图10.6 基于沃德算法b的层级体系结构，有连续性约束和无连续性约束
这一算法生成图10.7中展示的层级网格。图10.8中比较了本节和上一节中的树状和网格状结构所建议的图形综合。这些规划设计问题的最终方案与图10.3所示的基于加权线性综合对的方案相比，并没有太大不同。然而，这些结构的重要性并不仅仅只是在于它们能够生成规划解决方案，而且为设计者提供了不同的方法去探索这类问题的结构。在确定最佳区位的过程中使用这些工具，与在任何提出最终方案的常规方法中对潜在子方案进行比选和斟酌具有同样意义。简而言之，生成的层级结构为设计提供了秩序。
图10.7 网格状综合结构
图10.8 不同层级方法中提取的综合的比较
需要注意的是这些方法中存在一处矛盾。如果我们假设层级体系用于对每个要素按照给定顺序互相平均，那么最接近的那些要素会被优先平均，得出的总体权重低于与较高层级子方案进行的平均。如果我们从最大生成树中选取图10.5的层级体系，假设我们遵循这一顺序，我们可以把平均过程按照下列方程写出，同时假设对两个要素或子解决方案进行平均时用的是简单平均。根据图10.5，我们可以把这个序时平均的过程写为
显而易见，连接最少的要素Ai12拥有最高的权重，而且因为它最后进入层级体系，当它与基于按照给定顺序平均另外11个要素的子方案进行平均的时候，它的权重为1/2。我们可能需要考虑为层级体系中的每个位置给定权重，依据各要素被平均并赋予先验的较高权重的次序。但是，这方面的研究还比较少，有待积极的探索。
10.5 设计作为序时平均过程
除了尝试通过建立网格状结构来减少信息丢失，还有另一种综合方法，这种方法中涉及问题的整个信息集都被使用。想象图10.4中展示的图是一个通信网络，其中顶点代表发射器或接收器，而边则代表频道。这张图可以被重绘为有向图，其中允许存在循环，而且两个方向上都有通道。图中的每个顶点上都有一个设计者，对设计问题的答案持有特定的观点；每个设计者都可以把他或她的观点发送给其他设计者，反之也可以接收其他人的观点，但只能通过给定的信道。这一权力结构的基础是对信息汇聚进行管理的清晰规则集，以及信息汇聚所带来的设计者观点变化。
通过将设计问题重新理解为解决不同要素或设计者观点之间的冲突，集体行动的目标就变成在遵循既定规则的情况下在所有成员间达成共识。假设每个设计者都可以完美地协调自己和别人的观点，那么解决冲突的过程按照如下方式展开。在第一个时间周期t中，每个设计者通过给定频道发送一个观点给其他设计者，同时，每个设计者通过对自己的观点和收到的观点做简单平均来改变自己的观点。然后，在下一个时间周期t+1中，这些新的观点按照相同的方式被发送并平均。这个过程持续直到每个设计者与组中其他设计者达成某种总体共识。这种收敛至一个与所有最初观点都不同的共识的情况，只会发生在基于强连接网络的权力结构中，因为只有在这种结构中，任意成员的观点可以传播给其他所有成员。妥协观点的连续传播逐渐减少了成员之间的意见差异，但最终共识是传播网络的体现，继而也是群体权力结构的体现。弗兰奇（French，1956）最早提出以这个模型为基础来研究社会权力，随后哈拉里（1959）对其进行了发展，并成为多种意见汇聚和学习方法的基础（Golub and Jackson，2010;Jackson，2011）。虽然在第3章中曾经介绍过，但我们这里仍然需要重温这种方法，以便将其与上文介绍的各种线性综合和层级综合方法进行比较。
图10.9 权力结构的有向图
需要注意，这个过程有一项重要特征是它代表了平均程序的一种简单类型。而且，按这种方法构想的设计问题引入了涉及真实程序的理念，包含权力和团体问题的解决以及连续决策。在图10.9中，无向图10.4被重画为有向图，图中沿着每条边的分数代表每个设计者相对其他设计者观点的直接权重。以这个公式为基础对设计问题进行综合并不算激进，问题中的每个要素代表了问题的一个部分解决方案。然而在应用之前，可以更正式地检验这个过程，以建立一个基于离散时间理论的代数表达——离散状态的马尔科夫过程。
考虑在任意时间段t+1中的平均或冲突解决的过程。这个过程包要素Aik（t）的转换，在这里要素被记为与平均发生时间相关的形式，也就是起始要素Aik=Aik（1）。在时间周期t+1中，通过对所有设计者k到每个设计者j的连接的相关要素进行平均形成新的平均
实际上，我们可以用每个设计者给要素的权重来表达平均化过程。规定每个设计者给所有要素的权重之总和为1，条件概率定义如下
应用方程10.36，我们可以把包含方程10.35中序时平均数的递推关系写为
这里pjk是跃迁概率，矩阵[pjk]中每行总和为1，被称为随机矩阵，而一阶更新或平均化过程等价于一阶马尔科夫链（Kemeny、Mirkil、Snell and Thompson，1959）。
当然，方程10.35及其马尔科夫形式的方程10.36都是递推关系，任意阶段t+m的平均可以被认为是一个跃迁矩阵的函数，这个矩阵包含全部对原始要素进行平均的过程。接着，通过把Aij（t+1）替换为Aik（t）来对方程10.37进行迭代，我们得到
其中，具有较高的跃迁概率，可以推导出一般递归关系，从而任意时间t+m的平均值可以被表达为时间点t的要素值的函数
如果网络是强连接的话，那么这个过程会趋于收敛。很明显，就原始要素而言，初始条件在最终答案中变得越来越弱，在信息发送中越来越包含信道强度。实际上，正如我们在第3章和第6章介绍的，可以看到，，设定开始时间为t=1，方程10.39的极限可以被写为
其中ci是单元或用地区域i收敛到的平均值。
构成这类过程基础的正式理论是马尔科夫理论，而马尔科夫链被用于描述所谓的遍历过程，即能够从任意其他状态达到一个特定的状态。马尔科夫链具有额外的规律特性，因为对于某些指数的矩阵[pjk]，其所有要素均为正值。实际上，有一种对链进行完整分类的方法与等价马尔科夫有向图有关，但我们将到下一章再对链的分类和完整过程进行讨论，我们将再次正式介绍这个模型，并展示它在一个高速选址问题中的应用。
图10.10 作为序时平均的马尔科夫过程
图10.11 限制图形式的空间平均
作为总结，我们将使用方程10.39和10.40所表现的过程来说明如何进行平均。我们使用方程10.35或10.37具体说明迭代结构，其中每个要素Aik（t）在迭代时间t与其连接的要素进行平均，并在这个过程中生成Aik（t+1）。这个过程持续到收敛。在图10.10中，我们用图把这一过程展示为一系列反馈循环，有点类似神经网络中的反馈和前馈循环（Gurney，1997），而图10.11中，我们以图的形式展示了初始要素集12以及它们逐渐收敛到同一个值ck的过程。我们可以衡量每个要素在每个迭代时间t上的区别度，以测度收敛度，如
实际上，我们计算了跃迁概率，将其定义为
其中限制矩阵虽然不能通过直接的矩阵相乘来计算，但可以用马尔科夫链的其他特性来计算，我们将在下一章中探讨。这个收敛过程很快，我们将用较为简单的方法来说明。同样需要注意的是，与生成平均值相关的权重与这一收敛紧密相关，而且可以明确地计算它。这些，像大多数与本章中的强连接网络相关的权重一样，反映了网络的结构，而且为了完整性，我们在表10.2中列出了权重，以便可以用线性综合直接比较。实际上，正如读者会注意到的，这些权重与基本连接矩阵的入度和出度相同，在这个序时平均过程中，它的简单性深入地根植在这个表达问题结构的方法中，而其平均过程定义在这个方法之上，这个属性特别吸引人。读者将在下一章中看到为什么会这样，但这是处理强连接对称图的一个基本结果。
10.6 设计科学与城市科学
本章开头引用的芒福德（1928）的叙述，表明了科学家和设计者在探寻理解的过程中，互相之间的差距并没有那么大，但设计师并不会认为他们的理论需要像科学一样验证。我们在本章中提出的大部分内容不能从任何传统意义上去验证其数据，因为这类设计是关于未来的，而且直到它实现之前都是隐藏不可见的。此外，如本书中其他很多地方一样，介绍的工具、方法以及程序在某种程度上都是“理想类型”。它们都与背景相适应，主要用于思辨和讨论，而不是提供问题的确切答案，这些答案不可避免会不尽完善，因为这是城市及其规划的基本特征。这些工具的意义更在于帮助我们思考规划问题和区位问题，而不是为了生成传统文字意义上的答案或方案。
这里介绍的方法本质上包含了权重这一基本概念。设计师和规划师在规划设计中很少处理这类问题，实际上，对于这些问题的认识是最近才出现的。像所有辅助规划设计过程的设计方法一样，这些技术包含了主观判断并且在不断探索中，但它们考验了设计师深入思考问题带来影响的能力。这个领域的研究进展困难而且缓慢，但是对设计过程进行研究的需求特别迫切，如果城市研究领域任何方面有概念上和技术上的进展，对规划编制来说都非常有用和有价值。
这里概述的设计方法应用起来很简单，而且如果使用计算机的话，那么所需时间会变得很短。也许这些方法的最大优势是设计师可以“手动”使用它们。上面简介的马尔科夫方法可能会在设计过程研究中获得成功，因为它不仅能与现有的设计方法联系起来，而且也可以把真实行为影响带到设计科学中。我们将在接下来的三章中延续这些理念，因为序时平均与冲突的解决、共识的达成以及整体结构化论证过程紧密相关，这已经成为现在讨论的城市物质干预方式的中心议题。
