层级化设计
艺术家并不表现科学；……（但是）他会经常与科学家具有相同的兴趣点，并通过视觉集成来展示科学家用解析方程或实验演示的内容。
——刘易斯·芒福德（Lewis Mumford），
“艺术”，摘自《人类向何处去：现代文明的全景》（1928，第296页）
到目前为止，我们介绍的工具大多关注分析性地建立城市科学，但正如我们将看到的，相同的这些工具，可以被综合地塑造为对城市的一种理解。在这个意义上，与将城市作为整体考虑的综合方法相反，分析包含了将城市解构为其组成部分和相互作用的内容。分析往往是自上而下的，而综合是自下而上的。但这样的观点有一个变体，即解构关注现存的形式，构建则关注新的形式；此外解构还关注分析和科学，构建则关注综合与设计。到目前为止，我们已经介绍过的这些工具都集中在解释存在是什么，即真实性，而我们在本书的最后一部分中将要介绍的是专注于设计可能存在的东西，即可能性。尽管这些工具在我们处理相互作用和关系的方式上具有极大的共性，但我们用来改造和设计新的城市形态的方法，其中观点的本质方向发生了转变，从关注过去与现在转变为关注未来。正如芒福德（1928）在上述引文中的观点，作为艺术的设计与科学相比较，其差别在于建构世界的手段是视觉集成还是分析实验。
我们已经通过介绍大量的工具来阐述这门新科学，但我们的根本理论需要建立在对假定独立于结果的各种变量进行定义的基础上。从这点来说，我们假设变量在函数关系上是独立于结果的，也就是说，结果y由变量x决定或生成，而反之不成立。因变量和自变量都是可观察的，同时，科学的任务是在理论和实证上发现x和y之间的关系。好的理论必须在应对解构的尝试时是实证可证伪的和稳健的，同时也符合我们对世界如何运转的思考和直觉。定义适当的结果和自变量是一种能力，而不是科学本身，这意味着科学中的设计也许和设计中的科学一样多。然而，科学推进的方法包括把假说定义为可以通过准演绎的方式进行实验或通过计算机模拟来检验的关系，或者通过设定的假说检验循环运转过程中的一系列观测来推断。对良好科学的最重要检验就是理论带来的预测是否可以被观察所证明，这些观察完全独立于一开始产生假说的方法。这是19世纪和20世纪的经典科学的基石，在某种程度上这种判断目前也面临着细致推敲，因为我们所处理的系统的复杂性在增加。欢迎加入得到书社，微.信:whair004.罗辑思维，得到APP，樊登读书会，喜马拉雅系列海量书籍与您分享
就像科学是寻找一个变量集与其他变量集之间的因果关系，设计可以被看作遵循相同的结构，但有着不同的观点和目的。设计往往可以被理解为对一系列自变量进行操作，当这些自变量综合或融合为一个结果时，我们可以称之为一个“规划”或“设计”。自变量是决定问题在某些方面的解决方案的要素，要素综合是对它们进行聚合或合并以形成可以反映这些被考虑要素的最优解。解决方案或设计也可以看作是一个规划y，由一系列定义需求但相互间往往冲突的x要素决定。这些要素通常由设计者定义，并且在空间问题中有时被视为组合生成的解决方案的“层”。事实上，科学和设计的过程可以被比作解释或解决方案的产生，这些解释或解决方案是由这些层巧妙地组合而成的，而这个比喻在空间系统中特别有意义，因为在空间系统中这些层可以被看作空间图。然而，与科学变量不同的是，不同设计者对于层的重要性有不同的理解，这使得任何设计都有独特的组合。这些要素或变量可能不是相互独立的，因为它们是由设计者根据直觉的相关程度选择出来的。这一过程与生成解决方案的综合过程相结合，其内在过程及其本身对于设计者来说都是独特的。
我们将会看到，我们定义的过程具有高度的形式化，但每个结果都会是唯一的，因为这些要素对一个设计的影响具有主观性。一个设计的好坏取决于如何对其进行评估，这通常是一个通过一系列目标来检验结果或解决方案的过程，以衡量解决方案是否与问题的目标相符。与科学方法不同的是，根据预设目标对设计进行的评估，并不会将设计验证于其他地方并用一系列独立目标来检验。这在逻辑上与检验科学理论是相同的，科学检验中的目标在这里定义观察，但设计过程并不具有那样的独立性。简而言之，用于检验设计的目标是与最开始产生设计的综合过程中的目标一致的。这是一个不可避免的内在循环，而且对于设计来说可能没有真正的检验，因为设计的目的往往并不是达成共识。实际上共识是重要的，但它永远不会是对好设计的要求。
在某种意义上，所有的科学和设计都有最优化问题。把科学中的自变量或解释变量拟合或微调到那些总是被解释内容的过程，需要通过引入不同的参数来寻找微调解释的方法，这些参数定义了自变量的相对重要性和意义。在第二篇中，我们使用了线性分析法来估算这类变量的权重，通过使用一些函数的极小化，比如最小平方，生成一个最佳拟合模型，以降低观察和预测成果之间的误差——简而言之，寻找可将诸如这样的函数极小化的权重集wk。同样的结构有时被用来定义设计问题的最优解决方案，通常基于一些目标函数，比如，这里的权重wk为费用。然后我们选择解决方案yi中的变量来使Φ最优化，通常以利益、利润等来衡量，Φ通常会在解决方案变量（而且常常是自变量）能够承担的极限上受到一系列约束。实际上，在对土地使用交通建模的早期，类似于我们在上一章中探索的模型都是在这样的优化框架之中的，尽管这些在设计上的尝试很快就被意识到具有问题，其产生的解决方案非常粗糙，明显忽视了对设计十分重要的定性变量。
对最易于处理和简单的任意系统的优化中具有某些形式的反馈，可以让解决方案趋向最佳。在某种程度上，这种循环是科学方法中逐渐改善假说的关键，随着对它们的基本特征有更多的了解，在不断探索越来越好的预测的过程中对观察进行改进，假说逐渐被完善。在设计中也差不多，甚至在正式优化过程中也是，最优解决方案可能存在的解决空间，在追求打磨最佳结果的过程中逐渐缩小。我们将在本章及后续章节中检验不同的模型，这类互动过程是解决冲突并达成共识的关键，这里所谓的共识我们一般认为是最优解。实际上，我们的许多模型将会是线性结构，而在一些例子中，如统计分析的案例，当这类相互作用的收敛概率被简化为易于处理的形式时，可以直接得到解决方案。
我们在正式设计中的第一个尝试，是通过把解决方案作为要素的线性综合，这些要素是不同用地功能的最佳区位问题中的影响要素。对预设对象集进行线性加权以构建问题的方法将被介绍。然后，我们将检验这些要素之间的关系结构，采用我们在第一篇中介绍的基于连通性的理念，使用网络来展示这些要素相互之间的相对重要性。这可以为我们提供影响方案的要素的组织方法，将它们组织到不同层级的子问题中，这些子问题提供了结构化的综合，并包含不同的权重。接着，我们将它概括为序时平均（sequential averaging）形式，也就是我们所谓的设计的代数学。这与一阶马尔科夫过程类似，收敛到稳态代表了另一个加权解决方案。我们将在下一章中详细探索这个方法，届时将把设计问题往回推一个阶段，把它当作选择最佳设计的机器，即“对设计进行设计”。然后将描述选择风景区公路位置这一传统问题中的应用。这是一个著名的案例，最早由亚历山大和曼海姆（Alexander and Manheim，1962a）提出，也被麦克哈格（McHarg，1969）多年前在其重要著作《设计结合自然》中详细阐述过。这些方法在土地使用规划中是通用的，同时，当代的应用中包含了地理设计的新科学，由斯坦尼茨（Steinitz，2012）正式提出。本章中介绍的这类叠加设计是从很多基于地图的地理信息系统技术中发展出来的，如今地理信息系统技术越来越多地被用在土地使用规划中（Carr and Zwick，2007）。
10.1 阐明设计问题
设计问题倾向于定性而不是定量地表现它们的结构，因此基于统计或数值分析的经典研究设计并不合适。在解决任意政策问题中特别重要的是替代方案的定义，其中不同的方案与对象或限制有关，设计者根据手头的问题判断其重要度。阐明这类问题有很多方法，但在这里我们将考虑问题的任意解决方案与其他方案之间的联系。因此设计者的任务是把这些“部分”或子方案综合为一个令人满意的解决方案，其中影响最终方案的每个要素的重要性是清晰的。在这一原则指导下，不同解决方案的问题元素之间的关系将会通过一系列结构模型的定性关系来形成，这些结构模型构建在不同图论和网络表达之上，我们在本书的第二篇也应用过这些图论和网络表达。这些模型本质上是帮助思考规划的生成过程。就其本身而言，它们包含了可以作为承载规划问题解决方案理念的骨架结构。我们将要介绍的模型在很多年前就作为设计方法被建立起来，其中一些方法在实际设计和规划中仍然被普遍使用，特别在土地使用和景观分析领域，而另一些则是已有方法的衍生和重组。
在思考城市未来发展的时候，一个典型问题是如何使用土地以及如何组织活动，以满足特定的目标，这些目标是为了使区位变化和城市形态可以为城市生活创造更高效和更公平的条件。通常，大型居住区和交通如何选址属于这个领域的问题，但城市更新的很多问题也同样属于这个领域。我们在本章中将要讨论的问题是相对明确的，即寻找特定土地功能的“最佳”选址，以满足规划过程中所达成的特定预设目标。进行此类研究的最简单方法是在图纸上描绘出一定空间范围内的最佳区位和非最佳区位。因此一个问题的解决方案可以转换为一空间数组A'个i，其中有m个区位i，而且其数值可以是二进制的，当数值为1时为最佳区位，为0时为非最佳区位，但它也可以在一个范围内取值，比如从0到1之间，可以为某种特定土地使用的区位适合度赋值。
假设问题的任意解决方案为空间范围Aik，其中k=1，2，…，K个部分或子方案，那么设计问题的最佳方案可以被看作这些部分解决方案的联合体，即
每个部分解决方案都基于其对最佳方案的重要度，最佳方案反过来也会影响一些目标或限制条件。比如，对于现存零售设施的可达性或接近度最大化来说的最佳区位问题，Aik是其可能的一种解决方案，该问题无疑是与区位问题相关的，这涉及土地使用或零售设施服务产生的活动。另一方面可能基于某些限制，所有用于开发的土地必须符合潜在的防洪标准，在这种情况下，Aik可以定义那些满足这一标准的区域以及那些不满足的区域。因此，这些子方案将会体现为“全部或全无”的发展或连续的发展可能性。总之，接下来我们会将这些问题称为“要素影响发展”，反过来它们会体现反映需求和其他内容的单独目标或约束条件。
当然，定义最佳解决方案的关键是详细说明子方案或子目标的组合方法，解决方案都体现在方程10.1的通用关系里。一个直接的方法是把要素集分割到包含某种形式的收益成本或意愿度的目标中，以及分到形成解决方案限制的约束条件中，然后按照优化的方式来解决这个问题。这往往很难完成，因为即使单一的约束条件也可能不可更改，当考虑到其他约束条件时，设计中会存在一定的可变性。比如，当位于平地或缓坡地带的大多数住宅开发是具有成本效益的，但有时候优秀的设计会打破这个限制，并在陡峭的地带进行开发。这在一定程度上反映了不可量化的要素，也反映了设计者的灵感和直觉。此外，设定了通过这样的优化程序来解决的问题，就假定了较难实现一定程度的量化。实际上，更为明显的一种方法是提供某种程序，按照可以控制实现的顺序考虑这些目标和限制，同时，随着解决方案的逐步发展，设计者在每个阶段仔细反复考虑。这是我们在这里将会关注的方法。简而言之，我们将为提供结构性的方法综合每个要素，推导出设计者可以逆向退回的解决方案，并可以在任意阶段改变综合过程。
为此，我们引入一个假想问题，为一个英国小镇的住宅开发选择合适的用地区位。这个例子以北柴郡的麦克尔斯菲尔德为原型，其现有市区人口大约为5万人，而更大区域范围内还有另外2万人，将位于可能选址的新开发空间中。我们确定K=12个关键目标，作为这个问题的关键要素，这些目标列在表10.1中。规划的任务是利用这些要素生成这个问题的解决方案。这个要素集几乎肯定是不完整的，所以这个问题在某种程度上是假想问题。尽管如此，它仍然是一个有意义的案例，可以展示本章中介绍的第一类主要设计方法。所有这些要素都可以用空间术语来表达，并且每一个要素在考虑的空间系统内都可能对不同的区位有不同的影响。我们在图10.1中展示了在严格限制下的12种情况，其中1（或黑色）说明了考虑中的区位不能开发，而0（或白色）说明该区位可以开发。在图10.2中，我们把这些作为空间意愿度来展示。其实，我们现在介绍的方法中，这些相互比较要素的顺序反映了每个要素在最后的“最佳”解决方案中的相对重要性。注意这个定义中的模糊性，因为假设了在任意阶段设计者的直觉都可以全面掌控这些顺序，它说明了我们生成的比较顺序只是推荐设计者遵循的一种。
表10.1 影响居住开发的关键要素
传统上，规划师根据这些要素对于解决手头问题的需求度或合适度（或相反的情况）将它们表达为空间形态，而规划生成和设计的过程是对这些要素的综合，它通过包括某种平均调和的方法来解决要素之间的冲突。我们接下来将要介绍的方法可能是发展最为完善的方法，最早由克里斯多夫·亚历山大（1964）详细提出，他认为每个与开发相关的要素，通常都包含一个非最佳的问题解决方案，比如表10.1中列出的那些要素。那么设计者的任务是检验每个子解决方案，并试图协调它们与每个其他子方案以发现最佳区位。12个要素可以有144（122）种可能的成对比较，但对于每个要素来说，生成某种与其他所有要素相关的综合解决方案，则将会有12种不同的方案。亚历山大（1964）认为，在对它们进行考虑的时候某种形式的优先顺序是有必要的，在这个基础上把部分解决方案或要素按照它们关联度或联系度分组，可以为生成12个要素之间最小冲突的综合方案提供一种好方法。这就是我们将在接下来的三个小节中说明的方法，最终将建立迭代法，可以通过这种方式综合子方案，形成一个真正的折中方案或“最佳”平均值。
图10.1 要素表达为选址问题的部分答案
图10.2 要素表达为对最佳区位的渴望度
10.2 线性综合设计
设计者对问题的看法决定了子方案或目标的集合以及限制条件，这些集合以及限制条件必须按照某种方式综合，来形成一个“最佳”方案。而且该方案必须与子方案有相同的形式，也就是土地适用值落在一个固定区间内，可以用图来表示。正如我们提到过的，这要求各个要素Aik当量相同，或在一定范围内具有可比性而不损失通用性，我们可以标准化为0≤Aik≤1，∀i，k。默认的综合方法是一个简单的平均，可以表示为
其中，我们假设要素可以被表示为限制条件或目标。如果要素是一个限制条件，我们可以用上标c来表示，而如果是一个目标的话，我们用上标o来表示。这与这些要素的取值一致
方程10.2适用于任意代表限制条件或目标的要素组合，因为它们在相同的取值范围内是相当的。
默认综合假设每个要素的重要性或权重相同。这可以方便地类推到不同的值，这样最终答案是一个加权平均值
其中的权重必须标准化，从而反映了每个要素的相对重要性。通常的形式中权重作为子方案或影响最终方案的要素的概率，那么就有
与前面的章节一样，在这里的案例中，如果范围很明显，我们将能够得出最终结果。
这个通过平均来生成解决方案的方法，被广泛地应用在选址有明确类别的各类实际土地使用规划中。有些时候，当要素表现为目标形式的时候，它指的是“发展潜力”，并且可以被作为等值面插入，如图10.2所示。这样定义的方法早在20世纪70年代在一系列子区域和大都市区的规划研究（见Wannop，1971）中就可以见到，这些方法现在是GIS技术坚实的组成部分。显函数可以让用户生成并视觉化综合解决方案，而这些理念如今已经被广泛应用于类似LUCIS（土地使用冲突识别策略）这样的实用方法中（Carr and Zwick，2007）。
这些方法反映了地理设计领域的一些核心工具（Steinitz，2012），实际上，它们可以追溯到很早的景观规划研究，这类研究关注的核心是物理空间。显然，它们的极限在于，对于一系列相当的要素来说，它们必须包含用于开发的某种形式的物理适用性。简而言之，不管要考虑的问题是什么，它们必须被转换为空间形式，尽管这通常都是可行的，在表现特定要素时需要一些独创性。这些方法建立在我们称之为“叠加”的分析之上。可以图示的要素通过相互叠加来综合，要素假设具有相同的权重，并使综合平面成为一个不同要素的视觉组合或是受限制条件影响的区域的叠合。这一通常的过程是用于将要素表达为限制条件，并过滤掉那些不受任何限制条件影响的用地。斯坦尼茨、帕克和乔丹（Steinitz、Parker and Jordan，1976）描述了一段有用的历史，而霍普金斯（Hopkins，1977）介绍了一般性的连接叠加技术和更多正式方法。麦克哈格（McHarg，1969）的著作《设计结合自然》中提供了非常概括性的叠加方法，他将用于确定不同种类开发的最佳区位的方法描述为“叠筛图”（sieve mapping），这类开发中的要素表现为限制条件{Aick}。基波（Keeble，1952）用以下方法定义这一过程：“它假设所有在检验的用地都‘通过’一系列的筛子，每一个筛子代表了用于特定考虑目标的某种特有的渲染用地单元。任意土地使用特性由一个或多个筛子‘捕捉’来表达，当某块用地通过所有筛子，那么可以初步认定它适合考虑中的目标。”
以限制条件作为过滤器或筛子来表达叠加图的一种方法，是通过叠合限制要素来形成的，即最终方案是
如果这是一个空集，那么说明每个用地单元k都被某种限制条件所影响，这种情况下就需要简单地对限制条件进行计数
当然，它与方程10.2中的非加权平均值相等。在图10.3中，我们通过综合图10.1和图10.2中的不同要素，展示了三个相关的解决方案，图10.1中的要素作为限制条件，而图10.2中的要素则是目标。这三个解决方案分别使用方程10.6中的限制条件、方程10.7中反映的叠加，以及图10.2中目标使用方程10.2的相同权重。我们没有采用不同的权重，在这个阶段或许比较武断。本章剩下的部分会探索我们如何基于要素之间不同的关联来确定这些权重。
图10.3 不同线性综合的比较
注：a.传统叠加（筛选形式）分析，用灰色展示受到少于三个限制条件影响的土地；b.平均要素图，基于对限制条件的计数；c.相等权重的意愿平面。
在我们开始检验这类问题的结构之前，我们需要注意到不同的土地使用或活动可能会竞争土地，即当存在一系列我们提到过的设计问题时，在更高层面会有解决冲突的不同技术被设计出来。我们现在假设这些方法用于为一系列ℓ=1，2，…，L用地寻找最佳区位，其中我们结合前面的权重wk和要素Aik，用以设计符号表示的每种用地的最佳区位。在这个过程中加入这些不同用地之间竞争的一种方法，是确定每个解决方案的相对重要性λℓ，那么新的每种用地最终解决方案为
Q是合理定义的标准化因数，以保证决定每种用地方案的竞争面之间的可比性（Grant and Thompson，1971）。这个参数本质上将每种用地方案j≠k转换为与方案k的竞争。
10.3 结构网络的结构和连通度
我们刚才提到的平均方法，与本章和后续章节中将要提到的方法之间的本质区别在于对众多冲突且收敛的要素的相对重要性的判断，这些要素决定了最佳选址问题的答案成功与否。这里我们有一个关键假设，在任何设计问题中，这些要素的相对权重应该反映这个问题内在的或通用的结构，而这需要设计者在设计的过程中提取出来并明确说明。也就是说，应当将问题结构作为设计的指引。这类结构的核心特性之一是任意要素之间的关系，这些要素可能是功能明确的、有因果联系的或是相关的。简而言之，任意两个要素之间的关系强度取决于其作为设计基础的程度，其中任意一个要素都会制约设计对另一个要素的要求的满足程度。总之，如果一个解决方案可以简单地同时满足两个要素的要求，那么可以认为这两个要素的关系较强，反之则较弱。然而，提出的问题可能会面临两个很难被同时满足的强联系要素，这意味着设计者应该首先考虑这些成对的要素，因为应该将比较容易解决的那些要素留到最后。因此，怎样衡量这些关系需要在用于组合要素的权重中反映出来，而它们的权重反过来又可以依照它们组合的顺序来确定。在这里，如果要素之间就它们所包含的子方案而言区别很大，我们将会建立要素关联的网络，下文中采用的网络就是基于这样的标准。
加权的方法有很多种。最简单的方法建立在成对比较的基础之上（Churchman、Ackoff and Arnoff，1957），因为它们倾向于基于结构定性地判断一个要素对任意其他要素的重要性。广为人知的层次分析法是由萨提（Saaty，1980）提出的，它被广泛应用于实践以获得权重。这个方法在比较任意一个要素和其他所有要素之间的关系强度的基础上，建立一个比较矩阵，而后提取一个综合“平均”权重集，反映每个要素在最终解决方案中的重要程度。关于我们提取与要素{Aik}相关的权重问题，我们可以按照如下方法推进。我们首先评价每个要素对其他每个要素的相对重要性，在不超过7个点的范围内进行评价，并建立矩阵Wjk，其中这个矩阵为要素j到要素k的相对重要性。如果假设j的重要性是k的5倍，那么Wjk=5而Wkj=1/5。由于比较的定性性质，以这种方式生成矩阵可能导致矛盾，但我们可以计算出矛盾程度并指出置信度，在严重矛盾的情况下促使设计者重新进行比较。
隐藏在这个成对比较矩阵之下的是一系列权重wj，它与我们之前定义的每个要素的相对重要性相当。如果成对比较是完全一致的，那么它会是这些权重的比例，即
这直接说明了在矩阵W中使用w（t+1）=（1/K）W w（t）来进行迭代的方案。这通常汇集为一个权适量，与W矩阵的主特征值成比例。实际上，权重的近似值可以通过矩阵W中行或列的归一化和求得，而且正如我们将看到的，这些都与基于某种图或关系网络的系统相关，关系网络中的关系把要素按照矩阵的形式连接在一起。我们在这里不继续探讨萨提的方法，但可以很明显地延伸被用标准化权重分层的系统，假设每个层级的权重与其他层级的权重都不相关，这一标准化权重可以在每个层级分别确定然后再复合而成。最近的应用探索了构成这类层次体系的网络（Saaty，2005）。
很多设计方法，特别是由亚历山大（1964）率先提出来的方法，在探索设计问题的结构的过程中利用了这些关系。像萨提在决策领域的论文一样，亚历山大的论点是不同要素之间的成对关系反映了每个要素在设计中的相对重要性。此外，亚历山大还认为当代设计的首要问题是需要寻找设计问题的真正结构。他认为对一系列成对关系进行客观分析将提出对设计要素进行分类的新方法，并可以最终引导设计者走向最切题的解决方案。比如，通过定义有强烈冲突的要素之间的关系，并通过将这类要素分组为子集或子问题，就有可能构建出围绕首先解决强冲突子问题的方法的设计过程，并按照这种方式得到最终解决方案。在这个意义上，子问题包含了子解决方案或部分解决方案，而且比较一个子方案与其他子方案的过程及其比较顺序反映了得到最终方案过程中子方案的相对重要性。
我们假设要素j和k的关系根据不同的空间位置i而改变，要素Aij之间的最简单的成对关系集，是通过邻接矩阵为{ajk}的二元图来赋值，矩阵中的元素被定义为
我们假设这个图是对称的。图中没有自环，因为这与元素的自结合无关，我们同时也假设这个图是强连接的。即，对于不常见的设计问题，图必须具有强连接的特性；换言之，图中在任意两个顶点之间必须存在明显的路径或链条，这说明了不管直接的还是间接的，每个元素都与每个其他元素有联系。在这个意义上，问题不能分为两个或两个以上的独立子问题，至少不可以应用这里介绍的方法。为了说明这些概念，使用方程10.11中定义的简单二进制代码，图10.1和10.2中展示的组成小镇土地开发问题的12个要素或要求被联系起来。存在正相关的一个标准是基于亚历山大（1964）的观点“如果你在设计中对一个要素进行处理，不可避免地让处理另一个要素变得更困难或更简单，则这两个要素相互联系（而且因此连接）”（第106页）。在图10.4中，其相关矩阵以图表形式表达。现在我们的任务是探索可以从这类图中提取出来的不同加权策略，然后将它们应用在按照线性综合的方式来组合要素的过程中，但线性综合的结构会包含一个更复杂的顺序。
图10.4 问题图及其关联的邻接矩阵
可以从图或其邻接矩阵中提取出来的最简单的加权结构，是通过对[aij]的行或列求和形成的。哈拉里、诺曼和卡特莱特（Harary、Norman and Cartwright，1965）最早提及列的总和作为入度，而行的总和作为出度，而弗莱蒙特（Flament，1963）把这些分别当作接受度和排放度。这遵循我们在第3章和其他地方介绍过的网络科学的通常定义（Newman，2010）。在前述章节中介绍的某些成果在这里会重新表述，以便读者能够获得关于它们的用途的最新信息。显然，在一个对称图中，对于任意要素集{Aik}来说入度和出度相等。形式上，
而且一个公认的权重集是基于这些入度和出度所包含的相对连通性的，即
然而，这一系列权重只考虑了问题中的直接关系，而且很可能同时考虑直接和间接连接的策略更加切题。
这类方案中的一种是基于所谓的距离矩阵[djk] 的，而正如我们在第3章的方程3.41中说明的，该距离矩阵可以通过对[ajk]进行简单的处理来定义。因为假设图是强连接的，那么就有可能可以从任意顶点到达其他任意顶点，无论是直接或是间接。如果每个直接连接被赋值为1，即单位距离，那么间接距离是这些单位距离的倍数。为了计算这些距离，我们首先需要计算邻接矩阵的连续幂，可以通过如下递推关系来计算
正如我们在前述章节中讨论过的，在一个强连接图中，矩阵由于幂指数m-1将一直保持正值，其中m是图中要素或顶点的数量。可以使用方程10.14来确定j和k之间的任意连接变为正数时幂指数m的取值。当这样一个连接变为正数时，幂指数m提供了j和k之间的距离。形式上，
加权的方法可以被定义为对行或列的总和djk求倒数，即dj和dk，它们等于
因为距离矩阵也是对称的，很明显其入度和出度是相等的。这些都遵循设计问题具体说明方式的因果对称。注意到这些权重可以在需要的时候被标准化为1。它们和第3章中定义的接近中心性，以及第6章和第7章中与空间句法相关的不同距离测量方法相似。
然而，这个加权方案的主要限制是间接距离在综合权重中所占的分量与直接距离相同。因此，间接距离占分量较少的加权方案更合适。图论中的一个著名结果是，幂指数m的单元矩阵提供了任意两个距离为m的顶点j和k之间的路径数量。当幂指数m增长时，在强连接图中路径数量按指数增长，同时加权指数
明显会在幂指数数值较高时给[ajk]太高的权重。但是可以给[ajk]在高幂指数时使用减小权重的系统。首先，通过定义一个概率矩阵，高幂指数矩阵规模效应就可以被忽略
Z是一个比例常数，可以选择它的数值，以便权重总和达到一个预设的值。因为[wjk]是对称的，每个要素的唯一权重可以被定义为
从中每个要素的权重可以被定义为这个矩阵的入度或出度。
刚才介绍的加权方案，涉及的是得到权重集[wjk]所需要的一系列相当长的计算过程，尽管这些对于现代计算来说相对不重要。尽管如此，可以计算出一个更简单而且稍微更简练的权重集，如果我们首先设定矩阵[pjk]为
那么权重可以从以下数列中得出
如果可以看出（很可能）当，那么权重矩阵可以直接从矩阵方程
提取出来，其中是一个识别矩阵，而P=[pjk]则是方程10.27中所定义的。方程10.30右边大括号中的项是一个逆矩阵。这个收敛是一个矩阵代数的标准结果。
这四个加权方案，分别基于方程10.12中的原始连接（入度和出度）、方程10.16中的反距离入度和出度、方程10.20中的连接几何顺序以及方程10.30中的收敛数列，被用于确定基于表10.1中所有要素的12要素设计问题的结构加权。而且，这类探索和分析足够简单，可以被任意设计者手动地用于小问题上，因此构成一个用于思考设计问题的合适工具。在这个阶段，比较四种方法给出的权重值的区别很有价值。表10.2列出了每个元素的四种不同的权重集。尽管权重就级别次序而言有很高的相似度，但它们之间仍然存在重要的区别。然而，这些加权值是加权平均数和冲突解决中更结构化的方案的核心。在下一个部分中，会介绍一些这类方法。
表10.2 基于连通性、距离以及路径长度的加权方案比较
†本章最后一部分中介绍的序时平均程序的稳态，将生成与基本邻接矩阵的入度出度相同的权重矩阵。
10.4 层级体系和网格
层级体系的结构是复杂系统逐渐演变的内在方法，这是我们在全书中一直在强调的。在第5章中，我们已经探索了层级体系在城市如何在空间中自组织扮演的角色，但在这里，我们将改变思路，说明层级体系对我们可以建立系统并设计城市的过程来说有多重要。在第1章中，我们详细介绍了西蒙（1962，1969）关于两个瑞士手表制造商霍拉和丹普斯的代表性案例，这两个制造商制造一样的手表，但霍拉以分层的方式发明了部件，而丹普斯整体制造他的手表。然而，这个故事的寓意是分层方法在嘈杂的环境中胜出，因为它在嘈杂的环境中较为稳固，包含了进化的内涵，即要在简单结构上构建更为复杂的结构，必须使用某种类型的模块化设计。
这就意味着层级体系。对于检验一系列影响设计的要素来说，很重要的一点是检验它们之间的关系结构，并考虑它们是否能够被分解并按部件分组。接下来，就可以把问题分解为不同阶段，并首先处理在问题的层级结构中相近的要素。总之，层级体系与寻解过程中各种因素被考虑的次序密切相关，这与上一部分中介绍的方法有很大不同，在前面的方法中虽然各种因素被依照权重赋予了不同的重要度，但对其进行综合并不需要考虑任务次序。
西蒙（1962，1969）提出了一种“设计的生成”的层级理论。他认为复杂的建筑可以从模块化建造的基础生成。亚历山大（1964）发展了这一理论并提出，应当对设计问题展开正式的分析并明确各自问题的层级，先通过分析过程将问题分解为子问题，通过提出子问题方案再按层级体系重新组合得出综合方案。总之，亚历山大（1964）提出了一个层级方法，在这个方法中，问题被分解为子问题，随后这些子问题按照给定的层级顺序重新综合，但表达为一系列部分方案或子解决方案，最终生成一个“最优”解决方案或设计。
亚历山大对于通过构建一个层级体系把设计要素重新分类的想法，可以通过将图或其矩阵分解为一个分层的子集来实现，最底层是关系最接近的相关子集。如果这些子集被定义为强冲突要素构成层级体系中的最基本层，即我们目前为止所做的，这个层级体系可以被作为展示（自下而上）解决子问题顺序的结构。这个综合的顺序让设计者在最基本层解决冲突最强烈以及最困难的子问题，这样可以让设计者关注设计作为得到最佳折中方案的方法的真正目的。然而，所有的这些取决于设计者如何构建问题，以及设计的真正目的是什么。如果最困难的子问题被首先解决，则意味着图中应该包含连通最不相关的要素或具有最大负相关的要素的连接。这与我们在前面的章节中说明关系的方法基本上相反，当我们生成网络时，关注的是那些在空间上连通性最高的要素。设计者可能也采用这个假设，其中，那些关联度最高的要素解决起来最简单，而且在某种程度上互相复制。因此首先协调它们，而当设计者继续协调更高层级上的子问题时，问题越来越难而不是越来越简单，因为最简单的问题首先解决了。这反驳了亚历山大（1964）的观点，但它表明了设计问题需要仔细考虑，针对哪些方面解决了什么问题。正如我们将看到的，会有方法超越为了协调竞争和冲突要素而提炼结构的方法，并避免了这个问题。
假设我们处理图10.4中展示的图，我们将提出两种方法。两种方法都首先把联系（和冲突）最紧密的要素合并，并形成层级体系，其中最强相关的要素在解决方案中最终综合在一起。确实有上百种可用的技术，可以把一系列成对关系分解为层级系统或从这类关系中建立层级系统。然而，这些方法中的大多数取决于通过连续变量说明的成对关系，而不是前面部分描述的二进制形式。比如在第3章中，我们用单联聚类分析来生成差别层级，现在有很多这类方法作为标准软件包可以被获取。这里我们将用两种基本方法，取决于上一部分生成的权重。第一种方法使用之前定义的加权矩阵来构建最大生成树，而第二种方法使用这些权重来建立一个测度在建立层级体系过程中信息丢失的标准。
图10.5 最大生成树以及相关层级体系
一个最大生成树可以被定义为图中没有循环的路径，而且图中任意树拥有最大总距离。这种树将一直有n-1条边，其中n是顶点的总数。寻找最小生成树的一个最早由克鲁斯卡（Kruskal，1956）设计的著名算法，可以很容易地用于寻找最大生成树。这个算法被描述如下：识别任意两个顶点j和k之间最大距离或权重，并记录这条边。然后找到下一个最大的距离并记录这条边，除非已选中的边构成了循环；如果这样则忽略它。按照这种方式继续，直到n-1条边被选中。此时，就形成了最大生成树。用这种算法，权重最大的那对要素首先连接，从而建立了层级体系的第一层。在图10.5中，这个建立层级体系的过程，展示了以图解的方式使用从方程10.19计算出来的权重矩阵[wjk]；这个方法最大的优势是它的简单性，因为它可以人为地应用在很大的问题上，从而与设计者对每个连接集的重要性的持续考虑一致。也许它最大的限制在于，它建立在设计问题局部结构之上，而不是建立在更为通用的“格式塔”概率上。实际上，正如图10.5展示的，很难比较分解所含的顺序以及基于不同线性综合的方法所得到的权重。
另一种用于提取层级体系的方法是基于信息这个概念的，最早由香农和韦弗（Shannon and Weaver，1949）提出，并由泰尔（Theil，1967）拓展应用到包含聚合的问题上。亚历山大和曼海姆（1962b）在他们的高速公路设计问题中，使用了一个相似的基于信息理论考虑的层级分解技术，我们将在下一章中介绍。正如第9章中提到的，任意结构的信息内容或信息熵H可以通过方程10.31来测度，
其中pj是时间j发生的概率，就设计问题中的每个要素而言，是它在要素范围内的相对重要性。我们假设这个概率是基于表10.2中的比较的一个标准权重。如果事件集或要素集随之聚合成一个双层的分集，那么方程10.31可以被分解并写为一个集间熵和一个集内熵的总和：
分解为L个互相排斥的子集Vl，由下个层级的基本要素聚合而成。实际上，这种分解聚合可以接连在生成集合的层级过程中发生，直到最后两个聚合的子集合二为一。方程10.33右边的第一个项是集间熵，而第二个项是集内熵。如果概率代表了分解密集连通的要素所包含子解决方案的重要性，那么通过最大化集内熵把要素聚合为子集的过程就是合适的。最大化熵的一个特别的启发是基于沃德（Ward，1963）提出的算法。
沃德的方法从层级体系的基础开始，在层级体系中的任意层上依次聚合要素或子集，聚合的要素或子集产生了比其他的聚合更大的集内熵。把从方程10.19和10.20中计算出来的权重作为概率，这种方法的应用，首先是在没有连续性约束的聚合条件下使用，其次是在受到邻接矩阵[ajk]中正项的连续性约束的条件下使用。连续性约束保证在原始网络中相邻的要素在某种程度上在层级体系中也同样“接近”。图10.6中，比较了应用这些方法的两个层级体系，可以明显看出在有连续性约束的情况下可以形成最可接受的解决方案。这个解决方案展示了与基于最大生成树的层级体系的相似性，但也可以清晰地看出，更多考虑问题的全局概率的方法更合适。
分类存在互相排斥的问题涉及聚合过程中的信息丢失度。此外，选择要素应当集聚的集也经常存在困难。一个要素经常在同一层级的两个或更多子集中具有同等重要性。为应对这种可能，我们有必要建立一个基于重叠集的层级系统，从而生成一个外观为网格状但兼具部分半网格属性的结构。在这种结构中，信息丢失比严格的层级体系要少，而且在一定意义上，这种结构可以测度冗余度，有助于生成一个更真实的平均策略。
一种网格构建算法被组合起来构成权重集[wjk]的基础，权重集[wjk]通过方程10.19由矩阵[ajk]所定义。这个算法的原则包含了在层级体系中连续的层级上，依次减少子集或要素的数量。然而，受到要素或子集总数与预设的层级数量相等的约束，在层级体系中的每一个层级，任意要素可能属于两个或以上的子集。比如，建立一个简单系统，其最基本的层级上有5个要素。在下一个层级上，需要4个子集或要素，而这四个子集可以由（1，2）、（1，3）、4和5，或者（3，4）、（3，5）、（1，2）、（1，3）以及其他类似组合组成，但不能是（1，2）、（1，3）、（3，4）和（1，4），因为少了要素5。在选择子集时，我们需要基于权重矩阵[wjk]，从最大权重maxjkwjk开始并逐渐减小。在每个层级上，权重矩阵通过前面的子集或要素聚合权重的简单平均重新计算。
