对偶拓扑图中的二部关系，或者从这些图中生成的步长距离，邻近度（proximity）是探究城市空间句法结构的核心分析工具。
然而还有其他邻近度的测度方法，看起来似乎都比传统的步长距离有重大优势。针对空间系统，贝拉和克拉拉蒙特（Bera and Claramunt，2002）构造了一个精妙的邻接性概念，考察一条线或一个点是否与其他线或点相连接，建立连接起点集与邻接终点集，然后对二者之间的共同点求加权总和。我们可以采用多种方法来表达直接邻接度，比如我们之前在方程7.5中用过的：当ℓik>0时Zik=1，否则Zik=0。我们现在需要扩展这个定义以纳入对线和点的考虑，因此方程7.5变为：
我们需要定义这些测度方法的出度（以及入度），因为这些决定了关联线和点的集合大小。从方程7.31可以得出：
方程7.33右侧的两个部分都通过参数0≤α≤1取权重。第一部分是方程7.31所定义的邻近指数，如果一个元素i到一个邻近元素k之间有连接，则赋值为1。第二部分是一个相对测度，对起点集Ωi的邻近要素数量与关联k的终点集的邻近要素数量进行比较。这有些像一阶集聚系数，类似于瓦茨（Watts，1999）在小世界图中定义的集聚概念。加权总和本质上将i和k之间的直接连接与i和k通过元素z的有中间连接数量。如果i和k之间几乎没有共有连接，那么这个测度的影响将会降低，比如当权重都相等。当然，权重本身控制了直接和非直接邻近的强度。
