分形生长与形态
我们对生长这一复杂现象的认识还十分有限，因而要就此提出设想和建议未免显得有点草率。
——达西·温特沃斯·汤普森（D'Arcy Wentworth Thompson）
《生长与形态》（1917，第282页）
距达西·温特沃斯·汤普森发表他关于形态科学的开创性著作已近100年了，虽然这是本生物学著作，但是它对于社会世界如何应对同样的挑战也有深远的借鉴意义。达西对自己当时的理解始终保持缄默，反而显现出了他的先见之明，因为我们花了整整一个世纪的时间才建构起一套城市理论来解释城市的演化和发展机制。在上半个世纪中，研究者由关注系统平衡慢慢地转而关注总体动态性，近年来又开始关注自下而上的动态生长与变化（Batty，2005）。目前我们认识中的城市已经不再是静态平衡的了，而是动态变化的，其体系可骤然变化，带来出乎意料的结果。这些过程是非常复杂的，因为它们之间会交互影响从而产生令人意外的效果。这些过程也有次序，正如第1章中提及的，在这里我们将之视为生长的标志。但是由于在大部分研究中城市还是被看成是处于平衡状态的，所以我们在城市形态变化方面的认识还十分有限。我们在前两章中关注的完全是城市的平衡性质，而且目前为止我们在本书中涉及的动态变化大多与日常变化有关，例如日常出行，而没有涉及更长期的变化。在这章中，我们将对此进行调整，从长期演化的视角来看城市发展，同时我们也会确保将到目前为止所介绍的复杂性特征与城市生长过程联系到一起。
虽然迄今为止，我们还没有探讨到城市网络或者空间的动态性，但是在之前的章节中我们已经涉及许多复杂性理论中的关键概念。在前几章中，我们不厌其烦地强调模块性、自相似性、循环性和等级体系这些概念，因为我们认为这些概念对于理解城市形态和结构是如何组织的非常关键。的确，那些演化相对平稳的系统的一大特征就是它们是以模块为单位发展变化的，它们的每个组成部分都在规模和复杂性上慢慢演化，逐渐调整接近于与它们最相似的其他组成部分。亚历山大（2003）曾提出这样的观点，他认为复杂系统的演化过程是一种结构保存性转换过程。在他看来，这些转换会带来本地化改造，使每个组成部分在位形上逐渐趋同，从而影响到每个系统。他写道：“一个复杂系统如何找到良好的位形？从理论上讲，我们也许会说，系统在位形空间里的路径几经调整最终总会找到适应良好的位形。但是问题的关键就在于如何找到这个路径：这个路径应该是什么样的才能实现良好的适应？”他对于这个问题所给出的解答与达西一个世纪前给出的解答一样，都是开放的。他继续说道：“虽然关于这个问题一些研究者给出了几个初步的答案，但是至今还没有令人满意的答案。这或许就是我们这个时代的科学问题。”（第19页）
帕特里克·格迪斯（Geddes，1915/1949）在其《进化中的城市》里首次提出了这样的观点，即小小的变化会引起巨大的影响。的确，他称之为“保守外科”的变化就是城市发展的方式。事实上，在20世纪的大部分时间里，城市规划都是通过大规模的改动实现的，虽然60年代早期的研究者如克里斯托佛·亚历山大（1964）和简·雅各布斯（1961）等都继承了格迪斯的衣钵。他们的观点与汤普森（Thompson，1971）的观点完全一致，并且渐渐地使我们意识到在干预复杂系统时需要格外谨慎。也就是说，我们的规划是在“自酿恶果”，因为及时适时地根据当地环境做出微调会比20世纪大部分时期大规模的自上而下的城市规划成功率来得高。这也是达尔文关于生物系统所要传达的信息，也就是：物种进化必然会经历一个自然选择的过程，在这个缓慢推进的过程中，适应力最强的个体会被保留下来，剩下的就会被淘汰掉。这一观点在解释城市等非生物组织的生长动态方面越来越受到推崇。在所有尺度上，等级的出现都是形成复杂体系的标志。并且，随着数字化计算能力的发展，现在我们已经可以模拟出这样的演化过程了，根据这样的模拟，我们可以对比不同的规划设计，从而在一系列规划设计中选出满意的那一个。
如果我们能够说明通过模拟可以得出理想的城市规划设计方案，那么我们就可以提供一种相较于之前提及的方法更为谨慎、更少干扰的方式来治理我们的环境。城市规划中，通过微小的变化来巧妙地改变城市形态往往比大规模宏伟的规划更能够成功地营造一个宜居且可持续的环境，这一思想应该归功于达尔文的理念（Hamdi，2004）。为了进一步说明这种新的规划方式，我们将通过类比，运用隐喻来说明城市是如何形成的，并再次阐明模块性、等级、自相似性以及物理形态和职能形态上的城市规模等概念，从而说明基本的职能是如何演化出等级程度不同的模式。城市在发展过程中会以不同的方式、不同的密度填充空间，扩大范围，并通过不同的模式带来人口和物质财富的增长，从而使其组成部分得以发挥其功能。我们将给出一个简单的扩散模型，并将其一般化来说明城市形态和结构是如何形成的。我们也会提到历史上城市规划的例子，来说明我们应该根据有机增长的机制来进行规划而不是背道而行，与有机增长的机制背道而行也是20世纪城市规划中一贯的做法。
在这一章中，我们不会给出亚历山大问题的答案，但是我们会假定在几何形态上引起明显变化的局部调整深刻地影响了城市演化发展的方式。我们也会引入分形几何（fractal geometry），即等级及自相似性的几何表现形式，这与我们之前关于规模和比例尺度的观点是完全一致的，但是在这里我们会特别介绍导致在不同比例尺度上产生自相似形态的生成机制，这种机制从某种程度上会带来动态增长。需要特别指出的是，我们会通过元胞自动机（cellular automata）来检验这些观点，这种模型如今已经成了发展研究中备受推崇的一种研究工具，在这一模型中，城市被视为可以改变现状的细胞分格，通过局部改造就可以产生类似于低层过程的更高等级的模式。迄今为止，除了简单说明人口规模如何演化之外，在本书中我们还没有介绍过生成过程的模型，但是在这一章中，我们将介绍一些深层的机制，在实证研究中我们用于解释城市发展的模型就是基于这些机制的。在下一章中，我们将介绍一些更为传统的横截面模型，并在具体案例中说明这种模型的应用。在这一章节中，我们会通过系统模型的思想来阐述，而不会一一列举网络描述，这也是我们这一章的出发点。我们出于实用主义的思想选择通过系统模型来描述，但是也希望读者能够将这些工具推而广之，应用到更广泛的领域中。总而言之，我们的方法就是类比和隐喻。
8.1 模块性、层级性与自相似性
模块化架构不仅仅是一个能够保证系统所有组成部分有效并持续结合在一起的功能过程，也是一个能够促使系统有效运转的操作过程。例如，关系到城市经济运行的不同职能取决于人口是否能够达到一定数量，并且职能越是具体，需要维持的人口数量就越多。简而言之，越是细分的职能越需要获得规模经济，以便不同职能模块的规模和间隔可以在不同等级层次形成常规模式。这些职能模块继而会被复制，并根据其规模进行改变。
我们可以通过简单的几何来说明如何测量一个物理模块，并产生一个在所有尺度上都相似的分形。想象一下，为了在一条中间有障碍物的直道沿途设置栅栏，我们现在需要扩大空间。如果我们将这条道分成同样长度的三段，取其中两段，如图8.1a增加两段顶端相互接触的栅栏从而形成一个等边三角形，我们就可以绕开障碍物。但是，这就明显地将直线L的长度增加了一个单位（其原来的长度为三个单位），所以栅栏的新长度就变成了（4/3）L。如果我们继续将每一段细分成三段，重新安排中间一段的位置形成同样的等边三角形，我们就会进一步增加栅栏的长度，但是增加的幅度比原来要小。如果细分后的四段每段都再细分，那么栅栏长度就会在原来增加了4/3的基础上又增加4/3，也就是说新的栅栏长度就会变成（4/3）（4/3）L。我们可以不断在越来越小的尺度上继续细分，这样在第n层次栅栏的长度就会变成（4/3）nL。
图8.1 构建空间填充曲线：科赫雪花曲线
我们现在将最初的栅栏定义为直线L（1），那么直线L（n）的长度就可以定义为
其中ϕ是复合标度比，在这个案例中为4/3。显然，我们可以改变这个比例。当这个比例达到2时，就意味着这条线充满了整个二维平面。这种架构就是在不同尺度上循环应用同一法则，然后产生一个自相似的模式，在这个案例中，自相似的模式就是每个尺度上都会出现一个三角形，这从某种程度上说就是这整个架构的标志。这个自下而上的结构产生了一种分形图形，即一种常规几何图形，其中包括了间断的，有时从统计学角度看并不规则的组成部分，这些部分在不同尺度上被重复，反映了一个被不断迭代的相同过程。这种模式内在包含一个等级体系，这一等级体系可以被抽象成如图8.2所示的树状图。
图8.2构建分形图形时构成部分的等级层次
我们以上说明的这个迭代过程会产生很多奇怪的结果。首先，如果这种不断增加类似结构的过程无限循环下去，那么这条直线的长度就会变得无限长，但是很明显，由此产生的形状所包围住的区域，无论是在图8.1a的科赫曲线中还是在图8.1b的科赫岛（也称为科赫雪花）中，其面积都是一个固定的值。其次，如果这条直线变得越来越曲折，那么这条欧几里得维数为1的直线看起来就似乎有了平面的维数2。空间填充的理念可以被归纳在分形维度的思想里。阐释这一点的最好方法就是通过以下方程计算新直线N的数量：
其中K为比例常数，可确保比例与背景相符，ε为比例因子，可按比例增加现有直线数量至下一次迭代，D为分形维数。事实上，对于图8.1中的定率分形，每次迭代比例都是固定的。
显然，在任何一个尺度上，分形维数都可以通过以下方程计算得出：
如果我们假设K是一个统一的常数，那么我们就可以计算出一系列图形的分形维数，由此我们就可以得知代入比例因子ε得出的N为多少。在科赫曲线中，N=4且ε=1/3，因而D=log4/log3=1.2619。很容易看出，如果直线增加的速度小于比例因子，那么其维数就会保持为1，这也是直线的欧几里得空间维数，但是如果其速度为因子的两倍，也就是N=4且ε=1/2，那么维数就会等于2，这就是一条真正充满空间的曲线。如果我们在不同的尺度εk上，也就是在不同比例因子的情况下，有一系列数量为Nk且实证测量过的线段，那么我们就可以根据最小二乘法通过方程8.2计算出分形维数，如下
图8.1a中的科赫曲线维数大约为1.26，而比这更曲折的曲线如峡湾海岸线，其维数大约为1.7。相对和缓的曲线，如澳大利亚南部的海岸线，其分形维数大约为1.1。事实上，分形概念的提出者，本华·曼德博（Benoit Mandelbrot）于1967年在《科学》杂志上发表了一篇著名的论文，题目为“英国的海岸线有多长？统计自相似性和分形维数”。简而言之，那些在某种程度上不规则，并表现出自相似性的形体就是分形，它们的维数介于它们本身的维数和它们试图填充的空间的维数之间。在城市中，通过特定形式的发展来填充二维平面，不论是开辟地块还是设立街道，也不论是以何种密度填充，其分形维数都在1到2之间。因此，这个维数，作为分形图形的维数，也成了城市形态的特征。如今，人们越来越倾向于将城市视为建筑师杰作所产生的分形（Batty，1985），并且这种观点在不同语境中，不同尺度范围里不断被重复阐述（Batty and Longley，1994;Frankhauser，1994;Salingaros，2005;Salat，2011）。
然而，从字面意义上看，有一种形态更适合称为分形，这种形态就是由一个形体或者一系列相互关联的形体所形成的图形，这种图形往往是树状的或者是树突状的。如果我们想要将能源从某个中心源运输到许多距离较远的地点，那么建立一个距离中心源越近，存储能力越大的基础设施就越有效率。我们可以非常轻松地用图形来表示这点，因为如果在这16个点周边设置一圈衔接点，而不是让这16个点中每个点都直接与中心源建立连接，那么我们就能够更有效率地将这些连接线集中起来从而最小化中心源与各点之间的距离。在图8.3a中，假设每条连接线的长度为单位1，则连接这些地点（“填充空间”）所需要的连接线的总长度为16个单位，相比之下，如果将这些路线如图8.3b所示集中为两条，然后是四条、八条，则所需的运输路线总长大约为图8.3a中路线总长的二分之一到四分之三，具体为多少取决于具体布局。越靠近中心源的运输路线，运载量越大，因而花费的建造成本也越大。然而，这也说明了很重要的一点：为了节约资源（几乎每个案例都会有这样的考虑），我们必须有效地填充空间。图8.3中的树状结构为分形，图8.3b直接反映了自相似性，也反映了一个在空间上铺展开来的等级结构的建造模式。这与我们第3章中谈及的很多网络是相关的，尤其是交通网络的异速生长，以及我们上一章中探讨的分形网络。
图8.3 等级结构：从中心源输送
注：a.每条运输路线都是独立的；b.将运输路线重新安排形成一个更为有效的结构。
不管是在自然界还是在人类设计建造的体系中，都有许多这种等级结构的例子。如图8.4a中肺系统原理图所示，血液、氧气、电波信号等通过动脉、血管、肺和神经等树状网络被传送到身体的各个部位。如图8.4b所示，植物向上从空气中获取氧气，向下从土壤中获取其他养分。图8.4c更贴近我们的关注点，也反映了我们上文提及的路径系统。图8.4c显示的是一个英格兰小镇伍尔弗汉普顿的街道系统（2001年人口大约为300 000人）。显然，传统的街道系统正在变得越来越有序，其中市镇中心的环形公路是自上而下规划好的，也证明了我们上文提及的观点，城市形态往往是由不同尺度范围内的决策意见所塑造的。图8.4d为建筑公司棕榈岛集团在迪拜海岸外建造的一系列棕榈岛之一。这个例子很好地说明了在填海造陆时节约资源的必要性，在这个案例中，交通和能源输送是主要的障碍。
这些案例补充说明了第3章中介绍的网络，但是在这里我们强调的是这些网络的演化和生长动态，这些网络大部分都是自下而上建立的，只有一小部分是自上而下规划建立的。在城市发展的过程中，不论在哪个时间点上，我们都很难得知城市将来可能形成的社会行为，价值观念，技术水b平和社会规范。所以，城市发展的方式往往反映了其发展时主导的理念，彼时的效率和公平状态。为了说明我们如何根据这一过程建模，我们可以抽象概括出两种主要驱动力，一种是任一个人、开发商或者消费者对空间的需求，与之相对的是想要离“城市”尽可能近以实现规模经济的需求。这是一个简单的模型，在第1章中我们也提到了。这个模型反映了我们至今所提及的所有概念，现在我们将进一步把这个模型发展成一个模拟模型。
图8.4 空间填充等级体系
注：a.人类肺系统原理图；b.树内部运输系统原理图，上方为空气，下方为土壤；c.英格兰小镇伍尔弗汉普顿的街道网络；d.棘手媒介上的空间填充：棕榈岛集团在迪拜建造的棕榈岛。
8.2 模拟空间填充生长
我们的模型基于两个关键的驱动力。首先，城市的存在促进了劳动分工和规模经济（或者所谓的集聚经济）的产生。这一点我们在之前的章节中探讨过，并援引了阿尔弗雷德·马歇尔（1890）的观点。100多年前，阿尔弗雷德·马歇尔说：“相邻城镇间，从事同一种行业的人们从彼此身上获得的利处是相当可观的。对他们来说，相互之间就不再存在行业秘密。”（引自Glaeser，1996）我们的第一条原则就是：城市存在的前提是，个人与个人之间必须相互联系且在空间距离上相互接近。这就意味着城市的新进入者必须在空间距离上与城市的原住民相接近。但是，同时，每个人都会尽可能地扩展自己的个人空间，也就是说他们会希望与他人的空间距离尽可能地大一些同时又要确保自己仍然居住在城市范围内。这可能会带来人口密度的降低，但在曼哈顿地区，通过建造高耸入云的摩天大楼，人们也可以做到这一点。另外，在不同的国家和地区，人们也有越来越多创新的方法来实现这一目标。即便人们的方式可能存在很大的区别，在这里我们仍然把第二条原则理解为：人们希望居住在现有城市的边缘地带而不是中心地区。我们也注意到我们事实上无须强调空间邻接性，因为不需要空间邻接性，城市也可以建立起一个联系网络。但是为了更好地展现这一点，我们假设城市联系网络的形成需要建立在距离相近、空间相邻的基础上。
由此，我们就可以建立我们的模型。想象一下，一个商人决定寻找一块居住地，他往往会选择在一条贸易通道和一条河流的交界处落脚，因为那里土地平坦，土壤肥沃。很多城市都是这样发展而来的，由于自身相对的自然优势而被人们选中成为定居地。现在想象一下，另外一个人正在寻找一块永久居住地，他来到了这个孤独的商人的居住地附近。如果这个人偶然到了这位商人的居住地附近，他可能会决定在此定居下来，虽然在广阔的腹地可能还有许多商人没有来到这块居住地，也没有找到这个急需的定居点。然而，有一定比例的人有可能找到这块居住地，然后随着时间的推移，随着这里的商人数量越来越多，这块居住地就会发展起来。随着这块居住地的发展，它被发现的可能性也会越来越大，因为它占有的空间会越来越大。就这样，通过这些简单的原则，我们就可以展现城市发展的形态。图8.5a就是这一选址过程的示意图。定居点位于圆心位置，由黑色实心点标出，在定居点外围一圈是居住人口。黑色实心点就是最初商人居住的地点，其他个人由灰色实心点标出，他们随机游走开始寻找定居点。在每个阶段，他们都会对随机游走的方向做出决定，到底是向上向下还是向左向右。他们就是以这样的方式在这个平面上随机游走。如果他们移动到了黑色实心点周围的单元，就会停下随机游走，定居在这个单元上，这时他们的标识就会由灰色实心点变为黑色实心点，这意味着他们的位置现在固定下来了，不再变动了。第一个停下随机游走的点就是在最初的黑色实心点边上的黑点。这几乎就是选址过程的全貌了。我们看到了最终的形式，所以我们知道最后会发生什么，但是如果我们之前并不知道最终的结果是什么，那么很多人就会猜想，结果一定不会是一个树状结构，而会是一个不断扩大的块状结构。
我们把这一过程在图8.5b中展现出来。在第二个商人在已知黑色实心点附近定居后，另一个商人发现这一块定居地而不是另外的定居地的概率只上升了一点点。随着时间的推移，聚落生长锥的线性边缘模式开始突显，渐渐地，其他商人就不可能再进入聚落的内部，他们更可能聚集在聚落的外围，这样，聚落的范围就会不断扩大。这种扩张要想形成一个高密集度的块状结构，其欧几里得维数必然要接近于2，但事实上根据很多领域实证调查得出的数据来看，这一结构的分形维数在1到2之间，大约为1.7（Batty and Longley，1994）。这个结构，同其他任何枝晶结构一样，都是分形，从它的形态上可以很容易地看出其自相似性。我们只要将任何一个分支独立截取下来，就会发现这个分支反映了整个结构的形态，正如我们可以从一片树叶看出一棵树或者一株植物的整个结构一样。如果我们增加随机游走经过的网格的清晰度，如图8.5c所示，我们就会得到越来越精细的树状结构，从中可以很明显地看出分形结构。
这种形态是通过扩散限制聚集模型（DLA）产生的，在物理学中这一模型被广泛地应用于产生晶体状结构和研究物质之间的相互渗透，例如研究油如何扩散到水中（Stanley and Ostrowsky，1985）。如果将浓缩的肥皂液倒入洗澡水中，也可以看到类似的模式，使人联想起迪拜的棕榈岛度假胜地是如何被“逼进”海里的。
图8.5 通过扩散限制聚集模型产生的聚集城市生长
一般来说，一个高密度的物质在融入低密度物质中时，都会形成这样的模式。当然，一个模型也就是在其假设的范围内站得住脚，但是我们也可以对DLA模型进行调整，从而产生许多不同的形状，其中有一些甚至与我们在真实的城市中看到的存在惊人的相似之处。比如说，如果我们放宽标准，不再限制在此定居的个人必须居住在已经确定的空间范围内，那么我们就可以调整DLA模型从而产生一个更为稀疏的结构。另外，我们还可以设置一个距离阈值，或者我们可以强调一个定居点必须至少有两个人定居。这样，我们就可以改变密度，从而产生一个受到严格控制的结构或者一个定居限制很宽松的致密线性结构。扩散限制聚集模型的这些延伸在其他作者的著作中都有探讨过（Batty，2005）。
这些生长机制导致了空间填充模式的产生，这些模式往往是线性的而不是紧致的块状结构，并且空间是被网状组成部分填充的。从某种程度上说，这与生物体内部能量输送是相似的，生物体的新陈代谢遵循不同的异速生长比例定律，比如我们在第1章和第3章中介绍的那些定律（West、Brown and Enquist，1997）。在那些章节中，我们说明了单一中心的城市如何缩短交通距离，这些城市依靠集中于城市中心的树状网络结构来输送能量，并且我们假设在单一中心城市中，每个人都在向城市中心聚集。这与DLA模型是完全一致的，因为DLA模型就是在一个中心点周围生成一些活动。如果我们放宽这个模型的标准，加入若干个中心，甚至在没有覆盖到的地区设置一些中心，那么我们就可以建立起一个保有网络特征的多中心结构。同样，我们也可以放宽异速生长网络模型的标准，正如第3章中指出的，继萨马涅戈和摩西（Samaniego and Moses，2008）之后，比例关系开始产生统一的改变。实质上，我们的讨论所要说明的是，相对鲁棒且简单的城市选址模型更有可能产生网络结构，而不是密集的群聚结构，产生群聚结构只能说是个例外，而不是一般的规律，因为对这些模型来说，相互之间的联系对活动的选址来说是十分关键的。简而言之，产生那些城市分形结构的当代选址结构实质上是在重复那些构成城市主要框架的网络结构。
8.3 真实城市与复杂模式
城市依靠象征能源运输线的树枝结构发展起来，并通过这些枝状结构将能源输送到遥远的地区，关于城市发展过程中不同尺度上的树状结构，我们有很多的例子。从图8.4c我们就可以窥见一斑，图8.4c反映了伍尔弗汉普顿的街道网络结构，但是城市并不是纯粹的树枝状结构。出于不同的交通需要，不论是需要不同网络结构的不同模式，还是决定人们贸易和沟通方式的社会和电子网络，不同的网络结构在城市里相互叠加。第1章的图1.4以及第3章的图3.10，展示了伦敦交通网络的不同地图，这些交通网根据不同的交通量和相对距离构建起一个路线等级和模式，这些等级和模式反过来又与用于运送人口和物质的能源紧密相关。在图8.6中，我们给出了伦敦地区街道交通网络地图。根据输送能源的不同，这些街道由不同的颜色来表示，我们主要通过街道交通量来区分不同能源，不同的街道交通量由不同的颜色指示，由此我们也可以看出街道运输能力、拥挤状况或者饱和度。这也与可及性模式紧密相连，因为这一模式反映了地区之间的相近程度。
图8.6 大伦敦地区地面街道有机演化网络结构图
正如我们在前两章中指出的，街道网络是阐释城市如何自下而上发展的绝佳案例，因为它们构成了城市里其他一切事物赖以运行的基本结构。我们可以从城市的发展过程中看出，交通和土地利用是紧密相连的。的确，在20世纪30年代，随着城市扩张在英国的快速发展，“带状”发展成为与交通发展相关的土地利用模式，当时的土地利用主题就是要控制城市的迅速扩张。我们还可以在很多城市发展的模式中看到交通与土地利用之间的关系。图8.7展示了美国东部城市马里兰州的巴尔的摩在过去两百年内的城市发展，从图8.7我们可以明显地看出城市如何沿着辐射状的交通线路发展起来，尤其是在19世纪末20世纪初，有轨电车、公共汽车和铁路系统迅速发展的时期（Acevedo、Foresman and Buchanan，1997）。随着城市变得多中心化，城市各部分越来越各司其职，新的中央商务区，如“边缘城市”也继而建立起来，因而这些沿交通路线发展的模式也渐渐瓦解了，但是至今这些模式还是很重要的模式。
这些模式在不同尺度上重复出现，但是它们并不是在每个空间尺度上都被如实地复制，因为很明显，每个人的品位和价值观念都是不同的，因而他们的行为也不尽相同。另外，城市形态上出现的这种相似性是一种统计自相似性而非我们在图8.1科赫雪花曲线中看到的严格意义上的自相似性。
事实上，虽然一个城市的交通路线模式往往是辐射状的，集中于几个关键的枢纽，并根据重要性不同分层级，形成一个反映不同交通技术、运输能力和传播速度的等级层次体系，但是街道系统还是很明显地反映了空间填充的原则。在地方层面上，关于街道系统更多的是有意识的规划和设计，尤其是对于那些出于实际建造、融资和销售目的而独立出来发展的区域。例如，住宅区的住房往往建立在单向道上，周边都是尽端路，这么设计通常是出于限制发展、交通管理和安全的目的。在下一节中我们还会回过来做进一步说明，因为在下一节中我们会探讨如何通过显式设计和规划来更有意识地建立这样的结构，但是需要指出的是，这些模式确实会在不同尺度上重复出现，从它们的统计分布以及形态自相似性上就可以看出这点。
很明显的一个问题就是，我们在图8.6伦敦交通发展以及图8.7巴尔的摩城市发展中看到的DLA模型对现实结构的模拟适用范围有多广？当然，这个模型说明了我们上文提及的两条原则或者两种驱动力是如何相互作用产生一个在若干特征上与现代城市相似的结构的。它仅仅是一种形象的方式，用来强调这样的概念，即自下而上，不协调的变化会带来一个高度有序的结构——分形。分形正是通过这种相对简单的过程产生的。我们可以让这个模型变得更具实际价值，但是要让政府或者其他机构在战略规划中应用这些操作模型，还有很长的路要走。我们只要将这一模型植入一个有真实特征的空间或者地域，就可以把这个模型变得更具实际价值。在图8.8中，我们对威尔士卡迪夫的发展进行了四次不同的模拟，卡迪夫的发展受到海岸线和河流的限制。我们设置了两个发源地，一个在历史中心，一个在码头边沿，然后让DLA模型根据图8.5中的方式运作。由此，我们很快就意识到将这个城市一分为二的河流对某些城区的发展速度有所影响，然而卡迪夫有两个中心，且它很难产生一个在历史上两方发展都相互均衡的模式。这点并不令人意外，因为这个模型并没有包括那些会影响两个中心之间竞争的因素。巴蒂和朗利（Batty and Longley，1994）曾经对仿真有更为深入的探讨。但是，这个模型只能模拟那些在其假设之下产生的模式。而这些模拟也为说明和检验未来关于城市形态的各种假说提供了一种方式。为了了解如何生成这样的结构，我们有必要了解如何设计和应用这些模型以产生有效的设计。
图8.7 巴尔的摩二百年来的城市发展
资料来源：Acevedo、Foresman and Buchanan（1997）。
图8.8 通过应用扩散限制聚集模型或者DLA来模拟卡迪夫的发展
注：从左上的a到右上的b到左下的c再到右下的d，对d发展的限制逐步降低。
8.4 通过元胞自动机模型生成和模拟城市
8.4.1 元胞自动机机制
对于我们的模拟过程，我们需要施加比DLA模型及其变量所提供的控制更大程度的控制。事实上，我们是通过生成代数来生成之前的聚类结构的，而生成代数是许多产生模式的过程，也就是所谓的自动机的基础。自动机往往被广义地定义为一个有限状态机，它受输入内容驱动，从而改变机器的状态，也就是输出内容的取值。输出内容可以继而被用作输入内容从而推动状态转换，我们可以对这一生成过程进行调整来重复产生我们这里介绍的模式。例如，DLA模型输入的是一个在单元格间移动的个人，如果空间出现一定状况，这个人就可以将单元状态由未开发转变为已开发。这点，当然是同时在许多个人那里进行的。把空间看成一系列单元格就把我们的问题转化成了几何问题，虽然我们想当然地认为在这些模拟中，城市都是以这样的方式呈现的，但是事实上，一般的自动机，尤其是空间自动机其实可以是任意形状任意维度的。
我们这里用于生成实际发展的自动机被称为元胞自动机（CA）。我们设定根据一定法则将每个单元状态由未开发转为开发的网格为一个常规的单元网格。那么，元胞自动机的组成元素就包括一系列有若干种状态的单元，在这个案例中，主要是已开发与未开发两种状态，并且可能衍生出不同类型的发展；处在上述单元四周东西南北东北东南西南西北位置上邻近的八个单元；以及一系列转换法则，这些法则规定每个单元如何根据周边八个方位上邻近的八个单元的布局、状态以及特性来改变自身状态。现在我们从网格中心一个单元的最初状态开始，并应用这一法则：若一个单元周边存在一个或一个以上的单元，则这个最初的单元周边会存在一种扩散作用，这种扩散反映了一个连续传播的过程，正如运动中的物质会扩散一样。这种扩散是成方形进行的，因为其基底的网格是方形的。如果我们将网格设置为圆形的，我们也可以轻而易举地将扩散范围变成圆形。在图8.9中我们标示出了这种扩散作用以及产生自动机的内在法则。
我们会从形式上研究这些模型。它们是所有城市模型中最简单的，因为它们将人口与环境完全融为一体。
图8.9 元胞自动机：单元如何产生
注：a.围绕中心单元的8个邻近单元。b.中间：网格中的所有单元。如果网格中的一个或多个单元处于一种特定状态，在这个案例中指已开发的状态（即图中黑色单元），那么其周边的单元（即图中深灰色单元）会转变成已开发状态。如果将这一基于邻近单元的法则应用到网格中的每一个单元，那么结果就会是c.围绕中心单元（即图中黑色单元）一周的单元都会变成已开发状态（黑色斜线区域）。
本质上，环境的组成部分与人口的构成部分是相同的，因为在任何时间点上确定环境范围的地理空间单元就相当于人口中的每个构成单位。现在假设元胞自动机模型中的每个单元i在t时可以处于多种状态Ait，也就是说人口单元可以改变自身的特征。当然，最简单的形式就是单元i在t时只可能处于开或者关两种状态中的一种，从城市的角度来说可以指单元正在被开发或者单元尚未被开发。用方程可以表示为：
在更为复杂的元胞自动机模型中，每个单元可能会有超过一个的人口对象。如果一个单元只有一个人口对象，那么即便这个人口对象有多重特征或者其状态会发生多种变化，这个模型还是属于元胞自动机模型的范畴。简单来说，如果一个单元有两种以上的状态变化，那么这种状态变化往往用来反映土地用途的改变，例如土地利用类型的变化，当然b它也可能与人口对c象特征的变化相关，比如人口收入水平、年龄等的变化。这个公式是完全通用的。
如图8.9所示，严格来说，元胞自动机模型是不存在超距作用的，除非是在狭义上。在元胞自动机模型中，一个单元会影响离自己最近的单元或者被离自己最近的单元影响，如果我们指的是个空间体系，那么这里的“近”指的就是空间距离上相接近。这是我们将新单元出现纳入模型的唯一方式，因为如果一个单元的影响范围超出了离其最近的单元，那么我们就不可能追踪新出现单元对最终整个空间结构的影响了。正是因为如此，元胞自动机模型可以用来生成分形结构，分形结构中同一模式会在不同尺度上重复出现，而且只有当体系发展演化时才会出现。我们可以通过以下方式来解释说明严格的元胞自动机模型。假设集合ZI是一个正方形网格上的一组邻近单元。通常情况下，一组邻近单元统称为摩尔型邻域（即位于单元四周八个方位的单元，如图8.9所示）或者冯诺依曼邻域（即位于中心单元东西南北方向上的单元）。我们将函数Fit定义为ZI邻域里的串联效应。如果这个函数取一个确定的值，则上文所述单元i的状态就会发生变化。假设我们的法则（当然可以有很多不同的法则）是：如果这个函数的值大于一个确定的阈值Ψ（即处于已开发状态的邻近单元个数的总和），那么所述单元i状态就会发生改变。在最简单的情况下，如果这个单元尚未开发，其状态就会转变为已开发；如果这个单元已被开发，那么它就会保持已开发的状态。根据方程8.5的定义，可以得出以下方程：
很容易看出，这个过程会带来扩散作用，始于单个单元。如果我们假设阈值Ψ=1，则处于中心单元四周八个方位上的八个单元会首先被开发，然后是这八个刚刚被开发的单元周围的单元会被开发，以此类推，这种循环最后会带来中心单元周边一个方形地区的发展。事实上，在这个案例中，时间和空间被融为一体，这也是常规空间扩散的关键标准。关于这些观点，巴蒂（Batty，2005）有更为深入的阐释，他提供了很多关于严格的元胞自动机模型以及由此演化而来的基于代理人的模型形式的阐述。
如果元胞自动机模型的邻域法则变得更为复杂一些的话，那么就可能产生各种不同的几何分形，在已生成的结构中也可能存在关键的空间定位和偏倚。然而，在元胞自动机建模过程中，邻域、规则和生成过程往往是完全统一的，所以一旦引进了不断变化的邻域和不断变化的规则，模型就不再是元胞自动机模型了。实际上，在城市规划中运用的模型很多都不是严格意义上的元胞自动机模型，而是细胞空间模型，这些模型是根据实际土地问题和基于栅格的地理信息系统（GIS）地图代数建立的。它们并不会生成任何可识别的突变模式，且都放宽了对于领域规模和单元转变法则的限制。图8.10为三个通过摩尔型邻域生成的典型元胞自动机模型。第一个是简单扩散模型，其中每个邻近单元的发展都会影响所述单元的发展；第二个是应用分形生成法则的简单扩散模型，其中生成的单元模式决定了法则；第三个模型是以一个更为复杂的单元模式为基础的，这些单元来自一个引导增长的邻域，在这个案例中这种增长指的是一个给定方向上的随机增长。这些就是构成自动机基础的结构，其所有在现实体系中的应用都包含图8.10中用于生成模式的递归机制。
图8.10 经典元胞自动机模型
注：a.网格上的最近邻物理扩散；b.科赫式分形扩散；c.定向扩散限制聚集。
8.4.2 基于单元模型的应用
在开发空间应用程序时，我们可以通过多种方式来放宽元胞自动机模型的标准。首先，通过设定不同单元的发展速度，我们可以轻而易举地控制已开发单元的发展速度。如果发展速度是一个单位的单元，那么我们可以通过多种不同的外部限制来控制发展速度，但是正如所有放宽同质性规则标准的案例一样，这时的元胞自动机模型就不再能够以同样简单的方式生成图8.10中的突发模式了。而且，为了将多样性和异质性直接引入最简单的模型中，有时邻域中单元的单元计数或者串联会被转化成一个概率函数，这个函数继而通过一个随机数生成程序来调整发展速度。例如，方程8.6和8.7中的结构现在变为：
其中Pit为发展概率，而rand（Ψ）为随机数，比如说0到100间的任意一个数，这个数如果小于发展概率就意味着这块土地需要被开发。
我们可以通过这种方式做出很多调整，但最重要的调整是放宽严格的邻域规则并代之以某种超距作用。例如，将方程8.6中的Fit替换成可及性的引力表达公式，就可以得出：
由此可以得出一个能够预测相对可及性发展的模型：
这就几乎把元胞自动机模型转化成了一个可达性势能模型。这一模型是空间交互理论的核心，在20世纪50年代中期土地利用交通模型建立之初首次被提出（Hansen，1959）。我们在第2章中研究过这些模型，在下一章中我们还会继续探讨它们。当然，这里有一个问题，就是这样一个模型是怎样与应用广泛、历史较长的土地利用交通交互模型联系在一起的？这些模型在解释和预测能力上明显比我们这里讨论的元胞自动机模型更胜一筹，但是它们在动态处理方面的能力十分有限。我们很难把这两类模型结合起来，而且这也与我们这里提出的对城市的多元理解相冲突。
这些元胞模型的主要成就之一就在于根据不同土地利用类型确定了不同的单元状态，我们将这些状态区分开并标记为k，即为单元i在t时适宜的土地利用类型。在若干个模型中，这些土地利用类型相互联系，从某种程度上决定了一个地区被开发的区位潜力。我们可以将单元状态的变化表示为关于邻近单元土地利用类型的函数，并用函数表达式来说明一旦模型应用程序被投入使用，就必须明确状态变化类型。所以，t时单元i的新状态就可以表示为：
其中指完全统一定义的邻域且定义距离的区域仅限于所述地区。事实上，这从很大程度上放宽了严格意义上元胞自动机模型的标准，且这也是很多应用程序的特征（相关综述参见：Batty，2005以及Liu，2008）。值得一提的是，确定土地利用类型转变的规则一般会将领域的定义由严格的无超距作用原则转变为引力原则。这将不同的土地利用状态、密度和类型与不同用地联系在了一起，并将这些联系与不同的超距作用效应结合在一起。这些规则对于一个单元是否可以被开发，开发到何种程度等都有严格的限制，从而规范了不同用途的土地相互之间的联系。这些规则可以扩展到单元交通联系的发展。这些交通联系确保了不同用途的土地之间是相互联系的，并根据不同的生命周期效应来组织单元的再生。所有这些规则集在元胞自动机模型中都有所体现，而且它们对于SLEUTH、DUEM、METRONAMICA以及相关的模型包都很关键（Batty and Xie，2005;Batty，2012）。
